Đang tải... (xem toàn văn)
Phöông phaùp 4: Nhaåm nghieäm vaø söû duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh nghieäm duy nhaát (thöôøng laø söû duïng coâng cuï ñaïo haøm) * Ta thöôøng söû duïng caùc tính chaát [r]
(1)CĨ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT. I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HAØM SỐ MŨ
1 Các định nghóa:
n
n thua so
a a.a a
(n Z , n 1, a R)
a1 a a a0 1 a 0
n n
1 a
a
(n Z ,n 1,a R / )
m
n m n
a a ( a 0;m,n N )
m n
m n m
n
1 1
a
a a
2 Các tính chất :
a am n am n
m
m n n
a a
a
m n n m m.n
(a ) (a ) a
(a.b)na bn n
n n
n
a a
( ) b b
3 Hàm số mũ: Dạng : y a x ( a > , a1 )
Tập xác định : D R
Tập giá trị : T R ( ax 0 x R )
Tính đơn điệu:
* a > : y a x đồng biến R * < a < : y a x nghịch biến R
Đồ thị hàm số mũ : y y=ax
x
0<a<1
y=ax y
(2)Minh họa:
II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LƠGARÍT
1 Định nghĩa: Với a > , a 1 N >
dn
M a
log N M a N
Điều kiện có nghóa : logaN có nghóa
¿ a>0 a ≠1 N>0 ¿{ {
¿
2 Các tính chaát :
log 0a log a 1a
M a
log a M alog Na N
log (N N ) log Na 1 2 a 1log Na 2
1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N
log Na .log Na
Đặc biệt : log Na 2 2.log Na
3 Công thức đổi số :
log N log b.log Na a b
a b
a
log N log N
log b
* Hệ quả:
a
b
1 log b
log a
vaø ak a
1
log N log N k
4 Hàm số logarít: Dạng y log x a ( a > , a )
Tập xác định : D R Tập giá trị T R
Tính đơn ñieäu:
* a > : y log x a đồng biến R
* < a < : y log x a nghịch biến R Đồ thị hàm số lơgarít:
a>1
0<a<1
y=logax
1 x
y
O
a>1
y=logax
1 y
x
(3)5 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
Định lý 1: Với < a 1 : aM = aN M = N
Định lý 2: Với < a <1 : aM < aN M > N (nghịch biến)
Định lý 3: Với a > : aM < aN M < N (đồng biến )
Định lý 4: Với < a 1 M > 0;N > : loga M = loga N M = N Định lý 5: Với < a <1 : loga M < loga N M >N (nghịch biến)
Định lý 6: Với a > : loga M < loga N M < N (đồng biến)
III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : aM(x) = aN(x) (đồng số) Ví dụ : Giải phương trình sau :
x 10 x 5
x 10 x 15
16 0,125.8
Bài tập rèn luyện:
a, 32x −x+57
=0,25 128
x+17
x −3 (x=10) b,
log (22 5) log (34 5)2
2 x x 3 x
c,
2 2 3 xx1 1
x x d, 1 0,12 x x x
e,
2
2
2 3
x x x
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình i s
dạng toán sau:
2 ( ) ( )
3 ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2f(x) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
or
3 a+b a-b
5 a+b a-b
f x f x
f x f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
f x f x f x
a a c
a a a c
a a c
a b c
c c
Ví dụ: Giải phương trình sau : 1) 32x 8 4.3x 5 27 0
2) 6.9x 13.6x6.4x 0 3) ( 2 3 )x( 2 3 )x 4
4) 2x2− x−22+x− x2
=3 5) 8x+4 12x−18x−2 27x=0 6) 2 22x−9 14x
+7 72x=0
7,
2
5 21 21 10.2
x
x x
Bài tập rèn luyện:
1) 2−√3¿
x =4 2+√3¿x+¿
¿
( x ±1 )
với b=a.c ta chia vế cho c2f(x) đặt ẩn phụ
với (a+b)(a-b)=1 ta đặt ẩn phụ t= (a+b)f(x)
víi
a b a b
. 1
c c
ta đặt ẩn phụ t= (
a b c
(4)2) 8x+18x=2 27x (x=0) 3) 125x+50x=23x+1 (x=0)
4) 25x+10x=22x+1 (x=0) 5) ( 3 )x ( 3 )x 6 ( x=±2¿ 6) 27x+12x=2 8x (x=0)
Phương pháp 3: Biến đổi phương trình dạng tích số A.B =
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 2) 2x2+x
−4 2x2− x−22x+4=0 Bài tập rèn luyệnï:
a, 12 3x+3 15x−5x+1=20 ( x=log3
5
3 )
b, 4x2 x.2x21 3.2x2 x2 2x2 8x 12
Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm (thường sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng tính chất sau:
Tính chất : Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khỏang (a;b) phương trình f(x) = C
có khơng q nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 (a;b) cho
f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C)
Tính chất : Nếu hàm f tăng khỏang (a;b) hàm g hàm hàm giảm
khỏang (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương
trình f(x) = g(x))
c¸c dạng toán sau:
( ) ( )
f(x) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2 a+b a-b
4 a+b a-b a ( )
6
f x g x
f x f x
f x f x
f x f x f x
x x
f g
a b
a b c
c c
b f x
a b g f
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) 3x + 4x = 5x 2) 2x = 1+ x
3 3) x
1
( ) 2x 1
3
4; 3.25x-2+9(3x-10).5x-2+3-x=0 5; x2.3log2x xlog 32 xlog 92
Bài tập rèn luyện:
1) 2x+3 3x=6x−1 (x=2) 2) 2x=3− x (x=1) 3; x x log 32 xlog 52
4;
2
1
2x 2xx (x 1)
5; 2x + 3x = x + 6;
2
sin cos
8 x x 10 cos 2y
IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1 Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : log M log Na a (đồng số)
Ví dụ : Giải phương trình sau :
víi
a b a b
. 1
c c
(5)3)
x −1¿2+log1
(x+4)=log2(3− x)
1 2log2¿
( x=−√11; x=−1+√14 )
4; log (x2 23x 2) log (x 7x 12) log 3 2 2 2
Phương pháp 2: Phơng pháp lôgarít hoá
Tổng quát:
f(x) ( ) f(x) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a a a
( )
a a a
1 log log ( ) ( ).log b f x log b log f x log b
f x g x f x g x
f x
a b a b
a b a b f x g x b
b
a a
a
VÝ dô : giải phơng trình sau
a, 2x.3x+1 =12 b;
2
x x-x
x = 10 c; x1+log x3 = x2
d; 572 x 752x e; 3
x
x x+2
.8 = 6
3 Phương pháp 3:Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số. Ví dụ : Giải phương trình sau :
1)
3 3
2 2
4 log x log x
3
2) log3
x+√log32x+1−5=0
3; log 2.log 2.log 4x 0x 2x 2 4; 2
3 3
x log (x 2) 4(x 2) log (x 2) 16 5; log3x 7 (9 12x 4x ) log 2 2x 3 (6x223x 21) 4
6; 7log (5 ) 1225 x xlog 75 0
3 Phương pháp 3:Biến đổi phương trình dạng tích số A.B =
Ví dụ: Giải phương trình sau :
log x 2.log x log x.log x2 7 2 7
Bài tập rèn luyệnï: log9
2
x=log3x log3(√2x+1−1) (x=1;x=4)
log x log x log x.log x2 3 2 3
Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm nhất. (thường sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng tính chất sau:
Tính chất : Nếu hàm số f tăng ( giảm ) kho¶ng (a;b) phương trình f(x) = C có khơng q nghiệm kho¶ng (a;b) ( tồn x0 (a;b) cho
f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C)
Tính chất : Nếu hàm f tăng kho¶ng (a;b) hàm g hàm hàm giảm khỏang (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm kho¶ng (a;b) tồn x0 (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình
f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải phương trình sau :
a; log (x2 2 x 6) x log (x 2) 4 2 b; log (x 1) log (x 2)2 3
c; log (x2 2 x 5) x
V CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : aM < aN ( , , )
(6)1)
2 x x 1
x 2x 1
3 ( )
3
2) 2
x 1 x 2x
1 2
2
3;
2
2 1 x 1
x x
Bài tập rèn luyện: a;
x
+2x+1≤3x+3x −1
( x ≥2 )b;
2
2
1
x
x x
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1)22x 3.(2 ) 32 0x 2 2)2x 23 x 9
3)
2 1 1
x x
1 1
( ) 3.( ) 12
3 3
4) √8+21+x
−4x+21+x
>5 ( 0<x ≤2¿ 5) √15 2x+1+1≥|2x−1|+2x+1 ( x ≤2 )
6; 14x
+3 49x−4x≥0 ( x ≥log273 )
VI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : log M log Na a ( , , )
Ví dụ : Giải bất phương trình sau :
1)log (5xx 2 8x 3) 2 2)
2 3
3
log log x 1
3)log3x x2(3 x) 1
4)
x
x 9
log (log (3 9)) 1
5) log5(4
x
+144)−4 log52<1+log5(2x −2+1)
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số Ví dụ : Giải phương trình sau :
1)log (32 x 2) 2.log 3 2x 2 0 2)log 64 log 16 32x x2
3) log2x
¿2+3 ¿ ¿ ¿
( 18<x<1
2 )
Phửụng phaựp 3: Phơng pháp lôgarít ho¸
Tỉng qu¸t:
f(x) ( )
( ) ( )
1 b f x
f x g x
a b
a b
a
VÝ dơ : gi¶i phơng trình sau
a, 2x.3x+1 <24 b; 5
x-1
x x
.8 500 c; 572 x 752 x d; xlog22x (2x)4
VII PHệễNG PHAP Giải pt-bpt mũ LOGARIT cã tham sè
DẠNG 1: Sử dụng công cụ đại số giải tốn có chứa tham số
Bài 1: Với giá trị m phương trình sau có nghiệm: 4x−4m.(2x−1)=0 (
m<0∨m≥1 )
Bài 2: Cho phương trình: 4x−m.2x+1+2m=0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1≠ x2 cho x1+x2=3 (m=4) Bài 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: (m+3) 16x+(2m−1)4x+m+1=0 (
−1<m<−3
4 )
DẠNG 2: Sử dụng cơng cụ đạo hàm giải tốn có chứa tham số
Bài 1: Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm: 16x+2 81x=m 36x ( m<2√10 )
(7)Bài 3: Tìm m để phương trình: +
31− x+2m=0 có nghiệm ( m≤ −2 ) Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 161−√1− x2
−(m+5)41−√1− x2
+4+5m=0
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải phương trình 1) 23x−6 2x−
23(x −1)+ 12
2x=1 (x=1)
2) x+1¿
2
+2=log√2√4− x+log8(4+x
)
log4¿ ( x=2; x=2−2√6 )
3) log7x=log3(√x+2) (x=49)
4) log5x=log7(x+2) (x=5)
5) 23|x−1|−3 25−3x
+7=0 (x=1)
6) log√2x −1|2x −3|=2 log84+log2
1
3
√2 ( x=
2 )
7) xlog2x
−log2
x −3
=1
x (x=1,x=2,x=4)
8) 2xlog2x
+2x−3 log8x−5
=0 ( x=12, x=2 ) 9) log22x+(x −1)log2x=6−2x ( x=
1
4, x=2 )
10) 1+2 logx2 log4(10− x)=
log4x (x=2,x=8) Bài 2: Giải bất phương trình
1) 32x−8 3x+√x+4−9 9√x+4
>0 (x>5) 2) 9√x2−2x − x
−7 3√x2−2x− x −1
2 ( −14≤ x ≤0∨x ≥2 )
3) (12)√x
6
−2x3
+1
<(1 2)
1− x
( x<−1∨0<x<1∨x>1 ) 4) (1
4)
3x −(1
8) x −1
−128≥0 ( x ≤ −4
3 )
5) log5(1−2x)<1+log√5(x+1) ( −
2 5<x<
1
2 )
6) √2−|log2x|>log2x (
1
4≤ x<2 )
7) logxlog9(3x−9)<1 ( x>log310 )
8) log
4(x2+3x)
<
log2(3x −1) (
2
3<x<1 )
9)
x+3¿3 ¿ x+3¿2−log
1
¿ log1
2
¿ ¿
(-2 < x <-1)
(8)1
2
2
3 log
2
x x y
x
3 0,3
2
log ( 1)
2
2
x x x
y
x x