Vườn rau sạch năm học 2015 - 2016

Mong r»ng ®©y lµ mét chuyªn ®Ò quan träng gióp cho häc sinh vËn dông mét c¸ch khoa häc s¸ng t¹o h¬n trong viÖc häc To¸n.[r]

Phần I : ĐặT VấN Đề

I- Lời mở đầu :

Mi mụn hc cấp THCS đóng góp vào việc hình thành phát triển nhân cách học sinh Việc học toán, giải tốn có ảnh hởng tích cực đến việc học tập môn khác, đặc biệt môn khoa học tự nhiên Hơn việc giải tốn cịn trở thành hoạt động trí tuệ, sáng tạo hấp dẫn nhiều học sinh, thầy, cô giáo

Đã gần mời năm giảng dạy mơn tốn cấp THCS, đặc biệt khối lớp trờng vùng sâu, vùng xa, nhận thấy em tiếp thu kiến thức toán học cịn nhiều hạn chế Trong chơng trình sách giáo khoa Toán lớp THCS, học sinh đợc làm quen với phơng trình bậc hai: Cơng thức tính nghiệm phơng trình bậc hai, đặc biệt định lý Vi-ét ứng dụng việc giải tốn

Tơi nhận thấy em vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán cha thật linh hoạt, cha biết khai thác sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại tốn, hệ thức Vi-ét có tính ứng dụng rộng rãi việc giải toán

Để trang bị cho học sinh kiến thức bổ ích, kĩ giải tốn, để khơng ngừng nâng cao chất lợng giảng dạy cho thân, thích ứng kịp thời với phơng pháp đổi toán học trờng T.H.C.S Qua thực tiễn giảng dạy sâu nghiên cứu nội dung: Một số“ ứng dụng định lý Vi-ét vào giải Toán” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng, lực học tốn kích thích hứng thú học tập học sinh

II - Thực trạng vấn đề nghiờn cu :

Trong trình nghiên cứu viƯc häc tËp cđa häc sinh, thùc tÕ cho thÊy nhiỊu häc sinh sau tèt nghiƯp THCS kh«ng biÕt sử dụng sử dụng công thức nghiệm trờng hợp dùng ', dùng hệ thøc Vi-Ðt, thËm chÝ

không áp dụng đợc vào việc nhẩm nghiệm trờng hợp : a + b + c = a -b + c =

Việc vận dụng định lý Viét để giải tập, giải biện luận phơng trình bậc vấn đề khó khăn học sinh, học sinh vận dụng cách thiếu linh hoạt sáng tạo định lý Vi-ét để giải tập nâng cao Các tập có dạng tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hệ thức liên quan đến nghiệm phơng trình bậc hai; tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm phân biệt âm, dơng Học sinh làm dạng tập cảm thấy lúng túng khơng có hớng giải

Từ thực trạng trên, để công việc giảng dạy đạt hiệu tốt mạnh dạn đa ý kiến chủ quan để giải số dạng tập khó vân dụng định lý Vi-ét để giải

Phần II : Giải vấn đề

I Các giải pháp thực :

- Phơng trình bậc hai ẩn phơng trình có dạng ax2 + bx + c = 0, x ẩn; a, b, c số cho trớc gọi hệ số a 0.

1

1

b x x

a c x x

a



 

  

 

 

Chó ý :

+ Nhờ vào định lý Vi-ét ta tính đợc x1 + x2 x1x2 theo hệ số a, b, c mà khơng cần tính giá trị x1 x2

+ Chỉ áp dụng định lý Vi-ét phơng trình bậc hai có nghiệm

¸p dơng :

1 TÝnh nhÈm nghiƯm

Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) : - NÕu a + b + c = th× x1 = 1; x2 =

c a

NÕu a b + c = th× x1 = 1; x2 =

-c a

2 Xác định dấu nghiệm :

Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) Gäi S =

b a 

; P =

c

a Ta cã:

P < Hai nghiƯm tr¸i dÊu

  vµ

P >

Hai nghiƯm

cïng dÊu

S > : Hai nghiÖm dơng S < : Hai nghiệm âm Tìm hai sè biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng

Nếu có hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phơng trình

x2 - Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số S2 – 4P 0

¸p dơng:

1 TÝnh nhÈm nghiệm: Phơng trình

2

x 2 x 2 0

cã nghiệm

2 Lập phơng trình bậc hai biết nghiệm phơng trình bậc hai nhận nghiệm có dạng:

2

x  3 x 2 0

II Các biện pháp để tổ chức thực :

Dựa sở lý luận thấy hệ thức Vi-ét đợc ứng dụng để giải dạng toán sau:

1 Nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai.

Bíc 1: ThiÕt lËp hƯ thøc Vi-Ðt cho c¸c nghiƯm x1 vµ x2:

¿ x1+x2=− b

x1 x2=c

¿{

¿

Bíc 2: Thùc hiƯn phép phân tích thành tích hai thừa số, c = m.n

Với cặp thừa số phân tích đợc, ta tính m + n, : * Nếu m + n = -b, chuyển sang bớc

* NÕu m + n # b, thực lại bớc

Bớc 3: Vậy, phơng trình có hai nghiệm x1 = m x2 = n

2 Các ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Giải phơng trình : x2 - 5x + = 0 Bíc 1: Ta cã

1

1

5

x x x x

 

 

 

Bíc 2: Ta thÊy : = 2.3, 2+3 =

Bíc 3: VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = 2; x2 = Chó ý:

* Nếu tìm đợc cặp (m; n) thoả mãn điều kiện m+ n = -b dừng phép thử lại đa kết luận

* Nếu cặp (m; n) không thoả mãn dừng trờng hợp đợc hiểu không nhẩm đợc nghiệm

Chúng ta biết trờng hợp đặc biệt phơng trình ax2 +bx+c=0 là: * Nếu a + b + c = phơng trình có nghiệm x1 = x2 = c

a

* NÕu a - b + c = phơng trình có nghiệm x1 = -1 vµ x2 = - c

a

VÝ dơ 2: Trình bày cách nhẩm nghiệm cho phơng trình sau: a) x2 - 7x +12 = b) 1,5x2 – 1,6x +0,1 = 0

c) 3x2 - (1 3)x - = d) (m – 1)x2 – (2m + 3)x + m +4 = víi m

1

Gi¶i : a) Ta viÕt:

1 2

7

12 3.4

x x x x

 

 

 



Mµ + 4=

Vậy phơng trình có hai nghiƯm x1 = vµ x2 =

b) Phơng trình có dạng a + b +c = nên có hai nghiệm x1 = x2 =

1 15

c) Phơng trình có dạng a - b +c = nªn cã hai nghiƯm x1 = -1 vµ x2 =

3 

d) Phơng trình có dạng a + b +c = nên có hai nghiệm x1 = x2 =

4

m m

 

Nhận xét: Ví dụ trên, đợc nêu với mục đích khuyên em học sinh thực

hiện việc chuyển đổi phơng trình ban đầu dạng đơn giản trớc thực công việc nhẩm nghiện để tránh đợc sai sót khơng đáng cú

3.Bài tập : Trình bày cách nhẩm nghiệm cho phơng trình sau:

e) - x2 - 23x - 132 = , f) 3x2 + 9x - 162 = g)

14 x2 + 10

7 x + =

h) -3x2 + x + = 0

2 Lập phơng trình bậc hai ẩn, tìm hệ số phơng trình bậc hai ẩn sè.

1 VÝ dô:

VÝ dô 1: Cho x1 = √3+1

2 ; x2 = 1+3

Lập phơng trình bậc hai có nghiệm lµ: x1; x2 Ta cã: x1 = √3+1

2 ; x2 =

1+√3 =

1−√3

(1+√3) (1 −√3)= √3− 1

2

Nªn x1.x2 = √3+1

2

1

1+√3 =

x1 + x2 = √3+1

2 +

1

1+√3 =

Vậy phơng trình bậc hai có nghiƯm: x1; x2 lµ x2 -

√3 x+

2 =

hay 2x2 - 2

√3 x + =

VÝ dụ 2: Cho phơng trình: x2 + 5x - = 0 (1)

Không giải phơng trình (1), hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm luỹ thừa bậc bốn nghiệm phơng trình (1)

Cách giải:

Gi x1; x2 l cỏc nghim phơng trình cho theo hệ thức viét, ta có: x1 + x2 = -5; x1.x2 = -

Gọi y1; y2 nghiệm phơng trình ph¶i lËp, ta cã: y1 + y2 = x14+x24

y1 y2 = x14 x24 Ta cã:

¿ x14

+x24

¿

= (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 – = 727 x1

4

x2

4 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = 1 Vậy phơng trình cần lập lµ: y2 - 727y + = 0

VÝ dụ : Tìm hệ số p q phơng trình: x2 + px + q = cho hai nghiệm x1; x2 phơng trình thoả m·n hƯ:

{

x1− x2=5

x13− x23=35

C¸c giải:

Điều kiện = p2 - 4q (*) ta cã:

x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Tõ ®iỊu kiƯn:

{

x1− x2=5

x13− x

3=35 

{

(x1− x2)

=25

(x1− x2)

(

x1



{

(x1+x2)

− 4x1x2=25

5

(

(x1+x2)

−2 x1x2+x1x2

)

=35 

{

p❑1− 4q=25

p2−q=7 Giải hệ tìm đợc: p = 1; q = - p = - 1; q = - Cả hai cặp giá trị thoả mãn (*)

2 Bµi tËp :

1 LËp phơng trình bậc hai có nghiệm 3 + 2 3+2

2 Lập phơng trình bậc hai thoả mÃn điều kiện: Có tích hai nghiệm: x1.x2 = vµ x1

x1−1

+ x2

x2−1

= k 2−7

k2− 4

3 Xác định có số m, n phơng trình: x2 + mx + n = 0 ao cho nghiệm phơng trình làm m n

3 Tính tổng tích hai nghiệm phơng trình Tính giá trị biểu thức đối xứng cỏc nghim.

1 Phơng pháp :

Biu thc đối xứng nghiệm x1 x2 phơng trình: ax2 + bx + c = 0( a ≠ 0)

là biểu thức có giá trị khơng thay đổi ta hoán vị x1 x2

Ta biểu thị đợc biểu thức đối xứng nghiệm x1 x2 theo S P Ví dụ:

a) x12 + x22 = (x1 + x2)2 -2x1 x2 = S2 - 2P.

b) x13 + x23 = (x1 + x2)3 -3x1 x2(x1 + x2) = S3 - 3SP. c)

x1

+

x2

=x1+x2

x1x2

=S

P

d)

x12

+

x22=

x21

+x22

x21x22 =

S2− P P2 2 Các ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Cho phơng trình: 2x2 - 5x + = 0

a) Chøng tá r»ng phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b) Không giải phơng trình hÃy tính x1 + x2 x1x2

Từ nhận xét dấu nghiệm c) Tính giá trị biểu thức A=x1

1

+

x2

Gi¶i: a) Phơng trình có a = 2, b = - 5, c = 3   ( 5)2 4.2.3

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biƯt x1, x2

b) Theo định lí Vi-ét, ta có:

1

1

5

S x x P x x



  

  

  

 

Ta thÊy tích hai nghiệm dơng nên hai nghiệm dấu, lại có tổng hai nghiệm d-ơng nên hai nghiệm dd-ơng

c) Ta cã: A =

1

1 2

1 5

:

2

x x x x x x



VËy A =

5

VÝ dô : Cho phơng trình: x2 3x

Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình không giải phơng trình, hÃy tính :

2

1 2

3

1 2

3

4

x x x x

A

x x x x

 





Gi¶i: Ta có '=(3)21 2=1>0 , phơng trình có nghiÖm x1, x2

Theo ViÐt ta cã:

1

2

c x x

a b x x

a



  

 



   

 

Theo đề ta có:

















2

2

1 2

1 2

3 2

1 2 1 2 1 2 1 2

3

3

3 32

1

4 4 2 4 3 2.2 32

x x x x

x x x x

A

x x x x x x x x x x



 

 

    

       

   

VÝ dô : Cho phơng trình bậc hai : x2 - 3x + m2 + = (m lµ tham sè)

Chứng tỏ rằng: Nếu phơng trình có nghiệm phân biệt hai nghiệm dơng Giải : Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1 x2, đó:

1 2

3

x x

x x m

  

 

  

  x1, x2 > (®pcm).

Nhận xét: Trong lời giải đánh giá đợc phơng trình có hai nghiệm ơng dựa trên: x1.x2 > suy x1, x2 dấu x1 + x2 > suy x1, x2 dấu d-ơng

3 Bµi tËp :

1 Tính tổng tích nghiệm phơng trình bậc hai sau (nếu có) mà không giải phơng trình:

a) 6x2 - 7x - 9= b) 4x2 - 4x + = c) x2 - 5x +10= d) x2 + 2ax +a2 - b = Cho ph¬ng tr×nh : x2 3x 1

a) Chứng tỏ phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 b) Tính giá trị biểu thức A =

3

x x

3.Cho phơng trình: 12x2 + 5x + a2 + = 0

Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm âm

4 Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số hay tìm hệ thức liện hệ hai nghiêm x1, x2 c lp vi tham s.

1 Phơng pháp :

Bớc 1: Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

¿ a ≠ 0 Δ' ≥ 0

¿{

¿

Bớc 2: áp dụng hệ thức Viét, ta đợc:

¿ x1+x2=f (m)

x1 x2=g (m)

¿{

¿

(I) Bớc 3: Khử m từ hệ (I) ta đợc hệ thức cần tìm

2 VÝ dơ:

Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 6mx - m2 = 0

Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phơng trình không phụ thuộc m Giải : Ta có :   ' ( )m 2m2 10m2 0

Do đó, phơng trình có hai nghiệm x1, x2 Hai nghiệm x1, x2 phơng trình thoả mãn:

1 2

6

x x m

x x m

 



Từ hệ trên, cách rút m từ phơng trình thứ thay vào phơng trình thứ hai,

ta c:

2

2

1 2

( )

6

x x

x x    x x  x x 

Đó hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc vào tham số m Chú ý: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

3 Bài tập :

1 Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc m:

a) x2 - 5x + 2m = b) 3x2 + (m - 1)x - = c) x2 - (m - 2)x +2m + = 0 Cho phơng trình: x2 - mx + m - = 0

a) Chøng minh phơng trình có hai nghiệm x1, x2

b) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phơng trình không phụ thuộc m

3 Trong điều kiện phơng trình sau có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phô thuéc m

a) mx2 + 6x + m - = ; b) (m - 2)x2 - 2(m - 1)x + m - = 0 c) x2 - (3m + 1)x + m2 + m - = 0

Chú ý: Dạng tập phát biểu dới dạng: Chứng minh rằng, biểu thức hai nghiệm không phụ thc vµo "m"

5 Tìm điều kiện tham số để thoả mãn hệ thức hai nghiệm

1 Phơng pháp :

Vi yờu cu 'Tỡm điều kiện tham số "m" để thoả mãn hệ thức hai nghiệm x1, x2 , ta thực theo bớc sau:

Bớc 1: Tìm điều kiện tham số "m" để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

¿ a ≠ 0 Δ' ≥ 0

¿{

Bớc 2: áp dụng hệ thức Viét, ta đợc:

¿ x1+x2=f (m)

x1 x2=g (m)

¿{

¿

(I) Bớc 3: Biểu diễn điều kiện thông qua (I)

Bíc 4: KÕt luËn

Chú ý: Trong vài trờng hợp, tốn cịn đợc phát biểu dới dạng "Chứng minh nghiệm phơng trình thoả mãn hệ thức cho trớc"

2 C¸c vÝ dơ:

Ví dụ 1: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phơng trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mãn điều kiện

¿ x12+x22=1

Bài giải:

iu kin phng trình có hai nghiệm nghiệm kép : m  0;' ≥ ' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4

'   m 

Với  m  4, theo định lý Viét, nghiệm x1; x2 phơng trình có liên hệ:

x1 + x2 = 2(m−2)

m ; x1.x2 =

m−3 m

Do đó: = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =

m− 2¿2 ¿

4¿ ¿

- 2(m−3)

m

 m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m  m2 - 10m + 16 =  m = m = 8 Giá trị m = không thoả mÃn điều kiện: m

VËy víi m = th× x1

+x2 = 1

Ví dụ : Cho phơng trình: x2 - 4x + 2(m +1) = 0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

a) x12 + x22 = 12; b) x13 + x23 = 8 Gi¶i:

a) §iỊu kiƯn :m  3

Theo định lí Vi-ét ta có:

1 2

4

2( 1)

x x

x x m

 

 

 



Theo bµi ta cã: x12 + x22 = 12 ⇔ (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 12 ⇔ 42 - 4(m + 1) = 12

⇔ 16 - 4m - = 12 ⇔ m= (TM§K) Vậy m = giá trị cần tìm

b) Theo bµi ta cã: x13 + x23 = ⇔ (x1 + x2) (x1 + x2)2 - 3x1x2 = 8

⇔

442 - 6(m + 1) = ⇔ 4(16 - 6m - 6) = ⇔ m=

4

3 (TM§K)

VËy m =

4

3 giá trị cần tìm.

Vớ d 3: Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn

x1

+

x2

Bài giải: Ta phải có:

(m 2)¿2−(m2+2m −3)>0

¿ x1 x2≠ 0

¿ ¿ Δ'

=¿ ¿

(1)  ' = m2 - 4m + - m2 - 2m + = - 6m + >  m <

6

(2)  m2 + 2m -   (m - 1)(m + 3)   m  1; m  - 3 (3)  x1+x2

x1 x2

=x1+x2

5 ⇔(x1+x2)(5 − x1 x2)=0

Trêng hỵp: x1 + x2 =  x1 = - x2  m = không thoả mÃn điều kiện (1) Trờng hợp: - x1.x2 =  x1.x2 =

Cho ta: m2 + 2m - =  (m - 2)(m + 4) =

m=2 (lo¹i) m= (thoảmÃn ĐK)

Vy vi m = - phơng trình cho có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn

1

x1

+

x2

=x1+x2

Ví dụ 4: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm

b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn

2

1

x x

=13 Giải : Để phơng trình có hai nghiệm âm :

=(2 m+1 )2 4(m2

+m− 6)≥ 0

x1x2=m2+m−6 >0

x1+x2=2 m+1<0

¿{ {

¿

⇔ Δ=25>0

(m− 2)(m+3)>0

m<−1

2

⇔ m<− 3 ¿{ {

b Ta cã :

2

1

x x

=13

2

1 2

(x x )  2x x

= 13 

2

(2m1)  2(m m 6)

= 13  m1

= 0, m2 = -1

Nhận xét: Khi sử dụng hệ thức Vi-ét có đợc lời giải ngắn gọn. Với tốn có chứa tham số, trớc áp dụng định lý Viét cần tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm, tức là:

¿ a≠ 0 Δ'≥ 0

¿{

¿

Ví dụ : Cho phơng trình ( ẩn x): x2 – 2x – 2m = Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn :

2

1

(1x )(1x ) 5 .

Gi¶i :

Phơng trình cho có nghiệm phân biệt  '>0 <=> 1+2m > <=> m > 

Cã (1+x12)(1+x22) = <=>

2 2 2

x x x x    (x1 x2)2 2x x1 2x x12 22 4 (*)

Thay x1 + x2 = vµ x1 x2 = -2m vµo (*) cã

4 4 m4m 4  4m4m2 0

0

m m

 

  



KÕt hỵp víi m >

1 

ta cã m = tháa m·n

Vậy với m= phơng trình cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn (1+x12)(1+x22) =

Ví dụ : Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2 + 2x + m = (1)

x2 + mx + = (2) Bài giải:

Gi x0 l nghim chung no phơng trình ta có :

x0

+2 x0+m=0

x02+mx0+2=0

Trừ theo vế hai phơng trình ta đợc (m - 2)x0 = m - Nếu m = hai phơng trình x2 + 2x + = vơ nghiệm Nếu m  x0 = từ m = -

Víi m = - 3: (1) lµ x2 + 2x – = 0; cã nghiƯm x1 = vµ x2 = - 3 Vµ (2) lµ x2 - 3x + = 0; cã nghiƯp x3 = vµ x4 = 2

Với m = - hai phơng trình có nghiệm chung x =

3 Bài tËp

1 Tìm m để phơng trình: x2 + 2x + m = 0 Có hai nghiệm thoả mãn: x12 + x22 = 1. Cho phơng trình: x2 - mx + m - = 0

1) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm x1, x2 2) Đặt A = x12 +x22 - 6x1x2

a) Chứng minh rằng: A = m2 - 8m + b) Tìm m để A =

c) Tìm giá trị nhỏ A

3 Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phơng trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mãn điều kiện

¿ x12+x22=1

¿

4 Cho phơng trình (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - = 0.Tìm m để: a) Phơng trình có hai nghiệm x1, x2

b) cã hai nghiƯm tho¶ m·n: 4(x1 + x2) = 7x1x2

5 Cho phơng trình x2 -2(m-2)x+(m2+2m-3)=0 Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn

6 Cho phơng trình x2 - 2mx + m2 - m - m = 0

a) Chứng minh phơng trình ln có nghiệm với m b) Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình Tìm m để x12+x22 = Cho phơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1)

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

c) Xác định m để nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 = d) Tìm hệ thức x1, x2 mà khơng phụ thuộc vào m

9.a) Với giá trị m hai phơng trình sau có nhật nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó?

x2 - (m + 4)x + m + = (1) x2 - (m + 2)x + m + = (2)

b) Tìm giá trị m để nghiệm phơng trình (1) nghiệm phơng trình (2) ngợc lại

6 ứng dụng định lý Vi-ét giải tốn chứng minh.

1 VÝ dơ :

VÝ dơ 1: Cho a, b lµ nghiƯm cđa phơng trình: x2 + px + = b, c nghiệm của phơng trình x2 + qx + = 0

Chøng minh: (b - a)(b - c) = pq - Cách giải:

Ta có : a, b nghiệm phơng trình: x2 + px + = 0 b, c nghiệm phơng trình: x2 + qx + = Theo định lý Vi-ét ta có:

{

a+b=- p

a b=1 vµ

{

b+c=- q b c=2

Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3 (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3 Suy ra: pq - = b2 + ac +3 – = b2 + ac - (2) Từ (1) (2) suy (b - a)(b - c) = pq - (đpcm) Vídụ 2: Cho số a,b,c thoả mãn điều kiện:

a + b + c = - (1); a2 + b2 + c2 = (2) Chứng số a, b, c thuộc đoạn

[

−4

3;0

]

biểu diễn trục số:

Cách giải:

Bình phơng hai vế (1) đợc: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4

Do (2) nªn: ab + bc + ca = (4 - 2): =  bc = - a(b + c) = - a(- - a) = a2 + 2a +

Ta lại có: b + c = - (a + 2), b, c nghiệm phơng trình : X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = (*)

Để (*) có nghiệm ta phải cã:  = (a+2)2 - 4(a2+2a+1)   a(3a + 4)   - 43  a 

Chứng minh tơng tự ta đợc: -

3  b  0; -

3  c 

2 Bµi tËp:

1 Gọi a, b hai nghiệm phơng trình bËc hai: x2 + px + = Gäi c, d hai nghiệm phơng trình: y2 + qy + = 0

2 Chứng minh viết số x = ()200 dới dạng thập phân, ta đợc chữ số liền trớc dấu phẩy 1, chữ số liền sau dấu phẩy

7 áp dụng định lý Vi-ét giải phơng trình hệ phơng trình.

1 VÝ dơ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình: x

(

5 x

x +1

) (

x +

5 − x

x+1

)

=6

Híng dÉn: §KX§: {xR  x  - 1} Đặt:

{

u=x x x +1 ν=x +5− x

x +1



{

u +ν=?

u ν =?

Tính: u, v, từ tính x Bài giải:

§KX§: {x R x - 1}

Đặt:

{

u=x 5− x x +1 ν=x +5− x

x +1

(*) 

{

u +ν=

(

x 5− x x +1

)

+

(

x +

5 − x

x +1

)

u ν=

(

x 5− x

x +1

)

.

(

x+

5 − x

x+1

)



{

u+ν=5

u =6

u, v nghiệm phơng tr×nh: x2 - 5x + = 0

 = 25 – 24 = x1 = 5+1

2 = 3, x2 = 5 − 1

2 =

u = th× v = u = v = Nếu:

{

u=3

=2 (*) trở thành: x2 - 2x + =

' = – = - < 0 Ph¬ng trình vô nghiệm Nếu:

{

u=2

=3 (*) trở thµnh: x2 - 3x + = Suy ra: x1 = 1; x2 =

Vậy phơng trình cã hai nghiÖm x1 = 1; x2 = VÝ dụ 2: Giải hệ phơng trình:

a)

{

x + y=11

xy=31 b)

{

x + y +yx=7

xy2+x2y=12

Bài giải :

a) x, y nghiệm phơng trình: X2 – 11X +31 = 0

=(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - < 0 Phơng trình vơ nghiệm Vậy hệ phơng trình cho vơ nghim

b) Đặt x + y = S xy = P Ta cã hÖ:

{

S+P=7

S P=12

Khi S P hai nghiệm phơng trình: t2 – 7t + 12 = 0. Giải phơng trình đợc t = t =

+ Nếu S = P = x, y nghiệm phơng trình : u2 - 4u + = 0  u = u =

+ Nếu S = P = x, y nghiệm phơng trình: v2 – 3v + = 0 Phơng trình vơ nghiệm  = - 16 = - <

Vậy hệ cho có hai nghiệm số là: (x = 1; y = 3) (x = 3; y =1)

2 Bµi tËp:

1 Giải phơng trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0 Giải hệ phơng trình sau:

a)

x + y=9 ¿+y

2

=4

x2

¿

b)

{

x+ y=3

x4

+y4=17 8 Định lý Vi-ét với toán cực trị

1 Ví dụ:

Ví dụ 1:

Cho phơng trình : x2 - (2m + 3) x + m = 0

a) Chứng minh phơng trình có nghiệm với m b) Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để

2 2

x x có giá trị nhỏ

nhÊt Gi¶i:

a) = (2m + 3)2 - 4m = 4m2 + 8m + = 4(m+1)2 + > 0 Vậy phơng trình có nghiệm với mäi m

b) Theo định lý Viét:

1 2

x x 2m

x x m

  

 

 

Do

2 2

x x = (x1 + x2)2 - 2x1x2

= 4m2 + 12m + - 2m = 4m2 + 10m + 9 =

2

5 11 11

2m

2 4

 

  

 

 

Min(

2 2

x x ) =

11

m  

VÝ dô 2: Cho pt x2

− mx+m− 1=0

a Chøng minh r»ng phơng trình luôn có nghiệm với m b Gọi x1, x2 hai nghiệm pt Tìm GTLN, GTNN cđa biĨu thøc:

P= 2 x1x2+3 x12+x22+2(x1x2+1)

Bài giải: a m

b ¸p dơng hƯ thøc Vi-Ðt ta cã:

¿ x1+x2=m

x1x2=m− 1

¿{

⇒ P=2 m+1

m2+2 (1) Tìm đk để pt (1) có nghiệm theo ẩn

⇒−1

2≤ P≤ 1

⇒GTLN=− 1

2⇔m=− 2

GTNN=1⇔m=1

VÝ dụ : Gọi x1; x2 nghiệm phơng tr×nh: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = 0

Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 C¸ch gi¶i:

Để phơng trình cho có nghiệm thì:

' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)   -  m  - 1 (*) Khi theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m – 1, x1 x2 = m2+4 m+3

2

Do đó: A =  m2+8 m+7

2 

Ta cã: m2 + 8m + = (m + 1)(m + 7) víi ®iỊu kiƯn (*) th× : (m + 1)(m + 7)  0. Suy ra: A = − m

2

+8 m−7

2 =

m+4¿2 ¿

9 −¿ ¿



2

Dấu xảy (m + 4)2 = hay m = - 4 Vậy A đạt giá trị lớn là:

2 m = - 4, giá trị thoả mÃn điều kiện (*)

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lín nhÊt cđa :

A=(x4 + 1) (y4 + 1), biÕt x, y  0; x + y = Cách giải:

A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + 1 Ta cã: x + y =  x2 + y2 = 10 - 2xy

 x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2  x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2

Đặt : xy = t th× x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2

Do A = 100 - 40t + 2t2 + t4 + = t4 + 2t2 40t + 101

a) Tìm giá trị nhỏ nhÊt: A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45 = (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45  45

Min(A) = 45  t = 2, xy = 2; x + y = nên x y nghiệm ph ơng trình X2 - X + = 0.

Tøc lµ x = √10+√2

2 ; y = √

10 −√2

2 hc x = √

10 −√2

2 ; y = √

10+√2

b) T×m giá trị lớn nhất:

Ta có: xy 

(

x+ y

2

)

2

=

(

√10

2

)

2

=

(

5

2

)

  t 

(

2

)

(1)

ViÕt A díi d¹ng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101. Do (1) nªn t3  125

8 ; 2t   t3 + 2t - 40  125

8 + - 40 < t nên

Max(A) = 101 vµ chØ t = tøc lµ x = 0; y = x = ; y =

2 Bài tËp :

1 Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình x2 + 2(m - 2)x - 2m + = 0 Tìm m để

¿ x12+x22

có giá trị nhỏ Cho phơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0

Tìm giá trị lớn nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: A = x1x2 + 2x1 + 2x2

3 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m lµ tham sè) T×m m cho 2 nghiƯm x1; x2 cđa phơng trình thoả mÃn 10x1x2 +

x12

+x22

¿

đạt giá trị nhỏ Tỡm giỏ tr ú

9 Bài tập tổng hợp :

1 Cho phơng trình bậc hai có ẩn x : x2 - 2mx + 2m - = 0 a) Chứng tỏ phơng trình có nghiệm x1, x2 với m b) Đặt A = 2(x12 x22) - 9x1x2

Chøng minh A = 8m2 - 18m + T×m m cho A = 27

c) Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm Giải:

a) ' = (-m)2 - (2m - 1) = m2 - 2m + = (m - 1)2  0 VËy ph¬ng trình có nghiệm với m

b) ỏp dụng định lý Viét: x1 + x2 = 2m, x1x2 = 2m - A = 2(x12 x22) - 9x1x2 = 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 9x1x2 = 2[(2m)2 - 2(2m - 1)] - 9(2m - 1)

= 8m2 - 13(2m - 1) = 8m2 - 26m + 13

A = 27 <=> 8m2 - 26m + 13 = 27 <=> 8m2 - 26m - 14 = 0

<=> 4m2 - 13m - = <=>

2

13 281

m

8

13 281

m

8

 

   

 

  

c) Gi¶ sư x1 = 2x2 => 3x2 = 2m (1) 2x22 = 2m - 1 (2)

Lấy (2) trừ (1) ta đợc: 2x22 - 3x2 = -1 <=> 2x22 - 3x2 + =

2

x

1 x

2    

 



Víi x2 = => x1 = => m =

3

Víi x2 =

1

2=> x1 = => m =

2 Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1) x - m = có ẩn x.

Giải: a) Phơng trình có nghiệm kép nếu:





m

' m m m

            



 



m m 1

m 2m m

2                  VËy m 

phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =









2 m b

1

2a m



  



b) Để phơng trình có hai nghiệm phân biệt âm :



 







1

1

m

m

' m 2m

1

m m

x x

2 m

0 m m

x x

m                                       m

3 Cho phơng trình x2 - 4x - (m2 + 3m) = 0

a) Chứng minh phơng trình ln ln có nghiệm x1, x2 với m b) Xác định m để x12 + x22 = 4(x1 + x2)

c) LËp ph¬ng trình bậc hai ẩn y có nghiệm y1 y2 tho¶ m·n y1 + y2 = x1 + x2;

1

2

y y

3 y 1 y 

Gi¶i:

a) XÐt ' = + m2 + 3m =

2 m  

Phơng trình cã nghiƯm x1 vµ x2 víi mäi m

b) Ta có: x12 + x22 = 4(x1 + x2) <=> (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(x1 + x2) Theo định lý Viét: x1 + x2 = 4; x1x2 = -(m2 + 3m)

=> 16 + 2(m2 + 3m) = 16 <=> m2 + 3m = =>

m m     

c) y1 + y2 = x1 + x2 = Tõ

1

2

y y

3

1 y 1 y  => y1 (1 - y1) + y2 (1 - y2) = 3(1 - y1) (1 - y2)

<=> y1 + y2 -(y12 + y22) = 3[1 - (y1 + y2) + y1y2] => y1y2 = -3 vµ y1 + y2 = 4 Cho phơng trình bậc hai: 3x2 + 4(a - 1) x + a2 - 4a + = 0

Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thoả mãn hệ thức:

1

x x 1

2 x x



 

Gi¶i:

* Điều kiện cần: Tìm a để phơng trình có nghiệm phân biệt Giả sử phơng trình có nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn:

1

1

x x 1

2 x x



Hoặc là: x1 + x2 = <=>

4(a 1)

 

= <=> a = Hc lµ: x1x2 = <=>

2

a 4a

3

 

= <=> a2 - 4a - = <=>

a

a   

 

* Điều kiện đủ:

NÕu a = 1: Ta có phơng trình 3x2 - = (tho¶ m·n)

NÕu a = 5: Ta cã phơng trình 3x2 + 16x + = (thoả mÃn) Nếu a = -1: Ta có phơng trình 3x2 - 8x + = 0

Phơng trình vô nghiệm (không thoả mÃn) Vậy a = a =

5 Cho f(x) = x2 - (m+2)x + 6m + 1

a) Chøng minh phơng trình f(x) = có nghiệm với m

b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn

Gi¶i:

a) XÐt ' = (m+20 - (6m + 1) = m2 - 2m + = (m - 1)2 + > 0m. b) Thay x = t +

f(t) = (t + 2)2 - 2(m + 2) (t + 2) + 6m + 1 f(t) = t2 - 2mt + 2m - 3

Phơng trình f(x) = có hai nghiệm phân biệt lớn phơng trình t2 - 2mt + 2m - = có hai nghiệm phân biệt dơng.

1

1

t t 2m

m

t t 2m

  



   

6 Giả sử phơng tr×nh bËc hai: x2 + ax + b = có hai nghiệm nguyên dơng. Chứng minh a2 + b2 hợp số.

Giải: Gọi x1, x2 lµ hai nghiƯm => x1 + x2 = - a; x1x2 = b + Ta cã: a2 + b2 = [-(x1 + x2)]2 + (x1x2 - 1)2

=> a2 + b2 = (x12 + x22 + 2x1x2) + (x12x22 - 2x1x2 + 1)

=> a2 + b2 = x12 + x22 + x12x22 + = (x12 + 1) (x22 + 1) => a2 + b2 hợp số. Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình: x2 - 3x + a = 0

Gọi t1, t2 hai nghiệm phơng trình t2 - 12t + b = 0 Cho biÕt

1

2

x x t

x t t TÝnh a vµ b.

Giải: áp dụng định lý Vi-ét

x1 + x2 = 3; x1x2 = a t1 + t2 = 12; t1t2 = b Đặt k =

1

2

x x t

x  t t => x1 = kx2, x2 = kt1, t1 = kt2

Thế vào rút ta đợc: k2 =

1

* NÕu k =

1

2 th× a = vµ b = 32

* NÕu k =

-1

2 a = -18 b = -288

Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2.

Giải:

* Điều kiện cần:

Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mÃn x1 = 2x2 x2 = 2x1 => (x1 - 2x1) (x2 - 2x1) = => x1x2 - 2(x12 + x22) + 4x1x2 =

=> 5x1x2 - 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] = 0=> 9x1x2 - 2(x1 + x2)2 = => 9.

c a - 2

2

b

a =

=> 9ac = 2b2 * Điều kiện đủ: Giả sử có 9ac = 2b2 Xét  = b2 - 4ac = b2 -

2

8b b

9  => x1 =

4b 6a 

vµ x2 =

2b 6a 

=> x1 = 2x2

PhÇn III : KÕt luận

Kết nghiên cứu :

- Hc sinh có tiến quan trọng phơng pháp giải phơng trình bậc hai Biết giải tập khó tơng tự nh dạng tập biết để làm Có hứng thú rõ rệt học tốn, có t đổi linh hoạt Có nhu cầu vơn tới tìm tịi sáng tạo tập khó

Lớp Số lợng Giỏi Hiểu áp dụng đề tàiKhá TB Yếu

9A 37 24,3% 27% 35% 13,5%

9B 40 25% 32,5% 30% 12,5%

- Đối với việc vận dụng định lý Vi-ét vào việc giải phơng trình bậc hai ẩn chuyên đề để đồng nghiệp lựa chọn ôn luyện cho học sinh Mong chuyên đề quan trọng giúp cho học sinh vận dụng cách khoa học sáng tạo việc học Toán Xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo em Cần thờng xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic khác

Nghiên cứu đề tài “ứng dụng định lý Vi-ét việc giải Tốn” khơng giúp cho học sinh u thích học mơn tốn, mà cịn sở giúp cho thân có thêm kinh nghiệm giảng dạy Mặc dù cố gắng thực đề tài, song tránh khỏi thiếu sót cấu trúc, ngơn ngữ kiến thức khoa học Vì vậy, tơi mong quan tâm đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài hồn thiện

Xin ch©n thành cảm ơn!

Bá Thớc, ngày 15 tháng năm 2009

Tác giả