Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB cố định... Điều giả sử trên là sai.[r]
(1)Đề thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT chuyên Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội năm 2001
Mơn thi : Tốn Hướng dẫn giải: Câu I:
1 Điều kiện: 0≤ x =t≤5
Phương trình cho tương đương với:
5 8+t + −t =
Bình phương hai vế ta được:
4 + t− =
t ; t1= - 4:loại; t2=1⇒ x=1 2.Hệ cho tương đương với:
= + + − +
= + +
17 )
(
7 xy x y
y x
xy y x
Đặt x+y=S, xy=P giải hệ phương tình được: a
= = ⇒ = = ⇒ = =
1 3
1
4
y x y
x P
S
b
= − =
13 P S
Hệ vô nghiệm Câu II: Ta có
0 ) (
) (
) (
2 2
2
< − − + − − + − − =
− − − + + = ∆
b a c c a c b b c b a a
ca bc ab c
b a
⇒ PT vô nghiệm
Câu III: Giả sử n2+2002=m2 (m nguyên) ⇒ (m-n)(m+n)=2002 (*)
Chú ý m n phải chẵn lẻ ⇒ (m-n)#2 (m+n) #2
Vế trái (*) chia hết cho vế phải khơng chia hết cho Vậy khơng có số ngun n để n2+2002 số phương
Câu IV:
Chú ý với a,b,c >0 áp dụng BĐT Bu-nhi-a- cơp-xki có:
1 1 )
( ≥
+ + +
+
c b a c b a
(2)2 3
9
9
2
2 + + ≥ +
≥ + + + ≥ ⇒
z y x zx
yz xy P
Khi x = y = z = P =
2
3 ⇒ MinP=
Câu V:
Từ giả thiết suy ∠MAN =450 (h.1)
1 Tứ giác ABMP có ∠PBM =∠PAM =450nên tứ giác nội tiếp Suy
90 =
∠MPA
Tương tự, tứ giác ADNQ nội tiếp có ∠NQA=900 Vậy năm điểm P,Q,M,C,N nằm đường tròn đường kính MN
2.Ta có ∠AMN =∠APB=∠AMB
Kẻ AH⊥MN Dễ thấy ∆AHM =∆ABM ⇒AH = AB Vậy MN ln tiếp xúc với đường trịn tâm A bán kính AB cố định
1 Do ∆ AQN ∆ APM vuông cân Q P nên:
1
1
2 = ⇒ = =
= ⇒
= =
S S AM
AN QP AQ S
S AM
AP AN QA
AMN APQ
Câu VI:
1 Điều kiện x>2 PT cho tương đương với:
2
)
)( 1 (
3
3
1
= ⇒ = + − − −
− ⇔
+ − + − = + + − −
x x
x x
x x x
x x
x
2 PT cho có dạng: (x+1)(y+1)=10 (1) Phân tích 10=1.10=2.5 (2)
Từ (1) (2) suy PT có nghiệm là:
(0,9), (9,0), (-2,-11),(-11,-2),(1,4),(4,1),(-3,-6),(-6,-3) Câu VII:
(3)Khai triển rút gọn được: 2y (x2+(x+y)2)=0
Hệ có nghiệm (x,y) (1,0), (-1,0)
Câu VIII: Giả sử mười số cho viết thành hàng là: a1,a2, ,a10 Xét mười tổng: a1+1, a2+2, ,a10+10
Khi đó: S= (a1+1)+(a2+2)+ +(a10+10)
Giả sử 10 tổng hai tổng có tận giống tổng tất chữ số tận chúng là: 0+1+2+3+ +9=45 Suy chữ số tận tổng S=(a1+1)+ +(a10+10)
S=(a1+a2+ +a10)+(1+2+ +10)=110 có tận Điều giả sử sai Suy đpcm
Câu IX: Cách = − + = − + = − + z c b a y b a c x a c b 2
x,y,z>0
+ = + = + = y x c x z b z y a
áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có
26 52 24 16 12 16 16 16 ≥ ⇒ = + + ≥ + + + + + = + + + + + = P z y y z z x x z y x x y z y x y x z x z y P
Dấu đạt ; 2 = = x z x y = y z
hay 3z=4y=6x Chẳng hạn lấy x=2⇒ y=3; z=4⇒ a=7, b= 6, c=5, lúc P = 26 Vậy GTNN P 26 Cách 2: 29 16 )) ( ) ( ) (( 16 − − + + − + + − + × − + + − + + − + = − − + + + + − − + + + + − − + + + = c b a b c a a c b c b a b c a a c b P c b a c b a b c a c b a a c b c b a P
(4)Đẳng thức xảy
k c b a b c a a c b
1
3
2 =
− + = − + = −
+ , (với k>0), suy a=
5 , ,
7 k
c k b
k = =
cụ thể hơn, chọn: a=7, b=6, c=5 P=26 Câu X:
1 ∆AIB'=∆AIC'⇒∠AIB'=∠AIC'⇒∠MA'B'=∠MA'C'⇒ A'M phân giác tam giác A’B’C’
Tương tự B’N, C’P đường phân giác tam giác A’B’C’ Suy đường A’M, B’N, C’P đồng quy
2 Cách 1: Dựng đường tròn tâm D qua điểm B, I, C Đường tròn cắt ID kéo dài K Từ ∆IBA'~∆IKC' suy r
ID IC IB IC IA IK IB
2
' ⇒ =
= (đpcm)
Cách Ta có BID∆ cân D Gọic E trugn điểm IB Từ ∆IDE'~∆ICA' suy
ra = = = ⇒
' ' 2
' IA
IB IA IE IA
IE IC ID