1. Trang chủ
  2. » Cao đẳng - Đại học

tài kiệu bồi dưỡng học sinh giỏi

11 5 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 11
Dung lượng 577,41 KB

Nội dung

[r]

(1)

Chuyên đề bồi d ỡng học sinh gii nm hc 2010- 2011

biên soạn : gs ts cấn xuân thành

Câu1: Giả sử a,b,c,x,y,z số khác thỏa mÃn:

0

a b c

xyz  vµ

x y z

a b c

Gi i :

Ta cã:

0

a b c

xyz   ayz + bxz + cxy = 0

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2( )

x y z x y z xy xz yz x y z xyc xzb yza

a b c a b c ab ac bc a b c abc

   

            

 

 12 =

2 2

2 2

x y z

abc  

2 2

2 2

x y z

abc

C©u2: Cho x > y vµ xy = CMR:

2 2

2

( )

8

( )

x y

x y

 

Gi¶i:

Cho x > y vµ xy = CMR:

2 2

2

( )

8

( )

x y

x y

 

Ta cã:

2 2

2 2 2 2

2

( )

8 ( ) 8( ) ( ) 8( )

( )

x y

x y x y x y x y

x y

         

2 2 2( ) 2 2 2( ) 0

x y x y x y x y

  

         

 

2 2 2 2( ) 2 2 2 2( ) 2 0

x y x y x y x y

  

           

  

2 2 2 2( ) 2 2 2 2( ) 2 0

x xy y x y x xy y x y

  

             

 

  

2

2

x y x y

     

 Luôn đúng

Câu3: Giải pt: ( x 1)( x1) x

Giải

Điều kiện: -1x1

Ta cã: ( 1 x 1)( 1 x1) 2 x  1 x 1  1 x 1  1 x1 2x 1 x 1 xx 1 2xx 1 xx 1 2 x 1

 

             

 

1 2(*)

x

x x

   

    

(*) 1 x 2 1  x 1- x = + 4x + 4 1 x + 1 4 1 x = - 4- 5x

2

4

4

24

5

25

16 16 25 40 16 25 24 24

25

x

x x

x x

x x x x x

x

 

 

 

 

   

 

     

  

         

  

  

Câu4: a) Tìm nghiệm nguyên dơng pt:

1 1

(2)

b) Cho ba sè d¬ng a,b,c tháa m·n: a2 + b2 + c2 =

7

5 CM:

1 1

a b c   a b c

Gi¶i:

a) Ta cã:

1 1

xyz   x,y,z >

Gi¶ sư xyz

1 1

xyz

3

z

 

3

z 1 z3

Vì z nguyên dơng z = 2;3. * NÕu z = ta cã:

1 1

xy = 1 1

xy=

1

2  x,y > 2

V× xy 1

xy

2

y 

1 

2

y  y4

Vì y nguyên dơng y = 3;4 + NÕu y = 3

1

x =

1

2  x = 6

+ NÕu y = 4 1

4

x =

1

2  x = 4

* NÕu z = ta cã:

1 1

xy = 1 1

xy=

2

3  x,y>

V× xy 1

xy

2

y 

2 

2

y  y3

Vì y nguyên dơng y = 2;3

+ NÕu y = 2

1

x =

2

3  x = 6

+ NÕu y = 3

1

x =

2

3  x = 3

Vậy nghiệm nguyên dơng pt là: (3;3;3); (6; 2; 3); (6; 3; 2); (3; 2; 6); (3; 6; 2); (2; 3; 6); (2; 6; 3); (2; 4; 4); (4; 2; 4); (4; 4; 2)

b) Ta cã

1 1 1

0 1

bc ac ab

bc ac ab ab ac bc

a b c  a b cabc abc abc abc             

2 2

7 3

2 2 2 2 2

5 5

ab ac bc ab ac bc a b c ab ac bc

                  

2

( )

5

a b c

    

ln đúng

C©u5: Gi¶i hƯ pt:

2

7 12

x y xy

xy x y

  

 

 

Gi¶i:

Ta cã:

2

3 ( )

7

( ) 12

12

( )

x y I xy

x y xy x y xy

xy x y

xy x y x y

II xy

  

 

     

  

 

  

 

     

     

(3)

HÖ pt(II) cã nghiÖm

1

x y

  

 hc

x y

  

 

Vậy hệ pt cho có nghiệm

1

x y

  

 hc

x y

  

 

C©u6: a) T×m xN biÕt:

1 1 2002

1

3 10 x x( 1) 2004

     

b) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc Q =

6 6

3 3 3

x y z

xyyzzx Trong x,y,z số dơng thỏa mãn: xy xy yz yz zx zx  1 Giải:

Gi¶i

a) Ta cã:

1 1 2 2 2

1

3 10 x x( 1) 1.2 2.3 3.4 4.5 x x( 1)

          

 

1 1 1

2

1.2 2.3 3.4 4.5 x x( 1)

 

       

 

Ta l¹i cã:

1 1 1 1 1 1 1

1 ; ; ; ; ;

1.2  2.3 2 3.4 3 4.5 4 x x( 1) x x1

1 1 1 1 1 1 1

1

3 10 ( 1) 2 3 4 1

x

x x x x x x

   

                    

       

Do

1 1 2002 2002 4006

1 1

3 10 ( 1) 2004 2004 2004

x x

x x x x

         

  

 4008x4006x4006 2x4006 x2003

VËy víi x = 2003 th×

1 1 2002

1

3 10 x x( 1) 2004

     

b/ *Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số

6

3

x

xy

3

4

xy

ta cã:

6 3 3

3

3 4 3 4

x x y x x y

x

x y x y

 

  

 

T¬ng tù ta cã:

6 3 3

3

3 4 3 4

y y z y y z

y

y z y z

 

  

 

6 3 3

3

3 4 3 4

z z x z z x

z

z x z x

 

  

 

6 6 3 3 3

3 3

3 3 3 4 4 4

x y z x y y z z x

x y z

x y y z z x

  

       

  

6 6

3 3 3

x y z

xyyzzx

3 3

2

xyz (1)

Mặt khác:

2 2

3 3 3 0

x y y z z x

   

     

   

 

 

 víi mäi x, y, z d¬ng

 x3- 2

3

x y + y3 + y3- + z3 + z3- 2 z x3 + x3 0

 2(x3 + y3 + z3) 2(

3

x y + y z3

+ z x3 ) x3 + y3 + z3 

3

x y + y z3

+

3

(4)

 x3 + y3 + z3 xy xy yz yz zx zx  1 (2)

Tõ (1) vµ (2) 

6 6

3 3 3

x y z

xyyzzx

1

Vậy giá trị nhỏ cđa biĨu thøc Q =

1

Dấu = xảy chØ x = y = z =

1

*Cách 2: Ta chứng minh BĐT:

2

2 1 2

1

1 2

n n

n n

a a a

a

a a

b b b b b b

  

   

(*)

áp dụng BĐT bunhiacopxki ta cã:

2

2

2

1 2

1 2

1

1

n n

n n

n n

a a

a a a a

b b b b b b

b b b

b b b

   

            

 

 

  

2

2

2 1 2

1 2

1

n

n n

n

a

a a

a a a b b b

b b b

  

         

  

 

2

2 1 2

1

1 2

n n

n n

a a a

a

a a

b b b b b b

  

   

   ®pcm

áp dụng BĐT (*) ta có:

6 6

3 3 3

x y z

xyyzzx

 3 3 3

3 3

3 3

2( )

x y z x y z

x y z

 

 

  (1)

Mặt khác:

2 2

3 3 3

0

x y y z z x

   

     

   

 

 

 víi mäi x, y, z d¬ng

 x3- 2

3

x y + y3 + y3- + z3 + z3- 2 z x3 + x3 0

 2(x3 + y3 + z3) 2(

3

x y + y z3

+ z x3 ) x3 + y3 + z3 

3

x y + y z3

+

3

z x

 x3 + y3 + z3 xy xy yz yz zx zx  1 (2)

Tõ (1) vµ (2) 

6 6

3 3 3

x y z

xyyzzx

1

Vậy giá trị nhỏ cđa biĨu thøc Q =

1

Dấu = xảy chØ x = y = z =

1

C©u7: a) Cho x- y = 4; x2 + y2 = 36 TÝnh x3- y3.

b) Cho c¸c sè thùc a, b, x, y tháa m·n ®iỊu kiƯn: a + b = 3; ax + by = 5; ax2 + by2 =

12; ax3 + by3 = 31 TÝnh ax4 + by4

Gi¶i:

a) Ta cã: (x- y)2 = x2 + y2- 2xy  2xy = x2 + y2- (x- y)2 = 36- 16 = 20 xy = 10

 x3- y3 = (x- y)(x2 + xy + y2) = 4.(36 + 10) = 184

b) Ta cã: ax2 + by2 = (ax + by)(x + y)- (a + b)xy (1)

ax3 + by3 = (ax2 + by2)(x + y)- (ax + by)xy (2)

(5)

Tõ (1) vµ (2) ta cã

5( ) 12 25( ) 15 60 11( ) 33

12( ) 31 36( ) 15 93 5( ) 12

x y xy x y xy x y x y

x y xy x y xy x y xy xy

         

   

  

   

         

   

 ax4 + by4 = 31.3- 12.1= 81

Câu8:a) Giải pt:

3

1

78( )

y y

y y

 

với điều kiện y0.

a) Giải hÖ pt:

2 2

2 2

( ) 185

( ) 65

x xy y x y

x xy y x y

    

 

   

 

Gi¶i :

a) Gi¶i pt:

3

1

78( )

y y

y y

  

víi ®iỊu kiƯn y0.

Ta cã:

3 2

3 2

1 1 1 1

78( ) 78 79

y y y y y y y

y y y y y y y

       

                  

      

2

2

1 1 1 1

2 81 81 9

y y y y y y y

y y y y y y y

  

           

 

                          

  

            

1

0( )

9 0( )

9 0( )

y I

y

y II

y

y III

y

 

  

    

 

  

 

(I) y  2 0_ v« nghiƯm (II)  y2- 9y + = 0 y =

9 77

2 

(III)  y2 + 9y + = 0 y =

9 77

2  

Vậy pt cho có nghiệm y =

9 77

2 

; y =

9 77

2  

b) Gi¶i hƯ pt:

2 2

2 2

( ) 185

( ) 65

x xy y x y

x xy y x y

    

 

   

(I)

Đặt

2

txy (t0) ta cã hÖ:

2 3

2 3

( ) 185 185 250

( ) 65 65 65

t xy t t xyt t

t xy t t xyt t xyt

       

  

 

  

     

  

  

3

125 5

5 60 12

65

t t t

xy xy

t xyt

     

 

  

 

 

  

Ta cã (1) 

2 2

2

12 12 12 12

25 ( ) 25 ( ) 24 25

5

xy xy xy xy

x y x y xy x y

x y

      

  

   

       

 

   

(6)

 12 12 12

( ) 49 12

7 xy xy x y xy x y

x y xy

x y x y                                       x y      hc x y      hc x y      hc x y     

Vậy hệ pt cho có nghiệm

3 x y      hc x y      hc x y      hc x y  

Câu9: Giả sử x,y,z số nguyên không âm thỏa mÃn diều kiện sau:

36

2 72

x by x z       

Trong b > cho trớc CMR: a) Nếu b3 (x+y+z)max= 36

b) NÕu b<3 th× (x+y+z)max= 24 +

36

b

Gi¶i

: Giả sử x,y,z số nguyên không ©m tháa m·n diỊu kiƯn sau:

36

2 72

x by x z       

Trong b > cho trớc CMR:

a) NÕu b3 by3y x + byx + 3y x + 3y 36 x + 3y + 2x + 3z 36 + 72

 3(x + y + z) 108 x + y + z36 (x+y+z)max= 36

b) NÕu b<3 th× (x+y+z)max= 24 +

36

b

Câu10:(3,5đ) Giải pt sau:

a)

2

3

1 10 21

1 1

y y y

y y y y y y y y

             b) 3 1 78 y y y y          Giải

a) Điều kiện y 1.

Ta cã:

2

3

1 10 21

1 1

y y y

y y y y y y y y

 

  

       

           

2

2 2

1 10 21

0

1 1 1 1

y y y

y y y y y y y y y

                b) 3 1 78 y y y y        

 §iỊu kiƯn y 0

Ta cã:

3 2

3 2

1 1 1 1

78( ) 78 79

y y y y y y y

y y y y y y y

                                  2

1 1 1 1

2 81 81 9

y y y y y y y

y y y y y y y

(7)

1

0( )

9 0( )

9 0( )

y I

y

y II

y

y III

y

 

  

    

 

  

 

(I) y  2 0_ v« nghiƯm (II)  y2- 9y + = 0 y =

9 77

2 

(III)  y2 + 9y + = 0 y =

9 77

2  

Vậy pt cho có nghiệm y =

9 77

2 

; y =

9 77

2  

Ph©n 2:

kết hợp sử dung máy tính cầm tay casio Câu 11 Tính gái trị biểu thúc sau:

a/ 5 3 29 20

Gi¶i:

5 3 29 20

=  

2

5 3 20 3

= 5 3  20 3 

= 5 6 20  5 5 =  

2

5 1

= 5  1  =1 b/ B = 5  13 48 = 5  13 12 =  

2

6 5  12 1

 

6 5  12 1

= 4  12 = 3  =  

2

6 2 1

= 2  1  = 3 2,129764866

c/ C = 4 5 48 10 3   = 4 5 48 10   2 

= 4 5 28 10 3  =  

2

4 5 5 

= 4 5 5   3 = 4 25= 9=3

(8)

a/ A =

42 12

1 11

1 10

13 

 

=

42 12

1 11

131 13 

=

42 12

13 11

131 

=

42 12

1454 131 

=

42 131 12

1454 

=

42 17579

1454 =

42.1454

17579 =3,473917743

b/ B =

35 12

5 11

7 10

13 

 

=

35 12

5 11

123 13 

=

35 12

65 11

123 

=

35 12

1288 123 

=

35 369 12

1288 

=

=

35 15087

1288 =

35.1288

15087 =2,988002916

C©u 13: TÝnh giá trị biểu thức: a/ A=

:

m n m n n m

m n mn m mn mn n

   

 

 

     Víi : m = + 2 , n = - 2 6

Thay m,n vµo biĨu thøc A tacã : A =

        

7 + 6+7 - + - - +

:

7 + - + - + + - + - -

 

 

 

 

    

 

=

14 14 - +

:

6 25 + 25 25 -

 

 

 

 

      

=

14 14 - + :

5

2 + 12 -

 

 

 

 

 

Câu 14 : Hãy viết quy trình bấm máy liên tục để tính a, b máy tính casio

biÕt :

123 4567 =

1 37

1

1

2 a

b

 

 

C©u 15 : TÝnh tỉng : a/ S =

1 1

1.3 3.5 5.7   2005.2007

=

1 1 1 1 1

1

2 3 5 2003 2005 2005 2007

 

         

 

 

=

1

1

2 2007

 

 

 =

1 2006

2 2007 =

1003 2007

b/ S =

1 1

(9)

=

1 1 1 1 1

1

4 5 9 13 2001 2005 2005 2009

 

         

 

 

=

1

1

4 2009

 

 

 =

1 2008

4 2009=

502 2009

c/ S =

1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5   2005.2006.2007

=

1 1 1 1

1.3 2.3 2.4 3.4 3.5 4.5      2005.2007 2006.2007

=

1 1 1 1

1.3 2.4 3.5 2005.2007 2.3 3.4 4.5 2006.2007

   

        

   

   

=

1 1 1 1 1 1

1.3 3.5 2005.2007 2.4 4.6 6.8 2004.2006 2.3 3.4 4.5 2006.2007

     

            

     

     

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

2 2007 4 6 2004 2006 3 4 2006 2007

     

                  

     

     

=

1 1 1

1

2 2007 2006 2007

     

    

     

     

=

1003 1002 2005

2007 2006 2007 

=

1002 1002

2006 2007

=

1002

2006.2007=

167 671007

=0.0002487 c/ S =

1 1

2  3  4 5  2007 2008

=  2 3 3 4 4   2007 2008

= 2008 = 43,3964

d/ Rút gọn tính giá trị biểu thức sau x =2010

S = 2 2

1 1

3 12 199 9900

xx xx xx  xx

=                

1 1

1 2 3 99 100

xx  xx  xx   xx

=                

1 1 1 1

1 2 3 99 100

x  x  x  x  x  x   x  x

=    

1

1 100

x  x

=

 

   

100

1 100

x x

x x

  

 

=    

99

1 100

x x

(10)

Thay x = 2010 vµo tacã : S =    

5

99 99

2,58.10

2010 2010 100 2009.1910

 

 

 

e/ S =

1 1

1 3 5 7 5      2007 2009 2009 2007

=

1 1 1 1 1

2 3 5 2007 2009

 

       

 

 

=

1 1

2 2009

 

 

 

=

1 2009

2 2009

=

2009 2009

Chứng minh công thức tổng quát : C«ng thøc 1:      

1 1 1 1

2k1 2k1 2k3 8 2k1 2 k1 2 k3

Víi k N*

ThËt vËy tacã:      

1

2k1 2k1 2k3    

1 1

2 2k 2k 2k

 

   

  

  =

1 1 1

2 2k 2k 2k 2k

 

 

   

 

=

1 1 1 1

2 2k 2k 2 2k 2k

   

  

   

   

   =

1 1 1 1

8 2k1 2 k3 2 k1 2 k3

=

1 1 1

8 2k1 2 k1 k3 => đpcm

áp dụng tính :

1 1

1.3.5 3.5.7 5.7.9   2005.2007.2009

Tacã:

1 1

1.3.5 12 24  

1 1

3.5.724 20 56 

1 1

5.7.940 28 72 

1 1

2001.2003.2005 16008 8012 16040  

1 1

2003.2005.2007 16024 8020 16056  

1 1

(11)

_

1 1

1.3.5 3.5.7 5.7.9   2005.2007.2009=

1 1

8 12 24  + 16056

1 8028

16072 

C«ng thøc2:  

1

2 k k

k    Víi k N*

ThËt vËy tacã:

1

k =

 

     

2

2

2

2 1

k k

k k

k k k k k k k

 

    

     

=VP  ®pcm

Ap dơng :

1) CMR với số nguyên dơng n tacó ta cã:

 

1 1

1

2 n n n

       

2) CM :

1 1

1

2 n n

     

3)

C«ng thøc 3:  

1 1

2

1

k k k k

 

   

    Víi k N*

ThËt vËy tacã :    

1 1 1 1

1

1 k k k k k k k 1

k k k k k k

   

 

          

 

        

=

1 1 1

1

1 1

k k k k k

     

   

     

  

     => ĐPCM

áp dụng:

1) CMR với số nguyên dơng n tacó ta có:

 

1 1 1

2 4     n1 n

C«ng thøc 4:  

1 1

1 1

nn n n   nn

Víi mäi n  N*

ThËt vËy tacã :    

1

1 1

VT

n n n n n n n n

 

     

=

 

   

1 1 1 1

1

1 1

n n n n

VP

n n n n

n n n n n n

   

   

 

   

ĐPCM áp dụng

1) tính S =

1 1

1 3 5 7 5      2007 2009 2009 2007

2) tÝnh S =

1 1

Ngày đăng: 08/04/2021, 17:10

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w