Đang tải... (xem toàn văn)
(4,5 điểm) Kiểm tra tính elliptic của các bài toán biên sau.[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————-ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ NĂM HỌC 2011-2012
——oOo——-Mơn thi: Bài tốn biên elliptic
Mã mơn học: Số tín chỉ:2 Đề số:1
Dành cho học viên cao học khóa:2010-2012 Ngành học:Tốn Giải tích Thời gian làm bài90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (2 điểm) Cho dãy hàm{fk}∞k=1trong không gian hàm giảm nhanhS(Rn)hội tụ về hàm0trongS(Rn).
Chứng minh với số thựcsta có (a)(1 điểm) fk ∈ Hs(Rn),k=1, 2, ,
(b)(1 điểm) và lim
k→∞ R
Rn(1+|ξ|2)s|Ffk(ξ)|2dξ =0.
Câu 2. (3,5 điểm) Cho toán tử vi phân A1(x,D) = x1 ∂
2 ∂x12 +
∂2
∂x22, A2(x,D) = ∂2 ∂x12 +x2
∂2 ∂x22 trong miềnB={x = (x1,x2)| (x1−2)2+ (x2−1)2 ≤1|}.
(a) (1,5 điểm)Tính tốn tử hợp thành A(x,D) = A1(x,D)A2(x,D)và biểu trưng của tốn tử hợp thành đó.
(b) (2 điểm) Khảo sát tính elliptic toán tử A1(x,D),A2(x,D) và A(x,D) trên miềnB.
Câu 3. (4,5 điểm) Kiểm tra tính elliptic toán biên sau. (a)(2 điểm) Bài toán biên hình vng
∆u(x1,x2) =0 khi0 <x1,x2<1, ∂u
∂x1
(0,x2) = ϕ0(x2), ∂u ∂x1
(1,x2) = ϕ1(x2) khi0<x2 <1, ∂u
∂x2(x1, 0
) =ψ0(x1), ∂ u ∂x2(x1, 1
) =ψ1(x1) khi0< x1 <1.
(b)(2,5 điểm) Bài toán biên nửa không gian
∆2u(x
1,x2,x3) =0 khix1 >0, ∂3u
∂x31(x1,x2,x3
) = g(x1,x2,x3) khix1 =0,
∑
j=1 ∂u
∂xj(x1,x2,x3) =h(x1,x2,x3) khix1=0.
(2)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————–
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ , NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: Bài tốn biên elliptic
Mã mơn học: Số tín chỉ:2 Đề số:1
Dành cho sinh viên khố:2010-2012 Ngành học:Tốn Giải tích
Lời giải Câu1 [2điểm]
(a) Do fk ∈ S(Rn)nênFfk ∈S(Rn)
Khi đó(1+|ξ|2)(|s|+1+n)/2|Ffk(ξ)|<C Do
Z
Rn(1+|ξ|
2)s|Ff
k(ξ)|2dξ <C
Z
Rn(1+|ξ|
2)−(n+1)
dξ <+∞
1
(b) DoS− lim
k→∞fk =0nênS−klim→∞Ffk =0
Khi lim
k→∞ξsup∈Rn
(1+|ξ|2)(|s|+1+n)/2|Ffk(ξ)|=0 Mà
Z
Rn(1+|ξ|
2)s|Ff
k(ξ)|2dξ < sup
ξ∈Rn
(1+|ξ|2)|s|+1+n|Ffk(ξ)|2
Z
Rn(1+|ξ|
2)−(n+1)
dξ
Như ta có điều phải chứng minh
1
Lời giải Câu2 [3,5điểm]
(a)A(x,D) =x1 ∂4 ∂x41
+ (1+x1x2) ∂2 ∂x21
∂2 ∂x22
+x2 ∂4 ∂x42
+2 ∂
3
∂x32 với biểu trưng a(x,ξ) =x1ξ41+ (1+x1x2)ξ21ξ22+x2ξ42
1,5
(b) Toán tửA1(x,D)là elliptic với sốC=1, 1
các tốn tửA2(x,D),A(x,D)khơng elliptic chọn dãy điểm x = (2, 1/n),n=2, 3,
1
Lời giải Câu3 [4,5điểm]
(a) Các biểu trưng
+ phương trìnha(x,ξ) =ξ21+ξ22,
+ điều kiện biênb(0,x2,ξ) =b(1,x2,ξ) =ξ1,b(x1, 0,ξ) =b(x1, 1,ξ) =ξ2 0,5
(3)Các véc-tơ pháp tuyến, tiếp tuyến
η(0,x2) =η(1,x2) = (1, 0),η(x1, 0) =η(x1, 1) = (0, 1), ξ(0,x2) =ξ(1,x2) = (0, 1),ξ(x1, 0) =ξ(x1, 1) = (1, 0)
0,5
Toán tử∆là elliptic đúng, hệ gồm toán tử biênb(x,ξ)là chuẩn tắc a+(x,ξ+τη) =τ−i
0,5
Kiểm trab(x,ξ+τη)trên cạnh hình vng Từ dẫn đến tốn biên
xét elliptic
0,5
(b) Các biểu trưng
+ phương trìnha(x,ξ) = (ξ21+ξ22+ξ23)2,
+ điều kiện biênb1(x,ξ) =ξ31,b2(x,ξ) =ξ1+ξ2+ξ3 0,5
Các véc-tơ pháp tuyến, tiếp tuyến
η(0,x2,x3) = (1, 0, 0),ξ(0,x2,x3) = (0,ξ2,ξ3)
0,5
Toán tử∆là elliptic
a+(x,ξ+τη) = (τ−i)2
0,5
Hệ hai toán tử biên cób1(x,η) =1,b2(x,η) =1nên hệ chuẩn tắc
b1(x,ξ+τη)≡ −3τ+2i(moda+),b2(x,ξ+τη)≡(ξ2+ξ3) +τ(moda+)
0,5
Có định thức
det
−3 2i ξ2+ξ3
= −3(ξ2+ξ3)−2i6=0,∀ξ2,ξ3∈R
Từ dẫn đến tốn biên xét elliptic
0,5
Hà nội, ngày 15 tháng 05 năm 2012 NGƯỜI LÀM ĐÁP ÁN
(ký ghi rõ họ tên)
Đặng Anh Tuấn