Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá (1), bieát tieáp tuyeán ñoù caét truïc hoaønh, truïc tung laàn löôït taïi hai ñieåm phaân bieät A, B vaø tam giaùc OAB caân taïi goá[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
- Mơn: TỐN; Khối: A
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho haøm số y = x 2x
(1)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O
Câu II(2,0 điểm)
1 Giải phương trình
(1 2sin x)cos x
3 (1 2sin x)(1 sin x)
.
2 Giải phương trình : 3x 5x 03 (x R)
Caâu III (1,0 điểm) Tính tích phân
2
3
0
I (cos x 1) cos xdx
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB =
AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu V(1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x+y+z) = 3yz, ta có
(x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)
5(y + z)3 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh làm phần (phần A B) A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) giao điểm đường chéo AC BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y – z – = mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường trịn
Câu VII.a(1,0 điểm). Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z2+2z+10=0 Tính giá trị của
biểu thức A = z12 + z22
B Theo Chương trình Nâng Cao
Câu VI.b(2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = đường thẳng : x + my – 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để cắt (C) điểm phân biệt A B cho diện tích IAB lớn
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – = đường thẳng
1 :
x y z
1
; 2 :
x y z
2
Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
nhau
Câu VII.b(1,0 điểm)
Giải hệ phương trình :
2
2
2
x xy y
log (x y ) log (xy) 81
(x, y R)
(2)
Họ tên thí sinh:……… ; Số báo danh:……… BÀI GIẢI GỢI Ý
Phần chung: Caâu I.
1
/
2
3
\ , 0,
2 (2 3)
D y x D
x
Suy hàm số giảm khoảng xác định khơng có cực trị
3
2
lim , lim
x x
y y
TCĐ:
x
1
lim :
2
x y TCN y
2 Tam giác OAB cân O nên tiếp tuyến song song với hai đường thẳng y = x y = -x Nghĩa là:
f’(x0) = 1
2
1
1 (2x 3)
0
0
x y
x y
1 : y – = -1(x + 1) y = -x (loại) 2 : y – = -1(x + 2) y = -x – (nhận) Câu II.
1 ĐK:
1 sin
2
x
, sinx ≠
1 2sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin 2sin cos sin sin2 cos
Pt x x x x
x x x x x
x x x x
1 3
cos sin s in2 cos cos cos
2 2
x x x x x x
2 2
3 6
x x k hay x x k
2 x k
(loại)
2
18
x k
, k Z (nhaän)
2 3x 5x 03 , điều kiện :
6
6
5
x x
Đặt t = 33x 2 t3 = 3x –
x =
3
t
vaø – 5x =
8 5t
Phương trình trở thành :
3
8 5t
2t
3
3
8 5t
3 2t
3
3
t
15t 4t 32t 40 0
t = -2 Vậy x = -2 Câu III.
-2 3
1
0 x
y
2/3
+∞
1
+∞
-∞
y y/ x
-∞
2
(3)-
2 2
3
0 0
2 2
4 2
1
0 0
cos cos cos cos
cos cos sin cos 2sin sin cos
sin cos
I x xdx xdx xdx
I x xdx x xdx x x xdx
t x dt xdx
Đổi cận: x= t = 0; x =
t =
1
1
2
1
0
2 2 2 2
2
0
0 0
2
3
0
2
1
3 15
1 cos 1 1
cos cos sin
2 2 4
8 cos cos
15
t t
I t t dt t
x
I xdx dx dx xdx x x
I x xdx
Câu IV Từ giả thiết tốn ta suy SI thẳng góc với mặt phẳng ABCD, gọi J trung điểm
BC; E hình chiếu I xuống BC
2a a 3a IJ
2
SCIJ
2
IJ CH 3a 3a a
2 2
, CJ=
BC a
SCIJ
2
3a 1 3a 3a 6a 3a
IE CJ IE SE ,SI
4 CJ 5
,
3
1 3a 3a 15
V a 2a 2a
3 5
Caâu V x(x+y+z) = 3yz
y z y z
x x x x
Đặt 0, 0,
y z
u v t u v
x x
.Ta có
2 2
2
1 3 3 4 2
2
u v t
t uv t t t t t
Chia hai vế cho x3 bất đẳng thức cần chứng minh đưa về
1u31v33 1 u 1v u v 5u v 3
3 2 3
3 3
3 3 3 2
2 1 1 1
2 1 6(1 )
1
2 6 2
3
t u v u v u v t t
t u v t t u v uv t
t
t t t t t t t t t
Đúng t
Phần riêng:
A B
D C
I J
(4)A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a 1 I (6; 2); M (1; 5)
: x + y – = 0, E E(m; – m); Gọi N trung điểm AB
I trung điểm NE
N I E
N I E
x 2x x 12 m
y 2y y m m
N (12 – m; m – 1)
MN
= (11 – m; m – 6); IE = (m – 6; – m – 2) = (m – 6; – m)
MN.IE 0
(11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = m – = hay 14 – 2m = m = hay m =
+ m = MN
= (5; 0) pt AB laø y =
+ m = MN
= (4; 1) pt AB laø x – – 4(y – 5) = x – 4y + 19 =
2 I (1; 2; 3); R = 11 5
d (I; (P)) =
2(1) 2(2) 4
< R = Vậy (P) cắt (S) theo đường trịn (C)
Phương trình d qua I, vng góc với (P) :
x 2t y 2t z t
Gọi J tâm, r bán kính đường trịn (C) J d J (1 + 2t; – 2t; – t)
J (P) 2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – + t – = t =
Vậy tâm đường tròn J (3; 0; 2)
Bán kính đường trịn r = R2 IJ2 25 9 4
Câu VII.a.’ = -9 = 9i2 phương trình z = z1 = -1 – 3i hay z = z2 = -1 + 3i
A = z12 + z22 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 B Theo Chương trình Nâng Cao
Caâu VI.b 1 (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = có tâm laø I (-2; -2); R = 2
Giả sử cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Kẻ đường cao IH ABC, ta có
SABC =
IA.IB.sin AIB
2 = sinAIB
Do SABC lớn sinAIB = AIB vuông I
IH = IA
1
2 (thoûa IH < R)
1 4m
m
– 8m + 16m2 = m2 + 15m2 – 8m = m = hay m = 15
2 M (-1 + t; t; -9 + 6t) 1; 2 qua A (1; 3; -1) có véctơ phương a
= (2; 1; -2)
AM
= (t – 2; t – 3; 6t – 8) AM a
= (14 – 8t; 14t – 20; – t) Ta coù : d (M, 2) = d (M, (P))
2
261t 792t 612 11t 20
35t2 - 88t + 53 = t = hay t = 53
35 Vaäy M (0; 1; -3) hay M
18 53 ; ; 35 35 35
Caâu VII.b Điều kiện x, y >
2
2 2
2
log (x y ) log log (xy) log (2xy)
x xy y
2
2
x y 2xy
x xy y
2
(x y) xy
x y xy
x y
hay
x
y
(5)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
- Môn: TỐN; Khối: B
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Với giá trị m, phương trình
2
x x m
(6)Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình sin x cos x sin 2x cos3x 2(cos 4x sin x)
2 Giải hệ phương trình 2 xy x 7y
(x, y ) x y xy 13y
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
3
2
3 ln x
I dx
(x 1)
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vng C BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B’
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a
Câu V (1,0 điểm)
Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức
A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh làm phần (phần A B) A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) :
2
(x 2) y
hai đường thẳng 1 : x – y = 0, 2 : x – 7y = Xác định toạ độ tâm K tính bán kính đường trịn (C1);
biết đường trịn (C1) tiếp xúc với đường thẳng 1, 2 tâm K thuộc đường trịn (C)
2 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P)
Câu VII.a (1,0 điểm)
Tìm số phức z thoả mãn : z (2 i) 10 z.z 25 B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(-1;4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – = Xác định toạ độ điểm B C , biết diện tích tam giác ABC 18
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ
Câu VII.b (1,0 điểm)
Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số
2
x
y x
điểm phân biệt A, B cho AB =
-Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm. Họ tên thí sinh:……… ; Số báo danh:………
BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I.
1 y = 2x4 – 4x2 TXĐ : D = R
y’ = 8x3 – 8x; y’ = x = x = 1; xlim
x 1 + y' + +
y + + 2 CĐ 2
2
x y
1
2
(7)CT CT y đồng biến (-1; 0); (1; +)
y nghịch biến (-; -1); (0; 1) y đạt cực đại x = y đạt cực tiểu -2 x = 1
Giao điểm đồ thị với trục tung (0; 0)
Giao điểm đồ thị với trục hoành (0; 0); ( 2;0) x2x2 – 2 = m 2x2x2 – 2 = 2m (*)
(*) phương trình hồnh độ giao điểm (C’) : y = 2x2x2 – 2 (d): y = 2m
Ta có (C’) (C); x - hay x
(C’) đđối xứng với (C) qua trục hoành - < x < Theo đồ thị ta thấy ycbt < 2m < < m < Câu II.
1 sinx+cosxsin2x+ cos 3x 2(cos 4x si n x)
3 3sin x sin 3x
sin x sin 3x cos3x 2cos 4x
2 2
sin 3x cos3x cos 4x
1
sin 3x cos3x cos 4x
2
sin sin 3x cos cos3x cos4x
6
cos 4x cos 3x
4x 3x k2 x k2
6
2
4x 3x k2 x k
6 42
2 2
xy x 7y x y xy 13y
y = hệ vô nghiệm
y hệ
2
2
x
x
y y
x
x 13
y y
Đặt a = x
y
; b =
x y
2
2
1 x
a x
y y
2
2
1
x a 2b
y
Ta có hệ a b a b 13
2
a b a a 20
a b 3 hay
a
b 12 Vậy
1
x
y x
3 y
hay
1
x
y x
12 y
2
x 4x
x 3y hay
2
x 5x 12
x 12y (VN)
x 1 y
3
hay
x y 1 Câu III :
x y
1
0
2
(C’)
(8)3 3
2 2
1 1
3
1
1
3
2
1
3 ln x dx ln x
I dx dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3
I
(x 1) (x 1) ln x
I dx
(x 1)
Đặt u = lnx
dx du
x
2
dx
dv
(x 1)
Chọn
1 v
x
3 3
2
1 1
ln x dx ln dx dx ln 3
I ln
x x(x 1) x x
Vậy :
I (1 ln 3) ln
Câu IV.
BH=
a ,
2
3
3 2
BH a a
BN
BN ;
3 '
2
a
B H
goïi CA= x, BA=2x, BCx
2
2 2
2
CA
BA BC BN
2 2
2
3
4
a x
x x
2
2
52
a x
Ta có:
3
' '
2
a
B H BB
V=
2
2
1 9
3
3 2 12 52 208
a a a a
x
Câu V :
3
3
2
(x y) 4xy
(x y) (x y) x y
(x y) 4xy
2
2 (x y)
x y
2
dấu “=” xảy :
1 x y
2
Ta có :
2 2
2 (x y )
x y
4
4 2 2 2 2 2
A x y x y 2(x y ) (x y ) x y 2(x y ) 1
2 2
2 2 2
2 2 2
(x y )
3 (x y ) 2(x y )
4
(x y ) 2(x y )
Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥
1
C A
B
(9)2
9
f (t) t 2t 1, t
4
9
f '(t) t t
2
1
f (t) f ( ) 16
Vậy :
9
A x y
16
Câu VIa.
1 Phương trình phân giác (1, 2) :
x y x 7y
2
1
2
5(x y) (x 7y)
y 2x :d 5(x y) x 7y
1
5(x y) x 7y y x : d
2
Phương trình hồnh độ giao điểm d1 (C) : (x – 2)2 + (– 2x)2 =
4 25x2 – 20x + 16 = (vơ nghiệm)
Phương trình hồnh độ giao điểm d2 (C) : (x – 2)2 +
2
x
2
2
25x 80x 64
x =
8
5 Vậy K
; 5
R = d (K, 1) = 2
5
2 TH1 : (P) // CD Ta có : AB ( 3; 1; 2), CD ( 2; 4;0)
(P)có PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7) (P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1)
4x 2y 7z 15
TH2 : (P) qua I (1;1;1) trung điểm CD Ta có AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0)
(P) có PVT n (2;0;3)
(P) :2(x 1) 3(z 1) 2x 3z
Câu VIb
1 4
AH
2
1 36 36
S AH.BC 18 BC
9
2 AH
2
Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) =
x y
H : H ;
x y 2
(10)2 2
2
2
BC
HB m m
4 2
7 11
m
7 2
m
7
2
m
2
Vậy 1 2
11 3 5 11
B ; C ; hay B ; C ;
2 2 2 2
2 AB (4; 1;2); nP (1; 2;2)
Pt mặt phẳng (Q) qua A // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = x – 2y + 2z + = Gọi đường thẳng qua A
Gọi H hình chiếu B xuống mặt phẳng (Q) Ta có : d(B, ) BH; d (B, ) đạt qua A H
Pt tham số
x t BH: y 2t
z 2t
Tọa độ H = BH (Q) thỏa hệ phương trình : x t, y 2t,z 2t
x 2y 2z
10 t
9
H 11 7; ; 9
qua A (-3; 0;1) có VTCP
1
a AH 26;11;
9
Pt () :
x y z
26 11
Câu VII.a. Đặt z = x + yi với x, y R z – – i = x – + (y – 1)i z – (2 + i)= 10 z.z 25
2
2
(x 2) (y 1) 10
x y 25
2
4x 2y 20 x y 25
2
y 10 2x x 8x 15
x y 4 hay
x y 0
Vậy z = + 4i hay z = Câu VII.b.
Pt hoành độ giao điểm đồ thị đường thẳng :
2
x
x m x
2x2 – mx – = (*) (vì x = khơng nghiệm (*))
Vì a.c < nên pt ln có nghiệm phân biệt
Do đồ thị đường thẳng ln có giao điểm phân biệt A, B AB = (xB – xA)2 + [(-xB + m) – (-xA + m)]2 = 16 2(xB – xA)2 = 16
(xB – xA)2 =
2
m
8
m2 24
(11)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
- Mơn: TỐN; Khối: D
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:180 phút, khơng kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị (C
m), m tham số
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m =
2 Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình cos5x 2sin 3x cos2x sin x 0
2 Giải hệ phương trình
2
x(x y 1)
(x y)
x
(x, y R)
Câu III (1,0 điểm).
Tính tích phân
3 x
dx I
e
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)
Câu V (1,0 điểm).
Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x – 2y – = 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P)
Câu VII.a (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
z 4i 2
B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = Gọi I tâm của
(C) Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) cho IMO = 300
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
x y z
1 1
và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vuông góc với đường thẳng
(12)Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số
2
x x
y
x
hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung
-Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm. Họ tên thí sinh:……… ; Số báo danh:………
BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I m = 0, y = x4 – 2x2 TXĐ : D = R
y’ = 4x3 – 4x; y’ = x = x = 1; xlim
x 1 + y' + +
y + + 1 CĐ 1
CT CT y đồng biến (-1; 0); (1; +)
y nghịch biến (-; -1); (0; 1) y đạt cực đại x = y đạt cực tiểu -1 x = 1
Giao điểm đồ thị với trục tung (0; 0)
Giao điểm đồ thị với trục hoành (0; 0); ( 2;0)
2 Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = -1
x4 – (3m + 2)x2 + 3m = -1
x4 – (3m + 2)x2 + 3m + = x = 1 hay x2 = 3m + (*)
Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ phương trình
(*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 <
0 3m 3m 1
1
m
m
Câu II 1) Phương trình tương đương :
3 cos5x (sin 5x sin x) sin x 0 cos5x sin5x 2sin x
3
cos5x sin 5x sin x
2 sin 5x sin x
5x x k2
hay 5x x k2
6x k2
3
hay
2
4x k2 k2
3
x k
18
hay x k2
(k Z) 2) Hệ phương trình tương đương :
2 2
2
2
x(x y 1)
x(x y) x
x (x y) x (x y)
x
ĐK : x ≠ 0
Đặt t=x(x + y) Hệ trở thành:
2 2
t x t x t x t x
t x (t x) 2tx tx x t
Vậy
3
x(x y) x(x y) y y
2
x x x 2 x
1 x
y
(13)Câu III :
3 x x 3 x 3
x
x x 1
1 1
1 e e e
I dx dx dx ln e
e e
2 ln(e31) ln(e 1) 2 ln(e2 e 1)
Câu IV.
2 9 4 5 5
AC a a a AC a
2 5 2 4 2
BC a a a BC a
H hình chiếu I xuống mặt ABC Ta có IH AC
/ /
/
1
2 3
IA A M IH a
IH
IC AC AA
3
1 1 4
2
3 3
IABC ABC
a a
V S IH a a
(đvtt)
Tam giác A’BC vuông B Nên SA’BC=
2
1
52
2a a a
Xét tam giác A’BC IBC, Đáy /
/
2 2
5
3 IBC A BC
IC A C S S a
Vaäy d(A,IBC)
3
3 2
3
9 5
IABC IBC
V a a a
S a
Câu V. S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy
= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy
= 16x2y2 – 2xy + 12
Đặt t = x.y, x, y x + y = nên t ¼ Khi S = 16t2 – 2t + 12
S’ = 32t – ; S’ = t = 16
S(0) = 12; S(¼) =
25 ; S (
1 16) =
191
16 Vì S liên tục [0; ¼ ] nên :
Max S = 25
2 x = y =
Min S =
191 16
2
x
2
y
hay
2
x
2
y
PHẦN RIÊNG
Câu VI.a.
1) Gọi đường cao AH : 6x – y – = đường trung tuyến AD : 7x – 2y – = A = AH AD A (1;2)
M trung điểm AB B (3; -2)
BC qua B vuông góc với AH BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = x + 6y + = D = BC AD D (0 ;
3
) D trung điểm BC C (- 3; - 1)
AC qua A (1; 2) có VTCP AC ( 4; 3)
nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 3x – 4y + =
/
A
A
C I
M
B
H
(14)2) AB qua A có VTCP AB ( 1;1; 2)
nên có phương trình :
x t
y t (t ) z 2t
D AB D (2 – t; + t; 2t)
CD (1 t; t ;2t) Vì C (P) nên : CD //(P)CD n( P)
1(1 t) 1.t 1.2t t
Vậy :
5 D ; ;
2
Câu VI.b (x – 1)2 + y2 = Tâm I (1; 0); R = 1
Ta có IMO = 300, OIM cân I MOI = 300
OM có hệ số góc k =
0
tg30 =
1
+ k =
3 pt OM : y= x
3 thế vào pt (C)
2
2 x
x 2x
3
x= (loại) hay x
2
Vậy M
3
;
2
Cách khác:
Ta giải hình học phẳng OI=1, IOM IMO300
, đối xứng ta có điểm đáp án đối xứng với Ox
H hình chiếu M xuống OX Tam giác OM H1 nửa tam giác OI=1 =>
3 3 3
,
2 3
OH OM HM
Vaäy
3 3
, , ,
2 2
M M
2 Gọi A = (P) A(-3;1;1)
a (1;1; 1)
; n(P)(1;2; 3)
d đđi qua A có VTCP ad a , n (P) ( 1;2;1)
nên pt d :
x y z
1
Câu VII.a Gọi z = x + yi Ta có z – (3 – 4i) = x – + (y + 4)i
Vậy z – (3 – 4i) = (x 3) 2(y 4) 2 (x – 3)2 + (y + 4)2 =
Do đđó tập hợp biểu diễn số phức z mp Oxy đường trịn tâm I (3; -4) bán kính R =
Câu VII.b pt hoành độ giao điểm :
2
x x
2x m x
(1)
x2 + x – = x(– 2x + m) (vì x = khơng nghiệm (1)) 3x2 + (1 – m)x – = 0
phương trình có a.c < với m nên có nghiệm phân biệt với m Ycbt S = x1 + x2 =
b a
= m – = m =
O I
1
M
2
M