Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng:.[r]
(1)Phương pháp đánh giá hạng tử vế trái:
+ Bắt đầu từ tập 396 b, c trang 53 sách Nâng cao phát triển Tốn tập của Vũ Hữu Bình:
Chứng minh với a, b, c > thì: 2
2 2
a b c
b) a b c
b c a
a b c a b c
c)
b c c a a b
Giải: (Cách giải Tác giả): b) Ta có:
2 2
a a b 2ab
b 2a (do a,b 0)
b b b
Tương tự
2
b c
c 2b, a 2c
c a
Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:
2 2
a b c
a b c b c a
c) Ta có:
2
2 2a b c 4a b c
a b c
a (do b,c 0)
b c 4 b c b c
Tương tự:
2
b a c c a b
b, c
a c a b
Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:
2 2
a b c a b c
b c c a a b
.
+ Bài tốn có lời giải hay mà khơng Thầy, Cơ giáo em học sinh tự hỏi Tác giả lại tìm thấy bất đẳng thức phụ dễ dàng đến vậy? Làm để tìm bất đẳng thức phụ đó? Qua ví dụ sau tơi xin đưa cách tìm bất đẳng thức phụ nào:
Sau số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: ( Toán học tuổi trẻ) Chứng minh với số dương a, b, c thì:
3 3 3
2 2
5b a 5c b 5a c
a b c
ab 3b bc 3c ca 3a
Dạng bất đẳng thức toán gợi ý cho ta đánh giá hạng tử vế trái, để tìm bất đẳng thức phụ 396b, c ta dự đốn, có bất đẳng thức dạng:
3 3 3
2 2
5b a 5c b 5a c
xa yb ; xb yc xc ya
ab 3b bc 3c ca 3a
(2)Từ cộng theo vế ba bất đẳng thức ta có vế phải (x + y)(a + b +c) Nếu chọn x, y cho x + y = bất đẳng thức toán giải
xong Ta y = - x
3
5b a
xa yb ab 3b
trở thành:
3
5b a
xa (1 y)b ab 3b
(1)
Thử giá trị đặc biệt a, b ta thấy chọn x = -1 (1) dự đốn 3
2
5b a
2b a ab 3b
(2) với số dương a, b Việc chứng minh (2) vô đơn giản:
3
3 3 3 2
2 2
2 3 2
2
5b a 2b a ab 3b
5b a 5b a 2ab 6b a b 3ab
2b a
ab 3b ab 3b ab 3b
a b a b
b a ab a b
0; a,b
ab 3b ab 3b
Vậy tốn giải bắt đầu bằng: Ta có:
3
5b a
2b a ab 3b
Tương tự:
3 3
2
5c b 5a c
2c b 2a c
bc 3c ca 3a
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: + Trở lại với toán 396b) Tác giả Vũ Hữu Bình: Cho a, b, c các
số dương, chứng minh rằng:
2 2
a b c
a b c b c a
Dự đoán bất đẳng thức phụ có dạng:
a
ax by
b ;
2
b
bx cy
c ;
2
c
cx ay
a ,
cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta vế phải là: (x + y)(a + b +c)
Nếu chọn x, y cho x + y = bất đẳng thức toán giải
quyết xong Ta y = - x
a
ax by
b trở thành
2
a
ax b(1 x)
b (*) chọn x = thì
(*) dự đoán:
a
2a -b
b , việc chứng minh bất đẳng thức có trên.
Ví dụ 3: (Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa lớp năm học 2008 - 2009):
Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng:
3 3 3
2 2
19b a 19c b 19a c
3
ba 5b cb 5c ac 5a
(3)Cách giải: Sử dụng phương pháp ta đánh giá hạng tử vế trái dự đoán:
3 3 3
2 2
19b a 19c b 19a c
xa yb (1) ; xb yc; xc ya
ba 5b cb 5c ac 5a
Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta có vế phải là: (x + y)(a + b + c) Vì a + b + c = nên chọn x + y = bất đẳng thức toán giải xong
Thế y = - x vào (1) ta có
3
19b a
xa yb ba 5b
trở thành
3
19b a
xa x b
ba 5b
Thử số giá trị đặc biệt a, b ta chọn x = -1 => y = Khi (1) có dự
đốn:
3
19b a
4b a ba 5b
(*)
Chứng minh (*): Xét
3
3 3 3 2
2 2
19b a 4b a ba 5b
19b a 19b a 4b a 20b a b 5b a
4b a
ba 5b ba 5b ba 5b
2 3 2
2
a b a b
b a b a a b
0 a,b
ba 5b ba 5b
suy (*) đúng.
- Với cách suy luận tìm bất đẳng thức phụ trên, ta giải toán cách nhẹ nhàng:
+ Bài toán chứng minh bắt đầu bằng: Xét:
3
3 3 3 2
2 2
19b a 4b a ba 5b
19b a 19b a 4b a 20b a b 5b a
4b a
ba 5b ba 5b ba 5b
2 3 2
2
a b a b
b a b a a b
0 a,b
ba 5b ba 5b
3
19b a
4b a ba 5b
(1) Tương tự:
3 3
2
19c b 19a c
4c b (2); 4a b (3)
cb 5c ac 5a
Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có:
3 3 3
2 2
19b a 19c b 19a c
(4b a) (4c b) (4a b) 3(a b c)
ba 5b cb 5c ac 5a
(4)Ví dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 Trường THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm học 2000 -2001) Cho a, b, c, d số thực dương có tổng
Chứng minh rằng:
2 2
a b c d
b a b c c d a d 2
Giải: Vận dụng cách suy luận ta có cách giải sau: Ta chứng minh với a, b dương ta có bất đẳng thức:
2
a 3a b
a b
(*)
Thật vậy: (*) tương đương với:
2 2 2
4a a b 3a b 4a 3a 3ab ab b a b 2ab => đpcm.
Áp dụng bất đẳng thức (*) cho số hạng vế trái ta có:
2 2 3a b 3b c 3c d 3d a
a b c d
b a b c c d a d
a b c d
2
Dấu "=" a = b = c = d =
1
4 (đpcm).
+ Với cách suy luận tìm bất đẳng thức phụ trên, ta giải toán sau cách nhẹ nhàng:
Bài 1: Cho số dương a, b, c, chứng minh rằng:
2 2
a b c a b c
a b b c c a
Để giải toán ta áp dụng toán phụ:
a 3a b
a b
Bài 2: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:
3 3 3
a b b c c a
a b c
2ab 2bc 2ca
Để giải toán ta áp dụng toán phụ:
3
a b a b
2ab
(5)
3 3 3
2 2
41a b 41b c 41c a
5(a b c)
ab 7a bc 7b ca 7c
Để giải toán ta áp dụng toán phụ:
3
2
41a b
6a b
ab 7a
Bài 4: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:
3 3 3
2 2
29a b 29b c 29c a
4(a b c)
6a ab 6b bc 6c ca
Để giải toán ta áp dụng toán phụ:
3
2
29a b
5a b