Tìm hiểu phương pháp sinh ảnh bằng fractal

Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Ngơ Quốc Tạo tận tình hướng dẫn, dạy giúp đỡ tận tình tạo điều thuận lợi để em hoàn thành báo cáo tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn trung tâm nghiên cứu phát triển công nghệ phần mêm, nơi tạo điều kiện tốt suốt thời gian thực tập Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa công nghệ thông tin trường đại học dân lập Hải Phịng tận tình giảng dạy, trang bị cho chúng em kiến thức cần thiết suốt trình học tập Và em xin gởi lịng biết ơn đến gia đình, cha, mẹ,bạn bè ủng hộ, giúp đỡ động viên em lúc khó khăn Dù cố gắng hồn thành đề tài chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót định Rất mong nhận thơng cảm đóng góp ý kiến vô quý báu thầy cô, bạn bè, nhằm tạo tiền đề thuận lợi cho việc phát triển đề tài tương lai Hải Phòng, tháng 07 năm 2009 Sinh viên thực Vũ Thế Huy ====================================================== Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== LỜI NĨI ĐẦU Tại mơn hình học xem "khô cứng" "lạnh lẽo"? Một lý khơng thể mơ tả giới tự nhiên xung quanh Những đám mây trôi lơ lững cầu, núi nhấp nhô chóp nón, bờ biển thơ mộng khơng phải đường tròn Từ cảm nhận trực quan này, nhà toán học thiên tài Mandelbrot nảy sinh ý tưởng tồn mơn "Hình học tự nhiên", Fractal Geometry Từ đây, tơi bạn mơ tả đám mây cách xác kiến trúc sư thiết kế nhà họ Fractal Geometry Với người tình cờ quan sát màu sắc cấu trúc Fractal bị lôi hình thức đẹp nhiều lần so với đối tượng toán học biết đến ====================================================== Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== TRANG CHƯƠNG TÌM HIỂU VỀ FRACTAL hát triển Fractal 10 1.2 Các ứng dụng tổng quát hình học Fractal 11 1.3 Các kiến thức toán học 13 1.3.1 Không gian Metric 13 1.3.2 Không gian Hausdorff(H(X),h) 15 1.3.3 Ánh xạ co 17 1.3.4 Định lý cắt dán (COLLAGE) 17 1.4 Số chiều Fractal 19 1.5 Các hệ hàm lặp IFS (ITERATED FUNCTION SYSTEM) 19 1.6 Đặc trưng phổ biến hình học Fractal 20 1.6.1 Tự đồng dạng 20 1.6.2.Thứ nguyên phân số 20 CHƯƠNG MỘT SỐ ĐƯỜNG FRACTAL CƠ BẢN 21 2.1 Họ đường Vonckock 22 2.1.1 Đường hoa tuyết VoncKock – Nowflake 22 2.1.2 Đường VoncKock – Gosper 23 2.1.3 Đường VoncKock bậc hai 3-đoạn 25 2.2 Họ đường Peano 26 2.2.1 Đường Peano nguyên thủy 26 2.2.2 Đường Peano cải tiến 27 2.2.3 Tam giác Cesaro 28 2.3 Đường Sierpinski 29 2.4 Cây Fractal 30 2.4.1 Các thực tế 30 2.4.2 Biểu diễn toán học 30 2.5 Hệ thống hàm lặp(IFS) 32 2.5.1 Các phép biến đổi Affine không gian R2 32 2.5.2 IFS phép biến đổi Affine không gian R2 33 2.5.3 Giải thuật lặp ngẫu nhiên 33 2.6 Tập Mandelbrot 35 2.6.1 Đặt vấn đề 35 2.6.2 Cơng thức tốn học 36 2.6.3 Xây dựng thuật toán 36 2.7 Tập Julia 38 2.7.1 Đặt vấn đề 38 2.7.2 Cơng thức tốn học 38 ====================================================== Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== 2.7.3 Xây dựng thuật toán 39 2.8 Họ đường cong Phonix 40 2.9 Kết luận 42 CHƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH CÀI ĐẶT THỬ 44 3.1 Kết cài đặt 45 3.1.1 Giao diện chương trình 45 3.1.2 Kết số đường mặt cài đặt 45 3.2 Hạn chế 46 H 47 ====================================================== Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Việc phát tượng hỗn độn hay fractal, tạo “khoa học mới”, khoa học hệ thống phức tạp, nhìn trước khoa học kỷ 21 Thế giới tự nhiên xã hội trước mắt ta phức tạp nhiều mà “khoa học” hình dung trước đó, đầy hỗn tạp thiên nhiên cát bụi trần thế, hỗn tạp cát bụi mà người tìm vẻ đẹp chân thực sống lẽ sống cao q Rồi sau cảm nhận ban đầu vậy, người ta nghiêm túc nghĩ đến việc phải xây dựng khoa học mới, khoa học phức tạp, hay hệ thống phức tạp, để làm sở chung cho nhận thức ” – trích lời GS Phan Đình Diệu đăng báo xaluan.com ====================================================== Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Chương : TÌM HIỂU VỀ FRACTAL ====================================================== Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== 1.1 VÀ PHÁT TRIỂN CỦA FRACTAL “Khoa học đại” vốn phát triển từ kỷ nguyên Khai sáng (Enlightenment) kỷ 17, khởi đầu phát minh Kepler, Galilei Newton định luật vận động vật chất thúc đẩy mạnh mẽ cách mạng công nghiệp Với phát minh đó, lần người tìm cách nhận thức giới “phương pháp khoa học” mà không cần dựa vào sức mạnh thần thánh hay phải viện đến liên cảm huyền bí trí tuệ người với tinh thần hay linh hồn tự nhiên Và đó, “khoa học” phát triển trước hết mạnh mẽ lĩnh vực nghiên cứu tự nhiên học, vật lý học, thiên văn học, v.v “tự nhiên không đến với ta ta nghĩ nó”, khoa học, tinh thần qui giản giới luận, với việc làm tự nhiên “hất đổ đứa bé với chậu nước tắm” Ta trở lại đối mặt với tự nhiên đời vốn có, đầy cát bụi trần gian, lơ nhơ khúc khuỷu, gãy vỡ quanh co, đâu có thẳng băng, trịn trịa hình vẽ khoa học hình thức Ta nhận điều từ thân phần cốt lõi tri thức khoa học, từ lĩnh vực ứng dụng khoa học có nhiều hứa hẹn thành cơng Nền tảng Fractal nhà toán học vật lí học Leibniz đưa khoảng thời gian self-similarity (tính tự tương tự) chưa hồn chỉnh mở bước tiến Nhưng biết đến với tên hình học Fractal vào năm 1872 Karl Weierstrass đưa ví dụ với chức khơng trực quan thuộc tính thân khắp nơi liên tục mà không phụ thuộc vào không gian Vào 1904, volt Helge Koch khơng hài lịng với kết luận Weierstrass, đưa định nghĩa hình học cao chức tương tự, mà gọi đường cong Koch Dựa thành , Waclaw Sierpinski xây dựng với tam giác vào năm 1915 mà sau gọi tam giác Sierpinski Ban đầu Fractal hình học mơ tả đường cong hình 2D mà ta biết đến cơng trình đại ngày Vào 1918, Bertrand Russell ====================================================== 10 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== đoán nhận " vẻ đẹp tối cao " bên nẩy sinh toán học Fractal.Ý tưởng đường đồng dạng cầm xa Pierre Lévy Paul, người mà, 1938 đưa kiến giả đường cong fractal mới, đường cong C Lévy Georg Cantor cung cấp ví dụ tập cảu thuộc tính bất thường thực phù hợp – tập Cantor công nhận fractals Những hàm lặp mặt phẳng phức điều tra vào cuối kỉ 19 - đầu kỉ 20 Henry Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou Gaston Julian Tuy nhiên, khơng có giúp đỡ đồ họa máy tính đại, họ thiếu phương tiện để làm cho trực quan vẻ đẹp nhiều đối tượng mà họ khám phá Vào năm 1960, Benoit Mandelbrot bắt đầu điều tra selfsimilarity (tính tự tương tự), mà trước xây dựng cơng việc Lewis Fry Richardson Cuối cùng, vào 1975 Mandelbrot đưa từ "Fractal" để biểu thị đối tượng mà có miền Hausdorff- Besicovitch lớn so với miền trước Ông ta minh họa định nghĩa tốn học máy tính trực quan hóa Những ảnh bắt đầu trở lên tiếng dựa vào phép đệ quy, dẫn tới hình thành thuật ngữ "Fractal" ngày CÁC ỨNG DỤNG TỔNG QUÁT CỦA HÌNH HỌC FRACTAL Hiện có hướng ứng dụng lớn lý thuyết hình học phân hình, bao gồm: ▪ Ứng dụng vấn đề tạo ảnh máy tính ▪ Ứng dụng công nghệ nén ảnh ▪ Ứng dụng nghiên cứu khoa học 1.2 □ ỨNG DỤNG TRONG VẤN ĐỀ TẠO ẢNH TRÊN MÁY TÍNH: Cùng với phát triển vượt bậc máy tính cá nhân năm gần đây, công nghệ giải trí máy tính bao gồm lĩnh vực trị chơi, anmation video… nhanh chóng đạt đỉnh cao Cơng nghệ địi hỏi mơ tả hình ảnh máy PC với phong phú chi tiết màu sắc với tốn lớn thời gian cơng sức Gánh nặng giảm nhẹ đáng kể nhờ mô tả đơn giản đầy đủ lý thuyết Fractal đối tượng tự nhiên Với hình học phân hình khoa học máy tính có tay công cụ mô tả tự nhiên vô mạnh mẽ Ngồi ứng dụng lĩnh vực giải trí, hình học phân hình cịn có mặt ứng dụng tạo hệ đồ hoạ máy tính Các hệ cho phép người sử dụng tạo lập chỉnh sửa hình ảnh, đồng thời cho phép tạo hiệu ứng vẽ tự nhiên hoàn hảo phong phú, ví dụ hệ phần mềm thương mại Fractal Design Painter công ty Fractal ====================================================== 11 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Design Hệ cho phép xem hình ảnh dạng hình hoạ véctơ sử dụng ảnh bitmap đối tượng Như biết, ảnh bitmap hiển thị nhanh chóng, thích hợp cho ứng mang tính tốc độ, ảnh véctơ nhiều thời gian để trình bày hình (vì phải tạo cách vẽ lại) đòi hỏi vùng nhớ làm việc Do ý tưởng kết hợp ưu điểm hai loại đối tượng giúp tiết kiệm nhiều thời gian cho người sử dụng hệ phần mềm việc tạo hiển thị ảnh có độ phức tạp cao □ ỨNG DỤNG TRONG CÔNG NGHỆ NÉN ẢNH: Một mục tiêu quan trọng hàng đầu công nghệ xử lý hình ảnh thể hình ảnh giới thực với đầy đủ tính phong phú sống động máy tính Vấn đề nan giải lĩnh vực chủ yếu yêu cầu không gian lưu trữ thông tin vượt khả lưu trữ thiết bị thơng thường Có thể đơn cử ví dụ đơn giản: ảnh có chất lượng gần chụp địi hỏi vùng nhớ 24 bit cho điểm ảnh, nên để ảnh hình mày tính có độ phân giải tương đối cao 1024x768 cần xấp xỉ 2.25Mb Với ảnh “thực” 24 bit này, để thể hoạt cảnh thời gian 10 giây đòi hỏi xấp xỉ 700Mb liệu, tức sức chứa đĩa CD-ROM Như khó đưa cơng nghệ multimedia lên PC địi hỏi sở liệu ảnh âm khổng lồ Đứng trước tốn này, khoa học máy tính giải cải tiến vượt bậc phần cứng lẫn phần mềm Tất cải tiến dựa ý tưởng nén thơng tin hình ảnh trùng lặp Tuy nhiên gần đây, phương pháp nén thơng tin hình ảnh có yếu điểm sau: ● Cho tỉ lệ nén không cao Đây trường hợp phương pháp nén không thông tin ● Cho tỉ lệ nén tương đối cao chất lượng ảnh nén so với ảnh ban đầu Đây trường hợp phương pháp nén thơng tin, ví dụ chuẩn nén JPEG Các nghiên cứu lý thuyết cho thấy để đạt tỷ lệ nén hiệu (kích thước liệu nén giảm so với ban đầu hàng trăm lần), phương pháp nén thông tin bắt buộc Tuy nhiên vấn đề đặt làm có phương pháp nén kết hợp tính hiệu tỷ lệ nén lẫn chất lượng ảnh so với ảnh ban đầu? Phương pháp nén ảnh phân hình áp dụng gần Iterated System đáp ứng yêu cầu ====================================================== 12 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Kết nén cho q trình cao, đạt tỷ lệ 10000: cao Một ứng dụng thương mại cụ thể kỹ thuật nén phân hình bách khoa tồn thư multimedia với tên gọi “Microsoft Encarta” đưa vào tháng 12/1992 Bộ bách khoa bao gồm âm thanh, 100 hoạt cảnh, 800 đồ màu với 7000 ảnh chụp cối, hoa quả, người, phong cảnh, động vật,… Tất mã hoá dạng liệu fractal chiếm xấp xỉ 600Mb đĩa compact □ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC CƠ BẢN: Có thể nói với lý thuyết topo, hình học phân hình Fractal cung cấp cho khoa học công cụ khảo sát tự nhiên vô mạnh mẽ trình bày phần I.1, vật lý học toán học kỷ XX đối đầu với xuất tính hỗn độn nhiều trình có tính quy luật tự nhiên Từ đối đầu đó, thập niên hình thành lý thuyết chuyên nghiên cứu hệ phi tuyến, gọi lý thuyết hỗn độn Sự khảo sát tốn phi tuyến địi hỏi nhiều cơng sức việc tính tốn thể quan sát cách trực quan, phát triển lý thuyết bị hạn chế nhiều Chỉ gần với đời lý thuyết fractal hỗ trợ đắt lực máy tình, nghiên cứu chi tiết hỗn độn đẩy mạnh Vai trị hình học phân hình lĩnh vực thể cách trực quan cư xử kỳ dị tiến trình khảo sát, qua tìm đặc trưng cấu trúc tương tự ngành khoa học khác Hình học phân hình áp dụng vào nghiên cứu lý thuyết từ tính, lý thuyết phức chất hố học, lý thuyết tái định chuẩn phương trình Yang & Lee vật lý, nghiệm hệ phương trình phi tuyến giải dựa phương pháp xấp xỉ liên tiếp Newton giải tích số,… Các kết thu giữ vai trò quan trọng lĩnh vực tương ứng 1.3 CÁC KIẾN THỨC TOÁN HỌC CƠ BẢN 1.3.1 Không gian Metric : a,Không gian Định nghĩa 1: Không gian X tập mà điểm không gian phần tử tập 2: (khơng gian Metric) : :XxX , y X: * d (x, y) = d (y, x) x, y X * < d (x, y) < x, y X, x y ====================================================== 13 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Với: r: hệ số vị tự trục x s: hệ số vị tự trục y : góc quay trục x : góc quay trục y e: hệ số tịnh tiến trục x f: hệ số tịnh tiến trục y 2.5.2.IFS phép biến đổi Affine không gian R2 Một IFS tập hợp phép biến đổi affine co tức là: IFS { IR2 ; wn : n = 1, 2,…, N } với wn phép biến đổi affine Ví dụ: Một IFS ba phép biến đổi w1, w2, w3 IFS { IR2 ; w1, w2, w3 } với w1, w2, w3 xác định bởi: w1 x y 0.5 x 0.5 y 0 w2 x y 0.5 x 0.5 y x y 0.5 x 0.5 y w3 0.25 0.25 Trong phép biến đổi affine liên kết với xác xuất Pn định độ quan trọng so với phép biến đổi khác Để ý rằng: N Pn 1, Pn 0(n 1, , N ) n Ví dụ: Mã IFS tam giác Sierpinski w e f p 0.5 0 0.5 0 0.33 0.5 0 0.5 0.33 a b c d 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0.34 2.5.3.Giải thuật lặp ngẫu nhiên Cho IFS [IR2 ; wn : n = 1, 2, …, N ] , wn liên kết với xác xuất Pn ====================================================== 33 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Trước trình bày thuật tốn, tìm cách chọn xác xuất Pn thích hợp Khi xác định phép biến đổi, cần chọn xác xuất cho chúng Việc chọn xác xuất khác không dẫn đến hấp tử khác nhau, chúng ảnh hưởng đến tốc độ miền khác hay thuộc tính hấp tử làm đầy Mỗi phép biến đổi affine wn tương ứng với hấp tử J là: x wn y an cn bn dn x en y fn , n 1,2, , N Số lần mà điểm nhảy cách ngẫu nhiên dùng hấp tử wn xấp xỉ với: s wn s j Với S(A): Diện tích A Nếu detAn việc chọn xác xuất Pn sau: Pn det An N det Ai i an d n bn cn N ad bc i i i i i Nếu detAn = Pn gán cho số nhỏ gần 0, ví dụ 0.001 Sau bảng mã IFS:  Mã IFS cho dương xỉ: W A b C 0 0.2 -0.26 0.23 -0.15 0.28 0.26 0.85 0.04 -0.04 d 0.16 0.22 0.24 0.85 E 0 0 f 1.6 0.44 1.6 p 0.01 0.07 0.07 0.85 Tương tự áp dụng thuật toán IFS phép biến đổi affine khơng gian ba chiều có dạng: ====================================================== 34 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== x w y z a b c x d e f y g h m z n q r ax by cz n dx ey fz q gx hy mz r  Mã IFS cho dương xỉ ba chiều: w A B c D 0 0.83 0 0.22 -0.23 0.24 0.22 0.23 0.24 E 0.1 0.8 0.2 f G h 0 m n q 0 r P 0.001 0.1 -0.12 0.84 1.62 0.901 0 0.32 0.82 0.049 0.2 0 0.32 0.82 0.049 Sau hình vẽ minh hoạ giải thuật lặp ngẫu nhiên tương ứng với bảng mã IFS trình bày phần trước: Lá dương xỉ chiều Lá dương xỉ chiều 2.6 TẬP MANDELBROT 2.6.1.Đặt vấn đề Trong nhiều thập niên kỷ XX, nhà toán học để tâm nghiên cứu đến loại biểu thức phức tạp xác định bởi: zn+1 = zn2 + c, zi C, i N &c C (1) ====================================================== 35 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Để đơn giản hoá vấn đề, trước hết ta xét trường hợp c = z0 R Khi có trường hợp sau: + z0 = : zn = 1, n + z0 < : zn n + z0 > : zn n Ở tốc độ tiến đến hay tiến đến dãy (zn) định giá trị ban đầu z0 dãy Trong trường hợp z0 < 1, giá trị z0 nhỏ dãy (zn) tiến đến nhanh Ngược lại z0 > 1, giá trị z0 lớn dãy (zn) tiến nhanh Trong trường hợp tổng quát, dãy (zn) xác định cơng thức (1) khó khảo sát mặt lý thuyết Chỉ đến năm 1979, Mandelbrot thành công việc quan sát dãy với hỗ trợ máy tính điện tử Kết Mandelbrot quan sát thấy cấu trúc fractal phức tạp đẹp Nó đặt tên Mandelbrot để ghi nhớ công lao tác giả, người khai sinh lý thuyết hình học phân hình 2.6.2.Cơng thức toán học Ký hiệu zn = ( xn , yn), c = (p,q), đó: xn = Re(zn), p = Re(c), yn = Im(zn), q = Im(c), n hệ thức truy hồi xác định (1) viết lại theo dạng đơn giản sau: xn+1 = xn2 – yn2 + p yn+1 = 2xn yn + q (2) Ngoài khảo sát dãy (zn) ta tìm tính chất sau: Tính chất hội tụ dãy (zn): - Nếu tồn k cực N cho | zk | > dãy (zn) hội tụ đến vơ - Nếu tồn k N cho | zt | < 2, t : k t 1, với số hữu hạn có | zn | < 2, n k (Ký hiệu | z | modul số phức z) 2.6.3.Xây dựng thuật toán ====================================================== 36 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Tập Mandelbrot hình ảnh dãy (zn), với giá trị khởi đầu z0 = Khi hình máy tính chuyển đổi thành mặt phẳng phức thu hẹp với: + Trục x biểu diễn phần thực số phức c (giá trị p nêu phần 2/) + Trục y biểu diễn phần ảo số phức c (giá trị q nêu phần 2/) Từ tính chất hội tụ dãy (zn) phần chia tập giá trị c mặt phẳng phức thành lớp: Lớp 1: Gồm giá trị c làm cho dãy (zn) không tiến vô cực mà giới hạn vịng trịn bán kính Một cách cụ thể, giá trị c cho xuất phát từ chúng, ta ln có | zi | < 2, i = 1, 2, …, l, l ta chọn trước Để ý giá trị l lớn tính hội tụ dãy (zn) tương ứng với giá trị cụ thể kiểm tra chặt chẽ xác Tuy nhiên thời gian tính tốn để xác định tính hội tụ tăng lên gấp nhiều lần Lớp 2: Gồm giá trị phức c làm cho dãy (zn) hội tụ vơ cực Cụ thể giá trị c khởi đầu dẫn đến | zn | > ngưỡng k hữu hạn Vấn đề đặt cần quan sát tính hỗn độn dãy (zn) Do tập trung quan sát vào giá trị c thuộc lớp Muốn giá trị phải thực cách bật hình máy tính màu khác Chúng ta tơ màu mặt phẳng phức hình theo qui tắc sau: + Các giá trị c thuộc lớp tơ màu đen khơng có tính chất đáng ý + Các giá trị c thuộc lớp tô màu khác ứng với ngưỡng tiến vô hạn k khác Do số lượng màu hiển thị hình đồ hoạ hữu hạn, việc tơ màu giá trị thực theo kỹ thuật tơ màu xoay vịng phần tiếp sau ====================================================== 37 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Tập Mandelbrot cổ điển với giá trị khảo sát nằm vùng giới hạn Xmin = -2.0, Ymin = -1.2, Xmax = 1.2, Ymax = 1.2 Max_Iterations = 512, Max_Colors = 1.6 2.7 TẬP JULIA 2.7.1.Đặt vấn đề Đối với biểu thức zn+1 = zn2 + c, hướng khảo sát trình bày phần tập Mandelbrot, cịn có hướng khảo sát khác cách cho c cố định xem xét dãy (zn) ứng với giá trị khác z0 Theo hướng thu lớp đối tượng fractal gọi tập Julia Tập Julia tập Mandelbrot hai lớp đối tượng fractal có mối liên hệ chặt chẽ với Một tính chất đáng ý tập Mandelbrot xem loại “bản đồ” Mandelbrot cho dạng tập Julia đầy sức lơi Các vị trí quan sát thấy gần biên tập Mandelbrot Nhất gần chỏm nhọn Ngồi phóng to phần tập Mandelbrot, ta thu hình giống với tập Julia tạo giá trị tâm phần phóng to 2.7.2.Cơng thức tốn học Để thể tập Julia hình máy tính, ta sử dụng cơng thức phần tập Mandelbrot, là: xn+1 = xn2 – yn2 + p yn+1 = 2xnyn + q Ngoài tính chất nêu giới hạn dãy (z 0) sử dụng cho tập Julia ====================================================== 38 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== 2.7.3.Xây dựng thuật toán Điểm khác biệt so với tập Mandelbrot giá trị p q giữ cố định, mặt phẳng hình biến đổi thành mặt phẳng phức thu hẹp biểu diễn giá trị x0 với: - Trục x biểu diễn phần thực số phức z0 - Trục y biểu diễn phần ảo số phức z0 Ngồi cịn có phân lớp giá trị z0 sau: Lớp 1: Bao gồm giá trị (z0) có | zk | < 2, với k N N số hữu hạn Tức lớp gồm giá trị z làm cho dãy (z0) không tiến vô cực Lớp 2: Bao gồm giá trị (z0) có | zn | > 2, với n giá trị làm cho dãy (zn) tiến vô cực k, k Z+, tức gồm Ngược lại với tập Mandelbrot, thể tập Julia hình, quan tâm đến giá trị z0 làm cho dãy (zn) không hội tụ đến vô cực Do kỹ thuật tơ màu tập Julia kỹ thuật xoay vịng hồn tồn ngược lại với kỹ thuật tô màu tập Mandelbrot Trong kỹ thuật tô màu này: - Các điểm ảnh tương ứng với giá trị z0 thuộc lớp 1, gán màu tùy thuộc độ lớn | zl| với l ngưỡng định hội tụ dãy (zn) nêu định nghĩa lớp - Các điểm ảnh tương ứng với giá trị z0 thuộc lớp gán màu trùng với màu bảng màu sử dụng ====================================================== 39 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Hình minh hoạ tập Julia 2.8 HỌ CÁC ĐƯỜNG CONG PHOENIX Họ đường cong Phoenix Shigehiro Ushiki trường đại học Kyoto tìm Phương trình đường cong xác định bởi: Zn+1 = zn2 + p + q.zn-1 Trong đó: Zi C i, N p = (p, 0) C q = (q, 0) dạng: C Phương trình khai triển thành phần thực ảo zn có xn+1 = xn2 – yn2 + p + q.xn-1 yn+1 = 2xn.yn + q.yn-1 với: xn+1 = Re(zn+1); yn+1 = Im(zn+1) Khi việc thể đường cong lên hình gần giống với việc thể tập Julia Tuy nhiên có hai điểm thay đổi quan trọng: ====================================================== 40 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Thay đổi 1: - Trục x hình biểu thị phần ảo số phức z0 - Trục y hình biểu thị phần thực số phức z0 Ở đảo ngược trục thực ảo mặt phẳng phức thông thường để thể hình ảnh theo chiều đứng khơng phải chiều ngang Hình 14.1 trình bày loại đường cong loại với yêu cầu rõ ràng phải đổi vai trị trục x y để hình ảnh thể tốt hình Do tương ứng với điểm ảnh (Col, Row) hình số phức z = (x, y) có dạng: x = ymax – Row * x; y = ymin – Col * y; Với: Thay đổi 2: x y ymax y xmax x Max _ Row Max _ Col Thay đổi thuật tốn tơ màu Ở với điểm thuộc lớp (theo định nghĩa nêu phần tập Julia) sử dụng loại màu tuỳ theo ngưỡng hội tụ: Màu 1: sử dụng để tô điểm z0 cho giá trị | zk | < với tối đa k = 32 lần lặp Màu 2: sử dụng để tô điểm z0 cho giá trị | zk | < với số lần lặp từ 33 đến 64 Màu 3: sử dụng để tô điểm z0 cho giá trị | zk | < với số lần lặp vượt 64 lần Còn điểm thuộc lớp 2, tô chúng màu khác với màu ====================================================== 41 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Đường cong Phoenix 2.9 KẾT LUẬN Hiện giới Fractal phát triển Thị trường tranh fractal phần mềm sáng tác fractal khơng nhỏ, có giá trị gần tỉ USD năm 2004 Tìm hiểu sâu fractal truy cập địa sau: www.les.stclair.btinternet.co.uk www.biofractalevolution.com www.fractalism.com ====================================================== 42 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Còn muốn tạo hình họa fractal nhanh chóng dễ dàng nhất, sử dụng phần mềm miễn phí: - Aros Fractals: Dung lượng 165 KB, tương thích với môi trường Windows hành, giải nén vào thư mục sử dụng mà không cần cài đặt Tải từ địa www.arosmagic.com - Double Fractal: Của tác giả Joao Paulo Schwarz Schuler Dung lượng 676 KB, không cần cài đặt, tải từ địa www.schulers.com/fractal ====================================================== 43 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Chương : CHƯƠNG TRÌNH CÀI ĐẶT THỬ ====================================================== 44 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Để cài đặt số đường mặt fractal sử dụng ngơn ngữ lập trình Visual C++ Đây ngơn ngữ lập trình hỗ trợ mạnh cho đồ hoạ 3.1 KẾT QUẢ CÀI ĐẶT Trong phần giới thiệu cách sử dụng tác vụ việc thực vẽ đường mặt Fractal 3.1.1.Giao diện chương trình Giao diện chương trình sau: 3.1.2.Kết số dường mặt cài đặt  Các đường thuộc họ đường Von Kock như:  Đường hoa tuyết Von Kock  Đường Gosper  Đường Von Kock bậc hai đoạn  Các đường thuộc họ đường Peano như:  Đường Peano nguyên thuỷ  Đường Peano cải tiến  Tam giác Cesaro  Đường Sierpinski  Cây Fractal  Cây dương xỉ chiều dương xỉ chiều  Tập Mandelbrot  Tập Julia  Đường cong Phoenix ====================================================== 45 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== 3.2 HẠN CHẾ Hình học Fractal bao gồm nhiều cấu trúc đường mặt khác Do thời gian có hạn nên chương trình cịn số đường mặt chưa kịp cài đặt Bên cạnh chương trình chưa thể hiệu ứng lửa mây v.v… Hướng phát triển đề tài: Hình học Fractal cài đặt thêm số đường mặt sau: - Tạo đường Hilbert - Tạo đường tròn Apolo - Tạo đường cong Dragon - Tạo hiệu ứng lửa, mây… - Tạo dãy núi… ====================================================== 46 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== [1] Michale Barnsly " Fractal Everywhere ", University of Wisconsin- Madison, 1998 [2] John C.Hart “Fractal Image Compression and the Inverse Problem of Recurrent Iterated Function Systems” School of EECS, 1995 [3] ," 97-12, 1997 [4] http://search.dmoz.org/cgi-bin/search?search=fractal [5] http://chaos4.phy.ohiou.edu/~thomas/frac_frame.html ====================================================== 47 Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal ... ====================================================== Đề Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== Chương : TÌM HIỂU VỀ FRACTAL ======================================================... Tài : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== TRANG CHƯƠNG TÌM HIỂU... : Tìm Hiểu Phương Pháp Sinh Ảnh Bằng Fractal Đồ Án Tốt Nghiệp SVTH: Vũ Thế Huy ====================================================== 2.1 HỌ ĐƯỜNG VONKOCK Trong phần thảo luận fractal phát sinh