[r]
(1)Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009
Soạn: Đỗ Cao Long Tel: 01236012220 Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) GỢI Ý GIẢI ĐỀ 04
Câu I.1:
Học sinh tự giải
Câu I.2:
Tìm trục tung điểm M mà từ kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị
( )
:
2
C y= x - x + đồng thời hai tiếp tuyến đối xứng qua trục tung vng góc với
Hiện SGK GT12 chuẩn (cơ bản) khơng trình bày điều kiện tiếp xúc hai đồ thị nên giải sau tơi trình bày theo cách thơng thường (dùng tọa độ tiếp điểm)
§Điều kiện cần
· Gọi M(0;m)ỴOy k k1, 2 hệ số góc đường thẳng qua M tiếp xúc với đồ thị ( )C
P/trình đường thẳng là:
( )d : y=k x1 +m ( )d¢ : y=k x2 +m
F Giả sử ( )d ( )d¢ đối xứng qua trục tung tiếp túc vớiđồ thị ( )C điểm có tọa độ (x y1; 1), (x y2; 2)
Khi ta có hai hệ
1 1
4
1 1
3
1 1
3
2
4
y k x m
y x x
k x x
ì = + ï
ï = - + í
ï
ï = -ỵ
;
2 2
4
2 2
3
2 2
3
2
4
y k x m
y x x
k x x
ì = + ï
ï = - + í
ï
ï = -ỵ
Bằng cách khử k y1, 1 k2;y2 hai hệ ta thu hai phương trình
4
1
6x -3x +2m- =1 Û2m- = -1 3x12(2x12-1) (1)
4
2
6x -3x +2m- =1 Û2m- = -1 3x22(2x22-1) (2)
FĐể ý đồ thị ( )C nhận Oy làm trục đối xứng (tính chất hàm số chẵn) hai tiếp tuyến ( ) ( )d , d¢ đối xứng qua trục Oy suy hai tiếp điểm (x y1; 1), (x y2; 2) đối xứng qua trục Oy
Suy x1+x2 =0 y1= y2
F Mặt khác hai tiếp tuyến vng góc nên ta có k k1 2 = -1
( )( )
1 2
4x 3x 4x 3x
Û - - =
-( )( )
1 4
x x x x
Û - - = - ( )2 ( 2)
1 16 12
x x é x x x x ù
Û ë - + + û =
-( )2 ( )2
1 16 12 2
x x é x x é x x x x ù ù
Û ê - ë + - û+ ú =
-ë û
Thay x1+x2 =0 đặt t =x x1 2 vào ta được:
( )
( )
16 12
t t - - t + = - Û16t3+24t2+ + =9t
1
t t
= -é ê Û
ê = -ë
Hệ số góc của tiếp tuyến tính theo đạo hàm
(2)Giúp học sinh ôn thi đại học, cao đẳng năm 2009
Soạn: Đỗ Cao Long Tel: 01236012220 Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) Nhân (1) (2) theo vế ta
( )2 ( )2( )( )
1 2
2m-1 =9 x x 2x -1 2x -1
( )2 ( ) (2 )2 ( )2
1 2 2
2m x x é4 x x 2é x x 2x x ù 1ù
Û - = ê - ë + - û+ ú
ë û
Biểu diển theo t ta (2m-1)2 =9t2(4t2+ +4t 1)
· Trường hợp t = -1, ta có (2m-1)2 =9.1 4( - + =4 1)
2
1
m m
m
= é Û = ± Û ê =
-ë
Biết x1+x2 = Û0 x2 = -x1 Khơng tính tổng qt giả sử x1>0(bởi hai điểm (x y1; 1), (x y2; 2) đối xứng qua trục Oy nên hai số x x1, 2 trái dấu)
Với t = -1 ta có x x1 2 = -x12 = - Û1 x1=1 Suy x2 = -1 Hệ số góc tiếp tuyến k1=4.1 1- = ; k2 =4.( ) ( )- - - = -1 1 Trường hợp ta tìm hai cặp đường thẳng
( )d1 :y= +x ;( )d1¢ : y= - +x
Và ( )d2 : y= -x ;( )d2¢ :y= - -x
· Trường hợp
t = - , ta có(2 1)2 1
16 16 64
m- = ổỗ - + ửữ=
ố ứ
11
3 16
2
5
16
m m
m
é = ê Û - = ± Û
ê = ë
Với
t = - ta có 1 2 12 1
4
x x = -x = - Û x = Suy 2
x =
-Hệ số góc tiếp tuyến
3
1
4
2
k = ổ ửỗ ữ - =
-ố ứ ;
3
1
4
2
k = ổỗ- ửữ - -ổỗ ö÷=
è ø è ø
Trường hợp ta tìm hai cặp đường thẳng
( )3 ( )3
11 11
: ; :
16 16
d y= +x d ¢ y= - +x
và ( )4 : ;( )4 :
16 16
d y= +x d ¢ y= - +x
§Thử lại (Điều kiện đủ)
Chỉ cần kiểm tra xem điểm (x y1; 1), (x y2; 2) có phải tiếp điểm hay khơng
· Với t = -1 ta có hai tiếp điểm hai tiếp tuyến
1
4
1
1
3
1
2
x y
= ì ï í
= - + =
ïỵ ( ) ( )
1
4
1
1
3
1
2
x y
= -ì ï í
(3)Giúp học sinh ơn thi đại học, cao đẳng năm 2009
Soạn: Đỗ Cao Long Tel: 01236012220 Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) Thay
1
1
x y
= ì í =
ỵ vào p/trình ( )d1 : y= +x , ta 0= +1 không thỏa mãn
Thay
1
1
x y
= ì í =
ỵ vào p/trình ( )d2 :y= -x 1, ta 0= -1 thỏa mãn
Vậy cặp đường thẳng ( )d2 : y= -x ;( )d2¢ : y= - -x Suy giá trị m= -1, tức điểm M(0; 1- ) thỏa đề
· Tương tự với
t = - ta kiểm tra cặp đường thẳng
( )3 ( )3
11 11
: ; :
16 16
d y= +x d ¢ y= - +x tiếp tuyến ( )C Tức 11
16
m= hay điểm 0;11 16
Mổỗ ửữ
ố ứ tha
· Tóm lại có hai điểm thỏa đề bi l: M(0; 1- ) hoc 0;11 16
Mổỗ ö÷
è ø
Kiểm chứng kết cách vẽ đồ thị ( )C tiếp tuyến phần mềm
Geomester’s SketchPad Cabri II Plus,
Nhận xét: Rõ ràng cách làm dài phức tạp Tuy nhiên không dùng điều kiện nghiệm kép điều kiện tiếp xúc hai đồ thị để giải tốn tiếp tuyến cách làm đáp ứng yêu cầu
Vậy, đề thi có dạng phần chung hay khơng ? Nếu có liệu có dùng điều kiện tiếp xúc hai đồ thị (SGK nâng cao) để giải hay không ?
Hãy cho đôi lời nhận xét !
Câu II.1:
Câu II.2:
Câu III:
Câu IV:
Câu V:
Câu VI.a.1
Câu VI.a.2
Câu VII.a::
Câu VI.b.1
Câu VI.b.2