[r]
(1)Chuyên đề bồi d ỡng học sinh gii nm hc 2010- 2011
biên soạn : gs ts cấn xuân thành
Câu1: Giả sử a,b,c,x,y,z số khác thỏa mÃn:
0
a b c
x yz vµ
x y z
a b c
Gi ả i :
Ta cã:
0
a b c
x yz ayz + bxz + cxy = 0
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2( )
x y z x y z xy xz yz x y z xyc xzb yza
a b c a b c ab ac bc a b c abc
12 =
2 2
2 2
x y z
a b c
2 2
2 2
x y z
a b c
C©u2: Cho x > y vµ xy = CMR:
2 2
2
( )
8
( )
x y
x y
Gi¶i:
Cho x > y vµ xy = CMR:
2 2
2
( )
8
( )
x y
x y
Ta cã:
2 2
2 2 2 2
2
( )
8 ( ) 8( ) ( ) 8( )
( )
x y
x y x y x y x y
x y
2 2 2( ) 2 2 2( ) 0
x y x y x y x y
2 2 2 2( ) 2 2 2 2( ) 2 0
x y x y x y x y
2 2 2 2( ) 2 2 2 2( ) 2 0
x xy y x y x xy y x y
2
2
x y x y
Luôn đúng
Câu3: Giải pt: ( x 1)( x1) x
Giải
Điều kiện: -1x1
Ta cã: ( 1 x 1)( 1 x1) 2 x 1 x 1 1 x 1 1 x1 2x 1 x 1 x x 1 2x x 1 x x 1 2 x 1
1 2(*)
x
x x
(*) 1 x 2 1 x 1- x = + 4x + 4 1 x + 1 4 1 x = - 4- 5x
2
4
4
24
5
25
16 16 25 40 16 25 24 24
25
x
x x
x x
x x x x x
x
Câu4: a) Tìm nghiệm nguyên dơng pt:
1 1
(2)b) Cho ba sè d¬ng a,b,c tháa m·n: a2 + b2 + c2 =
7
5 CM:
1 1
a b c a b c
Gi¶i:
a) Ta cã:
1 1
x yz x,y,z >
Gi¶ sư xyz
1 1
x yz
3
z
3
z 1 z3
Vì z nguyên dơng z = 2;3. * NÕu z = ta cã:
1 1
x y = 1 1
x y=
1
2 x,y > 2
V× xy 1
x y
2
y
1
2
y y4
Vì y nguyên dơng y = 3;4 + NÕu y = 3
1
x =
1
2 x = 6
+ NÕu y = 4 1
4
x =
1
2 x = 4
* NÕu z = ta cã:
1 1
x y = 1 1
x y=
2
3 x,y>
V× xy 1
x y
2
y
2
2
y y3
Vì y nguyên dơng y = 2;3
+ NÕu y = 2
1
x =
2
3 x = 6
+ NÕu y = 3
1
x =
2
3 x = 3
Vậy nghiệm nguyên dơng pt là: (3;3;3); (6; 2; 3); (6; 3; 2); (3; 2; 6); (3; 6; 2); (2; 3; 6); (2; 6; 3); (2; 4; 4); (4; 2; 4); (4; 4; 2)
b) Ta cã
1 1 1
0 1
bc ac ab
bc ac ab ab ac bc
a b c a b c abc abc abc abc
2 2
7 3
2 2 2 2 2
5 5
ab ac bc ab ac bc a b c ab ac bc
2
( )
5
a b c
ln đúng
C©u5: Gi¶i hƯ pt:
2
7 12
x y xy
xy x y
Gi¶i:
Ta cã:
2
3 ( )
7
( ) 12
12
( )
x y I xy
x y xy x y xy
xy x y
xy x y x y
II xy
(3)HÖ pt(II) cã nghiÖm
1
x y
hc
x y
Vậy hệ pt cho có nghiệm
1
x y
hc
x y
C©u6: a) T×m xN biÕt:
1 1 2002
1
3 10 x x( 1) 2004
b) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc Q =
6 6
3 3 3
x y z
x y y z z x Trong x,y,z số dơng thỏa mãn: xy xy yz yz zx zx 1 Giải:
Gi¶i
a) Ta cã:
1 1 2 2 2
1
3 10 x x( 1) 1.2 2.3 3.4 4.5 x x( 1)
1 1 1
2
1.2 2.3 3.4 4.5 x x( 1)
Ta l¹i cã:
1 1 1 1 1 1 1
1 ; ; ; ; ;
1.2 2.3 2 3.4 3 4.5 4 x x( 1) x x1
1 1 1 1 1 1 1
1
3 10 ( 1) 2 3 4 1
x
x x x x x x
Do
1 1 2002 2002 4006
1 1
3 10 ( 1) 2004 2004 2004
x x
x x x x
4008x4006x4006 2x4006 x2003
VËy víi x = 2003 th×
1 1 2002
1
3 10 x x( 1) 2004
b/ *Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số
6
3
x
x y vµ
3
4
x y
ta cã:
6 3 3
3
3 4 3 4
x x y x x y
x
x y x y
T¬ng tù ta cã:
6 3 3
3
3 4 3 4
y y z y y z
y
y z y z
6 3 3
3
3 4 3 4
z z x z z x
z
z x z x
6 6 3 3 3
3 3
3 3 3 4 4 4
x y z x y y z z x
x y z
x y y z z x
6 6
3 3 3
x y z
x y y z z x
3 3
2
x y z (1)
Mặt khác:
2 2
3 3 3 0
x y y z z x
víi mäi x, y, z d¬ng
x3- 2
3
x y + y3 + y3- + z3 + z3- 2 z x3 + x3 0
2(x3 + y3 + z3) 2(
3
x y + y z3
+ z x3 ) x3 + y3 + z3
3
x y + y z3
+
3
(4) x3 + y3 + z3 xy xy yz yz zx zx 1 (2)
Tõ (1) vµ (2)
6 6
3 3 3
x y z
x y y z z x
1
Vậy giá trị nhỏ cđa biĨu thøc Q =
1
Dấu = xảy chØ x = y = z =
1
*Cách 2: Ta chứng minh BĐT:
2
2 1 2
1
1 2
n n
n n
a a a
a
a a
b b b b b b
(*)
áp dụng BĐT bunhiacopxki ta cã:
2
2
2
1 2
1 2
1
1
n n
n n
n n
a a
a a a a
b b b b b b
b b b
b b b
2
2
2 1 2
1 2
1
n
n n
n
a
a a
a a a b b b
b b b
2
2 1 2
1
1 2
n n
n n
a a a
a
a a
b b b b b b
®pcm
áp dụng BĐT (*) ta có:
6 6
3 3 3
x y z
x y y z z x
3 3 3
3 3
3 3
2( )
x y z x y z
x y z
(1)
Mặt khác:
2 2
3 3 3
0
x y y z z x
víi mäi x, y, z d¬ng
x3- 2
3
x y + y3 + y3- + z3 + z3- 2 z x3 + x3 0
2(x3 + y3 + z3) 2(
3
x y + y z3
+ z x3 ) x3 + y3 + z3
3
x y + y z3
+
3
z x
x3 + y3 + z3 xy xy yz yz zx zx 1 (2)
Tõ (1) vµ (2)
6 6
3 3 3
x y z
x y y z z x
1
Vậy giá trị nhỏ cđa biĨu thøc Q =
1
Dấu = xảy chØ x = y = z =
1
C©u7: a) Cho x- y = 4; x2 + y2 = 36 TÝnh x3- y3.
b) Cho c¸c sè thùc a, b, x, y tháa m·n ®iỊu kiƯn: a + b = 3; ax + by = 5; ax2 + by2 =
12; ax3 + by3 = 31 TÝnh ax4 + by4
Gi¶i:
a) Ta cã: (x- y)2 = x2 + y2- 2xy 2xy = x2 + y2- (x- y)2 = 36- 16 = 20 xy = 10
x3- y3 = (x- y)(x2 + xy + y2) = 4.(36 + 10) = 184
b) Ta cã: ax2 + by2 = (ax + by)(x + y)- (a + b)xy (1)
ax3 + by3 = (ax2 + by2)(x + y)- (ax + by)xy (2)
(5)Tõ (1) vµ (2) ta cã
5( ) 12 25( ) 15 60 11( ) 33
12( ) 31 36( ) 15 93 5( ) 12
x y xy x y xy x y x y
x y xy x y xy x y xy xy
ax4 + by4 = 31.3- 12.1= 81
Câu8:a) Giải pt:
3
1
78( )
y y
y y
với điều kiện y0.
a) Giải hÖ pt:
2 2
2 2
( ) 185
( ) 65
x xy y x y
x xy y x y
Gi¶i :
a) Gi¶i pt:
3
1
78( )
y y
y y
víi ®iỊu kiƯn y0.
Ta cã:
3 2
3 2
1 1 1 1
78( ) 78 79
y y y y y y y
y y y y y y y
2
2
1 1 1 1
2 81 81 9
y y y y y y y
y y y y y y y
1
0( )
9 0( )
9 0( )
y I
y
y II
y
y III
y
(I) y 2 0_ v« nghiƯm (II) y2- 9y + = 0 y =
9 77
2
(III) y2 + 9y + = 0 y =
9 77
2
Vậy pt cho có nghiệm y =
9 77
2
; y =
9 77
2
b) Gi¶i hƯ pt:
2 2
2 2
( ) 185
( ) 65
x xy y x y
x xy y x y
(I)
Đặt
2
t x y (t0) ta cã hÖ:
2 3
2 3
( ) 185 185 250
( ) 65 65 65
t xy t t xyt t
t xy t t xyt t xyt
3
125 5
5 60 12
65
t t t
xy xy
t xyt
Ta cã (1)
2 2
2
12 12 12 12
25 ( ) 25 ( ) 24 25
5
xy xy xy xy
x y x y xy x y
x y
(6) 12 12 12
( ) 49 12
7 xy xy x y xy x y
x y xy
x y x y x y hc x y hc x y hc x y
Vậy hệ pt cho có nghiệm
3 x y hc x y hc x y hc x y
Câu9: Giả sử x,y,z số nguyên không âm thỏa mÃn diều kiện sau:
36
2 72
x by x z
Trong b > cho trớc CMR: a) Nếu b3 (x+y+z)max= 36
b) NÕu b<3 th× (x+y+z)max= 24 +
36
b
Gi¶i
: Giả sử x,y,z số nguyên không ©m tháa m·n diỊu kiƯn sau:
36
2 72
x by x z
Trong b > cho trớc CMR:
a) NÕu b3 by3y x + byx + 3y x + 3y 36 x + 3y + 2x + 3z 36 + 72
3(x + y + z) 108 x + y + z36 (x+y+z)max= 36
b) NÕu b<3 th× (x+y+z)max= 24 +
36
b
Câu10:(3,5đ) Giải pt sau:
a)
2
3
1 10 21
1 1
y y y
y y y y y y y y
b) 3 1 78 y y y y Giải
a) Điều kiện y 1.
Ta cã:
2
3
1 10 21
1 1
y y y
y y y y y y y y
2
2 2
1 10 21
0
1 1 1 1
y y y
y y y y y y y y y
b) 3 1 78 y y y y
§iỊu kiƯn y 0
Ta cã:
3 2
3 2
1 1 1 1
78( ) 78 79
y y y y y y y
y y y y y y y
2
1 1 1 1
2 81 81 9
y y y y y y y
y y y y y y y
(7)
1
0( )
9 0( )
9 0( )
y I
y
y II
y
y III
y
(I) y 2 0_ v« nghiƯm (II) y2- 9y + = 0 y =
9 77
2
(III) y2 + 9y + = 0 y =
9 77
2
Vậy pt cho có nghiệm y =
9 77
2
; y =
9 77
2
Ph©n 2:
kết hợp sử dung máy tính cầm tay casio Câu 11 Tính gái trị biểu thúc sau:
a/ 5 3 29 20
Gi¶i:
5 3 29 20
=
2
5 3 20 3
= 5 3 20 3
= 5 6 20 5 5 =
2
5 1
= 5 1 =1 b/ B = 5 13 48 = 5 13 12 =
2
6 5 12 1
6 5 12 1
= 4 12 = 3 =
2
6 2 1
= 2 1 = 3 2,129764866
c/ C = 4 5 48 10 3 = 4 5 48 10 2
= 4 5 28 10 3 =
2
4 5 5
= 4 5 5 3 = 4 25= 9=3
(8)a/ A =
42 12
1 11
1 10
13
=
42 12
1 11
131 13
=
42 12
13 11
131
=
42 12
1454 131
=
42 131 12
1454
=
42 17579
1454 =
42.1454
17579 =3,473917743
b/ B =
35 12
5 11
7 10
13
=
35 12
5 11
123 13
=
35 12
65 11
123
=
35 12
1288 123
=
35 369 12
1288
=
=
35 15087
1288 =
35.1288
15087 =2,988002916
C©u 13: TÝnh giá trị biểu thức: a/ A=
:
m n m n n m
m n mn m mn mn n
Víi : m = + 2 , n = - 2 6
Thay m,n vµo biĨu thøc A tacã : A =
7 + 6+7 - + - - +
:
7 + - + - + + - + - -
=
14 14 - +
:
6 25 + 25 25 -
=
14 14 - + :
5
2 + 12 -
Câu 14 : Hãy viết quy trình bấm máy liên tục để tính a, b máy tính casio
biÕt :
123 4567 =
1 37
1
1
2 a
b
C©u 15 : TÝnh tỉng : a/ S =
1 1
1.3 3.5 5.7 2005.2007
=
1 1 1 1 1
1
2 3 5 2003 2005 2005 2007
=
1
1
2 2007
=
1 2006
2 2007 =
1003 2007
b/ S =
1 1
(9)
=
1 1 1 1 1
1
4 5 9 13 2001 2005 2005 2009
=
1
1
4 2009
=
1 2008
4 2009=
502 2009
c/ S =
1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 2005.2006.2007
=
1 1 1 1
1.3 2.3 2.4 3.4 3.5 4.5 2005.2007 2006.2007
=
1 1 1 1
1.3 2.4 3.5 2005.2007 2.3 3.4 4.5 2006.2007
=
1 1 1 1 1 1
1.3 3.5 2005.2007 2.4 4.6 6.8 2004.2006 2.3 3.4 4.5 2006.2007
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2007 4 6 2004 2006 3 4 2006 2007
=
1 1 1
1
2 2007 2006 2007
=
1003 1002 2005
2007 2006 2007
=
1002 1002
2006 2007
=
1002
2006.2007=
167 671007
=0.0002487 c/ S =
1 1
2 3 4 5 2007 2008
= 2 3 3 4 4 2007 2008
= 2008 = 43,3964
d/ Rút gọn tính giá trị biểu thức sau x =2010
S = 2 2
1 1
3 12 199 9900
x x x x x x x x
=
1 1
1 2 3 99 100
x x x x x x x x
=
1 1 1 1
1 2 3 99 100
x x x x x x x x
=
1
1 100
x x
=
100
1 100
x x
x x
=
99
1 100
x x
(10)Thay x = 2010 vµo tacã : S =
5
99 99
2,58.10
2010 2010 100 2009.1910
e/ S =
1 1
1 3 5 7 5 2007 2009 2009 2007
=
1 1 1 1 1
2 3 5 2007 2009
=
1 1
2 2009
=
1 2009
2 2009
=
2009 2009
Chứng minh công thức tổng quát : C«ng thøc 1:
1 1 1 1
2k1 2k1 2k3 8 2k1 2 k1 2 k3
Víi k N*
ThËt vËy tacã:
1
2k1 2k1 2k3
1 1
2 2k 2k 2k
=
1 1 1
2 2k 2k 2k 2k
=
1 1 1 1
2 2k 2k 2 2k 2k
=
1 1 1 1
8 2k1 2 k3 2 k1 2 k3
=
1 1 1
8 2k1 2 k1 k3 => đpcm
áp dụng tính :
1 1
1.3.5 3.5.7 5.7.9 2005.2007.2009
Tacã:
1 1
1.3.5 12 24
1 1
3.5.724 20 56
1 1
5.7.940 28 72
1 1
2001.2003.2005 16008 8012 16040
1 1
2003.2005.2007 16024 8020 16056
1 1
(11)_
1 1
1.3.5 3.5.7 5.7.9 2005.2007.2009=
1 1
8 12 24 + 16056
1 8028
16072
C«ng thøc2:
1
2 k k
k Víi k N*
ThËt vËy tacã:
1
k =
2
2
2
2 1
k k
k k
k k k k k k k
=VP ®pcm
Ap dơng :
1) CMR với số nguyên dơng n tacó ta cã:
1 1
1
2 n n n
2) CM :
1 1
1
2 n n
3)
C«ng thøc 3:
1 1
2
1
k k k k
Víi k N*
ThËt vËy tacã :
1 1 1 1
1
1 k k k k k k k 1
k k k k k k
=
1 1 1
1
1 1
k k k k k
=> ĐPCM
áp dụng:
1) CMR với số nguyên dơng n tacó ta có:
1 1 1
2 4 n1 n
C«ng thøc 4:
1 1
1 1
n n n n n n
Víi mäi n N*
ThËt vËy tacã :
1
1 1
VT
n n n n n n n n
=
1 1 1 1
1
1 1
n n n n
VP
n n n n
n n n n n n
ĐPCM áp dụng
1) tính S =
1 1
1 3 5 7 5 2007 2009 2009 2007
2) tÝnh S =
1 1