Huong dan giai de thu vao Dai hoc cao dang nam 2009

[r]

Đề 7:

( Biên soạn theo định hướng đề Bộ GD&ĐT năm học 2008 – 2009) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

CâuI: (2điểm) Cho hàm số  

3

2 x

x m

y

m m

 



  có đồ thị (C

m) (m tham số)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m =

2) Xác định m cho đường thẳng (d): y =  x + m cắt đồ thị (C) hai điểm A, B cho độ dài đoạn AB ngắn

Câu II: (2 điểm) 1) Giải ph.trình sinx cosx 4sin 2x 1 

2) Tìm m để hệ phương trình:  

2

2

2 x y x y

m x y x y

   

 

  



 có ba nghiệm khác nhau.

Câu III: (1 điểm) Tính tích phân

1

3

0

1 x

I x  x d

; J =  

x ln x

e x

x

xe

d x e

 



Câu IV: (1điểm)

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a điểm M cạnh AB cho AM = x, (0< x < a)

Mặt phẳng (MA'C') cắt BC N Tính x theo a để thể tích khối đa diện MBNC'A'B'

3thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D'

Câu V: (1 điểm) Cho x, y hai số dương thay đổi thõa điều kiện 4(x + y) – = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S =

4 x y .

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) ( Thí sinh làm hai phần (phần phần 2)

1 Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đ.thẳng 1: 3x + 4y + = 0; 2: 4x – 3y – = Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng : x – 6y – 10 = tiếp xúc với 1, 2

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp A.OBC, A(1; 2; 4), B thuộc Ox có hồnh độ dương, C thuộc Oy có tung độ dương Mặt phẳng (ABC ) vng góc với mặt phẳng (OBC), tanOBC 2 Viết phương trình tham số đường thẳng BC.

Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình:    

2 2 2 7 4 0

z  i z  i  tập số phức. 2 Theo chương trình Nâng cao :

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M1(155; 48), M2(159; 50), M3(163; 54), M4(167; 58), M5(171; 60) Lập phương trình đường thẳng y = ax + b qua điểm M(163; 50) cho đường thẳng gần điểm cho

2 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2 ; ; 0), C(0 ; ; 0) S(0 ; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B mpOxy cho tứ giác OABClà hình chữ nhật Viết ph.trình mặt cầu qua bốn điểm O, B, C, S

Câu VII.b (1 điểm) Chứng minh :

4

8a  8a  1

, với a thuộc đoạn [-1 ; 1] -Hết

HƯỚNG DẪN GIẢI I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

CâuI: (2điểm)

1) Hàm số viết lại:

1 2x x y 

(các bước khảo sát HS tự làm) BBT:

2) + Đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt  2x x

x m 

 

có hai nghiệm phân biệt khác   

2

2x  2 m x 0 có hai nghiệm phân biệt

  

2

1 2m

     ( m)

+ Gọi A(xA, yA), B(xB, yB) giao điểm (d) (C) Theo Viet ta có

2

2

2

A B

A B

m x x

x x

 

 

  

 

 

+ AB =

2 12

4 2

m

 

Dấu "=" xảy 

1 m

Suy : AB ngắn 

1 m

Câu II: (2 điểm)

1) Đặt t sinx cosx ,t 0 sin2x = – t2 Phương trình viết lại: t – t2 =  (t = 0, t = 1)

ĐS: x k x l; 2, ,k l Z

 



   

2) + Hệ 

   

2

1 0(1)

2

m x m x m

x y

x

      



 

 



 .

+ Khi m = hệ 

2

2

2x ( )

VN x

y x

  



 

 



 + Khi m ≠ Đặt t = x2 , t 0. + Xét f t   m 1t22m 3t2m 0(2)

Điều    (0) 2 f m m S m              .

Câu III: (1 điểm)

+ Tính

1

3

0

1 x

I x  x d

Đặt: t  1 x2  t2 1 x2  t td xdx

Đổi cận x =  t = 1; x =  t = Khi đó:

  15 I t t dt 

+ Tính J =   x ln x e x x xe d x e   

Ta có:  

1 ln x x x xe e x    

Do đó: J =  

 

1

1

ln x

1

x ln ln x ln

ln x ln x

x

e x e e e

x x x d e xe e d e e e x e            Câu IV: (1điểm)

Ta có A'M, B'B, C'N đồng quy S Kí hiệu: V1 – thể tích tứ diện SBMN V2 - thể tích tứ diện SB'A'C'

V- thể tích khối đa diện MBNC'A'B'

Dễ thấy thể tích khối lập phương cạnh a a3.

Ta có

 

'

a a x SB a x

SB

SB a x

 

  

, (0< x < a)

Ta có:

3

2

V a x

V a



 

 

  Mà

4

2 ' ' '

1

'

3 A B C 6x

a V  S SB 

Suy ra:

3 1 6x a x V a      

  ; Do đó:

3

4

2 1 1 1

6

a x a x x

V V V

x a a a

         

                

       

   

Theo đề V =

2

3

3

1

1 1 1

3

a x x x x

a a

a a a a

                                       (*) Đặt :

1 x ,

t t

a

 

   

  ( 0< x < 0), phương trình (*) viết lại: t2 + t – =  t =  

5

Câu V: (1 điểm)

Ta có: 4(x + y)-5 =  4y = – 4x  S =

4 

x y =

20 15 (5 )

 

x

x x , với < x <

5

4  S =

2

2

60 160 100 (5 )

  



x x

x x

Kết luận: MinS = đạt x = 1, y =

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) ( Thí sinh làm hai phần (phần phần 2)

1 Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a (2 điểm)

3) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đ.thẳng 1: 3x + 4y + = 0; 2: 4x – 3y – = Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng : x – 6y – 10 = tiếp xúc với 1, 2

4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp A.OBC, A(1; 2; 4), B thuộc Ox có hồnh độ dương, C thuộc Oy có tung độ dương Mặt phẳng (ABC ) vng góc với mặt phẳng (OBC), tanOBC 2 Viết phương trình tham số đường thẳng BC.

Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình:    

2 2 2 7 4 0

z  i z  i  tập số phức. (Phần HS tự giải)

2 Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b (2 điểm)

1) Đường thẳng y = ax + b gần điểm cho Mi(xi; yi), i = 1, , điều kiện cần

 

5 2

1

( ) i

i

f a y y



 

bé nhất, yi axi b.

Đường thẳng y = ax + b qua điểm M(163; 50)  50 = 163a + b phương trình đường thẳng trở thành y = ax -163a + 50

Từ đó:      

2 2

( ) 48 155a 163a 50 50 159a 163a 50 54 163a 163a 50

f a             +

58 167a 163a 502 60 171a 163a 502 8a 22 4a2 42 8 4a2 10 8a2

               

=

 

2 80a 129a 92

  

.(P)

f(a) bé đạt hoành độ đỉnh parabol(P)  a = 129

160 b= 50-163a=

13027 160 

Đáp số:

129 13027 160 160 y x

+ Đường thẳng vng góc với mp(OCB) H cắt mặt phẳng trung trực đoạn OS (mp có phương trình z = ) I  I tâm mặt cầu qua điểm O, B, C, S

+ Tâm I(1; 2; 2) bán kính R = OI = 2 222 3. + Phương trình mặt cầu cần tìm là:      

2 2

1 2

x  y  z  Câu VII.b (1 điểm) Chứng minh :

4

8a  8a  1

, với a thuộc đoạn [-1 ; 1]

Đặt: a = sinx, đó:

4

8a  8a  1 1 8sin2xsin2x1 1   8sin 2xcos2x 1



2 2

1 8sin xcos x  1 2sin 2x 1   cos4x 1

( với x) ( bạn đọc dùng pp đồ thị pp khác để giải)