Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45 0.. Tính theo a thể tích của[r]
(1)ÐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Mơn thi : TỐN
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I(2,0 điểm)
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y= x3 + 3x2 – Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ -1 Câu II (2,0 điểm)
Giải phương trình 4cos5 cos3 2(8sin 1) cos
2
x x
x x
+ − =
Giải hệ phương trình :
2
2
2
x y x
x xy y
⎧ + = − −y
⎪ ⎨
− − =
⎪⎩ (x, y ∈ R)
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân :
1
0
2x
I d
x − =
+
∫ x
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy, SA=SB, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Câu V (1,0 điểm) Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y≤1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 1
x xy
= +
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉđược làm một hai phần (phần A hoặc B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; -2; 3), B (-1; 0; 1) mặt phẳng (P): x + y + z + =
1 Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính
6 AB
, có tâm thuộc đường thẳng AB (S) tiếp xúc với (P)
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 – 3i)z + (4+i)z= -(1+3i)2 Tìm phần thực phần ảo z
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
2 1
x = y− = −
z
mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – = Viết phương trình mặt phẳng chứa d vng góc với (P)
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho M cách gốc tọa độ O mặt phẳng (P) Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình z2–(1+i)z+6+3i = tập hợp số phức
BÀI GIẢI
Câu I: Tập xác định R y’ = 3x2 + 6x; y’ = ⇔ x = hay x = -2; li
lim
x
y
→−∞ = −∞ xm
y
→+∞ = +∞
x −∞ -2 +∞ y’ + − +
y +∞ −∞ CĐ -1
CT
Hàm số đồng biến (−∞; -2) ; (0; +∞); hàm số nghịch biến (-2; 0)
(2)Hàm số đạt cực đại x = -2; y(-2) = 3; hàm số đạt cực tiểu x=0; y(0) = -1 y" = 6x + 6; y” = ⇔ x = -1 Điểm uốn I (-1; 1)
Đồ thị :
y
x
-2
-1
2 Gọi A điểm (C) có hồnh độ x = -1 ⇒ tung độ A Hệ số góc tiếp tuyến A y’(-1) = -3
Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A là: d : y – = -3(x + 1) ⇔ y = -3x –
Câu II: 4cos5 cos3 2(8sin 1) cos
2
x x
x x
+ − =
⇔ 2(cos 4x+cos ) 16sin cosx + x x−2cosx=5
⇔ cos 4x+8sin 2x=5 ⇔ 4sin 2− x+8sin 2x=5 ⇔ 4sin22x – 8sin2x + = ⇔ sin
2
x= (loại) hay sin 2 x=
⇔ 2
6
x= +π k π hay
x= π +k π ⇔
12
x= π +kπ hay 12
x= π +kπ (k ∈ Z)
2
2 (1)
2
x y x y x xy y
⎧ + = − −
⎪ ⎨
− − =
⎪⎩ (2)
(1) ⇔ (2x+y) 2+ x+ − =y ⇔ 2x+ =y hay 2x+ = −y (loại) ⇔ 2x + y = ⇔ y = – 2x (3)
Thay (3) vào (2) ta có: x2 – 2x(1 – 2x) – (1 – 2x)2 = ⇔ x2 + 2x – = ⇔ x = hay x = -3 Khi x = y = -1; x = -3 y =
Vậy nghiệm hệ phương trình ⎨ 1 x y
= ⎧
= −
⎩ hay
3 x y
= − ⎧ ⎨ = ⎩ Câu III
1
0
2x
I dx
x − =
+
∫ =
1
0
3
1 dx x
⎛ − ⎞
⎜ + ⎟
⎝ ⎠
∫ = ( )1
0
2x−3ln x+1 = – 3ln2
Câu IV: S
A
B C
D H
Ta có tam giác vng SHC, có góc SCH =450 Nên tam giác vuông cân
Vậy HC SH a2 a2 a
4
= = + = ⇒
3
1 a a
V a
3
= =
(3)Câu V : Cách 1: ≥ 3x + y = x + x + x + y ≥ 44
x y ⇒
3
1 x y
≥
A =
3
1 2
8 x xy x xy x y
+ ≥ = ≥
Khi x = y =
4 ta có A = Vậy A = Cách 2: Áp dụng : ∀a, b > : 1
a+ ≥b a b+
A = 1 1
2 x y x+ xy ≥ +x x+y = +x +
4
8
2
x y x y x
≥ =
+ + +
≥ Khi x = y =
4 ta có A = Vậy A = A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a: A (1; -2; 3), B (-1; 0; 1); (P) : x + y + z + = ⇒ VTPT (P) nP
JJG
= (1; 1; 1)
1 Gọi (Δ) đường thẳng qua A vng góc với (P) : (Δ) :
1 1
3 x− = y+ = z−
H hình chiếu A lên (P) H = (Δ) ∩ (P) nên tọa độ H thỏa :
4
1
1 1
x y z
x y z
+ + + = ⎧
⎪
⎨ − = + = −
⎪⎩ ⇔
1 x y z
= − ⎧ ⎪ = − ⎨ ⎪ = ⎩
Vậy H (-1; -4; 1) Ta có AB = 4 4+ + = 12 3= JJJGAB = (-2; 2; -2) Bán kính mặt cầu (S) R =
6
AB
= (AB) :
1 1
1 x+ y z
= =
− −
Vì tâm I ∈ (AB) ⇒ I (t – 1; – t; t + 1) (S) tiếp xúc (P) nên d (I; (P)) = R ⇔ t+ =4 ⇔ t = -3 hay t = -5
⇒ I (-4; 3; -2) hay I (-6; 5; -4)
Vậy ta có hai mặt cầu thỏa yêu cầu đề : (S1) : (x + 4)2 + (y – 3)2 + (z + 2)2 =
3 (S2) : (x + 6)2 + (y – 5)2 + (z + 4) =
3 Câu VII.a: (2 – 3i)z + (4+i)z=-(1+3i)2 (1)
Gọi z = x + yi (x, y ∈ R)
(1) ⇔ (2 – 3i)(x + yi) + (4 + i)(x – yi) = – 6i ⇔ (6x + 4y) – (2x + 2y)i = – 6i ⇔ 6x + 4y = 2x + 2y = ⇔ x = -2 y =
Vậy phần thực z -2 phần ảo z B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b :
1 d :
2 1
x y−
= =
−
z
mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – =
(4)d qua A (0; 1; 0) có VTCP aJJGd = (-2; 1; 1) (P) có VTPT : nJJJG( )P = (2; -1; 2)
(α) chứa d vuông góc với (P) nên :
(α) qua A (0; 1; 0) có VTPT : nJJJG( )α =⎣⎡aJJJG JJJG( )d ,n( )P ⎤⎦=3(1; 2;0) Ptmp (α) : (x – 0) + 2(y – 1) = ⇔ x + 2y – =
2 M ∈ d ⇒ M (-2t; + t; t)
M cách O (P) ⇔ OM = d (M, (P)) ⇔ 4 (1 )2 2( ) (1 ) 2( )
4
t t t
t + +t +t = − − + + −
+ +
⇔ 6 2 1
t + + = +t t ⇔ t = ⇒ M (0; 1; 0) Câu VII.b: z2 – (1 + i)z + + 3i = (1) Δ = -24 – 10i = (1 – 5i)2
(1) ⇔ z = – 2i hay z = 3i
TS Nguyễn Phú Vinh (Trường CĐ Nghề Tây Sài Gòn)