Bài giảng DE_4THI_HSG

THCS NGA THANH Câu 1 (4điểm) a. Thực hiện phép tính A = 324 144 6561 9 1 + b. Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là : 17 ; 15 + ; 53 Câu 2: ( 4,0 điểm) 1) Thực hiện phép tính: A = + + + 9 8 25 1931 . 3862 11 1931 7 : 34 33 17 193 . 386 3 193 2 2) Chứng minh rằng: B = 2 1 99.9898.9797.96 4.33.22.1 1.982.973.96 96.397.298.1 = ++++++ ++++++ Câu 3 ( 4,0 điểm) 1) cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p 2 + 2009 là hợp số. 2) Tìm x, y biết : ( 2x 5) 2008 + ( 3y + 4) 2010 0 Câu 4 ( 2 điểm): Cho a,b,c ,d là 4 số khác 0 thoả mãn b 2 = ac và c 2 = bd. Chứng minh rằng: d a dcb cba = ++ ++ 333 333 Câu 5 ( 6,0 điểm): Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm M sao cho NA = BA và NAB = 90 0 .trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm M sao cho MA = CA và MAC = 90 0 . 1) Chứng minh rằng: a) NC = BM b) NC BM. 2) Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với BC và cắt MN tại K. chứng minh rằng K là trung điểm của đoạn thẳng MN. ®¸p ¸n biÓu ®iÓm m«n to¸n líp 7 C©u 1 ( 4 ®iÓm) 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh (2®iÓm) A = 2 2 18 12 81 9 1       + (0,5 ®iÓm) = 18 12 81. 9 1 + (0,5 ®iÓm) = 9 + 3 2 (0,5 ®iÓm) = 9 3 2 (0,5 ®iÓm) 2. Cã hay kh«ng mét tam gi¸c víi ®é dµi ba c¹nh lµ : 17 ; 15 + ; 53 (2®iÓm) Trong ba sè 17 ; 15 + ; 53 th× 53 lµ sè lín nhÊt. VËy nÕu 17 + 15 + > 53 th× sÏ tån t¹i mét tam gi¸c víi ®é dµi ba c¹nh lµ 17 ; 15 + ; 53 (1 ®iÓm ) ThËt vËy : 17 > 416 = 15 + > 314 =+ => 17 + 15 + > 7 = 49 > 45 = 53 (1 ® ) C©u 2 ( 4 ®iÓm) 1) ( 2 ®iÓm) A =       +       + 2 9 25 1931 . 3862 25 : 34 33 17 193 . 386 1 ( 0,5®+ 0,5 ®) A =       +       + 2 9 2 1 : 34 33 34 1 ( 0,25 ® + 0,25 ®) A = 5 1 ( 0,5 ®) 2) ( 2 ®iÓm) Cã 1.98 + 2.07 + 3.96 + + 96.3 + 97.2+ 98.1…… = ( 1 + 2 +3 + .+ 96+97+98) + (1+2+3+ + 96+97)+ .+ (1+2)+1 ( 1 ®iÓm)… … … = 2 99.98 + 2 98.97 + .+ … 2 3.2 + 2 2.1 ( 0,5 ®iÓm) = 2 99.9898.97 3.22.1 ++++ ( 0,25 ®iÓm) => B = 99.9898.9797.96 .4.33.22.1 1.982.973.96 .96.397.298.1 ++++++ ++++++ = 2 1 ( 0,25 ®iÓm) Câu 3 ( 4,0 điểm): 1) ( 2 điểm) * Có p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p không chia hết cho 3. ( 0,5 điểm) => p 2 = 3k + 1 ( k là số tự nhiên lớn hơn 7) ( 0,25 điểm) => p 2 + 2009 = 3k + 2010 ( 0,25 điểm) * Có 2010 3 ( 0,25 điểm) 3k 3 => p2 + 2009 3 ( 0,25 điểm) Mà p 2 + 2009 là số tự nhiên lớn hơn 3 ( 0,25 điểm) p 2 + 2009 là hợp số. ( 0,25 điểm) 2) ( 2 điểm) * Theo tính chất luỹ thừa bậc 2 ta có: ( 2x 5) 2008 0 ( 0,25 điểm) (3y + 2x ) 2010 0 ( 0,25 điểm) => ( 2x - 5) 2008 + ( 3y + 4) 2010 0 (1) ( 0,25 điểm) * Mà ta có (2x -5) 2008 +(3y+4) 2010 0 (2) ( 0,25 điểm) * Từ (1) và (2) ta có : (2x -5) 2008 +(3y+4) 2010 = 0 ( 0,25 điểm) 2x-5 = 0 x = 5/2 ( 0,25 điểm) 3y +4 = 0 y = - 4/3 ( 0,25 điểm) * Vậy x= 5/2 và y = -4/3 ( 0,25 điểm) Câu 4 ( 2 điểm) Ta có b 2 = ac và b,c 0 => b a c b = (1) ( 0,25 điểm)+ ( 0,25 điểm) Tơng tự ta có : d c c b = (2) ( 0,25 điểm) * Từ (1) và (2) ta có : d c c b b a == ( 0,25 điểm) * Đặt d c c b b a == = k ( k 0 do a,b,c 0) Có k 3 = d a d c c b b a = (3) ( 0,25 điểm) K 3 = 333 333 3 3 3 3 3 3 dcb cba d c c b b a ++ ++ === (4) ( 0,25 điểm) +( 0,25 điểm) * Từ (3) và (4) ta có d a dcb cba = ++ ++ 333 333 ( 0,25 điểm) Câu 5 (6 điểm) ( Không cho điểm hình vẽ; hình vẽ sai không chấm) 1a) N M P K H Q I C B A Ta có AN, AC nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB (gt) NAB và CBA kề nhau. Có NAB = 90 0 (gt) => Tia AB nằm giữa AN và AC. CAB < 90 0 (gt) => NAB + CAB < 180 0 => NAB + CAB = 90 0 + CAB = NAC (1) (0,5 điểm) Chứng minh tơng tự có: 90 0 + CAB = NAC (2) (0,25 đ) * Từ (1) và (2) ta có NAC = BAM (0,25 đ) * Xét NAC và có: + AN = AB (gt) + NAC = BAM (cmt) => C = ( c.g.c) (0,75 đ) + AC = AM (gt) => NC = BM ( đpcm) (0,25 đ) 1b) Gọi giao điểm của NC với BM là I, giao điểm của Ac với BM là T. Ta có NAC = BAM ( cmt) => CAN = AMB hay TCI = TMA (0,5 đ) * Mà CTI = MTA ( hai góc đối đỉnh) (0,5 đ) T => MAT = CIT ( Tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 0 ) (0,5 đ) Mà MAT = 90 0 (gt) (0,25 đ) => CIT = 90 0 hay NC BM ( đpcm) (0,25 đ) 2) * Gọi giao điểm của AK với BC là H. kẻ MP vuông góc với AK tại P Kẻ NQ vuông góc với AK tại Q. Chứng minh đợc NQA = AHB ( cạnh huyền- góc nhọn) => NQ = AH (3) (0,5 đ) Chứng minh tơng tự có MP = AH (4) (0,25 đ) * Từ (3) và (4) ta có NQ = MP. (0,25 đ) * Chứng minh đợc NQK = MPK (g.c.g) => NK = MK. (0,5 đ) Mà N, M, K thẳng hàng (gt) (0,25 đ) => K là trung điểm của MN (đpcm) (0,25 đ) Chú ý: Các cách làm khác đúng, phù hợp chơng trình lớp 7 vẫn cho điểm tối đa theo từng bớc.