[r]
(1)
BÀI TẬP ĐẠI SỐĐẠI CƯƠNG II Nhóm
Bài 2.2)
Gọi e phần tửđơn vị trái R , ta có ex = x với x thuộc R Xét x thuộc R , ta chứng minh xe – x + e phần tửđơn vị trái R Thật , với y thuộc R , ta có
( xe – x + e ) y = xey – xy + y = xy – xy + y = y nên xe – x + e phần tửđơn vị trái R
Do tính e nên ta có xe – x + e = e hay xe = x với x thuộc R Suy xe = ex = x với x thuộc R nên R có phần tửđơn vị e
Bài 2.6)
Từ giả thiết suy x4 = x2 với x thuộc R Đặt t = x2 , ta có t2 = t Ta thấy với y thuộc R
(yt – tyt )2 = ytyt – yttyt – tytyt + tyttyt = ytyt – ytyt –tytyt + tytyt = nên (yt – tyt ) = (yt – tyt )3 = hay yt = tyt
Tương tự ta có ty = tyt Suy ty = yt hay x2y = yx2 Từđó ta có
xy = (xy)3 = xyxyxy = x(yx)2y = xy(yx)2 = xy2xyx = y2xxyx = y2x2yx = y3x3 = yx với x , y thuộc R
Vậy R vành giao hoán Bài 2.10)
Hiển nhiên I + J ⊂ R Xét ( x + y ) (x’ + y’) ∈ I + J v r ∈ R Ta thấy ( x + y ) - (x’ + y’) = ( x - x’) + ( y – y’ ) ∈ I + J
r( x + y ) = rx + ry ∈ I + J (x + y )r = xr + yr ∈ I + J suy I + J ideal R
Nếu R = Z , I = mZ , J = nZ theo kết 1.16b , ta có I + J = (m,n) Z
Bài 2.14)
a) Hiển nhiên aR ⊂ R
(2)
b) Hiển nhiên aR ⊂ R
* Nếu a khả nghịch trái tồn b thuộc R cho ba = e Khi với r thuộc R , ta có r = re = r(ba) = (rb)a ∈ Ra , suy R ⊂ Ra Vậy R = Ra * Nếu Ra = R tồn b cho ba = e hay a khả nghịch trái
c) * Nếu a khả nghịch tồn b thuộc R cho ab = ba = e Khi theo câu a b aR = Ra = R
* Nếu aR = Ra = R tồn b c cho ab = ca = e Ta chứng minh b = c Thật ab = e nên c(ab) = ce ⇒ (ca)b = c ⇒ b = c Vậy a khả nghịch Bài 2.18)
a) Giả sử X vành có đơn vị e có p phần tử với p nguyên tố Khi ( X,+) nhóm cyclic nên sinh phần tử khác Ta thấy e = với x thuộc X , x = xe = x0 = nên nhóm (X , + ) có phần tử , trái giả thiết , suy e khác Vậy X = <e> = { , e , 2e , , (p-1)e }
Khi ta thiết lập tương ứng f : p → X k ke
Hiển nhiên f ánh xạ toàn ánh Hơn f(k +h) = ( k + h )e = ke + he = k e +he = f(k) + f(h) nên f đồng cấu
Ngoài , ker f = {k ∈ p | ke = } = {k ∈ p | k = } = nên f đơn cấu Suy f đẳng cấu nên p ≅ X
b) Nếu m khơng ngun tố m = nk ( < n , k < m )
Giả sử (n,k) > 1, theo kết 1.35 th ì m nhóm cyclic n × k kh ơng cyclic V ì v ậy m khơng đẳng cấu với n × k
Bài 2.22)
a) Giả sử n khơng ngun tố , n = mk ( < m , k < n)
Khi ne = ( mk)e = (me)(ke) = , R miền nguyên nên me = ke = , trái giả thiết n Vậy n nguyên tố
b) Xét x khác , ta có nx = (ne)x =
Hơn kx = = kx = k(ex) = (ke)x R miền nguyên nên ke = 0, suy k # n Vậy cấp phần tử khác không R n
(3)Với mx , my∈ mR r∈ R mx – my = m(x-y) ∈ mR , r(mx) =m(rx) ∈ mR, (mx)r = m(xr) ∈ mR , suy mR ideal R
Xét ánh xạ f : R → R x x
Hiển nhiên f đồng cấu vành tồn cấu *Nếu m#n mR = {0}
Hơn ker f = { x ∈ R | x = 0} = {0} = mR Suy R / mR ≅ R
*Nếu m khơng chia hết cho n (m,n) = n nguyên tố Suy tồn u v nguyên cho mu + nv =
Với a thuộc R a = ( mu + nv)a = mua + nva = mua ∈ mR ( nva = ), suy a ∈ mR
Vậy mR = R Từđó R / mR = { } ≅ {0}
Bài 2.26) a)
*NếuR/I miền ngun R/I có nhiều phần tử (I khác R)
Lấy x,y hai phần tử thuộc R cho xy ∈ I ,ta có : xy +I = (x+I) (y+I) = I Mà R/I khơng có ước không nên x∈I y∈I
Vậy I ideal nguyên tố
* Nếu I ideal nguyên tố I khác R R/I có nhiều phần tử Lấy x+I , y+I ∈R/I Ta có (x+I)(y+I) =xy+I =yx+I =(y+I)(x+I) (R giao hốn) Do R/I vành giao hốn có đơn vị I
Với x+I , y+I ∈ R/I thoả (x+I)(y+I)=I ,suy xy+I = I hay xy∈I Vì I ideal nguyên tố nên x+I=I y+I=I , suy x∈I y∈I.Vậy R/I khơng có ước không nên R/I miền nguyên
b)
* Giả sử R/I trường , cho J ideal R cho I⊂J (I khác J)
Xét x∈J \ I Suy x + I khác I Mà R/I trường nên có y+I thoả (x+I)(y+I)= xy + I = e + I hay e = xy + i Vì x ∈ J , i∈J ( i∈I) nên e thuộc J Suy J = R Vậy I ideal tối đại
* Giả sử I ideal tối đại I khác R , suy R/I có nhiều phần tử R vành giao hốn có đơn vị nên R / I vành giao hốn có đơn vị e+I
Lấy x +I ≠I (x∉I) Xét ideal J = I +xR Khi I ⊂ J x ∈ J Vì I ideal tối đại nên J = R e ∈J
Ta có e=i + xy ( i∈I , y∈R ) hay e+I = (i+xy) +I = xy+I = (x+I)(y+I) Do y+I nghịch đảo x+I (do R vành giao hoán )
(4)
Bài 2.30)
Xét trường A ∵
Vì A trường ∵ nên thuộc A Suy ∀n>0, có n = 1+1+….+1 ∈A , -n∈A,và
n
1 ∈
A Lấy
q p ∈∵
(q≠0) Ta có q p
= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ q
p ∈ A ( Do p∈A , q
1 ∈
A) Suy ∵⊂A (2) Vậy A = ∵
Bài 2.34)
a) Ta thấy với p nguyên tố (k , p) = ⇔ ( k , pm ) = 1( m nguyên dương ) Ta tìm tất cá k cho ( k , p) khác với 1≤ k ≤ pm
Đặt k = ( ≤ t ), ta có 1≤ ≤ pm ⇔ 1≤ t ≤ p m-1 , suy có tất p m-1 giá trị k với 1≤ k ≤ pm cho ( k , p) khác
Vậy ϕ(pm) = pm – pm-1 = pm-1( p – 1)
b) Ta có n = mk
k m m
p p
p
2
1 ϕ(n) = ϕ(
1
1
m
p )…ϕ( mk
k
p )
Suy ϕ(n) = n ( – p1-1) ( – p2-1)…(1 - pk-1 )