[r]
(1)Tổng hợp đề thi cao học lớp TỐN GIẢI TÍCH K23 Đại học khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh
Giải tích hàm nâng cao
Đề thi giữa kì (90 phút)
(Khơng sử dụng tài liệu)
1 Cho E, F hai không gian định chuẩn ℒ(E,F) không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Với Λ ∈ ℒ(E,F), đặt
x
sup x (1)
≤
Λ = Λ
a) Chứng minh
{ }
x x x
x
sup x sup x sup inf M x M x , x E x
< = ≠
Λ
Λ = Λ = Λ = = > Λ ≤ ∀ ∈
b) Chứng minh rằng: Λ ≤ Λx x , ∀Λ ∈ ℒ(E,F), x ∈ E
c) Chứng tỏ (1) xác định chuẩn ℒ(E,F) và, với chuẩn này, ℒ(E,F) không gian Banach F không gian Banach
2 Cho E = C[0,1] không gian Banach hàm số liên tục [0,1], với chuẩn ( )
0 t
x sup x t
≤ ≤
= Với x ∈ E t ∈ [0,1], đặt
( )( ) (1 ) ( )
0
T x t =∫ t−s x s ds
Chứng minh T ∈ ℒ(E,F)
Đề thi cuối kì (120 phút)
(Khơng sử dụng tài liệu)
1 Cho E, F hai không gian định chuẩn Λ ∈ ℒ(E,F), với ℒ(E,F) khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Ta nói Λ tốn tử compact Λ( )A compact F với tập A bị chặn E
a) Chứng minh Λ ∈ ℒ(E,F) toán tử compact Λ( )B compact
F, B cầu đơn vị E
b) Cho F không gian định chuẩn hữu hạn chiều Chứng minh ánh xạ tuyến tính liên tục từE F tốn tử compact
c) Cho F không gian Banach ( )Λn dãy phần tử ℒ(E,F) Chứng minh Λn toán tử compact ( )Λn hội tụ (trong ℒ(E,F)) vềΛ ∈ ℒ(E,F) Λ tốn tử compact
d) Cho Λ ∈ ℒ(E,F) toán tửcompact Đặt v=idE− Λ Chứng minh Kerv≡v−1( )0
là không gian hữu hạn chiều
2 Cho ( )en n∈ họ trực chuẩn vecto không gian Hilbert E a) Chứng minh với dãy số thực ( )αn n∈, ta có
2
n n
2
k k k
k k
e
= =
α = α
∑ ∑ ,
(2)b) Chứng minh nễu chuỗi số n
2 k k 1=
α
∑ hội tụ chuỗi n k k k e = α
∑ hội tụ (trong E)
2
k k k
k k
e
∞ ∞
= =
α = α
∑ ∑
c) Với x ∈ E n ∈ℕ, đặt xn = x, en Chứng minh
n 2
2 n
k
x x ,
=
≤
∑
với n ∈ℕ Suy n 2 k
x x ,
∞ =
≤
∑ với x ∈ E
d) Giả sử thêm khơng gian sinh họ ( )en n∈ dày đặc E Chứng minh
2
n n
x x, e ,
∞ =
=∑ với x ∈ E
Đại số tuyến tính ứng dụng Đề thi giữa kì (60 phút)
(Được sử dụng tài liệu) Câu Giải hệphương trình vi phân
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x ' t 4x t 3y t y ' t 6x t 5y t
= − + = − +
∀t ∈ℝ với
( ) ( )
x
y
= =
Câu Giải hệphương trình vi phân
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u' t 3u t 3v t
v' t 5u t v t
= + = − −
∀t ∈ℝ với
( ) ( )
u
v
= = −
Câu Cho A∈Mn( )
a) Xét c ∈ℝ K={Z∈n AZ=cZ}≤n Chứng minh có H≤n thỏa H =K mô tả tập H
b) Giả sửA chéo hóa ℂ pA( )x tách ℝ Chứng minh A chéo hóa
được ℝ
Đề thi cuối kì (120 phút)
(Không sử dụng tài liệu) Câu (2,5 điểm) Giải hệphương trình vi phân thực
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x ' t 3x t 9y t
y ' t x t 3y t 2t
= − − − = + +
∀t ∈ℝ với
( ) ( )
x
y
= = −
Và x(t), y(t) hàm khả vi theo t ℝ Câu (5 điểm)
Cho ma trận thực
1 2 A 4 1
− − = − − −
a) Giải thích A có dạng tắc Jordan JA tìm mà trận khả nghịch P (có hệ số
đều nguyên) cho JA =P AP−1 Từđó xác định ma trận S (chéo hóa ℝ) N
(3)b) Áp dụng giải hệphương trình vi phân thực
( ) ( )
X ' t =AX t , t∀ ∈ X(0) = (-1, 0, 1) X :→3 khả vi ℝ Câu (2,5 điểm)
Cho số thực v > w ≤ a) Đặt A ln v
1 / v ln v
=
( )
( )
ln w B
ln w
− −π
= π −
w < Tính
A
e eB b) Xét H∈M2( ) thỏa pH( ) (x = x−v)2
Tùy theo khảnăng chéo hóa H ℝ, chứng minh có K∈M2( ) thỏa eK =H c) Xét S∈M2( ) thỏa pS( ) (x = x−w)2
Chứng minh: ∃ ∈T M2( ) , eT = ⇔S (S≠O2 S chéo hóa ℝ)
Giải tích thực Đề thi giữa kì (60 phút)
(Không sử dụng tài liệu)
Câu Chứng minh Ω đo được, bị chặn Lr( )Ω ⊂Ls( )Ω ∀∞ ≥ ≥ ≥, r s Ngược lại
( ) ( )
r s
L Ω ⊂L Ω ∀∞ ≥ ≥ ≥, r s Ω có bị chặn khơng? Câu Tìm khai triển Fourier dạng thực hàm sau
( ) 3x2 f x
12
π − = (−π π, ) Tính 4
n 1 n
∞ = ∑
Đề thi cuối kì (120 phút)
(Không sử dụng tài liệu)
Câu (2đ) Tìm đạo hàm cấp theo nghĩa suy rộng hàm sau
2
4x 3, x f (x) x 5x 3, x
9
2x , x
x
+ ≤
= − + < ≤
− + > +
Câu (3đ) cho f :→ hàm tuần hồn với chu kì 2π cho f (x)=x2 với 0≤ < πx a) Tìm khai triển chuỗi Fourier f
b) Chuỗi Fourier câu a) hội tụ tới giá trị x = 0, x = 2π x ∈ (0,2π) Từđó suy giá trị
2 n
1 n
∞ = ∑
c) Tìm giá trị khai triển Fourier câu a) với x∈(2k , 2(k 1)π + π), với k ∈ℤ
Câu (2đ) Tìm biến đổi Fourier
ibx
2
e
g(x) , b, k
x k
−
= > +
Câu (2đ)
(4)b) Chứng minh hàm ( ) x e f x
x
−
= thuộc L 0,2( ∞) Câu (1đ)
a) Đặt n( ) n
n
1 f x
x x
n
=
+
Chứng minh fn( )x ≤g x( ) với n≥3
( ) ( )
[ ]
2
x , x 0,1 g x
4x , x− 1,
∈
=
∈ +∞
b) Tìm giới hạn
n n
n
dx lim
x
1 x
n
∞
→∞
+