tài kiệu bồi dưỡng học sinh giỏi

Chuyên đề bồi d ỡng học sinh giỏi năm học 2010- 2011 biên soạn : gs ts cấn xuân thành Câu1: Giả sử a,b,c,x,y,z là những số khác 0 thỏa mãn: 0 a b c x y z + + = và 1 x y z a b c + + = . Gi i : Ta có: 0 a b c x y z + + = ayz + bxz + cxy = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( )x y z x y z xy xz yz x y z xyc xzb yza a b c a b c ab ac bc a b c abc + + + + = + + + + + = + + + ữ 1 2 = 2 2 2 2 2 2 0 x y z a b c + + + 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = Câu2: Cho x > y và xy = 1. CMR: 2 2 2 2 ( ) 8 ( ) x y x y + Giải: Cho x > y và xy = 1. CMR: 2 2 2 2 ( ) 8 ( ) x y x y + Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 8 ( ) 8( ) ( ) 8( ) 0 ( ) x y x y x y x y x y x y + + + 2 2 2 2 2 2( ) 2 2( ) 0x y x y x y x y + + + 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 2 2 2( ) 2 0x y x y x y x y + + + + + 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 2 2 2( ) 2 0x xy y x y x xy y x y + + + + + ) ) ( 2 2 2 2 0x y x y + Luôn đúng Câu3: 1. Giải pt: ( 1 1)( 1 1) 2x x x+ + = Giải Điều kiện: -1 x 1 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1)( 1 1) 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1x x x x x x x x+ + = + + + + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 1 0x x x x x x x + + + = + + + = 0 1 1 2 1 2(*) x x x = + = + + (*) 1 2 1 1x x = + + 1- x = 4 + 4x + 4 1 x+ + 1 4 1 x+ = - 4- 5x 2 2 4 4 4 5 24 05 5 25 16 16 25 40 16 25 24 0 24 25 x x x x x x x x x x x = = + = + + + = = Câu4: a) Tìm nghiệm nguyên dơng của pt: 1 1 1 1 x y z + + = b) Cho ba số dơng a,b,c thỏa mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 7 5 . CM: 1 1 1 1 . .a b c a b c + < Giải: a) Ta có: 1 1 1 1 x y z + + = x,y,z > 1 Giả sử x y z 1 1 1 x y z + + 3 z 3 z 1 z 3 Vì z nguyên dơng z = 2;3. * Nếu z = 2 ta có: 1 1 1 2x y + + = 1 1 1 x y + = 1 2 x,y > 2 Vì x y 1 1 x y + 2 y 1 2 2 y y 4 Vì y nguyên dơng y = 3;4 + Nếu y = 3 1 1 3x + = 1 2 x = 6 + Nếu y = 4 1 1 4x + = 1 2 x = 4 * Nếu z = 3 ta có: 1 1 1 3x y + + = 1 1 1 x y + = 2 3 x,y> 3 2 Vì x y 1 1 x y + 2 y 2 3 2 y y 3 Vì y nguyên dơng y = 2;3 + Nếu y = 2 1 1 2x + = 2 3 x = 6 + Nếu y = 3 1 1 3x + = 2 3 x = 3 Vậy nghiệm nguyên dơng của pt là: (3;3;3); (6; 2; 3); (6; 3; 2); (3; 2; 6); (3; 6; 2); (2; 3; 6); (2; 6; 3); (2; 4; 4); (4; 2; 4); (4; 4; 2) b) Ta có 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 . . bc ac ab bc ac ab ab ac bc a b c a b c abc abc abc abc + < + < + < + > 2 2 2 7 3 3 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 5 5 5 ab ac bc ab ac bc a b c ab ac bc + > + + > + + + + > 2 3 ( ) 0 5 a b c + + > luôn đúng Câu5: Giải hệ pt: 2 2 7 12 x y xy xy x y + + = + = Giải: Ta có: 2 2 3 ( ) 4 7 7 ( ) 12 12 4 ( ) 3 x y I xy x y xy x y xy xy x y xy x y x y II xy + = = + + = + + = + = + = + = = Hệ pt (I) vô nghiệm Hệ pt(II) có nghiệm 1 3 x y = = hoặc 3 1 x y = = Vậy hệ pt đã cho có nghiệm 1 3 x y = = hoặc 3 1 x y = = Câu6: a) Tìm x N biết: 1 1 1 2 2002 1 . 1 3 6 10 ( 1) 2004x x + + + + + = + b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 6 6 6 3 3 3 3 3 3 x y z x y y z z x + + + + + Trong đó x,y,z là các số dơng thỏa mãn: 1xy xy yz yz zx zx+ + = Giải: Giải a) Ta có: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 . . 3 6 10 ( 1) 1.2 2.3 3.4 4.5 ( 1)x x x x + + + + + = + + + + + + + 1 1 1 1 1 2 . 1.2 2.3 3.4 4.5 ( 1)x x = + + + + + ữ + Ta lại có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; .; 1.2 2 2.3 2 3 3.4 3 4 4.5 4 5 ( 1) 1x x x x = = = = = + + 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 . 2 1 . 2 1 3 6 10 ( 1) 2 2 3 3 4 4 5 1 1 1 x x x x x x x + + + + + = + + + + + = = ữ ữ + + + + Do đó 1 1 1 2 2002 2 2002 2 4006 1 . 1 1 3 6 10 ( 1) 2004 1 2004 1 2004 x x x x x x + + + + + = = = + + + 4008 4006 4006 2 4006 2003x x x x = + = = Vậy với x = 2003 thì 1 1 1 2 2002 1 . 1 3 6 10 ( 1) 2004x x + + + + + = + b/ *Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số 6 3 3 x x y+ và 3 3 4 x y+ ta có: 6 3 3 6 3 3 3 3 3 3 3 2 . 4 4 x x y x x y x x y x y + + + = + + Tơng tự ta có: 6 3 3 6 3 3 3 3 3 3 3 2 . 4 4 y y z y y z y y z y z + + + = + + 6 3 3 6 3 3 3 3 3 3 3 2 . 4 4 z z x z z x z z x z x + + + = + + 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 x y z x y y z z x x y z x y y z z x + + + + + + + + + + + + + 6 6 6 3 3 3 3 3 3 x y z x y y z z x + + + + + 3 3 3 2 x y z+ + (1) Mặt khác: ) ) ) 2 2 2 3 3 3 3 3 3 0x y y z z x + + với mọi x, y, z dơng x 3 - 2 3 3 x y + y 3 + y 3 - 2 + z 3 + z 3 - 2 3 3 z x + x 3 0 2(x 3 + y 3 + z 3 ) 2( 3 3 x y + 3 3 y z + 3 3 z x ) x 3 + y 3 + z 3 3 3 x y + 3 3 y z + 3 3 z x x 3 + y 3 + z 3 1xy xy yz yz zx zx+ + = (2) Từ (1) và (2) 6 6 6 3 3 3 3 3 3 x y z x y y z z x + + + + + 1 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 1 2 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3 1 3 *Cách 2: Ta chứng minh BĐT: ) ( 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . . . n n n n a a a a a a b b b b b b + + + + + + + + + (*) áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có: ) ( 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . . . . . . n n n n n n a a a a a a b b b b b b b b b b b b + + + + + + + + + ữ ữ ữ ) ) ( 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . . . n n n n a a a a a a b b b b b b + + + + + + + + + ữ ) ( 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . . . n n n n a a a a a a b b b b b b + + + + + + + + + đpcm áp dụng BĐT (*) ta có: 6 6 6 3 3 3 3 3 3 x y z x y y z z x + + + + + ) ( 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2( ) 2 x y z x y z x y z + + + + = + + (1) Mặt khác: ) ) ) 2 2 2 3 3 3 3 3 3 0x y y z z x + + với mọi x, y, z dơng x 3 - 2 3 3 x y + y 3 + y 3 - 2 + z 3 + z 3 - 2 3 3 z x + x 3 0 2(x 3 + y 3 + z 3 ) 2( 3 3 x y + 3 3 y z + 3 3 z x ) x 3 + y 3 + z 3 3 3 x y + 3 3 y z + 3 3 z x x 3 + y 3 + z 3 1xy xy yz yz zx zx+ + = (2) Từ (1) và (2) 6 6 6 3 3 3 3 3 3 x y z x y y z z x + + + + + 1 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 1 2 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3 1 3 Câu7: a) Cho x- y = 4; x 2 + y 2 = 36. Tính x 3 - y 3 . b) Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện: a + b = 3; ax + by = 5; ax 2 + by 2 = 12; ax 3 + by 3 = 31. Tính ax 4 + by 4 Giải: a) Ta có: (x- y) 2 = x 2 + y 2 - 2xy 2xy = x 2 + y 2 - (x- y) 2 = 36- 16 = 20 xy = 10 x 3 - y 3 = (x- y)(x 2 + xy + y 2 ) = 4.(36 + 10) = 184 b) Ta có: ax 2 + by 2 = (ax + by)(x + y)- (a + b)xy (1) ax 3 + by 3 = (ax 2 + by 2 )(x + y)- (ax + by)xy (2) ax 4 + by 4 = (ax 3 + by 3 )(x + y)- (ax 2 + by 2 )xy (3) Từ (1) và (2) ta có 5( ) 3 12 25( ) 15 60 11( ) 33 3 12( ) 5 31 36( ) 15 93 5( ) 3 12 1 x y xy x y xy x y x y x y xy x y xy x y xy xy + = + = + = + = + = + = + = = ax 4 + by 4 = 31.3- 12.1= 81 Câu8:a) Giải pt: 3 3 1 1 78( )y y y y + = + với điều kiện y 0. a) Giải hệ pt: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 185 ( ) 65 x xy y x y x xy y x y + + + = + + = Giải : a) Giải pt: 3 3 1 1 78( )y y y y + = + với điều kiện y 0. Ta có: 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 78( ) 1 78 79 0y y y y y y y y y y y y y y + = + + + = + + + = ữ ữ ữ ữ ữ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 81 0 81 0 9 9 0y y y y y y y y y y y y y y + + + = + + = + + + + = ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ 1 0( ) 1 9 0( ) 1 9 0( ) y I y y II y y III y + = + = + + = (I) 2 1 0y + = _ vô nghiệm (II) y 2 - 9y + 1 = 0 y = 9 77 2 (III) y 2 + 9y + 1 = 0 y = 9 77 2 Vậy pt đã cho có các nghiệm y = 9 77 2 ; y = 9 77 2 b) Giải hệ pt: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 185 ( ) 65 x xy y x y x xy y x y + + + = + + = (I) Đặt 2 2 t x y= + (t 0) ta có hệ: 2 3 3 2 3 3 ( ) 185 185 2 250 ( ) 65 65 65 t xy t t xyt t t xy t t xyt t xyt + = + = = = = = 3 3 125 5 5 5 60 12 65 t t t xy xy t xyt = = = = = = Ta có (1) 2 2 2 2 2 2 12 12 12 12 25 ( ) 2 25 ( ) 24 25 5 xy xy xy xy x y x y xy x y x y = = = = + = + = + = + = 2 12 12 7 12 7 ( ) 49 12 7 7 xy xy x y xy x y x y xy x y x y = = + = = + = + = = + = + = 3 4 x y = = hoặc 4 3 x y = = hoặc 4 3 x y = = hoặc 3 4 x y = = Vậy hệ pt đã cho có nghiệm là 3 4 x y = = hoặc 4 3 x y = = hoặc 4 3 x y = = hoặc 3 4 x y = = Câu9: Giả sử x,y,z là các số nguyên không âm thỏa mãn diều kiện sau: 36 2 3 72 x by x z + + Trong đó b > 0 cho trớc. CMR: a) Nếu b 3 thì (x+y+z) max = 36 b) Nếu b<3 thì (x+y+z) max = 24 + 36 b Giải : Giả sử x,y,z là các số nguyên không âm thỏa mãn diều kiện sau: 36 2 3 72 x by x z + + Trong đó b > 0 cho trớc. CMR: a) Nếu b 3 by 3y x + by x + 3y x + 3y 36 x + 3y + 2x + 3z 36 + 72 3(x + y + z) 108 x + y + z 36 (x+y+z) max = 36 b) Nếu b<3 thì (x+y+z) max = 24 + 36 b Câu10:(3,5đ) Giải các pt sau: a) 2 2 3 2 4 3 2 1 4 10 4 21 1 1 1 1 y y y y y y y y y y y + + = + + + + + b) 3 3 1 1 78y y y y + = + ữ Giải a) Điều kiện y 1. Ta có: 2 2 3 2 4 3 2 1 4 10 4 21 1 1 1 1 y y y y y y y y y y y + + = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 4 10 4 21 0 1 1 1 1 1 1 1 y y y y y y y y y y y y + + + = + + + + + + b) 3 3 1 1 78y y y y + = + ữ Điều kiện y 0 Ta có: 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 78( ) 1 78 79 0y y y y y y y y y y y y y y + = + + + = + + + = ữ ữ ữ ữ ữ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 81 0 81 0 9 9 0y y y y y y y y y y y y y y + + + = + + = + + + + = ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ 1 0( ) 1 9 0( ) 1 9 0( ) y I y y II y y III y + = + = + + = (I) 2 1 0y + = _ vô nghiệm (II) y 2 - 9y + 1 = 0 y = 9 77 2 (III) y 2 + 9y + 1 = 0 y = 9 77 2 Vậy pt đã cho có các nghiệm y = 9 77 2 ; y = 9 77 2 Phân 2: kết hợp sử dung máy tính cầm tay casio Câu 11 Tính gái trị biểu thúc sau: a/ 5 3 29 6 20 Giải: 5 3 29 6 20 = ( ) 2 5 3 20 3 = ( ) 5 3 20 3 = 5 6 20 5 6 2 5 = = ( ) 2 5 5 1 = ( ) 5 5 1 =1 b/ B = 6 2 5 13 48 + = 6 2 5 13 2 12 + = ( ) 2 6 2 5 12 1 + ( ) 6 2 5 12 1 + = 6 2 4 12 = 6 2 4 2 3 = ( ) 2 6 2 3 1 = ( ) 6 2 3 1 = 8 2 3 2,129764866 c/ C = 4 5 3 5 48 10 7 4 3+ + + = ( ) 4 5 3 5 48 10 3 2+ + + = 4 5 3 5 28 10 3+ + = ( ) 2 4 5 3 5 5 3+ + = ( ) 4 5 3 5 5 3+ + = 4 25+ = 9 =3 Câu 12: Tính : a/ A = 42 1 12 1 11 1 10 13 + + + = 42 1 12 1 11 131 13 + + = 42 1 12 13 11 131 + + = 42 1 12 1454 131 + = 42 131 12 1454 + = 42 17579 1454 = 42.1454 17579 =3,473917743 b/ B = 35 3 12 5 11 7 10 13 = 35 3 12 5 11 123 13 = 35 3 12 65 11 123 = 35 3 12 1288 123 = 35 369 12 1288 = = 35 15087 1288 = 35.1288 15087 =2,988002916 Câu 13: Tính giá trị biểu thức: a/ A= : m n m n n m m n mn m mn mn n + + + ữ + + Với : m = 7 + 2 6 , n = 7 - 2 6 . Thay m,n vào biểu thức A tacó : A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 + 2 6+7 - 2 6 7 + 2 6 7 - 2 6 7 - 2 6 7 + 2 6 : 7 + 2 6 7 - 2 6 7 + 2 6 7 - 2 6 7 + 2 6 7 + 2 6 7 - 2 6 7 + 2 6 7 - 2 6 7 - 2 6 + ữ + ữ + + ữ = 14 14 7 - 2 6 7 + 2 6 : 6 1 6 1 25 7 + 2 6 25 25 7 - 2 6 + ữ ữ + + + = 14 14 7 - 2 6 7 + 2 6 : 5 2 6 2 + 2 6 12 - 2 6 + ữ ữ . Câu 14 : Hãy viết quy trình bấm máy liên tục để tính a, b trên máy tính casio biết : 123 4567 = 1 1 37 1 7 1 1 2 a b + + + + Câu 15 : Tính tổng : a/ S = 1 1 1 1 . 1.3 3.5 5.7 2005.2007 + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 3 3 5 5 7 2003 2005 2005 2007 + + + + + ữ = 1 1 1 2 2007 ữ = 1 2006 . 2 2007 = 1003 2007 b/ S = 1 1 1 1 . 1.5 5.9 9.13 2005.2009 + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 4 5 5 9 9 13 2001 2005 2005 2009 + + + + + ữ = 1 1 1 4 2009 ữ = 1 2008 . 4 2009 = 502 2009 c/ S = 1 1 1 1 . 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2005.2006.2007 + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1.3 2.3 2.4 3.4 3.5 4.5 2005.2007 2006.2007 + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 . . 1.3 2.4 3.5 2005.2007 2.3 3.4 4.5 2006.2007 + + + + + + + + ữ ữ = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 1.3 3.5 2005.2007 2.4 4.6 6.8 2004.2006 2.3 3.4 4.5 2006.2007       + + + + + + + + − + + + +  ÷  ÷  ÷       = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . 2 2007 2 4 4 6 6 8 2004 2006 2 3 3 4 4 5 2006 2007       − + − + − + − + + − − − + − + − + + −  ÷  ÷  ÷       = 1 1 1 1 1 1 1 2 2007 2 2006 2 2007       − + − − −  ÷  ÷  ÷       = 1003 1002 2005 2007 2006 2007 + − = 1002 1002 2006 2007 − = 1002 2006.2007 = 167 671007 =0.0002487 c/ S = 1 1 1 1 . 2 3 3 4 4 5 2007 2008 + + + + + + + + = 2 3 3 4 4 5 . 2007 2008− + − + − + − − + = 2008 2− = 43,3964 d/ Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau t¹i x =2010 S = 2 2 2 2 1 1 1 1 . 3 2 5 6 7 12 199 9900x x x x x x x x + + + + − + − + − + − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . 1 . 2 2 . 3 3 . 4 99 . 100x x x x x x x x + + + + − − − − − − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 . 2 2 3 3 4 99 100x x x x x x x x − + − + − + + − − − − − − − − − = ( ) ( ) 1 1 1 100x x − − − = ( ) ( ) ( ) 100 1 1 100 x x x x − − − − − = ( ) ( ) 99 1 100x x − − − Thay x = 2010 vµo tacã : S = ( ) ( ) 5 99 99 2,58.10 2010 1 2010 100 2009.1910 − − − = = − − − e/ S = 1 1 1 1 . 1. 3 3 1 3 5 5 3 5 7 7 5 2007 2009 2009 2007 + + + + + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 1 3 3 5 5 7 2007 2009   − + − + − + + −  ÷   = 1 1 1 2 1 2009   −  ÷   = 1 2009 1 . 2 2009 − = 2009 1 2. 2009 − Chứng minh công thức tổng quát : Công thức 1: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 . . . 2 1 2 1 2 3 8 2 1 4 2 1 8 2 3k k k k k k = + + + + + Với k N * Thật vậy tacó: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 3k k k + + ( ) ( ) 1 1 1 1 . 2 2 1 2 1 2 3k k k = ữ ữ + + = 1 1 1 1 1 . . 2 2 1 2 3 2 1 2 3k k k k ữ + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 . . 2 4 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3k k k k ữ ữ + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . . 8 2 1 8 2 3 4 2 1 4 2 3k k k k + + + + = 1 1 1 1 1 1 . . . 8 2 1 4 2 1 8 2 3k k k + + + => đpcm áp dụng tính : 1 1 1 1 . 1.3.5 3.5.7 5.7.9 2005.2007.2009 + + + + Tacó: 1 1 1 1 1.3.5 8 12 24 = + 1 1 1 1 3.5.7 24 20 56 = + 1 1 1 1 5.7.9 40 28 72 = + . 1 1 1 1 2001.2003.2005 16008 8012 16040 = + 1 1 1 1 2003.2005.2007 16024 8020 16056 = + 1 1 1 1 2005.2007.2009 16040 8028 16072 = + _______________________________ 1 1 1 1 . 1.3.5 3.5.7 5.7.9 2005.2007.2009 + + + + = 1 1 1 8 12 24 + + 1 16056 1 8028 1 16072 + Công thức2: ( ) 1 2 1k k k = + Với k N * Thật vậy tacó: 1 k = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 k k k k k k k k k k k + > = = + + + + + + =VP đpcm Ap dụng : 1) CMR với mọi số nguyên dơng n tacó ta luôn có: ( ) 1 1 1 1 1 . 2 1 2 3 4 n n n + + + + + > + . Chuyên đề bồi d ỡng học sinh giỏi năm học 2010- 2011 biên soạn : gs ts cấn xuân thành Câu1: Giả sử a,b,c,x,y,z