Đề số 6 Thi tuyển sinh đại học, cao đẳng 2010 môn toán

Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị C, biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của C đến tiếp tuyến  là lớn nhất.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số y ..[r]

ĐỀ THAM KHẢO SỐ 06 THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2010 Môn TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I ( 2.0 điểm ) 2x x2 Viết phương trình tiếp tuyến  đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng (C) đến tiếp tuyến  là lớn x0 + Giả sử M  x0 ; y0   (C )  y0  x0  x0 + Tiếp tuyến (C) M là  : y  , tâm đối xứng (C) là I  2;  x  x0    x0   x0   Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y  + Ta có  : x   x0   y  x02   d  I ,    x0   x0    16 + AD bất đẳng thức Cauchy cho  x0    , 16 ta  x0  2  16  16  x0     x0     d  I ,    x0  2  16  2 x0   x0   2 Dấu “=” xảy   x0    16    x0  4  x0    16 x0  + Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y  x và y  x  Câu II ( 2.0 điểm )   4cos 2 x   Giải phương trình tan  x   tan  x    (1) 4  tan x  cot x   3        k ; x   k ; x   k ; x  k k   + ĐK: x  8 2 + Ta có 4cos2 x  tan x 4  1       tan x  1  (1)  2 tan x  cot x tan x  tan x tan x tan x     k   + So với điều kiện, ta có phương trình vô nghiệm 2y   x2  y 1  x   Giải hệ phương trình  (I) x 2 x  y   22  y  tan x   x   k  x  k x y u  3 u     1 ; + Giải hệ  u v phép thế, ta  v  v  u  21  4v  4  14   14  106; 106  ,   106;  106  + KQ: Hệ (I) có nghiệm  x; y    3;1 ,  3; 1 ,  53 53  53   53  + ĐK: x  0; y  0; x2  y   Đặt u  x  y  , v  Page Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 (TCT) Lop12.net Câu III ( 1.0 điểm ) Tính tích phân I   ln x dx x 1 u  ln x 8 u '  x 1  I  x  1.ln x  dx  6ln8  4ln  2J (1) + Đặt  Ta có:    v '  x v  x    x 1    x  t  + Đặt t  x   dx  2tdt và x  t  , ta có:    x  t    2t 1   + Khi đó J   dt      dt   ln  ln t 1 t 1 t 1  2 + Vậy: I  20ln  6ln  Câu IV ( 1.0 điểm ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 60 Mặt phẳng (P) chứa AB và qua trọng tâm G tam giác SAC, cắt SC và SD M và N Tính thể tích khối chóp S.ABMN theo a + Gọi O là tâm hình vuông ABCD; I, J là trung điểm AB, CD; K là giao điểm IG 3a và SJ Tính S ABMN   AB  MN  IK  a3 3 + Chứng minh SK  ( ABMN ) Từ đó suy VS ABMN  S ABMN SK  Câu V ( 1.0 điểm ) Tìm tất các giá trị tham số thực m để bất phương trình sau nghiệm đúng với x thuộc  0; 2 3 log x  x  m  log  x  x  m   (1) + ĐK: x2  x  m  t    t 1 + Đặt t  log  x  x  m  1 , t  Bất phương trình (1) trở thành  t  4t   m  max f ( x)  x0;2 m  f ( x)   x  x    x  0; 2 Khi đó: m  g ( x)   m   m  g ( x)   x  x   x0;2 II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a ( 2.0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A  3;6  , trực tâm H  2;1 và trọng 4 7 tâm G  ;  Xác định tọa độ các đỉnh B và C 3 3  xB  xC  4 7 + Ta có: G  ;  là trọng tâm ABC và A  3;6    (1) 3 3  yB  yC    7 1 + Gọi M là trung điểm BC, ta có GM  AG  M  ;  2 2 Từ đó suy phương trình BC: x  y    yB  xB  (2)   + Mặt khác: AB.CH  (3) + Kết hợp (1), (2) và (3) ta có: B 1; 2  , C  6;3 B  6;3 , C 1; 2  Page Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 (TCT) Lop12.net Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình là x  y  z   và x2  y  z  x  y  8z   Xét vị trí tương đối mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (P) + (S) có tâm I 1; 2;  và bán kính R  > d  I , ( P)  Do đó (P) cắt (S) + (S’) đối xứng với (S) qua (P)  Tâm I’ (S’) đối xứng với tâm I (S) qua (P) và R '  R  x   2t  + phương trình đường thẳng d qua I vuông góc với (P) là  y  2  t  z   2t  + Gọi H là giao điểm d và (P), ta H  1; 1;  Từ đó suy I '  3;0;0  + phương trình mặt cầu (S’):  x  3  y  z  25 Câu VII.a ( 1.0 điểm ) Chứng minh rằng, với n  * ta có: C21n  3C23n    (2n  1)C22nn1  2C22n  4C24n    2nC22nn + Khai triển 1  x   C20n  C21n x  C22n x  C22nn1 x n1  C22nn x n 2n + Lấy đạo hàm hai vế ta được; 2n 1  x  n 1  C21n  2C22n x     2n  1 C22nn1 x n2  2nC22nn x n1 (1) + Từ (1) cho x  1 , ta có C21n  3C23n    (2n  1)C22nn1  2C22n  4C24n    2nC22nn Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b ( 2.0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d có phương trình x  y   , cạnh BC song song với d, đường cao kẻ từ B có phương trình x  y   và điểm M 1;1 là trung điểm cạnh AC Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C  x  x  y     + Ta có: AC  BH  AC : x  y  Suy tọa độ A:  x  y  y    8 8 + M 1;1 là trung điểm cạnh AC  C  ;  3 3 + BC∥d  BC : x  y   Từ đó ta B  4;1  2 8 8 + KQ: A   ;   , B  4;1 , C  ;   3  3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A  3; 1; 2  , B 1;5;1 , C  2;3;3 Biết AB là cạnh đáy lớn và CD là cạnh đáy nhỏ (AB > CD) Tìm tọa độ đỉnh D x 2 y 3 z 3   + d là đường thẳng qua C, song song với AB  d : 2 2 + (S) là mặt cầu tâm A, bán kính R  BC   (S):  x  3   y  1   z     164 51 48  ; ;  + Điểm D là giao điểm d và (S)  D  49 49   49 * Câu VII.b ( 1.0 điểm ) Chứng minh rằng, với n   ta có: 2 22 n1 2C20n  C22n  C24n    C22nn  2n  2n  2n 2 n 1 n 1 2n 2n  C2n x + Khai triển 1  x   C2n  C2n x  C2n x  C2n x + Lấy tích phân hai vế:  1  x  1 2n dx   C 2n  C21n x  C22n x    C22nn x n  dx 1 Page Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 (TCT) Lop12.net 1  x   n 1 1 1     C20n x  C21n x  C23n x3    C22nn x n 1  2n  2n    1 1 22 n1 2   2C20n  C22n  C24n    C22nn 2n  2n  Page Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 (TCT) Lop12.net