Cho F là một tập các phụ thuộc hàm trên tập thuộc tính U, f là một phụ thuộc hàm trên U, (f có thể không thuộc F), nói rằng f được suy dẫn từ tập F theo quan hệ và ký hiệu F ╞f, nếu và c[r]
(1)2 BµI TËP VỊ phỤ THUỘC HaM MỤC TIÊU CỦA BÀI NÀY GIÚP NGƯỜI HỌC
Hiểu tầm quan trọng lý thuyết phụ thuộc hàm Vận dụng thuật tốn tính bao đóng, định nghĩa suy diễn theo
tiên đề, theo quan hệ, tìm phủ tối thiểu, tốn thành viên để giải quyết tập cụ thể.
Áp dụng thuật toán để giải tập liên quan: Tìm bao đóng, chứng minh phụ thuộc hàm có dư thừa tập phụ thuộc hàm không,
A/ NHẮC LẠI LÝ THUYẾT
I MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT
1. Định nghĩa phụ thuộc hàm
Định nghĩa: cho U tập thuộc tính, phụ thuộc hàm U phát biểu có dạng
XY, X,YU
Cho R quan hệ tập thuộc tính U, nói quan hệ R thoả mãn phụ thuộc hàm XY, với R mà chúng giống tập thuộc tính X chúng giống tập thuộc tính Y, nghĩa u,v R, u.X=v.X u.Y=v.Y
Nếu f=XY phụ thuộc hàm U ta nói tập thuộc tính Y phụ thuộc hàm vào tập thuộc tính X (Y functional dependent on X ) tập thuộc tính X xác định hàm tập thuộc tính Y (X functional determines Y)
Cho f phụ thuộc hàm U, quan hệ R thoả mãn phụ thuộc hàm f ta ký hiệu R(f), R không thoả mãn phụ thuộc hàm ta ký hiệu R(f)
Cho F tập phụ thuộc hàm U, nói quan hệ R thoả mãn tập phụ thuộc hàm F, ký hiệu R(F) với f F R(f) hay nói cách tương đương quan hệ R thoả mãn tập phụ thuộc hàm F thoả mãn phụ thuộc hàm tập Định nghĩa: Lược đồ quan hệ cặp =(U, F) U tập hữu hạn thuộc tính cịn F tập phụ thuộc hàm U
2 Một số tính chất phụ thuộc hàm:
1) Tính chất phản xạ: X, YU, YX, XY
2) Tính chất bắc cầu: X, Y, ZU, có XY YZ XZ 3) Tính chất gia tăng: X, YU, X Y ZU XZYZ 4) Tính chất tựa bắc cầu: X, Y, Z, W U, XY, YZ W XZW 5) Tính chất phản xạ chặt: XU XX
6) Luật tách: X, Y, Z U, có XYZ có:
7) Luật hợp: X, Y, Z U, có X Y XZ có XYZ
8) Tính chất cộng tính: X, Y, Z, W U, XY, Z W XZYW
3 Hệ tiên đề Amstrong
F1 - Luật phản xạ X,YU, XY Y X F2 - Bắc cầu X, Y, Z U có
(2)thì XZ
F3 - Luật gia tăng X, Y, Z U, có XY XZYZ
4 Định nghĩa suy dẫn theo hệ tiên đề
Cho F tập phụ thuộc hàm U, f phụ thuộc hàm U ( f khơng thuộc F), nói f suy dẫn từ F theo hệ tiên đề Amstrong kí hiệu F├ f f nhận từ tập F sau số hữu hạn lần áp dụng luật hệ tiên đề Amstrong
Nhận xét:
Với f F F├ f
Kí hiệu F+ tập tất phụ thuộc hàm suy dẫn từ tập F theo hệ tiên đề Amstrong
Ta thấy F F+
F+ gọi bao đóng tập phụ thuộc hàm F, F+ =F ta nói F tập đầy đủ
các phụ thuộc hàm, ta cịn nói F tập đóng
5 Định nghĩa suy dẫn theo quan hệ
Cho F tập phụ thuộc hàm tập thuộc tính U, f phụ thuộc hàm U, (f khơng thuộc F), nói f suy dẫn từ tập F theo quan hệ ký hiệu F ╞f, với quan hệ R U, R thoả mãn F R thoả mãn f Ký hiệu F* tập tất phụ thuộc hàm suy dẫn từ tập F theo quan hệ
F*={f:XY | X,YU, F╞f}
Tính chất F*:
Cho F G hai tập phụ hàm tập thuộc tính U ta có: Tính phản xạ: Với f F F ╞f từ ta suy F F*. Tính đơn điệu: Nếu F G F* G*.
3 Tính luỹ đẳng: Với tập phụ thuộc hàm F ta ln có (F*)*=F*
6 Bao đóng tập thuộc tính
Cho tập phụ thuộc hàm F U, XU, bao đóng tập thuộc tính X, kí hiệu X+ xác định sau:
X+= { A | AU XAF+ }
* Thuật tốn tìm bao đóng tập thuộc tính Input = (U,F), XU
Output X+ =?
Thuật toán
Ta xác định dãy X(0), X(1), X(2), theo quy nạp sau
1 Đặt X(0)=X
2 Giả sử xây dựng đến bước thứ i tức biết X(i) (i>=0)
3 Xây dựng tiếp bước i+1 sau
X(i+1)= X(i) Z(i) đó
Z(i) = Y
jvới điều kiện :
Vì Z(i) hợp vế phải phụ thuộc hàm tập F mà có vế
trái tập tập trước mà có vế phải chưa thêm vào điều kiện (3) có tác dụng tăng tốc độ tính toán
Nhận xét:
XY YZ
(3)X(0), X(1), X(2), dãy không giảm bị chặn U, tồn số i để
X(i)= X(i+1) (*), gọi i số nhỏ X+ = X(i) hay X(i) = U X+ = X(i) = U.
7 Phụ thuộc hàm dư thừa
Cho F tập phụ thuộc hàm U, f phụ thuộc hàm F tức f F, f gọi dư thừa F (F-f)+ =F+
Hay nói tương đương f gọi dư thừa F nến suy dẫn từ tập F sau bỏ phụ thuộc hàm f
Thuật toán thành viên
Input
- Tập phụ thuộc hàm F - f F
Output
- True f dư thừa F
- False f không dư thừa F Method
1) tạm xoá f khỏi F, gọi G tập thu được
G=F-f, G chuyển qua bước 2, cịn khơng kết thúc thuật tốn và kết luận f khơng dư thừa F
2) Giả sử f=XY G├ f tức Y +X¿
G
¿ f dư thừa F cịn ngược
lại f không dư thừa.
Như vậy, ta cần tính X+ so sánh với tập Y ta có câu trả lời X Y có thuộc
vào F+ hay khơng.
II CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1:
Cho lược đồ quan hệ = (U,F) với U = ABCDEGH
F={ BC ADE, AC BDG, BE ABC, CD BDH, BCH ACG}
Hãy tính X+ trường hợp a) X=BD
b) X=ABE c) X=CDG
Ví dụ : Áp dụng tốn thành viên
Giả sử có tậpF={XYW, XWZ, ZY, XYZ}
Hãy cho biếtXYZ có dư thừa F hay không?
Giải
1) Tạm thời xoá XYZ khỏi F G:=F-{XYZ}={XYW, XWZ, ZY} 2) Tính (XY)+
G ( bao đóng XY tập G)
ta có (XY)+
G= XYWZ nên Z(XY)+G hayG├ (XYZ) nên phụ thuộc hàm XYZ dư thừa
trong F
III MỘT SỐ LƯU Ý
Tiên đề Amstrong Áp dụng hệ tiên đề amstrong toán chứng minh
Phụ thuộc hàm theo quan hệ theo tiên đề, bao đóng tập thuộc tính tập phụ thuộc hàm
B/ BÀI TẬP MẪU Bài số 1:
(4)Cho tập phụ thuộc hàm F={ ABCD, ACEBG, BCD AE, CH DG} f=BCDH AG, hỏi rằngF├ f hay không (f F+) ?
Hướng dẫn:
Áp dụng hệ tiên đề Amstrong để chứng minh, cần làm xuất vế trái phụ thuộc hàm cần chứng minh sau áp dụng tiên đề để suy ĐPCM
Giải
BCDH BCD (1) ( tính chất phản xạ ) BCDAE ( gt) (2)
BCDACE ( gia tăng) (3) ACE A (phản xạ) (4)
Suy BCDH A theo tính chất bắc cầu(5) ACE BG (6) giả thiết
BGG (7) phản xạ
Suy ACE G(8) bắc cầu
Suy BCDH G (9) bắc cầu
Từ (5) (9) theo luật cộng tính ( luật ghép) Suy BCDH AG F+ ( đpcm)
Bài số 2:
Cho =(U,F); U=ABCDEGH
F={ ABBCP, EBGH, ACD BG, DAEH} Hãy tính X+ trường hợp
a) X=AC b) X=CD c) X=ABG
Hướng dẫn:
Áp dụng bước thuật tốn tính bao đóng
C/ BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài tập 1:
Cho lược đồ quan hệ =(u, F) với U=ABCDEGH tập phụ hàm
F={AB C, B D, CD E, CE GH, GA}
f=ABE, chứng minh với quan hệ R U R thoả F R thoả f
Bài tập 2:
Cho lược đồ quan hệ (=(U, F) với U=ABCDEGHIJ tập phụ hàm F={AB E, AGJ, BEI, EG, GI H}
f=ABGH, chứng minh f suy dẫn từ F Bài tập 3
Cho lược đồ quan hệ (=(u, F) với U=ABCDEGH tập phụ hàm F={ABC, B D, CDE, CEGH, GA} Hãy chứng minh
ABE ; BGC ABG Bài tập4
Cho lược đồ quan hệ (=(u, F) tập phụ hàm F={ABE, AGI, BEI, EG, GIH}
Chứng minh ABGH suy dẫn từ F Bài tập 5
Cho lược đồ quan hệ (=(u, F) tập phụ hàm F={ABC, BD, CDE, CEGH, GA}
(5)Bài tập 6
Tìm phủ khơng dư tập phụ thuộc hàm F={AC, ABC, CDI, ECAB, EIC} Bài tập 7
Cho F={AB, CD} với CB, chứng minh AD suy dẫn từ F Bài tập 8
Một phụ thuộc hàm XY gọi dư thừa tập phụ thuộc hàm F F+= (F-{XY})+
cho F={XYW, XWZ, ZY, XYZ}
hãy cho biết phụ thuộc hàm XYZ có dư thừa F hay khơng Bài tập 9
Tìm phủ khơng dư
F={ XYZ, ZWP, PZ, WXPQ, XYQYW, WQYZ} Bài tập 10
Cho lược đồ quan hệ R(ABCD) v F={AB, BCD}
hãy cho biết phụ hàm suy dẫn từ F ACD BD ADB
Bài tập 11
F={XYW, YZ, WZP, WPQR, QX} chứng minh XYP suy dẫn từ F Bài tập 12
Loại bỏ phụ thuộc hàm dư thừa tập F={XY, YX, YZ ZY, XZ, ZX} Bài tập 13
cho F={XYW, YZ, WZP, WP QR, QX} chứng minh XYQ suy dẫn từ F Bài tập 14
Cho F={ABC, EC, DAEF, AFB,AFD} phụ thuộc hàm AF(B có dư thừa F không
Bài tập 15
Nếu XY F , AX, thuộc tính A gọi dư thừa { X- A } Y F+
hãy loại bỏ thuộc tính dư thừa tập sau: a F={XYW, XWZ, ZY, XYZ }
b F={ABC, EC, DAEF, ABFBD } Bài tập 16
Sử dụng luật hệ tiên đề Amstrong chứng minh tính chất sau: a Tính tựa bắc cầu: Nếu XY YZW XZW
b Tính phản xạ chặt XX
c Tính cộng tính : Nếu XY ZW XZYW d Tính chất hợp : Nếu XY XZ th ì XYZ e Tính tách : Nếu XYZ XY v XZ f Tính tích luỹ: Nếu XYZ, ZVW XYVW Bài tập 17
Cho lược đồ quan hệ =(U, F) với U=ABCDEG F={AC, BCD, DE, EA}
Hãy tính a) (AB)+
b) ((DE)+A)+
Bài tập 18
Cho lược đồ quan hệ =(U, F) với U=ABCDEG F={BC, ACD, DG, AGE} cho biết
(6)Bài tập 19
Cho lược đồ quan hệ =(U, F) với U=ABCDEGH F={ABGH, GDAHE, CAGH, HEBC } a) tính (CE)+
b) tính (CD)+
c) Chứng minh ABEDH không suy dẫn từ F
d) Chứng minh với quan hệ R U Nếu R thoả F R thoả ACDBHE e) Chứng minh F├ ABE
Bài tập 20
Hãy tìm phủ cực tiểu a) F={ABC, AD, BDC} b) F={ABC, AB}
Bài tập 21
Cho lược đồ quan hệ = (U, F) với U = ABCDEGH F = { B AEG , ABE CH , ACD BEG }
Bằng luật hệ tiên đề Armstrong chứng tỏ phụ thuộc hàm f = BD CGH suy dẫn từ tập phụ thuộc hàm F
Bài tập 22
Cho lược đồ quan hệ = (U,F) với U = ABCDEGH F = { AE BEG , CEH BD , DG BCD, ABC DE}
và phụ thuộc hàm f = ACE DEG Hãy f dẫn từ tập F theo luật hệ tiên đề Armstrong
Bài tập 23
Cho lược đồ quan hệ = (U, F) X,Y,Z tập tập thuộc tính U Dựa vào luật hệ tiên đề Armstrong chứng minh phụ thuộc hàm X YZ suy dẫn từ tập F phụ thuộc hàm X Y X Z suy dẫn từ tập F
Bài tập 24
Cho lược đồ quan hệ = (U,F) với U = ABCDEGH F = { AE BEG , CEH BD , DG BCD, ABC DE}