Bài giảng toán

§6: BÀI TỐN ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH Các nội dung chính: • Ước lượng điểm ước lượng khoảng • Ước lượng khoảng cho kỳ vọng ĐẶT VẤN ĐỀ X chiều cao trung bình nam niên Việt Nam từ độ tuổi 22-26 Hãy ước lượng giá trị 𝜇 +) Thực hành: - Lấy mẫu - Tính: *) trung bình mẫu x → ước lượng điểm 𝜇 *) khoảng (a,b) chứa 𝜇 khoảng 𝜇 → ước lượng 1.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM: ĐỊNH NGHĨA 1.1 Ước lượng điểm tham số tổng thể θ giá trị đơn θˆ ˆ thống kê Θ VD 1.1: Giả sử X biến ngẫu nhiên với trung bình ( ) ( ) tổng thể E X = µ Lấy mẫu x1 ,x2 , ,xn Khi đó, n x = ∑ xi ước lượng điểm µ n i=1 Cùng mẫu ngẫu nhiên cỡ, xây dựng ˆ khác để ước lượng tham số nhiều thống kê Θ tổng thể θ Để đưa kết luận chất lượng θˆ ta dựa vào tiêu chuẩn: - Ước lượng không chệch - Ước lượng hiệu quả: a) Ước lượng không chệch: ĐỊNH NGHĨA 1.2 ˆ gọi ước Thống kê Θ lượng không chệch tham số θ thỏa mãn: ˆ ) =θ µΘˆ = E ( Θ Nhận xét: x ước lượng không chệch µ s ước lượng không chệch σ b) Ước lượng hiệu quả: ĐỊNH NGHĨA 1.2 Xét tất ước lượng không chệch tham số θ , ước lượng có phương sai nhỏ gọi ước lượng hiệu θ HẠN CHẾ: * Khi kích thước mẫu bé ước lượng điểm sai lệch nhiều so với giá trị tham số cần ước lượng * đánh giá khả mắc sai lầm ước lượng 1.2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG: Ước lượng khoảng tham số tổng thể θ khoảng có dạng θˆ L < θ < θˆU cho: P( θˆ L < θ < θˆU ) = − α *) (θˆ L ,θˆU ) gọi khoảng tin cậy ( − α ).100% *) − α gọi độ tin cậy ước lượng *) θˆU − θˆ L gọi độ dài khoảng tin cậy a Ước lượng cho trung bình: TH1 Khoảng tin cậy cho µ , σ biết: Nếu X trung bình mẫu ngẫu nhiên cỡ n từ tổng thể với σ (1 − α ) 100% cho µ là: x − zα / zα / biết, khoảng tin cậy σ n < µ < x + zα / σ n α xác định P(Z > zα / 2) = ; 10 ( x1 − x ) − d Tính t = s p / n1 + / n2 Tra bảng A4, tìm giá trị tới hạn tα α P(T > tα / ) = Miền bác bỏ: ,n1 + n2 − cho Wα = ( −∞,−tα / ⎤⎦ ∪ ⎡⎣ tα / ,∞ ) Kiểm tra: t ∈Wα hay t ∉Wα Kết luận: Bác bỏ chấp nhận giả thuyết VD7: Thống kê sản lượng hàng tháng nhà máy sản xuất đồ chơi 16 tháng sử dụng máy cũ 11 tháng sử dụng máy cho thấy (đơn vị: nghìn sản phẩm): Máy cũ: 99,2 94,5 93,8 102,7 89,2 98,3 101,4 125,8 96,6 89,9 97,2 94 87,3 101,6 89,7 Máy mới: 96,5 105,4 91,2 85 79,6 87,7 90,2 95,6 90 93,8 89,7 91,1 Với mức ý nghĩa 5%, kiểm tra xem thay đổi máy móc có làm thay đổi sản lượng hàng tháng nhà máy hay không? Giả sử phân phối chuẩn, với phương sai CHÚ Ý: ⎧ H : µ1 − µ2 = d0 *) ⎨ ⎩ H1 : µ1 − µ2 > d0 → Wα = tα , n +n −2 , ∞ ⎧ H : µ1 − µ2 = d0 *) ⎨ ⎩ H : µ1 − µ2 < d0 → Wα = −∞, − tα , n +n −2 Trong ( ( ) 2 ) P(T > tα ) = α với bậc tự n1 + n2 − VD8: Thử nghiệm 12 ô tô Volkswagen 10 xe ô tô Toyata chạy với vận tốc 90km/h Với mức tiêu thụ nhiên liệu lít xăng, 12 xe Volkswagen quãng đường trung bình 16km với độ lệch chuẩn 1km, cịn 10 xe tơ Toyata quãng đường trung bình 11km với độ lệch chuẩn 0,8km Sử dụng mức ý nghĩa 0,1, kiểm định giả thuyết qng đường trung bình tiêu thụ lít xăng mà xe Volkswagen lớn 4km so với xe Toyata Giả sử số km mẫu xe có phân phối xấp xỉ chuẩn với phương sai II KIỂM ĐỊNH TỶ LỆ: Một tỷ lệ Hai tỷ lệ 1.Kiểm định tỷ lệ: ⎧⎪ H : p = p0 Đặt toán: ⎨ , ⎪⎩ H : p ≠ p0 Chỉ tiêu kiểm định là: Z = Pˆ − p0 p0 q0 n pˆ − p0 Tính giá trị quan sát: z = p0 q0 n Tra bảng A.3 tìm giá trị tới hạn zα / cho α P(Z < zα / ) =1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Miền bác bỏ: Wα = ⎜ −∞,− z α ⎟ ∪ ⎜ z α ,+∞ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 VD9: Một thẩm mỹ viện cho 90% khách hàng họ hài lòng với chất lượng phục vụ Nghi ngờ điều này, nhà xã hội học vấn 150 khách hàng họ thấy có 132 người trả lời hài lịng Với mức ý nghĩa 5%, nói tun bố thẩm mỹ viện này? CHÚ Ý: Đối với kiểm định phía ⎧ H : p = p0 , miền bác bỏ Wα = ( zα ,+∞ ) ⎨ ⎩ H : p > p0 ⎧ H : p = p0 ⎨ ⎩ H : p < p0 miền bác bỏ Wα = ( −∞ ,− zα ) P(Z < zα ) =1 - α VD10: Điều tra thu nhập hàng năm(triệu đồng) 100 công nhân xí nghiệp A thấy có 10 cơng nhân có thu nhập 6,5 triệu đồng Ở xí nghiệp B, tỷ lệ cơng nhân có thu nhập hàng năm 6,5 triệu đồng 12% Vậy với mức ý nghĩa 0,05 cho tỷ lệ cơng nhân có thu nhập 6,5 triệu xí nghiệp A thấp xí nghiệp B hay khơng? 2.Kiểm định hiệu hai tỷ lệ : ⎧⎪ H : p1 = p2 Đặt toán: ⎨ ⎪⎩ H : p1 ≠ p2 Chỉ tiêu kiểm định: Z = ! ! P1 − P ˆpqˆ ⎡⎣1 / n1 + / n2 ⎤⎦ x1 + x2 ˆp = , qˆ = − ˆp Suy z = n1 + n2 ˆp1 − ˆp2 ⎡1 1⎤ ˆpqˆ ⎢ + ⎥ ⎣ n1 n2 ⎦ Tra bảng A.3 tìm giá trị tới hạn zα / cho α P(Z < zα / ) =1 Miền bác bỏ: Wα = ( −∞; − zα / ⎤⎦ ∪ ⎡⎣ zα / ; +∞ ) VD11: Một bỏ phiếu để xác định vị trí xây dựng nhà máy hóa chất thành phố hay ngoại Có 120 200 cử tri thành phố đồng ý cho xây dựng thành phố 240 500 cử tri ngoại ô đồng ý xây dựng ngoại ô Liệu cho tỷ lệ cử tri thành phố ngoại ô đồng ý với đề xuất không? Sử dụng mức ý nghĩa 0,025? CHÚ Ý: Đối với kiểm định phía ⎧ H : p1 = p2 ⎨ ⎩ H1 : p1 > p2 miền bác bỏ Wα = ( zα ,+∞ ) ⎧ H : p1 = p2 ⎨ ⎩ H1 : p1 < p2 miền bác bỏ Wα = ( −∞ ,− zα ) P(Z < zα ) =1 - α VD12: Bài tập buổi 5: Kiểm định hiệu hai trung bình Kiểm định tỷ lệ ... 16 13 Ước lượng trọng lượng trung bình gà trại với độ tin cậy 95% 19 BÀI TẬP VỀ NHÀ: Buổi 3: Ước lượng trung bình mẫu 20 §7.BÀI TỐN ƯỚC LƯỢNG (TIẾP) +) Ước lượng hiệu hai trung bình +) Ước lượng... cậy 95%, ước lượng tỷ lệ người hút thuốc giảm năm vận động BÀI TẬP VỀ NHÀ: Buổi 4: - Ước lượng trung bình( tiếp) - Ước lượng tỷ lệ §8 BÀI TỐN KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ +) Các khái niệm +)... , H1 : µ ≠ 450 GIẢ THUYẾT LẤY MẪU KIẾM ĐỊNH GIẢ THUYẾT BÁC BỎ GIẢ THUYẾT CHẤP NHẬN GIẢ THUYẾT BÀI TOÁN Cần kiểm định giả thuyết H0 Giả sử H0 Dựa vào mẫu ngẫu nhiên tổng quát số dương α bé cho