http://huynhquysp.wordpress.com Vài bài Toán hay với định lí về giới hạn Trong đại số và giải tích ta đã biết định lí nổi tiếng về giới hạn là định lí Weierstrass (Vây-ơ-stra-xơ): "N[r]
(1)Huỳ
nh
Văn
Quy
http://huynhquysp.wordpress.com Vài Tốn hay với định lí giới hạn Trong đại số giải tích ta biết định lí tiếng giới hạn định lí Weierstrass (Vây-ơ-stra-xơ):"Nếu dãy số đơn điệu bị chặn có giới hạn" Sau vài ứng dụng định lý giới hạn dãy số
Ví dụ 1: Chứng minh dãy số (an)
an =
r
a+
q
a+· · ·+√avới a > hội tụ tính giới hạn
Giải:
Ta biết
√
a < pa+ √a <
q
a+pa+√a < , tức dãy số (an)
tăng Ta tìm: a2n = a+
p
a+· · ·+√a = a+an−1 < a+an
Từ bất đẳng thức a2n −an −a < (với a > an > 0) ta có
an <
1 +√1 + 4a
2 , tức dãy số (an) bị chặn Như dãy số (an)
hội tụ
Dùng lần đẳng thức an = a+an−1 (1)
Nếu lim
n→∞
an = x lim n→∞
an−1 = x Chuyển (1) sang giới hạn
dùng định lí giới hạn tổng tích hàm số ta được: x2 = lim
n→∞
a2n = lim n→∞
an−1 = a+x
Suy x = 1±
√
1 + 4a
2 Vì giới hạn dãy số tăng với số hạng dương số âm nên x = lim
n→∞
an =
1 +√1 + 4a (2) Đặc biệt với a =
lim
n→∞
r
1 +
q
1 +· · ·+√1 = +
√
5 (3) Ví dụ 2: Số lớn hai sốx =
r
2 +
q
2 +p2 +· · ·+√2 y =
r
1 +
q
2 +p3 +√4 +· · ·
Giải:
Mới nhìn ta thấy y > x để có y ta phải lấy tất số tự nhiên x ta lấy số Nhưng xem ví dụ tính x theo cơng thức (2) a = là:
x = +
√
1 + 4.2 =
(2)Huỳ
nh
Văn
Quy
http://huynhquysp.wordpress.com Ta nhận xét rằng:
y <
v u u t
1 +
s
2 +
r
2 +
q
22 +p24 +· · · =
s
1 +√2· +
√
5 < Vậy y < x
Ví dụ 3: Giải phương trình
q
x+ px+√x+· · · =
Giải: Theo ví dụ 1, phương trình cho viết:
1 +
√
1 + 4x
2 = Từ
√
1 + 4x = 13, x = 42
Có thể giải theo cách khác cách bình phương hai vế ta được: x+
q
x+ √x+· · · = 49
Do số hạng thứ hai trùng với vế trái phương trình ta có x+ = 49, x = 42
Ví dụ 4: Giải phương trình
v u u u t1 +
v u u t
x+
s
1 +
r
x+
q
1 +√x+ · · · =
Giải: Ta bình phương hai vế phương trình:
1 +
q
x+p1 +√x+· · · = Từ
q
x+p1 +√x+· · · = Lại bình phương lần hai vế được:
x+
q
1 +√x+ · · · = 64
Do số hạng thứ hai nên x+ = 64, từ x = 61 Vậy
r
1 +
q
61 +p1 +√61 +· · · =
Ví dụ 5: Vẽ đồ thị hàm số y =
q
x+px+√x+· · · với x ≥
Giải:
Nếu x = y = 0, x > y = +
√
1 + 4x
Do với x → y → Ta có đồ thị
1
1 x y
bO b b
b
f
b
b
b
b
Ví dụ 6: Giải phương trình:
(3)Huỳ
nh
Văn
Quy
http://huynhquysp.wordpress.com
a) =
r
1 +
q
x+ p3
1 +√x+· · · b) =
r
1 +
q
y +p1 +√3
y +· · ·
Giải:
Ta có: a) = +
q
x+p3
1 +√x+· · ·, hay 49 = x+p3
1 +√x+· · · 49 = x+ Vậy x = 47
b) = 1+
r
y +
q
y +p1 +√3
y +· · ·, hay27 = y+p1 +√3
y +· · ·;
27 = y + Vậy y = 25
Tài liệu trích từ "Trăm lẻ chuyện lí thú Toán" tác giả Lê Hải Châu