Người anh cả nhận được 30 kg vàng, nhiều hơn số vàng của mỗi người còn lại; người anh cả cũng nhận được 1 8 số bạc trong kho báu.. Hỏi trong kho báu có bao nhiêu kg vàng?[r]
(1)HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM
Vietnam Mathematical Society
Hexagon of Maths & Science
Mathematical
Y
oung
T
alen
t
Searc
h
27/03/2016 02/04/2016
MYTS
(2)0.1
Đề thi cho khối lớp 5/ Question Paper for
Grade 5
1 Biết số tự nhiên N chia hết cho 4, N chia dư 3, hỏi N nhỏ bao nhiêu?
2 Nếu K trung điểm đoạn thẳng M N M K = KN Trong hình bên, I, J trung điểm cạnh hình vng với diện tích 144 cm2 400 cm2 Tính diện tích tam giác ABC
A
B J
I C
3 Những người anh em tìm kho báu (gồm vàng bạc) Họ chia số tài sản người 120 kg (vàng bạc) Người anh nhận 30 kg vàng, nhiều số vàng người lại; người anh nhận 18 số bạc kho báu Hỏi kho báu có kg vàng?
4 Tính tổng chữ số
A = 234 × 555 555
| {z }
66 chữ số
5 Trong hộp có bóng ghi số 1, bóng ghi số 2, , 100 bóng ghi số 100 Ta lấy bóng từ hộp mà khơng nhìn, hỏi phải lấy để đảm bảo có 10 ghi số giống N số có bốn chữ số mà viết chữ số theo thứ tự ngược
lại ta thu số gấp bốn lần N Hãy tính giá trị N
(3)Người nói : "Trong phịng khơng có người thật thà" Người thứ hai nói : "Trong phịng có khơng người thật thà" Người thứ ba nói : "Trong phịng có khơng q hai người thật thà"
Người cuối nói : "Trong phịng khơng có q 25 người thật thà" Hỏi phịng có tất người thật thà?
8 Ở xứ sở Magic Wood có ba lồi vật: có 12 rắn, 23 chuột 31 mèo Hễ rắn ăn mèo, biến thành chuột, mèo ăn chuột biến thành rắn Hơn nữa, rắn ăn chuột, biến thành mèo Hỏi nhiều có vật Magic Wood không ăn nữa?
Đáp án khối lớp 5
1 Biết số tự nhiên N chia hết cho 4, N chia dư 3, hỏi N nhỏ bao nhiêu?
Lời giải Từ giả thiết suy tồn số nguyên dương a, b cho N = 7a + = 12b
Thử giá trị b = 1, 2, tìm cặp số b = 2, a = nhỏ Thử lại thấy N = 24 thỏa mãn Đáp số N = 24
2 Trong hình bên, I, J trung điểm cạnh hình vng với diện tích 144 cm2 400 cm2 Tính diện tích tam giác ABC
Chứng minh Từ giả thiết suy cạnh hai hình vng 12 cm 20 cm Kéo dài cạnh hình vng để tạo hình chữ nhật AXY Z Dễ thấy, độ dài cạnh hình chữ nhật 16 + 20 = 36 20 + 12 = 32 Diện tích ba tam giác vng ZAC, BY C BAX
(4)A
B I
J C
Y Z
L M
X
Từ đó, diện tích tam giác
36 × 32 − 180 − 308 − 128 = 536 Đáp số: 536
3 Những người anh em tìm kho báu (gồm vàng bạc) Họ chia số tài sản người 120 kg (vàng bạc) Người anh nhận 30 kg vàng, nhiều số vàng người lại; người anh nhận 18 số bạc kho báu Hỏi kho báu có kg vàng?
Lời giải Trả lời: 120 Lượng bạc mà người anh nhận 120−30 = 90 Suy tổng số bạc kho báu 90 × = 720 kg Giả sử số người phát kho báu n Vậy nên tổng số vàng bạc 120n Số vàng 120n−720 Ta có
120n − 720 n < 30
(5)4 Tính tổng chữ số
A = 234 × 555 555
| {z }
66 chữ số
Lời giải Lưu ý số 234 chia hết ta viết A = 26 × × × 111 111
| {z }
66 chữ số
,
hay
A = 130 × 999 999
| {z }
66 chữ số
Lưu ý 999 999
| {z }
66 chữ số
= 1066− Vậy nên,
A = 130 000 000
| {z }
66 chữ số
−130
Đặt phép tính ta
A = 12 9999 999
| {z }
64 chữ số
870
Thành ra, tổng chữ số A
1 + + × 64 + + + = 594 Đáp số 594
(6)Lời giải Trong trường hợp xấu ta chọn phải tất số 1, 2, , số từ 10 đến 100 số có Như có tất 45 + × 91 = 864 Vậy phải lấy 865 để đảm bảo có 10 số
Đáp số: 865
6 N số có bốn chữ số mà viết chữ số theo thứ tự ngược lại ta thu số gấp bốn lần N Hãy tính giá trị N
Lời giải Ta cần tìm abcd cho × abcd = dcba Chú ý a ≥ × abcd số có năm chữ số Thành ra, a = a = Vì dcba số chẵn nên a = Ta có
4 × abcd ≥ 8000
Suy radcba ≥ 8000 Suy d = d = Do × d tận nên suy d = Vậy
4 × 2bc8 = 8cb2 Liên hệ biểu diễn qua hệ thập phân cho ta
4(2000 + 100b + 10c + 8) = 8000 + 100c + 10b +
Tức 6c = 39b + Nếu b ≥ 6c ≥ 39 × + > 60, dẫn đến c > 10, loại
Vậy nên b = 1, dẫn đến c = Đáp số: 2178
7 Trong phịng có 26 người gồm người người thật (là người ln nói thật) người người dối trá (là người ln nói dối)
Người nói : "Trong phịng khơng có người thật thà" Người thứ hai nói : "Trong phịng có khơng q người thật thà" Người thứ ba nói : "Trong phịng có khơng q hai người thật thà"
(7)
Lời giải Ta có nhận xét sau:
Nếu nói dối, tất người trước nói dối
Trong phịng chắn có người dối trá, người nói thật theo lời anh ta, phịng khơng có người nói thật (mâu thuẫn) Tương tự, ta kết luận phịng có người thật
Giả sử phịng có x người dối trá Người cuối nói dối nói: "Trong phịng khơng có q x − người thật thà", nghĩa phịng có x người thật Mặt khác người thứ x + người thật từ lời nói suy có khơng q x người thật Tóm lại, có tất x người thật Như x + x = 26 hay x = 13
Vậy phịng có tất 13 người thật
8 Ở xứ sở Magic Wood có ba lồi vật: có 12 rắn, 23 chuột 31 mèo Hễ rắn ăn mèo, biến thành chuột, mèo ăn chuột biến thành rắn Hơn nữa, rắn ăn chuột, biến thành mèo Hỏi nhiều có vật Magic Wood không ăn nữa?
Lời giải Nhiều lồi tồn Đó khơng thể lồi mèo, tính chẵn lẻ mèo chuột ln giống vậy, tất số mèo biến mất, tức cần 31 lần ăn Kéo theo 35 vật tồn Mặt khác, 23 mèo ăn 23 chuột, biến thành rắn, thfi có 35 rắn mèo Tiếp theo, rắn ăn mèo, biến thành chuột, bị mèo ăn nốt Tức 35 rắn
Lời giải Gọi số lần rắn ăn mèo a, mèo ăn chuột b rắn ăn chuột c Gọi x, y, z số rắn, số mèo, số chuột Ta có
12 − a − c + b = x,
(8)Không ăn ba số x, y, z có hai số Do y, z tính chẵn lẻ, x khác tính chẵn lẻ với y, z nên suy
31 − a − b + c = 0, 23 − b − c + a =