Đang tải... (xem toàn văn)
Báo cáo này chứng minh công thức kunneth trong phạm trù aben (đối số là các vật trong phạm trù). Bố cục gồm 2 phần:[r]
(1)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
PHÂN HIỆU ĐẠI HỌC GIAO THƠNG VẬN TẢI TẠI TP HỒ CHÍ MINH
CÔNG THỨC KUNNETH TRONG PHẠM TRÙ ABEN
Nguyễn Thị Thái Hà
(2)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
Lời giới thiệu
Trong nhiều tài liệu Basis Homological Algebra ( M.Scott
Osbrone), Homology theory (James W Vick) công thức Kunneth
được chứng minh trực tiếp cho hàm tử Tenxơ hàm tử Hom Hoặc Homological Algebra (Henri Cartan Samuel
Eilenberg) công thức Kunneth chứng minh cho hàm tử
cộng tính xét phạm trù mơđun trái phải Báo cáo chứng minh công thức kunneth phạm trù aben (đối số vật phạm trù) Bố cục gồm phần:
(3)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
Phần 1: Hàm tử cộng tính Hàm tử dẫn suất
Nội dung phần Định lí dãy đồng điều khớp mô tả đồng cấu nối δk
Trong phạm trù aben cho dãy khớp ngắn phức
0 −→ X0 −→ X −→ X00−→ Khi dãy vô tận đồng điều
sau dãy khớp
−→ Hi +1(X00) δi +1
→ Hi(X0) −→ Hi(X ) −→ Hi(X00) δi
(4)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
2.1 Hàm tử cộng tính
Định nghĩa Hàm tử cộng tính
Cho t : A −→ A0 hàm tử phạm trù aben
Hàm tử t gọi hàm tử cộng tính bảo tồn cấu trúc cộng tính tập hợp đồng cấu, nghĩa với hai đồng cấu bất kì ϕ, ψ : A1−→ A2 A
t(ϕ + ψ) = t(ϕ) + t(ψ)
Định nghĩa phần tử Vật
Cho A vật phạm trù aben A Một phần tử x A
(5)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
2.1 Hàm tử cộng tính
Định nghĩa Hàm tử cộng tính
Cho t : A −→ A0 hàm tử phạm trù aben
Hàm tử t gọi hàm tử cộng tính bảo tồn cấu trúc cộng tính tập hợp đồng cấu, nghĩa với hai đồng cấu bất kì ϕ, ψ : A1−→ A2 A
t(ϕ + ψ) = t(ϕ) + t(ψ)
Định nghĩa phần tử Vật
Cho A vật phạm trù aben A Một phần tử x A
(6)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
2.1 Hàm tử cộng tính
Bổ đề
Hàm tử cộng tính t : A1× A2 −→ A, hiệp biến theo biến thứ nhất
và phản biến theo biến thứ hai, hàm tử khớp phải với dãy khớp
A01 −→ A1 −→ A001 −→
trong A1
0 −→ A02 −→ A2−→ A002
trong A2
t(A01, A2) ⊕ t(A1, A002)
ϕ
−→ t(A1, A2) −→ t(A001, A
2) −→
(7)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
2.2 Phức n - phân bậc
Định nghĩa Phức n - phân bậc
Cho tập hợp n-phân bậc C = (C¯i).
các phép lấy vi phân ∂ := {∂(k)} C tập hợp n đồng cấu ∂(k): C −→ C có bậc −¯ek 1 ≤ k ≤ n thoả
∂(k)∂(k0)+ ∂(k0)∂(k)=
∂(k)∂(k)=
Khi tập hợp n-phân bậc phép lấy vi phân ∂ gọi phức
n-phân bậc , kí hiệu C = (C¯i, ∂(k)) hay C = (C¯i, ∂).
(8)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
2.2 Phức n - phân bậc
Định nghĩa phức liên kết
Trong phạm trù aben cho phức n-phân bậc C = (C¯i, ∂) Nếu tồn
tại vật
f Ci =
X
σ(i )=i
Ci ∀i ∈ Z
thìfCi xác định tập hợp 1-phân bậc A
và
e
C = (fCi,∂)e
với
e ∂i := ∂
(1)
¯i + + ∂ (n) ¯i
là phức 1- phân bậc PhứcC gọi phức liên kếte
(9)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
2.4 Phép giải
Định nghĩa phép giải xạ ảnh
Trong phạm trù aben cho vật A dãy phức dương
P : −→ P3
∂3
→ P2
∂2
→ P1
∂1
→ P0 −→ 0.
Đồng cấu ε : P0 −→ A gọi đồng cấu bổ sung A dãy
phức dương P ε∂1= 0.
Một phép giải dương A dãy phức dương P bổ sung A cho dãy
−→ P3−→ P2−→ P1−→ P0→ A −→ 0ε
khớp
(10)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
2.4 Phép giải
Định nghĩa đồng cấu f
Cho A, A0 là vật phạm trù aben, đồng cấu f : A −→ A0
và X , X0 tương ứng dãy phức dương bổ sung A, A0.
Biến đổi dây chuyền F : X −→ X0 làm cho biểu đồ
X F
−→ X0
↓ ↓
A f
− → A0 giao hốn F gọi đồng cấu f
Bổ đề (Sự tồn đồng cấu f )
Cho đồng cấu f : A −→ A0 phạm trù aben
X dãy phức dương, xạ ảnh bổ sung A, X0 là phép giải dương A0.
(11)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
2.4 Phép giải
Định nghĩa đồng cấu f
Cho A, A0 là vật phạm trù aben, đồng cấu f : A −→ A0
và X , X0 tương ứng dãy phức dương bổ sung A, A0.
Biến đổi dây chuyền F : X −→ X0 làm cho biểu đồ
X F
−→ X0
↓ ↓
A f
− → A0 giao hốn F gọi đồng cấu f
Bổ đề (Sự tồn đồng cấu f )
Cho đồng cấu f : A −→ A0 phạm trù aben
X dãy phức dương, xạ ảnh bổ sung A, X0 là phép giải dương A0.
(12)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
2.5 Phép giải dãy khớp ngắn Hàm tử dẫn suất
Bổ đề
Cho 0→A0 ψ→ A→ Aϕ 00 −→ khớp
X0 là phức dương xạ ảnh acrylic bổ sung A0
X00 là phức dương xạ ảnh bổ sung A00
Khi tồn phức dương X bổ sung A đồng cấu Ψ, Φ tương ứng ψ, ϕ cho
0→X0 Ψ→ X → XΦ 00−→
(13)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
2.5 Phép giải dãy khớp ngắn Hàm tử dẫn suất
Bổ đề (sự tồn phép giải xạ ảnh)
Trong phạm trù aben có đủ xạ ảnh, với dãy khớp ngắn vật
0 −→ A0 −→ A −→ A00−→
luôn tồn phép giải xạ ảnh
0 −→ X0 −→ X −→ X00−→ 0.
Bổ đề
(14)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
2.5 Phép giải dãy khớp ngắn Hàm tử dẫn suất
Bổ đề (sự tồn phép giải xạ ảnh)
Trong phạm trù aben có đủ xạ ảnh, với dãy khớp ngắn vật
0 −→ A0 −→ A −→ A00−→
luôn tồn phép giải xạ ảnh
0 −→ X0 −→ X −→ X00−→ 0.
Bổ đề
(15)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth
2.6 Hàm tử dẫn suất
Định lý
Cho t : A1× A2 −→ A hàm tử cộng tính phạm trù
aben, hiệp biến theo biến thứ phản biến theo biến thứ hai
Giả sử A1 có đủ xạ ảnh A2 có đủ nội xạ
Nếu −→ A0k −→ Ak −→ A00k −→ 0(k = 1, 2) dãy khớp
trong Ak dãy sau khớp
−→ t2(A001, A2) −→ t1(A01, A2) −→ t1(A1, A2) −→ t1(A001, A2)
−→ t0(A01, A2) −→ t0(A1, A2) −→ t0(A001, A2) −→
và
−→ t2(A1, A02) −→ t1(A1, A002) −→ t1(A1, A2) −→ t1(A1, A02)
(16)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
2.6 Hàm tử dẫn suất
Định lý
Cho t : A1× A2 −→ A hàm tử cộng tính phạm trù
aben, hiệp biến theo biến thứ phản biến theo biến thứ hai
Giả sử A1 có đủ xạ ảnh A2 có đủ nội xạ
Nếu −→ A0k −→ Ak −→ A00k −→ 0(k = 1, 2) dãy khớp
trong Ak dãy sau khớp
−→ t2(A001, A2) −→ t1(A01, A2) −→ t1(A1, A2) −→ t1(A001, A2)
−→ t0(A01, A2) −→ t0(A1, A2) −→ t0(A001, A2) −→
và
−→ t2(A1, A02) −→ t1(A1, A002) −→ t1(A1, A2) −→ t1(A1, A02)
(17)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
Phần 2: Công thức Kunneth
Định lý (Đồng cấu α)
Nếu hàm tử t : A1× A2 −→ A khớp phải tồn
nhất đồng cấu
α : t(H(X1), H(X2)) −→ Ht(X1, X2)
có bậc để sơ đồ
t(Z (X1), Z0(X2))
ξ
−
→ t(H(X1), H(X2)) (1)
↓ ↓ (2)
Ht(X1, X2)
ζ
−−→ t(Z0(X1), Z (X2)) (3)
(4) giao hoán Đồng cấu có quan hệ tự nhiên với biến đổi dây chuyền X1 −→ X10 và X20 −→ X2.
Nếu X1, X2 có đồng cấu vi phân tầm thường α đồng cấu
đơn vị
(18)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
Định lý 3
Cho dãy khớp ngắn −→ X0 −→ Xψ −→ Xϕ 00−→ phức
trong phạm trù A1 và phức Y A2 cho dãy
0 −→ t(X0, Y ) −→ t(X , Y ) −→ t(X00, Y ) −→ 0
khớp Lấy δ : H(X00) −→ H(X0) ∆ : Ht(X00, Y ) −→ Ht(X0, Y )
là đồng cấu nối Khi đó, t hàm tử khớp phải sơ đồ sau giao hốn
t(H(X00), H(Y ))−−−−→ t(H(Xt(δ,id ) 0), H(Y ))
↓ ↓
(19)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Công thức Kunneth
Định lý 4
Cho t : A1× A2−→ A hàm tử cộng tính khớp phải, hiệp biến
theo biến thứ phản biến theo biến thứ hai X1, X2lần lượt
là phức A1, A2 Giả sử
0 −→ t(Z (X1), X2) −→ t(X1, X2)
khớp đồng cấu
α : t(B(X1), H(X2)) −→ Ht(B(X1), X2)
là tồn cấu Khi dãy
−→ Ht(X1, X2)
k∗
−→ Ht(B(X1), X2)
i∗
−→ Ht(Z (X1), X2)
j∗
−→ Ht(X1, X2) −→
được sinh đồng cấu tự nhiên
X1
k
−→ B(X1)
i
−→ Z (X1)
j −→ X1
(20)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth Cơng thức Kunneth
Định lý (Công thức Kunneth cho hàm tử khớp phải)
Cho A1, A2 A phạm trù aben hàm tử cộng tính khớp
phải t : A1× A2−→ A hiệp biến theo biến thứ nhất, phản biến
theo biến thứ hai Gi s rng A1 cú x nhă, A2 có đủ nội xạ
và A có tổng trực tiếp Cho X1, X2 phức
A1, A2.
1 Nếu đồng cấu
α1 : t(B(X1), H(X2)) −→ Ht(B(X1), X2)
α2: t(Z (X1), H(X2)) −→ Ht(Z (X1), X2)
là đẳng cấu
t1(B(X1), X2) = = t1(Z (X1), H(X2))
Khi tồn đồng cấu β có bậc -1 cho 0 −→ t(H(X1), H(X2))
α
−→ Ht(X1, X2)
β
−→ t1(H(X1), H(X2)) −→
(21)Hàm tử cộng tính hàm tử dẫn suất Cơng thức Kunneth Cơng thức Kunneth
Định lý (Công thức Kunneth cho hàm tử khớp phải)
Cho A1, A2 A phạm trù aben hàm tử cộng tính khớp
phải t : A1× A2−→ A hiệp biến theo biến thứ nhất, phản biến
theo biến thứ hai Gi s rng A1 cú x nhă, A2 có đủ nội xạ
và A có tổng trực tiếp Cho X1, X2 phức
A1, A2.
2 Nếu đồng cấu
α1: t(H(X1), B0(X2)) −→ Ht(X1, B0(X2))
α2: t(H(X1), Z0(X2)) −→ Ht(X1, Z0(X2))
là đẳng cấu
t1(X1, B0(X2)) = = t1(H(X1), Z0(X2))
Khi tồn đồng cấu β có bậc -1 cho 0 −→ t(H(X1), H(X2))
α
−→ Ht(X1, X2)
β
−→ t1(H(X1), H(X2)) −→
(22)