Hướng dẫn học_Ôn tập bài1 và 2 (Chương IV ĐS)

bất đẳng thức cần chứng minh về một bất đẳng thức hiển nhiên đúng. 3) Dùng các bất đẳng thức trung gian đã biết và các tính chất của bất đẳng. thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh[r]

Chương BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Bài §1, §2 LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG,

GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN I CHUẨN KIẾN THỨC

1) Bất đẳng thức

Là hệ thức có dạng a < b (hoặc a b , a > b, a b ) a vế trái b vế phải bất đẳng thức

2) Liên hệ thứ tự phép cộng Tính chất Với ba số a, b, c ta có:

 a b  a c b c    a b  a c b c    a b  a c b c    a b  a c b c  

3) Liên hệ thứ tự phép nhân Tính chất 1: Với ba số a, b, c mà c >0, ta có:

 a b  ac bc  a b  ac bc  a b  ac bc  a b  ac bc

Tính chất 2: Với ba số a, b, c mà c < 0, ta có: 4) Tính chất bắt cầu thứ tự

Với ba số a, b, c ta có a < b b < c a < c  a b  ac bc

 a b  ac bc  a b  ac bc  a b  ac bc

II LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP

Một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức

2) Để chứng minh A B , ta dùng phép biến đổi tương đương để đưa

bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức hiển nhiên 3) Dùng bất đẳng thức trung gian biết tính chất bất đẳng

thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh 4) Dùng phương pháp phản chứng

Bài tập Chứng minh bất đẳng thức sau a) x2 + y2 + z2+3  (x + y + z)

b) x2 2y2  z2 2xy  2yz

c)

2 2

4

a b c    a b c d) x2  y2 z2 14 2 x 4y6z

e) a2  4a 5 0 f) a2 ab b 0

g) a2  ab b 0

Hướng dẫn giải

a) x2 + y2 + z2+3  (x + y + z)

Ta xét hiệu

x2 + y2 + z2+3 – 2( x+ y +z )

= x2- 2x + + y2 -2y +1 + z2-2z +1

= (x-1)2+ (y-1) 2+(z-1)2 với x; y; z R

Vậy x2 + y2 + z2+3  (x + y + z)

Dấu(=) xảy x = y = z =

b)x2 2y2  z2 2xy  2yz Ta xét hiệu

2 2 2 (2 2 ) x  y  z  xy yz

2 2 2 2 x xy y y yz z

     

x y2 y z2

    

đúng với x; y; z R

Vậy x2 2y2 z2 2xy  2yz

Dấu “ = “ xảy x = y = - z c)

2 2

4

2 2 ( )

4

a b c   a b c 

2 2 1 2 1 2 1 3

2 4 4

a a b b c c

     

            

     

2 2

1 1

0

2 2

a b c

     

         

      đúng với a; b; cR

Vậy

2 2

4

a b c    a b c

Dấu “ = “ xảy

1

a b c  

d)x2  y2  z2 14 2 x 4y6z Ta xét hiệu

2 2 14 (2 4 6 )

x  y z   x y z

     

2 2

2 2

14

2 4 14 14

x y z x y z

x x y y z z

      

          

x 12  y 22 z 32

      

đúng với x; y; z R

Vậy x2  y2  z2 14 2 x 4y6z

e)a2  4a  5

Ta có a2  4a  5  

2 2 .2 4 1

a  a  

a 22 x

    

 

2

2

a  x

Vậy a2  4a 5 0 f)a2 ab b 0

Ta có

2

2 2 2

2 4

b b b a ab b a  a   b

 

 

2 3

0 b b a         

g)a2  ab b 0

Ta có

2

2 2 2

2 4

b b b a  ab b a  a    b

 

 

2 3

0

2

b b

a

 

    

 