b)ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC.[r]
(1)Bài giảng 6 (4 buổi )
Đờng trịn đờng cơnic ******************
A- Đờng tròn
I-Ph ơng trình đ ờng tròn
Đờng tròn tâm I(a;b), bán kính R có pt: (x-a)2 + (y-b)2 = R2 (1).
Mäi pt d¹ng: x2 + y2 +2Ax + 2By+C = 0, víi ®/k A2 + B2 > C (2)
pt đờng trịn II- Vị trí t ơng đối
1) Vị trí tơng đối hai đờng tròn
Cho hai đờng tròn: (x-a)2 + (y-b)2 = R2 (C) có tâm I(a;b) và
(x-a')2 + (y-b')2 = R'2 (C') cã t©m I'(a';b')
Đặt d = OO' ta có vị trí tơng đối (C) (C') nh sau: + dd<>|R − R '|R+R '
¿
Hai đờng trịn khơng cắt + |R − R '|<d<R+R ' Hai đờng tròn cắt
+ dd==|R − R'|R+R '
¿
Hai đờng tròn tiếp xúc với
2) Vị trí tơng đối đờng trịn đờng thẳng
Cho đờng tròn (C) nh đờng thẳng (d):Ax+ By+ C =
khoảng cách từ tâm I(a;b) đến (d) là: h = |aA+bB+C|
√A2
+B2
+ h > R (d) không cắt (C)
+ h < R th× (d) cắt (C) theo dây cung
+ h = R th× (d) tiÕp xóc víi (C); (d): gäi lµ tiÕp tun cđa (C)
III- Tiếp tuyến đ ờng tròn
+ Phơng trình tiếp tuyến (C) điểm M0(x0;y0) là:
(x-a)(x0-a) +(y-b)(y0-b) = R2
+ Điều kiện để đt (d) tiếp xúc với (C) là: |aA+bB+C|
(2)IV- Ph ơng tích điểm đ ờng tròn
+ Cho đờng tròn (C) điểm M(x0;y0) Đờng thẳng (d) qua M
cắt (C) tai điểm E, F tích ⃗ME.⃗MF = MI2 - R2 ln khơng đổi
gọi phơng tích điểm M đờng tròn (C)
+ Đặt f(x;y) = x2 + y2 +2Ax+ 2By + C phơng tích điểm
M (C) ký hiệu P(M)/(C) = f(x0;y0)
Chú ý: - Nếu M nằm đờng trịn thì: P(M)/(C) > - Nếu M nằm đờng trịn thì: P(M)/(C) < - Nếu M nằm đờng trịn thì: P(M)/(C) = * Trục đẳng phơng hai đờng tròn: cho hai đờng trịn (C)
vµ (C')cã pt: x2+ y2+2Ax+2By+ C = 0, x2+y2+2A'x+2B'y+ C' = 0
tập hợp điểm có phơng tích hai đờng tròn (C) (C') đờng thẳng 2Ax + 2By + C = 2A'x+2B'y+C' V- Chùm đ ờng tròn
Cho hai đờng tròn (C) (C') có pt nh cắt điểm phân biệt E, F ta có tập hợp chùm gồm tất đờng trịn qua E, F có pt là:
k(x2+ y2+2Ax+2By+ C) + l(x2+y2+2A'x+2B'y+ C') = 0, víi:
{ k+l≠0
k2
+l20
VI- Phần tập
Bµi1
Cho tam giác ABC, biết A(-2;4), B(1/4;1), C(2;1) a) Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC b)Viết phơng trình đờng trịn nội tiếp tam giác ABC Bài2
Trong hệ trục toạ độ Cho điểm A(-2;4) a) Viết pt đờng trịn (C) có đờng kính AO
b) Viết pt tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục toạ độ
c) ViÕt pt tiếp tuyến (C) qua điểm B(4;7) Bài3
Viết phơng trình đờng trịn ngoại tiếp tam giác có đỉnh A(4;0), B(2;-2), C(3;-2- √3 )
Bµi4
Viết pt đờng trịn tiếp xúc với đờng trịn (C) có phơng trình:
(3)Bµi5
Cho đờng trịn (C) có pt: (x -a)2 + (y - b)2 = R2 Giả sử điểm
M0(x0;y0) thuéc (C) Chøng minh r»ng TiÕp tun cđa (C) t¹i
điểm M0 là: (x - a)(x0 - a) + (y0 - b)(y - b) = R2
Bµi6
Viết pt tiếp tuyến tuyến chung cácđờng tròn sau: x2 + y2 - 4x - 4y = -7 x2 + y2 - 8x + 4y = -19.
Bµi7
Cho họ đờng trịn (Cm) có pt: a) x2 + y2 - 2(m+1)x + 4my =
a) Chứng minh (Cm) họ đờng trịn thực Tìm tập hợp
tâm họ m thay đổi
b) Chứng minh họ (Cm) có hai đờng trịn tiếp xúc
với đờng tròn đơn vị.Viết pt đờng tròn
c) Gọi đờng trịn câub) (C1) (C2) viết pt tiếp
tun chung cđa (C1) vµ (C2)
Bµi8
Trong mặt phẳng cho họ đờng cong có pt:
F(x;y) = x2 + y2 - 2m(x - 2y- a) + 4m2 = (1)
Trong a số dơng cho trớc
a) Tìm điều kiện m để họ (1) pt họ đờng tròn
Gọi (Cm) họ đờng trịn ứng với m tìm đợc
Họ (Cm) có điểm cố định khơng?
b) Chứng minh đoạn thẳng nối điểm A(2a;0)
B(0;-2m) luôn cắt (Cm)
c) Tìm trục đẳng phơng họ (Cm)
Bµi9
Trong mặt phẳng cho họ đờng cong có pt:
x2 + y2 - 2(1-m)x - 2m2y + m4 = ( m kh¸c 1) (C
m)
a) Chứng minh (Cm) họ đờng tròn thực
b) Tìm tập hợp tâm họ (Cm)
c) Chøng minh r»ng hä (Cm) lu«n lu«n tiÕp xóc víi mét
đờng thẳng cố định tìm đờng thẳng Bài10
Trong mặt phẳng cho đờng tròn: x2 + y2 = R2 (C).
Cho điểm M(x0;y0) nằm ngồi đờng trịn Gọi T1, T2
tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) với đờng tròn
(C) a) Viết pt đờng thẳng T1T2
(4)không cắt (C) Chứng minh T1T2 qua điểm
c định
B- ElÝp
I- Lý thuyết
1- Định nghĩa ph ơng trình tắc
a) Định nghĩa:
ElÝp E = ¿{M1+MF2=2a} .
F1, F2 : tiêu điểm, F1F2 = 2c: Tiêu cự
b) Ph ơng trình tắc:
Phơng trình tắc Elíp là: (E) x2
a2+ y2
b2=1 (1)
Víi b2 = a2 - c2 ( < b < a).
Chó ý: + (1) cã thĨ viÕt thµnh hai nưa cđa (E):
y=b
a√a
2− x2
y=−b
a√a
2− x2
¿
+ dạng (1) b > a > có tiêu điểm nằm Oy + Ngồi dạng (1) có elíp đợc viết dới dạng:
x − m¿2 ¿
y −n¿2 ¿ ¿ ¿ ¿
2- C¸c u tè kh¸c cđa elÝp
y
F1 O F2
x A B
a b
c M A'
(5)* Tiªu ®iĨm, tiªu cù: hai tiªu ®iĨm F1(-c;0); F2(c;0); Tiªu cù: F1F2 = 2c
* T©m sai : e = ca suy < e < NÕu e lớn (E) dẹt * Bán kính: M(x;y) (E) c¸c b¸n kÝnh:
r1=MF1=a+cx
a r=MF2=a−
cx
a
¿
* Đờng chuẩn: Phơng trình đờng chuẩn: x=a/e; x =-a/e đờng chuẩn khơng cắt (E)
* Hình chữ nhật sở: Tập hợp điểm M(x;y) {|x|≤ a|y|≤b * Trục lớn, trục bé, đờng trịn chính, đờng trịn phụ:
AA': Trơc lín, BB': Trục bé;
Đờng tròn chính: Đờng tròn đk AA'; Đờng tròn phụ: Đờng tròn đk BB';
3- Ph ơng trình tiếp tuyến, pháp tun cđa elÝp
* Cho elíp (E) có pt (1) Giả sử điểm M0(x0;y0) (E) đó:
Phơng trình tiếp tuyến (E) M0 lµ:
x0x a2 +
y0y
b2 =1 (T)
Phơng trình pháp tuyến (E) M0 là:
(x x0)y0
b2 −
(y − y0)x0
a2 =0 (P)
* Điều kiện để đờng thẳng: Ax + By + C = tiếp tuyến (E): a2A2 + b2B2 = C2
II- Phần tËp
Bµi1
a) Xác định elíp (E) có dạng x2
a2+ y2
b2=1 biÕt (E) qua điểm:
A(2;0) B(-1; √3
2 ¿
b) Với (E) tìm đợc tính khoảng cách từ điểm M0( √3;12 )
đến tiêu điểm Viết phơng trình tiết tuyến (E) M0
c) Viết phơng trình đờng chuẩn (E) Bài2 Cho elíp (E): x2
a2+ y2 b2=1
(6)(d1): x - √3 y + √3 = vµ (d2): 7x - √3 y +9 √3 y =
c) ViÕt pt tiÕp tuyến (E) tạo với trục hoành góc 450.
Bµi3
Cho elÝp (E) cã phơng trình tham số: {55xy=9 cost+12 sint
=6 sint −8 cost
a) ViÕt ph¬ng trình tắc elíp (E)
b) Cho M thay đổi (E) H chân đờng vng góc M trục Ox, I trung điểm MH Tìm tập hợp I
c)LËp pttt cđa (E) ®i qua ®iĨm A(2; 2√5
3 )
HD: Tính 4.(4x)2 9.(5y)2 sau đa về: x2
9 +
y2
4=1
Bµi4 Cho elÝp (E): x2
a2+ y2
b2=1
a) ViÕt pt cña (E) biÕt (E) qua điểm: A(2;
2 ) B(1;
3√3 ¿
b) ViÕt pt tiÕp tun cđa (E) ®i qua ®iĨm I(1;1) cắt E hai điểm
M1 M2 cho I trung điểm M1M2
Bài5
Lập phơng trình tiếp tuyÕn chung cña hai elÝp: x2
25+
y2
16=1 (E1) vµ
x2
16+
y2
25=1 (E2)
Bµi6
a) Cho elÝp cã pt: x2
6 +
y2
3 =1 (E) Lập phơng trình cạnh hình
vuông ngoại tiếp (E) b) Giải toán tổng quát Bài7
Cho elÝp (E): x2
a2+
y2
b2=1 Các tiêu điểm F1(-c;0), F2(c;0).Gọi A(a;0),
A'(-a;0), (T1) (T2) tiếp tuyến (E) A A' Giả sử M
l điểm thay đổi (E), Tiếp tuyến (T) (E) ti M ct (T1), (T2)
lần lợt t¹i M1, M2
a) Chøng minh r»ng góc M2F1M1;M2F2M1 vuông.
b) Chứng minh: AM1.A'M2 = b2
c) Gọi H1, H2 chân đờng vuông
gãc cđa F1, F2 trªn (T)
x y
F1 O F2 A
(7)Chøng minh: F1H1.F2H2 = b2
d) Gọi K chân đờng vng góc hạ từ M xuống trục Ox, I giao điểm
cđa (T) vµ Ox Chøng minh OI.OK = a2.
e) Tìm tập hợp giao điểm J cđa AM2 vµ A'M1
Bµi8 Cho elÝp (E): x2
a2+ y2
b2=1
Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng toạ độ cho từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (E) hai tiếp tuyến vng góc với
C-HYPEBOL
I- Lý thuyết
1- Định nghĩa ph ơng trình tắc
a) Định nghĩa:
hypebol: H = M∨MF1−MF2
{|2a}
F1, F2 : tiêu điểm, F1F2 = 2c: tiêu cự
Điều kiện: c > a >
b) Ph ơng trình tắc:
Phơng trình tắc hypebol: (H) x2
a2− y2
b2=1 (1)
Víi b2 = c2 - a2 hay a2 + b2 = c2 víi b > 0.
Chó ý: + (1) cã thĨ viÕt thµnh hai nưa cđa (E):
y=b
a√a
2
+x2
y=−b
a√a
2
+x2
¿
+ Cã thĨ viÕt pt hypebol d¹ng y2
b2− x2
a2=1 (không tắc)
Khi tiêu điểm (H) nằm trục Oy
2- C¸c yÕu tè kh¸c cña hypebol
y
F1 F2
O A1 x
A2 M
K d1
d2 l1
(8)* Tiêu điểm, tiêu cự: hai tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0); Tiêu cự: F1F2 = 2c
* T©m sai : e = ca suy e >
* B¸n kÝnh: M(x;y) (H) c¸c bán kính: là: |a+cx
a|;|a
cx
a|
* Đờng chuẩn: Phơng trình đờng chuẩn: x=a/e; x =-a/e
đờng chuẩn không cắt (H) Nằm A1, A2, MF2
MK =e
* Các đờng tiệm cận: pt đờng tiệm cận y = ba x y = - ba x
3- Ph ơng trình tiếp tuyến, ph¸p tun cđa hypebol
* Cho hypebol (H) có pt (1) Giả sử điểm M0(x0;y0) (H) đó:
Phơng trình tiếp tuyến (H) M0 lµ:
x0x
a2 − y0y
b2 =1 (T)
Phơng trình pháp tuyến (H) M0 là:
(x x0)y0
b2 +
(y − y0)x0
a2 =0 (P)
* Điều kiện để đờng thẳng: Ax + By + C = tiếp tuyến (H):
a2A2 - b2B2 = C2
II- Phần tập
Bài1 Cho hypebol (H) có pt: x
2
a2− y2
b2=1 BiÕt (H) ®i qua ®iĨm A(-2;2 √3 )
tiếp xúc với đờng thẳng: 4x - √3 y - = (d).
a) Xác định (H) Tính tâm sai, viết pt đờng chuẩn
b) Đờng thẳng x = cắt (H) ®iĨm M1, M2 TÝnh M1M2
c) ViÕt pttt cđa (H) ®i qua ®iĨm A(1;1) HD: a) (H) lµ x2
1 −
y2
4 =1 ;
c) Chú ý đờng thẳng x = 1tiếp tuyến qua A
Bµi2 Cho hypebol x2
4 −
y2
1 =1 (H)
a) Viết pt đờng thẳng (d) qua điểm A(3; 12 ) cắt (H) hai điểm
B; C cho A lµ trung ®iĨm cđa BC
b) Giả sử (d) cắt đờng tiệm cận (H) hai điểm E; F Chứng minh BE = CF
Bµi4 Cho hypebol x2
a2− y2
b2=1 (H).Gi¶ sư M(x0;y0) thc (H) TiÕp
(9)a) Chứng minh M trung điểm IJ
b) Chøng minh OI.OJ = c2.
c) Chứng minh diện tích tam giác OIJ Khơng đổi M thay đổi d) Chứng minh tích khoảng cách từ M đến đờng tiệm cận
b»ng a2b2
a2
+b2
e) Chøng minh tích khoảng cách từ tiêu điểm cña (H)
đến (d) b2.
Bµi5
Cho elip x2
a2+
y2
b2=1 (E) vµ hypebol
x2 m2−
y2
n2=1 (H) ta nãi r»ng chóng
vng góc với chúng cắt tiếp tuyến đờng điểm chung vng góc với
a) Chøng minh r»ng (E) (H) vuông góc với chúng có tiêu điểm
b) Với điều kiƯn c©u a) Chøng minh: a2 = b2 + m2 + n2.
D-PARABOL
I- Tãm tắt lý thuyết
1-Định nghĩa
Parabol (P) = {M=MH} ,
F điểm cho trớc gọi tiêu điểm
MH L khong cỏch từ M đến đờng thẳng(D) cho trớc gọi đờng chuẩn FI = p gọi tham s tiờu
2-Ph ơng trình tắc
Đa hệ trục toạ độ nh hình vẽ, ta có phng
trình tắc Parabol là: y2 = 2px (P)
Chú ý: Các dạng không t¾c: y2 = -2px; x2 = 2py; x2 =-2py ( p > 0).
3- Ph ơng trình tiếp tuyến parabol
+ Phơng trình tiếp tuyến parabol điểm M(x0;y0)
y0y = p(x+x0)
O x
y
F M
(P) (D)
H
) (
-p/2 p/2
(10)+ Phơng trình pháp tuyến (P) M là:
y0(x-x0) +p(y-y0) = 0.
+ Điều kiện để đờng thẳng: Ax + By + C = tiếp tuyến (P):