Khi những quy luật về trị số không còn giúp tiếp tục điền số, ta phải nghĩ đến cách phân tích trị khả dụng trong các thành phần (hàng, cột hay khối) của Sudoku. Việc nầy có thể giúp kh[r]
(1)Sudoku trò chơi lý luận, bình dân nhiều quốc gia giới, Nhật Bản Truyền hình Anh quốc có chương trình thảo luận kỹ thuật giải Sudoku Sudoku tiếng Nhật có nghĩa “Số nhất” Người Mỹ gọi Sudoku trò chơi “Xếp
số” (Number Place) Ở Úc châu, Sudoku bán tuần báo Việt Luận giới thiệu tới độc giả từ tháng năm 2010 ấn Thứ Sáu từ tháng năm 2013 ấn Thứ Ba, tổng cộng có 220 khung Sudoku
Bài viết nầy tổng hợp khai triển Sudoku có “Đọc Vui Suy Nghĩ” gồm có:
Các Địng nghĩa Sudoku
Vài Quy luật Sudoku
Quy luật lần diện dãy khối (QL3L) Quy luật Vách tường kín dãy khối (QLVTK) Quy luật Vách tường hở dãy khối (QLVTH) Quy luật HỌ ô Sudoku
Quy luật Số Cuối Cùng thành phần Sudoku
Quy luật Ô Trống (hay Lỗ Hổng) thành phần Sudoku Quy luật cề Bộ 2, Bộ ô Sudoku
Thực tập giải Sudoku
* * * Các Định nghĩa Sudoku
Trò chơi Sudoku tiêu chuẩn mạng hình vng gồm có hàng cột, chia mạng thành 81 vng khối 3×3, khối có ô vuông
(2)Mục đích trị chơi Sudoku phải điền trống với số khoảng từ đến cho hàng, cột khối chứa tất số từ đến
Nói khác đi, số diện lần hàng, cột hay khối mà
Có Dãy khối ngang (DKN):
Dãy khối ngang (DKN 1): Khối 1, 2, Dãy khối ngang (DKN 2): Khối 4, 5, Dãy khối ngang (DKN 3): Khối 7, 8, Có Dãy khối dọc (DKD):
Dãy khối dọc DKD 1): Khối 1, 4, Dãy khối dọc (DKD 2): Khối 2, 5, Dãy khối dọc (DKD 3): Khối 3, 6,
Mỗi dãy khối ngang có hàng dãy khối dọc có cột
(3)Cột đánh dấu số từ trái sang phải số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Hàng cột gọi chung tuyến Vậy dãy khối (ngang hay dọc) có tuyến
Một Sudoku hàng X cột N ký hiệu XN, thí dụ: A4 = 8, G9 = Hàng, cột khối gọi chung thành phần Sudoku
Một số gọi khơng thích hợp thành phần Sudoku số diện thành phần ngược lại, số gọi thích hợp thành phần số chưa diện thành phần
Một số a thích hợp thành phần (hàng, cột khối) chứa ô Sudoku XN gọi trị khả dụng Sudoku đó, ký hiệu XN(a) Một Sudoku có nhiều trị khả dụng, thí dụ XN(a,b,c) Nếu có trị khả dụng nhất, trị khả dụng trị ô
Họ ô Sudoku
Họ ô Sudoku tập hợp gồm hàng, cột khối chứa
Vách tuờng
(4)Trong hình trên:
3 A1A2A3 khối hàng A, Vách Tường DKN ô I4I5I6 khối hàng I, Vách Tường DKN 3 ô A9B9C9 khối cột 9, Vách Tường DKD 3 ô D5E5F5 khối cột 5, Vách Tường DKD
Vách Tường có đủ số gọi Vách Tường kín Vách Tường khơng có đủ số gọi Vách Tường hở
Thí dụ: D1D2D3 Vách tường hở DKN D7E7F7, G7E7I7 Vách Tường hở DKD
Vài Quy luật Sudoku Sudoku
(5)Trước đọc tiếp, độc giả nên chuẩn bị sẵn viết chì để điền số vào Sudoku Hình 1, theo dẩn Trước điền số vào đó, độc giả nên tìm hiểu xem phải làm
A) Biết hai vị trí số dãy khối, tìm vị trí thứ ba số dãy khối
Trong dãy khối, số diện vị trí: tuyến khác khối khác
Trong Hình 1, DKN (gồm khối 4, 6), số diện khối hàng D khối hàng F, số phải khối hàng E, tức E1 hay E2 Vì cột chứa số nên khơng thích hợp với E1, hay E1 chứa số Vậy E2 =
Ta viết: E2 = (QL2L DKN 2)
Tương tự, C9 = , C7 = (QL2L DKN 1); I8 = 6, G4 = 3, G5 = (QL2L DKN 3); E1 = 8, A3 = 4, C3 = (QL2L DKD 1); C4 = (QL2L DKD 2),
(6)B) Biết vị trí số dãy khối, tìm hai vị trí cịn lại số dãy khối
Trong DKN 1, xét ô C2 = hàng C khối Vách Tường kín A4A5A6 hàng A khối Để ý trị C2 khác với trị 7, 3, ô A1, A5, A6 Vách Tường Trong khối 2, số hàng C, lại bị cản trở vách tường A4A5A6 hàng A, nên phải hàng B, B4 hay B6 Vì khơng thích hợp với B4 nên B6 = Trong khối 3, phải hàng A hàng với Vách Tường, trị A7, A8 hay A9 (8 gọi trị số khả dụng A7, A8 A9, ký hiệu A7(8), A8(8), A9(8)
Thí dụ nầy gỉải thích quy luật thứ hai, gọi là:
Trong thí dụ trên, ta viết:
B6 = 8, A7(8), A8(8), A9(8) (QLVTK A4A5A6 đ/v C2 = DKN 1) => I5 = (QL2L DKD 2)
Để ý C7 = 5, C9 = (theo trên)
Trong DKN 1, ô A4 = khối Vách Tường C7C8C9 khối cho B9 = 7, C1 = khối khối Ta viết:
B9 = 7, C1 = (QLVTK C7C8C9 đ/v A4 = DKN 1)
Quy luật Vách Tường Kín dãy khối áp dụng cho Vách Tường Hở nếu trị a ô XN khơng thích hợp với trống Vách Tường
Thí dụ:
(7)Ta viết: I1(9), I3(9), H7 = (QLVTH H1H2H3 đ/v G6 = DKN 3) (Để ý H8 = theo trên)
Tương tự: H4 = 1, E6(1), F6(1) (QLVTH G6H6I6 đ/v B5 = DKD 2) Đến đây, số điền vào khung Sudoku sau:
C) Định vị trí số chưa diện thành phần Sudoku
Hàng, cột khối 3×3 Sudoku gọi chung nhũng thành phần Sudoku Mỗi thành phần Sudoku có Sudoku
Trường hợp đơn giản :
Thí dụ Hình 1a, nhiều trống điền số:
C6 = (SCC hàng C) => A2 = (QL2L DKN 1)
=> B1 = (SCC khối 1) => B4 = (SCC hàng B hay khối 2) => I3 = (QL2L DKD 1)
(8)5) chứa tất số từ đến 9, nên E6 phải chứa số hay E6 = => F8 = (QL2L DKD 3)
Tương tự: Họ I6 chứa tất số trừ => I6 = => F6 = (SCC cột 6) Ô trống
Cột có trống A8 E8 số chưa điền 9: A8 E8 chia số khơng thích hợp với E8 (vì có hàng E, E1 = 8) nên E8 = => A8 = Suy E4 = (SCC hàng E)
Cột có trống D5, F5 H5 chia số chưa điền 2, H5 khơng thích hợp với (vì H8 = I6 = 7) => H5 = D5 khơng thích hợp với => D5 = => Còn lại F5 = Suy ra: D4 = (SCC khốii 5) => I4 = (SCC cột 4)
Cột có trống D2, G2 H2 chia số chưa điền 1, G2 H2 khơng thích hợp với (vì G8 = 5, H5 = 5) (tức G2 H2 5) => D2 =
H2 khơng thích hợp với => H2 = => G2 =
Những thí dụ số trường hợp thường gặp của:
Thí dụ: Hàng A có trống A7 A9 chia số (để ý: A8 = theo trên), A7 khơng thích hợp với => A7 = 6, A9 =
Cột có trống F1 I1 chia số I1 khơng thích hợp với => I1 = 5, F1 = Suy ra: G3 = (QL2L DKD hay SCC khối 7)
Hàng G có trống G7 G9 chia số G9 khơng thích hợp với => G9 = 8, G7 = Suy ra: D7 = (SCC cột 7)
(9)=> D9 = 6, F9 =
Suy ra: D3 = 1, F3 = (SCC hàng E F)
Lời giải Sudoku Hình là:
Quy luật Bộ 2, Bộ ô Sudoku Xét khung Sudoku Hình đây:
(10)hợp với thành phần (hàng, cột, khối) chứa ô Sudoku Một trị khả dụng ô trị thực ô
Hai ô thành phần khung Sudoku có cặp trị khả dụng tạo thành Bộ ô Sudoku (Twin) có trị cặp trị khả dụng
Thí dụ:
Trong Hình 2, khối hay cột có A8(7,9) B8(7,9) Bộ Sudoku trị
Nếu A8 = B8 = ngược lại, A8 = B8 = Suy ra, trống khác cùng thành phần với A8 B8, nhận làm trị khả dụng
Trong thành phần khung Sudoku, có ô có trị khả dụng nằm số a, b, c, thì tạo thàng Bộ Sudoku (Triplet) có trị a, b, c
Thí dụ:
Trên hàng C, C2(7,9), C4(3,7,9), C5(3,9) có trị khả dụng nằm số 3, => C2(7,9), C4(3,7,9), C5(3,9) tạo thành Bộ ô Sudoku trị 3, 7, hàng C Ba ô C2, C4, C5 chia số 3, Thật vậy:
Nếu C2 = => C5 = => C4 =
Nếu C2 = => C4(3,9) C5(3,9) Bộ ô Sudoku trị => C4 C5 chia số
Suy ra: Trong thành phần chứa Bộ ô Sudoku C2, C4 C5 trị 3, 9, ô trống khác không thể nhận 3, làm trị khả dụng
Tóm lại, ta có:
Áp dụng vào khung Sudoku Hình 2:
A8(7,9), B8(7,9) Bộ ô Sudoku trị Cột Khối 3: G8(1,7,9) => G8 = 1; C7(5,7,9) => C7 =
(11)I3(2,3), I6(1,2), I9(23) Bộ ô Sudoku trị 1, Hàng I: I1(3,9) => I1 = 9; I2(1,2,4,9) => I2 =
G3(2,3), I3(2,3) Bộ ô Sudoku trị khối 7: H1(3,7) => H1 =
A2(2,7,9), B2(2,7,9), C2(7,9) Bộ ô Sudoku trị 2, Cột 2: H2(1,2,7,9) => H2 =
G6(1,2), I6(1,2) Bộ ô Sudoku trị Cột 6: E6(2,7) => E6 =
(Mục đích đoạn nầy để nêu rõ áp dụng Bộ Bộ ô Sudoku, Thật ra, tốn giải nhanh quy luật đơn giản khác)
* * *
Quy luật giải Sudoku nhiều khơng thể trình bày hết viết nầy Hi vọng quy luật đủ để giúp độc giả giải khung Sudoku từ dễ đến trung bình Chỉ cần tập luyện hai độc giả thành cơng
Hi vọng viết nầy giúp cho độc giả, vị lớn tuổi, có phương pháp giải trí đơn giản, tập luyện nơi đâu, để giúp làm tươi trẻ lại trí óc Mong thay!
* * * Thực tập giải Sudoku
(12)Lời giải:
QLSU01 – Bộ hai, Bộ ba, Bộ bốn ô Sudoku
Trị khả dụng ô Sudoku (tiêu chuẩn) trị số khoảng đến 9, điền vào Sudoku (nói cách khác: trị số thích hợp với Sudoku đó)
Ký hiệu: M(x,y, ) : x, y, … trị khả dụng ô M
Bộ hai ô Sudoku: ô thành phần Sudoku (hàng, cột hay khối) có trị khả dụng nằm số
Thí dụ: A(x,y), B(x,y) hai Sudoku với trị khả dụng x y; A(3,7), B(7) hai ô Sudoku với trị khả dụng
Bộ ba ô Sudoku: thành phần Sudoku có trị khả dụng nằm số Thí dụ: A(x,y,z), B(x,y), C(y,z) ba ô Sudoku với trị khả dụng x, y z
A(2,5), B(1,2,5), C(1,5) ba ô Sudoku với trị khả dụng 1, A(3,5), B(3,7), C(5,7) ba ô Sudoku với trị khả dụng 3,
(13)A(2,5), B(1,2,7), C(1,5), D(5,7) bốn ô Sudoku với trị khả dụng 1, 2, A(5,4,6,9), B(4,9), C(4,5,6), D(5,9) bốn ô Sudoku với trị khả dụng 4, 5,
Tổng quát, Bộ N ô Sudoku: N ô thành phần Sudoku có trị khả dụng nằm N số
Quy luật Bộ N ô Sudoku:
Trong thành phần Sudoku (hàng, cột hay khối), có N Sudoku với N trị khả dụng x1, x2, … , xn
1 Các N có trị số nằm dãy x1, x2, … , xn
2 Các cịn lại thành phần có trị số số cịn lại
Thí dụ: Một thành phần có Sudoku A, B, C, D với trị khả dụng 2, 4, 5, Bốn A, B, C D chia trị khả dụng 2, 4,
2 Năm cịn lại thành phần chia trị khả dụng 1, 3, 6,
Một hàng có lổ hỏng (ô trống) A, B C số chưa điền 3, Nếu A(3,5), B(3,5) A, B hai Sudoku với trị khả dụng Suy ra, A B chia số => phải trị số ô C
Một thành phần có với trị khả dụng sau:
A(2,5), B(5,9), C(2,9), D(4), E(1,3), F(8),G, H(7), I(1,3) Tìm trị số G
A, B, C ô Sudoku với trị khả dụng 2, 5, => A, B, C chia số 2, 5, E, I ô Sudoku với trị khả dụng 1, => E, I chia số 1,3
D(4), F(8), H(7) => D, F có trị số lượt 4, Còn lại số trị số ô G
(14)Khối có trống A3, B3, C3 số 2, 4, chưa điền => A3, B3, C3 ba ô Sudoku với trị khả dụng 2, 4, 7, khối cột
Tương tự: D1, D7, D8 ô Sudoku với trị khả dụng 5, 6, A9, B9, F9 ô Sudoku với trị khả dụng 2, 6,
E4, E6 ô Sudoku với trị khả dụng 5, khối hàng E H8, I8 ô Sudoku với trị khả dụng 2, khối cột Thí dụ 2:
Trong dãy khối ngang 1: C3 = 4, B5 = => A8 = (Quy luật lần xuất hiện) Khối có trống số chưa điền 1,
C7, C8, C9 bộ3 với trị khả dụng 1, 3, khối hàng C
Hàng C có trống C2, C6, C7, C8 C9 với số chưa điền 1, 2, 3, Ba số 1, 3, trị khả dụng C7, C8, C9 nên 2, trị khả dụng C2, C6 Vì C2 khơng thích hợp với (vì E2 = 2), nên E2 = E6 =
Trong dãy khối ngang 1: C2 = 9, B8 = => A5 = (Quy luật lần xuất hiện)
Trong dãy khối ngang 3: H2 = 3, I7 = => G4 = G3 = 6, H8 = => I5 = (Quy luật lần xuất hiện)
Khối có trống số chưa điền
G5, H5 với trị khả dụng 1, khối cột
Cột có ô trống D5, E5, G5 H5 với số chưa điền 1, 2,
Vì G5, H5 chia trị khả dụng 1, 8, nên cịn lại D5, E5 chia trị khả dụng cịn lại 2,
Vì D5 khơng thích hợp với (vì D8 = 7) nên D5 = E5 = QLSU02 – Tuyến khẳng định Ô khẳng định
(15)Tuyến khẳng định trị khả dụng 2, 3, Sudoku Xét thí dụ sau đây:
Trong khối 1, B1, B2 ô nằm hàng B với trị khả dụng 5, => Hàng B tuyến khẳng định khối => Trong khối dãy khối ngang 1, khơng thể nàm hàng B Vì có hàng C, nên 5, phải nằm hàng A
Trong khối 2, phải nằm hàng A => A4 = Trong khối 3, phải nằm hàng A => A9 =
Trong khối 9, G7, H7, I7 cặp ô nằm cột với trị khả dụng 5, 8, => Cột
là tuyến khẳng định 5, khối => khối dãy khối dọc 3, 5, nằm cột => Trong khối 1, nằm cột => A9 = 5, C9 = => E9 =
Tuyến khẳng định trị khả dụng đỉnh hình chữ nhật Xét thí dụ sau đây:
(16)Hàng B tuyến khẳng định khối => Trong dãy khối ngang 1, hàng B khối
Hàng F tuyến khẳng định khối => Trong dãy khối ngang 2, hàng F khối
Tương tự, cột tuyến khẳng định khối hay dãy khối dọc Ta có nhận xét tương tự với hình chữ nhật hợp G1, G8, H8, H1 Các nầy có trị khả dụng
Hình chữ nhật mà đỉnh có trị khả dụng cặp số nối kết Xét thí dụ sau đây:
Bốn ô C2(5,6), C8(6,2), H8(2,8), H2(8,5) hợp thành đỉnh hình chữ nhật Các đỉnh hình chữ nhật có trị khả dụng nối kết (5,6), (6,2), (2,8), (8,5)
Nếu C2 = => C8 = => H8 = => H2 = Nếu C2 = => H2 = => H8 = => C8 = Trong trường hợp, ta thấy:
1 C2 hay C8 = => C2C8 , tức hàng C tuyến khẳng định 6, trị khả dụng chung C2, C8
2 H2 hay H8 = => H2H8, tức hàng H tuyến khẳng định 8, trị khả dụng chung H2, H8
3 C2 hay H2 = => C2H2, tức cột tuyến khẳng định 5, trị khả dụng chung C2, H2
4 C8 hay H8 = => C8H8, tức cột tuyến khẳng định 2, trị khả dụng chung C8, H8
(17)Trong khối 2, nằm tuyến khẳng định C, nên A5 hay B4 Vì A5 khơng thích hợp với nên B4 =
Trong dãy khối dọc 2, C6 = 8, D5 = => H4 hay I4 phải
Vì hàng H tuyến khẳng định 8, nên H4 => I4 =
Trong dãy khối ngang 2, số ô F8 khối vách tường 189 khối cho: phải ô D2 hay D3 khối
Vì cột tuyến khẳng định 5, nên D2 => D3 =
Ô khẳng định số tuyến
Ô khẳng định số tuyến (hàng hay cột) cặp trống tuyến mà số trị số ô
Trên tuyến, có số có khẳng định, số trị số ô khẳng định Hai số nầy gọi hai số khẳng định tuyến, trị khả dụng ô khác tuyến Và ngược lại, số khác số khẳng định, trị khả dụng khẳng định Ta nói rằng, khẳng định số khẳng định cặp Sudoku ẩn
Thí dụ: Trên hàng B, số có chung ô khẳng định B4, B8 => trị số B4, B8 hay B8, B4 => số khẳng định hàng B, trị khả dụng ô khác hàng B số khác với 7, trị khả dụng B4 B8
(18)Trong dãy khối ngang 3, G4G5G6là vách tường hàng G khối với trị số 648 Áp dụng quy luật vách tường vào trường hợp vách tường G4G5G6 ô I1 = 3, I3 = I8 = 9, ta được:
3, trị khả dụng H5, H6 trị khả dụng H4, H5, H6
Suy ra: H5 H6 ô khẳng định số => diện H5, H6 => H4 =
Trong dãy khối ngang 2, áp dụng quy luật lần diện: D1 = 4, E4 = => trị khả dụng F7, F8
D2 = 5, E5 = => trị khả dụng F7, F8 Suy ra: F7, F8 cặp ô khẳng định số
Khối có trống F7, F8, F9 với số chưa điền 4,
Vì khẳng định F7, F8 có trị khả dụng nên không chứa => F9 = QLSU03 – Chuỗi Điền số sai
Nếu khối Sudoku, có số x gán vào O1 hay O2 khối Muốn biết x trị số nào, ta áp dụng Quy luật Chuỗi Điền số sai sau: Xem x trị số ơ, thí dụ O1, áp dụng phương pháp điền số liên hoàn để có một chuỗi điền số Nếu chuỗi điền số nầy dẩn đến mộtbế tắc sai, x khơng phải trị số của O1, đó, x phải trị số cịn lại O2
Trong quy luật trên, có điểm quan trọng cần phải lưu ý là:
a) Phải chắn số x trị số khối mà thơi Nói khác đi, x trị khả dụng ô khối
b) Bế tắc sai, hay chuỗi điền số sai, trường hợp sau đây: – Có số phải điền, khơng có trống cho
– Số phải điền có trống cho nó, nầy khơng thích hợp với số phải điền c) Khơng có số phải điền khơng phải bế tắc sai
(19)Trong dãy khối dọc 2, để ý trị số ô B4 khối
Trong khối 5, số trị số ô D6 hay F5 Thử xem có phải trị số F5 hay không? Nếu F5 = 6, thì: I6 = (Quy luật lần diện dãy khối dọc 2)
G8 = (Quy luật lần diện dãy khối ngang 3) F9 = (Quy luật lần diện dãy khối dọc 3)
Vì F5 nên F9 khơng thể Đó bế tắc sai => Chuỗi điền số F5 = chuỗi điền số sai
Suy ra: phải trị số ô D6 => D6 = chuỗi điền số D6 = chuỗi điền số
(20)Thí dụ 2: Xét khung Sudoku sau đây:
Trong dãy khối dọc 1, B1 = khối
Trong khối 4, trị số E3 hay F2
Nếu F2 = => I3 = => G4 = => F6 = Khơng F2 = Chuỗi điền số khởi từ F2 = chuổi điền số sai
Suy ra: E3 =
Trong dãy khối ngang 1, C1 = khối Trong khối 2, trị số A4 hay B5
Nếu B5 = => A8 = => E9 = => D5 = Khơng B5 = Chuỗi điền số khởi từ B5 = chuỗi điền số sai
Suy ra: A4 =
QLSU04 – Bộ ô Sudoku đặc biệt dãy khối
Bộ ô Sudoku dãy khối: dãy khối có trị khả dụng nằm số Thí dụ: Ba A(x,y,z), B(x,y), C(y,z) mơt dãy khối Sudoku ba ô Sudoku với trị khả dụng x, y z
A(2,5), B(1,2,5), C(1,5) ba ô Sudoku với trị khả dụng 1, A(3,5), B(3,7), C(5,7) ba ô Sudoku với trị khả dụng 3,
(21)Bộ ô Sudoku đặc biệt có đủ đặc tính sau đây:
Cả ô nằm dãy khối (ngang hay dọc), không thành phần (hàng, cột hay khối) dãy khối
Bộ có liên hệ trực tiếp liên hệ gián tiếp
Phân tích Sudoku đặc biệt giúp điền số ô khác khung Sudoku Trong dãy khối (ngang hay dọc), xét ô Sudoku đặc biệt A, B, C có trị khả dụng nằm số a, b, c đặc tính:
A B nằm thành phần (hàng, cột hay khối) dãy khối ô A C nằm thành phần khác dãy khối
Liên hệ A B A C trực tiếp; liên hệ B C gián tiếp Hai trường hợp ô Sudoku đặc biệt giúp điền số khác sau:
Trường hợp 1: Bộ ô Sudoku đặc biệt A, B, C có trị khả dụng: A(a,b), B(a,c) C(b,c) Phân tích Sudoku đặc biệt nầy, ta thấy:
Nếu ô A có trị số a => B có trị số c Nếu A có trị số b => C có trị số c => Dù A có trị số nào, B C có trị số c
Suy ra: Các có họ chứa B C khơng thích hợp với c, tức phải có trị số khác c (Nhắc lại: Họ môt ô Sudoku gồm có hàng, cột khối chứa đó)
Trường hợp 2: Bộ ô Sudoku đặc biệt A, B, C có trị khả dụng: A(a,b,c), B(a,b) C(a,c) Phân tích Sudoku đặc biệt nầy, ta thấy:
Nếu A có trị số a => B có trị số b C có trị số c Nếu A có trị số b => B có trị số a
Nếu ô A có trị số c => ô C có trị số a
=> Trong trường hợp, A, B, C có trị số a
(22)Trrường hợp thường gọi Cánh XY (XY-Wing) cánh XYZ (XYZ-Wing)
Thí dụ 1: Xét khung Sudoku đây:
Các ô G6(1,2), H6(6,2,3), I6(1,2,9) A4(5,2,3) có họ chứa B6(9,2) H4(3,2) nên khơng thể có trị số
Suy ra: G6 = 1, H6(6,3), I6 = A4(5,3)
(23)QLSU05 – Hình chữ nhật khơng giải Xét khung Sudoku sau đây:
Bốn ô E2, I2, I3, E3 đỉnh hình chữ nhật Bốn đỉnh nầy có trị khả dụng 2,8 Nếu E2 = => E3 = 8, I3 = 2, I2 =
(24)Như khung Sudoku có lời giải Theo quy ước Sudoku phải có lời giải => Sudoku không giải E2I2I3E3 gọi hình chữ nhật khơng giải Trị khả dụng chung 2, đỉnh gọi trị hình chữ nhật
Hình chữ nhật không giải xảy khung Sudoku lời giải Nói khác đi, hình chữ nhật không giải xảy khung Sudoku (đúng)
Gọi A (n,m), B (n,m), C (n,m) and D (n,m) đỉnh hình chữ nhật khơng giải có trị „n‟ „m‟, nằm khung Sudoku
a) Giả sử có đỉnh D có chứa thêm trị khả dụng khác „p‟, hay D(n,m,p) Nếu „p‟ khơng phải trị D, ABCD chữ nhật không giải Vậy: „p‟ phải trị D
b) Giả sử có đỉnh không đối xứng C D, đỉnh có chứa thêm trị khả dụng „p‟ ‟q‟, hay C(n,m,p) D(n,m,q)
Nếu „p‟ trị C „q‟ trị D, ABCD hình chữ nhật không giải
Vậy: „p‟ phải trị C „q‟ phải trị D
Ta xem C D hợp lại thành giả (dummy cell) X có trị khả dụng „p‟ „q‟ Nếu hành phần (hàng, cột hay khối) chứa C D, có ô Y có trị khả dụng „p‟ „q‟, X Y hợp thành cặp ô Sudoku với trị khả dụng „p‟ „q‟ Suy ra: Trong thành phần chứa C, D Y, khác C, D, Y khơng thể có trị số „p‟ hay „q‟ (hay khơng thích hợp với „p‟ „q‟)
Tính chất suy rộng đến trường hợp số trị khả dụng khác „n‟ „m‟ 2, trường hợp sau đây:
C (n, m, p) D (n, m, q) C (n , m) D (n, m, p, q)
C (n, m, p) D (n, m, p, q) Y (p, q) C (n, m, p, q) D (n, m, p, q)
c) Nếu C D chứa thêm trị khả dụng „p‟, tức C(n,m,p), D(n,m,p), C
(25)Thí dụ 1: Xét khung Sudoku:
Trong dãy khối ngang 2, xét hình chữ nhật hợp ô D2(7,8), D7 (7, 8), F7 (7, 8, 4) and F2 (7, 8)
Nếu trị F7, D2D7F7F2 hình chữ nhật không giải Để tránh trường hợp nầy, F7 phải
F7 = => F8 = => F2 = => D2 = => D7 = => I7 = => I4 = => I8 =
Thí dụ 2: Xét khung Sudoku:
(26)Nếu C1 = hay => C3 = Nếu C3 = hay => C1 =
=> C1 C3 hợp thàng giả X có trị khả dụng
Trong khối 1, thành phần chứa đỉnh không đối xứng C1 C3 hình chữ nhật H1H3C3C1, có chứa B2(4,7)
=> X(4,7) B2(4,7) hợp thàng cặp ô Sudoku với trị khả dụng => Các ô khối 1, khác C1, C3 B2, có trị hay => Các A1 A2 khơng thể có trị hay => A2 = 6, A1 = Tương tự, hàng C chứa C1 C3, có C7(4,7)
=> X(4,7) C7(4,7) hợp thàng cặp ô Sudoku với trị khả dụng => Các ô hàng C, khác C1, C3 C7, có trị hay => Ơ C5(4,6,7) khơng thể có trị hay => C5 =
Thí dụ 3: Xét khung Sudoku:
Trong dãy khối dọc 1, xét hình chữ nhật hợp ô I1(4,8), I3(4,8), C1(4,8,5) C3 (4, 8, 6) Nếu C1 = hay => C3 =
Nếu C3 = hay => C1 =
Trên hàng C, thành phần có chứa đỉnh khơng đối xứng C1 C3 hình chữ nhật I1 I3 C3 C1, có cặp Sudoku với tri 5, hợp ô C9(5,6 ô giả tạo C1 C3
=> Trên hàng C, ơ, ngồi C1, C3, C9, khơng thích hợp với => Hai ô C5(5,6,8) C6(5,7,8) khơng thích hợp với
=> C5 = => C6 =
(27)Chuỗi đặc biệt có trị khả dụng phải có đặc tính sau: Chuỗi gồm có số chẳn Sudoku
2 Hai trị khả dụng ô chuỗi phải
3 Hai ô liên tiếp chuỗi phải có liên hệ trực tiếp (tức phải tuyến hay khumg, tức thành phần, khung Sudoku
Ô ô cuối chuỗi gọi đầu chuỗi
Xét chuỗi đặc biệt gồm A, B, C D có trị khả dụng a b sau đây: A(a,b), B(a,b), C(a,b) D(a,b)
Vì liên tiếp chuỗi đặc biệt có liên hệ trực tiếp, nên ta có: Nếu A = a => B = b => C = a => D = b
Nếu A = b => B = a => C = b => D = a
Trong trường hợp, đầu A D chuỗi đặc biệt chia trị a b
Suy ra: Mọi có họ chứa A D khơng thích hợp với a b, tức phải có trị khác a b (Chú thích: Họ Sudoku gồm hàng, cột khối Sudoku chứa đó)
Quy luật chuỗi đặc biệt có trị khả dụng
Các Sudoku có họ chứa đầu chuỗi đặc biệt có trị khả dụng thì khơng thích hợp với trị khả dụng
Hai đầu chuỗi chia trị khả dụng chuỗi, tức có tính chất giống tính chất cặp Sudoku, nên xem cặp ô Sudoku cách xa quy luật gọi “Quy luật cặp ô Sudoku cách xa”
(28)Bốn ô A2(4,5), A8(4,5) hàng A C7(4,5), G7(4,5) cột hợp thành chuỗi đặc biệt ô có trị khả dụng
Suy ra, khung Sudoku có họ chứa đầu A2(4,5) G7(4,5) chuỗi khơng thích hợp với 5, tức khơng thể có trị hay
Ơ G2(2,4,5) có họ chứa đầu A2(4,5) G7(4,5) khơng thích hợp với 5, hay khơng thể có trị hay Suy ra: G2 =
QLSU07 – Hình chữ nhật có trị khẳng định
Trên tuyến (hàng hay cột) Sudoku, số trị khả dụng mà thơi, số gọi trị khẳng định tuyến
(29)Nếu B2 = „a‟ => B8 E2 „a‟ => E8 = „a‟ Nếu B8 = „a‟ => B2 E8 „a‟ => E2 = „a‟
Trong trường hợp, B2 hay E2 có trị số „a‟ B8 hay E8 có trị số „a‟
= > Mọi cột 8, khác đỉnh hình chữ nhật B2B8E8E2, khơng thích hợp với trị khẳng định „a‟ (tức là: khơng thể có trị số „a‟)
Để ý ô hàng B E, khác đỉnh hình chữ nhật, khơng thích hợp với „a‟ Quy luật hình chữ nhật có trị khẳng định:
Mọi ô nằm tuyến chứa cạnh hình chữ nhật tạo có trị khẳng định, khác với đỉnh hình chữ nhật, khơng thích hợp với trị khẳng định
(30)Trên hàng A, trị khả dụng ô A3 A8 Trên hàng I, trị khả dụng ô I3 I8 => trị khẳng định hàng A I
A3A8I8I3 hình chữ nhật tạo thành có trị khẳng định
Suy ra, ô nằm cột 8, khác A3, A8, I8, I3, khơng thích hợp với trị khẳng định 6, tức khơng thể có trị
= B3(3,6), G3(3,6,8) G8(3,6,7) khơng có trị khả dụng => B3 = 3, G3(3,8) G8(3,7)
=> B3 = 3, G3 = G8(3,7)
QLSU08 – Ba tre với trị khả dụng
Một tre tuyến (hàng hay cột) khung Sudoku tập hợp gồm tuyến có trị khả dụng Những ô nầy gọi mắt tre trị khả dụng chung gọi trị tre
Thí dụ: trị khả dụng ô B2, D2 G2 cột khung Sudoku, B2D2G2 tre trị cột 2, mà mắt tre B2, D2 G2
Xét tre B2D2G2, B4D4G4 B7D7G7 song song cột 2, (xem hình) với tính chất sau:
• Các tre có trị, thí dụ
(31)Các trường hợp xảy sau:
B2 = D4 = => G7 = ; B2 = G4 = => D7 = D2 = B4 = => G7 = ; D2 = G4 = => B7 = G2 = B4 = => D7 = ; G2 = D4 = => B7 =
Trong trường hợp, có có trị hàng B, D G
= > Mọi ô hàng B, D hay G, khác với mắt tre, đều khơng thích hợp với
Suy Quy luật “Ba tre song song có trị”:
Mọi nằm tuyến chứa mắt tre tre song song có trị, khác với mắt tre, khơng thích hợp với trị tre
Quy luật “Ba Thanh tre song song có trị” thường gọi quy luật “Kiếm ngư” (Swordfish rule)
Quy luật “Ba tre song song có trị” áp dụng mắt tre bị (tức trị chung tre trị khả dụng mắt tre nầy)
Thí dụ: khơng phải trị khả dụng mắt tre G7: B2 = D7 = => G4 = ; D2 = B7 = => G4 = G2 = B4 = => D7 = ; G2 = D4 = => B7 =
(32)Trên hàng C, D F, trị khả dụng ô C1, C3, C5, D1, D3, D5, F1, F3 F5 C1C3C5, D1D3D5 F1F3F5 tre song song có củng tri nắm hàng C, D F Các mắt tre nằm cột 1,
= > Mọi ô tuyến chứa mắt tre, khác với mắt tre, khơng thích hợp với
= > Các ô G1(4,5), H1(2,4,5,8), I1(2,4,5), A3(1,5), H3(2,3,5,8), A5(1,2,4,5,7) H5(4,5,6) không thích hợp với
= > loại khỏi ô G1, H1, I1, A3, H3, A5 H5
= > G1 = 4, A3 = 1, H1(2,4,8), I1(2,4), H3 (2,3,8), A5(1,2,4,7) H5(4,6)
QLSU09 – Điểm gặp gỡ chuỗi điền số phát xuất từ có trị khả dụng
Một có trị khả dụng điểm phát xuất chuỗi điền số Mỗi chuỗi ứng với trị khả dụng ô Trị chuỗi điền số suy từ trị tạm điền cho ô trước chuỗi
Nếu chuỗi gặp ô với trị khả dụng ơ, trị khả dụng trị thật
Từ đó, ta có Quy luật điểm gặp gỡ chuỗi điền số:
(33)Quy luật nầy thường sử dụng cuối lời giải trị khả dụng ô trống xác định rõ ràng khơng có quy luật đơn giản giúp tiếp tục
Thí dụ 1: Xét khung Sudoku sau đây:
Ô I8 có trị khả dụng Xét chuỗi điền số phát xuất từ ô I8 Chuỗi 1: I8 = => G8 = => G5 = => B5 = => B4 =
Chuỗi 2: I8 = => H8 = => H6 = => F6 = => F4 = => B4 = Dù I8 có trị hay 8, B4 ln ln có trị
Suy ra: trị ô B4 => B4 =
tức là: Trị khả dụng chung ô gặp gỡ trị thật
Chú thích: Dấu „+‟ „-„ thêm vào trị tạm chuỗi điền số để phân biệt 2 chuỗi Trị tạm thời có dấu „+‟ „-„ trị thật
ơ
(34)Xét chuỗi điền số phát xuất từ ô D6 với trị khả dụng Chuỗi 1: D6 = => F5 = => A5 = => A1 = => A8 = Chuỗi 2: D6 = => F5 = => F9 = => A8 =
(Quy luật Vách tường áp dụng vào số vách tường A7B7C7 dãy khối dọc 3)
Hai chuỗi gặp ô A8 với trị khả dụng Suy ra: trị ô A8 => A8 =
QLSU10a – Các Quy luật trị khả dụng – Phần
Các quy luật xét từ trước giúp điền trị ô khung Sudoku nên gọi chung “Quy luật trị số” Sudoku
Các quy luật trị số luôn giúp giải khung Sudoku, là Sudoku có độ khó khăn cao
Khi quy luật trị số không giúp tiếp tục điền số, ta phải nghĩ đến cách phân tích trị khả dụng thành phần (hàng, cột hay khối) Sudoku Việc nầy giúp khám phá điền số Các quy luật phân tích nầy gọi chung “Quy luật trị khả dụng”
(35)Các quy luật sau tất trị khả dụng tất ô trống diện khung Sudoku
a) Mọi trống có trị khả dụng
b) Khi trống X điền số, trị số phải bỏ khỏi trống cịn lại họ ô X (nhắc lại: họ ô gồm hàng, cột khối chứa ô đó)
c) Trong thành phần Sudoku, trị khả dụng gọi lập xuất lần thành phần Ô chứa trị khả dụng lập có trị trị khả dụng lập
d) Trong khung Sudoku, trị khả dụng gọi trị khả dụng của Trị khả dụng trị chứa
e) Trong mội thành phần Sudoku, trị khả dụng diện ô thành phần, trị đó, lấy khỏi có họ chứa đó
Nếu thành phần tuyến (hàng hay cột) Sudoku, trị khả dụng
(36)f) Trong thành phần Sudoku, trị khả dụng u v diện lần trong ô X Y, u v trị đó, đó, trị nầy lấy ra khỏi có họ chứa X Y
Hai ô X Y hợp thành đơi ẩn (Hidden Twin) có trị u v
(37)Một N ô Sudoku với N trị tập hợp gồm N ô Sudoku nằm thành phần khung Sudoku có trị khả dụng nằm số N trị
Thí dụ:
a) Ba ô B2(5,6), B7(3,5,6) B9(3,6) Sudoku hàng B ,có trị 3, b) D1(5,8,9), D3(5,8) E2(8,9) ô Sudoku khối 4, có trị 5,
c) A8(2,4,5), C8(1,2,5), D8(4,5) G8(1,45) ô Sudoku cột 8, có trị 1, 2, và
Bộ ô Sudoku X Y với trị u v gọi đôi X, Y với trị u, v
Bộ ô Sudoku X, Y Z với trị u,v w gọi ba X, Y Z với trị u, v w Bộ ô Sudoku X, Y, Z, T với trị u, v, w, z gọi bốn X, Y, Z, T với trị u, v, w z
Thí dụ:
b) Trong Hình 1, A1 A3 đơi có trị khối hàng A => Bỏ trị khả dụng ô C1(1,6,7) C3(1,6,7,9)
= > C1 = => C3 =
c) Trong Hình 3, A2 B2 đơi có trị cột khối Các trị khả dụng lấy khỏi C1(4,7,9) C3(8,9) => C3 = => C1 =
c) Trong Hình 1, A1(1,6), A3(1,6) C1(1,6,7) ba với trị số 1, khối 1
= > 1, trị khả dụng ô C3(1,6,7,9) => C3 =
(38)Trong Hình 3, A2(7,8), A4(3,7) A5(3,7,8) ba với trị 3, hàng A
= > Trị khả dụng khơng thể có Ă(5,8,9) A9(8,9) => A9 = => A8 =
Tóm lại: Trong thành phần Sudoku có X ô trống, có X số chưa điền Suy ra: – Thành phần có X Sudoku với X trị
– Nều thành phần có Y ô Sudoku với Y trị Y = X – 1, trống điển số
QLSU10b – Các Quy luật trị khả dụng – Phần
Mặc dầu phân tích đầy đủ trị khả dụng tất ô trống khung Sudoku giúp cho điền số, khơng cần thiết phải sử dụng phương pháp nầy từ đầu vì:
– Sự thiết lập tái thiết lập danh sách trị khả dụng tất ô trống khung Sudoku dễ dàng không nhờ đến nhu liệu
– Có nhiều trống điền số nhanh chóng nhờ quy luật trị số Lời khuyên là:
a) Bắt đầu điền số cách sử dụng quy luật trị số
b) Khi quy luật trị số khơng cịn giúp cho điền số, nghỉ đến phương pháp dùng quy luật trị khả dụng
c) Các quy luật trị khả dụng dùng lẫn lộn quy luật trị số
Thí dụ: Xét khung Sudoku sau Các màu xám có trị cho sẵn Trị ô màu trắng điền vào quy luật giá trị Tiếp tục giải Sudoku cách:
(39)Để ý số điền vào ô đó, số phải lấy khỏi danh sách trị khả dụng ô họ
a) Sử dụng quy luật trị số quy luật vè trị khả dụng • C6 = (Trị khả dụng nhất)
• G8 = (Trị khả dụng nhất)
• F9 = (Quy luật vách tường áp dụng cho số vách tường D7E7C7 dãy khối dọc 3)
• I6 = (Quy luật vách tường áp dụng cho số vách tường I1I2I3 dãy khối ngang 3) Cổng I3 khơng thích hợp với 6)
• A4 = 6, B7 = (Điền số liên hồn)
• A7 = (Trị khả dụng nhất*), C1 = (Điền số liên hồn)
• A3 = (Số cuối hàng A), B6 = 7, D4 = (Điền số liên hồn) • D8 = (Trị khả dụng nhất*)
C9 = 9, F5 = 9, H4 = 9, I3 = (Điền số liên hồn)
• B3 = (Trị khả dụng nhất*), G1 = (Điền số liên hồn)
• C7 = (Số cuối cột 7), B1 = 3, H2 = (Điền số liên hồn) • D6 = (Trị khả dụng nhất*), F2 = 5, I5 = (Điền số liên hồn) • D2 = (Số cuối cột 2), H1 = (Điền số liên hồn)
• H3 = (Số cuối hàng H), G9 = (Điền số liên hồn) • G3 = (Số cuối hàng G), I9 = ((Điền số liên hoàn)
(40)Cách giải sau đặc biệt sử dụng “Quy luật trị khả dụng nhất” “Quy luật trị khả dụng cô lập” cách kiểm sốt nhiều vịng từ xuống dưới, từ trái qua phải, danh sách trị khả dụng ô trống khung Sudoku
Nhớ số điền vào trống, số phải lấy (hay gạch bỏ) khỏi danh sách trị khả dụng họ
Trong thí dụ trên:
a) D2, F2 ô Sudoku cột => trị khả dụng H2 => H2 = (3 trị khả dụng cô lập cột 2)
b) Trong khối 2, A7(6,5), B7(6,3) C7(3,5) ô Sudoku với trị 3, => trị khả dụng C9(5,9) => C9 = (9 trị khả dụng lập khối 3)
Thí dụ 2: Thí dụ sau trình bày phương pháp giải Sudoku cách hoàn toàn áp dụng Quy luật trị khả dụng ttừ đầu đến cuối
Các quy luật thường áp dụng là: Quy luật trị khả dụng Quy luật trị khả dụng cô lập
(41)Chú thích: a) 4, 8, 6, 2, trị khả dụng ô E1, E4, E7, G8 I1 => E1 = 4, E4 = 8, E7 = 6, G8 = 2, I1 =
b) ô A8 trị khả dụng cô lập khối => A8 = ô F1 trị khả dụng cô lập khối => F1 = ô G7 trị khả dụng cô lập khối => G7 = c) G2, H2 ô Sudoku có trị 2, cột
=> lấy khỏi B2 => B2 = => lấy khỏi I2 => I2 =
(42)e) G8, H9, I9 ô Sudoku với trị 2, 6, khối => 2, lấy khỏi G9 => G9 =
=> 4, lấy khỏi G7 => G7 =
f) B2, B8, B9 ô Sudoku với trị 3, 4, hàng B => 3, lấy khỏi B3 => B3 =
=> 3, 4, lấy khỏi B5 => B5 =
QLSU12a – Các bước tiêu chuẩn giải Sudoku – Phần
Một khung Sudoku giải nhiều cách Cách thông thường mà nhiều người hay theo là: khơng cần theo trình tự cả, tìm ô điền số điền số Xong nầy thì tìm khác ! Đối với Sudoku dễ, cách nầy thường nhanh chóng giúp hoàn tất Sudoku
Trong nầy, tác giả trình bày phương pháp tiêu chuẩn để giải Sudoku cách có hệ thống
Độc giả nên chuẩn bị sẵn sàng viết chì gơm giải Sudoku Trị thức điền số có kích thước lớn (nên khoanh số với vịng trịn) Số khả dụng ghi với số có kích thức nhỏ góc
Phương pháp gồm nhiều bước sau:
Bước 1: Tuần tự xét dãy khối ngang, tứ trái sang phải từ phải sang trái Trong dãy khối ngang 1:
1.1 Tìm số giống Khối hay để xem số điền vào Khối hay trị thật hay trị khả dụng ô Nếu biết số, áp dụng Quy luật lần xuất
Nếu biết số, kiểm xem Quy luật Vách tường có áp dụng hay khơng 1.2 Tìm số giống Khối (số chưa khảo sát phần 1.1) để xem số điền vào Khối trị thật hay trị khả dụng
Lặp lại 1.1 vá 1.2 cho dãy khối ngang
Bước 2: Tuần tự xét dãy khối dọc, tứ xuống từ lên Trong dãy khối dọc 1:
(43)Nếu biết số, áp dụng Quy luật lần xuất
Nếu biết số, kiểm xem Quy luật Vách tường có áp dụng hay khơng 2.2 Tìm số giống Khối (số chưa khảo sát phần 2.1) để xem số điền vào ô Khối trị thật hay trị khả dụng
Đặc biệt bước 2, ta bắt đầu áp dụng Quy luật Điền số liên hoàn, tức là: trị thức điền vào ô, ta phải tiếp tục xem số có thê giúp điền vào khác dãy khối khác, trị thức hay trị khả dụng Sự điền số liên hồn ngưng khơng có nào tiếp tục điền số thức
Để ý điền số liên hoàn, Quy luật lần xuất Quy luật Vách tường, quy luật đơn giản khác Quy luật số sau cùng, Quy luật lổ hỏng, … áp dụng
Lặp lại 2.1 vá.2.2 cho dãy khối dọc
Bước 3: Tìm Vách tường khung Sudoku xem Quy luật Vách tường áp dụng số hay khơng
Bước 4: Tìm trống có họ chứa nhiều có sẵn số Nếu có N số diện họ trống, ô trống có 9-N trị khả dụng
Nếu N = trống chứa trị khả dụng trị khả dụng nầy l trị thật trống
Áp dụng vào thành phần (Hàng, Cột hay Khối) khung Sudoku, ta có Quy luật Số cuối thành phần
Bước 5: Tìm tuyến khẳng định có khung Sudoku áp dụng “Quy luật Tuyến khẳng định”
Bước 6: Tìm tất trị khả dụng trống thành phần (Hàng, Cột hay Khối) áp dụng “Quy luật lổ hỏng” “Quy luật Trị khả dụng” (Trị khả dụng nhất, Trị khả dụng cô lập, Bộ ô, Bộ ô Sudoku, …)
Bước 7: Áp dụng Quy luật khó như: Chuỗi điền số sai
Các Bộ ô đặc biệt (Cánh XY, Cánh XYZ) Hình Chữ nhật khơng giải
(44)Điểm gặp gỡ chuỗi phát xuất từ có trị khả dụng v v …
Lưu ý: 1) Các bước 3, 4, 5, khảo sát theo thứ tự 2) Quy luật Điền số liên hồn ln ln ghi nhớ áp dụng
3) Các Quy luật Quy luật lần xuất hiện, Quy luật Vách tường, Quy luật Số cuối cùng, Quy luật Trị khả dụng nhất, Quy luật Trị khả dụng cô lập, v v … phải luôn kiểm để xem áp dụng hay khơng
Xem tiếp Phần kỳ tới
QLSU12b – Các bước tiêu chuẩn giải Sudoku – Phần Một thí dụ
Giải khung Sudoku sau đây:
Chữ tắt: DKN Dãy khối ngang DKD Dãy khối dọc
Q2X Quy luật lần xuất QVT Quy luật Vách Tường QLH Quy luật Lổ Hỏng
QTK Quy luật Tuyến Khẳng định
SLH Quy luật Điền số liên hoàn, áp dụng Q2X
SLH-<QL> Quy luật Điền số liên hoàn, áp dụng <Quy luật> Tkd Trị khả dụng
(45)(46)
QLSU14 – Quy luật “Hai lần diện suy rộng”
“Hai lần diện dãy khối” quy luật Sudoku, sau:
“Trong dãy khối, số diện khối tuyến khác dãy, số phải diện khối cịn lại tuyến lại dãy.”
(Nhắc lại, “tuyến” hàng hay cột dãy khối tuỳ theo dãy khối ngang hay dọc) Thí dụ:
Xét khung Sudoku sau đây:
(47)Trong dãy khối dọc 3, diện khối cột => diện khối cột => G8 =
Trong dãy khối ngang 3, diện khối hàng G I
=> diện khối hàng H => trị khả dụng H1, H2 H3 Tuyến khẳng định số khối
Trong khồi, số điền vào khối, nằm tuyến khối Nếu biết tuyến chứa số khối, tuyến gọi tuyến khẳng định số khối
Để ý tuyến khối có trị x, tuyến coi tuyến khẳng định x khối Thí dụ: Nếu C9 = hàng C tuyến khẳng định khối dãy khối ngang Cột tuyến khẳng định khối dãy khối dọc
Thí dụ:
Trong khối 1, A3, B3 C3 chia trị thiếu 2, khối
=> Cột tuyến (hay cột) khẳng định 2, khối dãy khối dọc Tương tự, khối 5, trị số thiếu
=> Hàng E tuyến (hay hàng) khẳng định khối dãy khối ngang Quy luật “Hai lần diện suy rộng”
“Trong dãy khối, số có tuyến khẳng định khối, số
diện tuyến lại khối lại dãy khối.”
(48)Trong dãy khối dọc 1,
Các số 3, có tuyến khẳng định Cột khối Các số 3, có tuyến khẳng định Cột khối Hai số có Cột khẳng định khối
=> phải diện Cột khối => F3 = 3, D3 = Số có Cột khẳng định khố
=> phải diện Cột khối => E1 = Số có Cột khẳng định khối => phải diện Cột khối => D2 = Trong dãy khối dọc 3,
Số trị khả dụng ô B8, B9, G8 G9 => Nếu B8 = G9 =8 Nếu B9 = G8 =
=> Hai Cột tuyến khẳng định khối => phải diện Cột khối => F7 =
(Để ý dãy khối dọc => E2 = ) Trong dãy khối ngang 2,
Áp dụng Quy luật lổ hỏng vào hành F: số thiếu 3, 4, 5, Hai ô F5 F6 có trị khả dụng
= > Hàng F tuyến khẳng địng khối
(49)Trong dãy khối ngang 2, có tuyến khẳng định Hàng E (Để ý E1 = 4) F khối
=> phải diện Hàng D khối => D9 = QLSU15 – Quy luật Vách tường suy rộng
Vách tuờng, hay Vách tường kín, khối điền số tuyến (hàng hay cột) khối Trị ô nầy gọi Trị cuả Vách tường
Quy luật Vách tường kín (hay Quy luật Vách tường)
Tromg dãy khối, trị ô không nằm tuyến, khối với Vách tường kín khơng trị Vách tường, trị diện
– tuyến lại khối chứa Vách tường
– khối lại dãy tuyến với Vách tường Thí dụ:
Trong dãy khối ngang 2, trị ô F2 Hàng F Vách tường kín E4E5E6 Khối Hàng E (thoả điều kiện Quy luật Vách tường kín), nên:
– diện Hàng D Khối Vách tường => D5 = – diện Hàng E Khối => E8 =
Trong dãy khối dọc 3, trị ô C7 Cột Vách tường kín G9H9I9 Khối Cột (thoả điều kiện Quy luật Vách tường kín), nên: – diện Cột Khối Vách tường => H8 =
– diện Cột Khối => D9 = Vách tường hở
(50)Nếu Cửa Vách tường hở khơng thích hợp với trị đó, trị đó, Vách tường hở có tính chất Vách tường kín Trường hợp nầy, ta nói: Cửa đóng với trị ( hay đóng với chứa trị đó)
Thí dụ:
Trong dãy khối ngang (xem Hính 1), B1B3 Vách tường hở Khối 1, nằm Hàng B có Cửa B2 B2 khơng thích hợp với 5, nên trị ô A7 Hàng A, Vách tường B1B3 coi Vách tường kín
=> diện Hàng C Khối => trị khả dụng C1, C3 => diện Hàng B Khối => B6 =
Trong dãy khối dọc (xem Hính 1), H2I2 Vách tường hở Khối 7, nằm Cột có Cửa G2 G2 khơng thích hợp với 4, nên trị ô B3 Cột 3, Vách tường H2I2 coi Vách tường kín
=> diện Cột Khối => H1 = => diện Cột Khối => D2 = Quy luật Vách tường hở
Khi Cửa Vách tường hở đóng với trị đó, Vách tường hở trở thành Vách tường kín trị Quy luật Vách tường kín áp dụng
Thí dụ:
(51)• Trong dãy Khối ngang 1, C1 C2 C3 Vách tường hở Hàng C Khối Cửa C2 khơng thích hợp với 9, nên Cửa C2 đóng trơng B8 Hàng B Khối
= > C1C2C3 Vách tường kín B8 => A9 = 9, C5 =
• Trong dãy Khối ngang 2, F4 F5 F6 Vách tường hở Hàng F Khối Cửa F5 khơng thích hợp với 6, nên Cửa F5 đóng ô D3 Hàng D Khối
=> F4F5F6 Vách tường kín D3 => E6 = 6, F8 =
• Trong dãy Khối dọc 3, D7 E7 F7 Vách tường hở Cột Khối
Cửa F7 Vách tường khơng thích hợp với 8, nên Cửa F7 đóng A9 => D7 E7 F7 Vách tường kín A9 => E8 = 8, H7 =
• Trong dãy Khối ngang 3, H1H2H3 Vách tường hở Hàng H Khối Cửa H3 có trị khả dụng nên khơng thích hợp với 7, nên Cửa H3 đóng ô I8 Hàng I Khối
=> H1H2H3 Vách tường kín I8 => G1 = 7, H6 = QLSU17 – Các Bộ Ơ Sudoku suy rộng
Phần ơn:
Bộ “n” ô Sudoku thành phần khung Sudoku tập hợp gồm “n” ô Sudoku có trị khả dụng nằm “n” số Các số nầy trị “n” Sudoku (Nhắc lại: thành phần Sudoku hàng, cột hay khối Sudoku)
Khi thành phần Sudoku có chứa “n” Sudoku, ô khác thành phần có trị khả dụng trị “n” ô Sudoku
Thí dụ: Hai A1(5,7) A3(5,7) ô Sudoku trị 5, hàng A khối => trị khả dụng ô khác hàng A => A5 = => A8 =
Ba ô E6(2,8,9), F4(2,8) F5(8,9) Sudoku trị 2, 8, khối => 2, trị khả dụng ô khác khối => D5(1,3), E6(1,3)
(52)Trong thí dụ trên, tri “n” ô Sudoku xuất rõ ràng, giúp cho tìm kiếm số dễ dàng Trong trường hợp nầy, c1c ô Sudoku gọi ô Sudoku hiện:
Bộ ô Sudoku (Naked Pair) Bộ ô Sudoku (Naked Triple) Bộ ô Sudoku (Naked Quad) Phần suy rộng
Các ô Sudoku thành phần Sudoku giúp ích nhiều cho điền số vào ô trống thành phần Nhưng, khơng phải ln ln ta thấy dễ dàng ô Sudoku! Các ô thường có nhiều trị khả dụng, có trị khả dụng thật, có trị khả dụng rác Nếu loại bỏ trị khả dụng rác nầy, ô Sudoku ra! Các Sudoku nầy gọi ô Sudoku ẩn:
Bộ ô Sudoku ẩn (Hidden Pair) Bộ ô Sudoku ẩn (Hidden Triple) Bộ ô Sudoku ẩn (Hidden Quad) Bộ Sudoku ẩn:
a) Tìm trị khả dụng tất ô trống hàng C, ta được: C2(5,9), C4(3,7,5), C6(3,7,5,9), C7(1,5,9) C9(1,5,9)
(53)Loại bỏ khỏi C4 C6, ta được:
C4(3,7), C6(3,7) ô Sudoku ẩn hàng C khối với trị
b) Tìm trị khả dụng tất ô trống cột 3, ta được:
A3(8,9), D3(1,6,3,8,9), E3(1,6,3,9), H3(3,8,9) I3(3,8,9)
Trong dãy khối dọc 1, quy luật lần diện cho: trị khả dụng D3 E3 => 3, trị khả dụng rác ô D3 3, trị khả dụng rác ô E3
Loại bỏ 3, khỏi D3 E3, ta được:
D3(1,6) E3(1,6) ô Sudoku ẩn cột khối với trị
Bộ ô Sudoku ẩn
a) Tìm trị khả dụng tất ô trống cột ta được:
A6(1,8,9), C6(1,3,9), D6(2,5,7,3,8,9), E6(2,5,7,8,9), F6(2,5, 3,8), G6(1,3,8,9) H6(1,3,9)
Trong dãy khối dọc quy luật lần diện cho: 2, trị khả dụng D6, E6 F6 => 3, trị khả dụng rác ô D6; trị khả dụng rác ô E; trị khả dụng rác ô F6
(54)D6(2,5,7), E6(2,5,7) F6(2,5) ô Sudoku ẩn cột với trị 2,
b) Tìm trị khả dụng tất ô trống hàng C, ta được:
I1(1,9), I2(1,3), I3(1,3,9), I7(4,5,1,3,9), I8(4,8,1,9) I9(4,5,8.1.3)
Trong dãy khối ngang 3, I1(1,9), I2(1,3) I3(1,3,9) ô Sudoku => 1, trị khả dụng I7, I8 I9, tức 1, trị khả dụng rác I7, I8 I9
Loại bỏ 1, khỏi I7, I8 I9, ta được:
I7(4,5), I8(4,8) I9(4,5,8) ô Sudoku ẩn hàng I khối với trị 4,
Bộ ô Sudoku ẩn
Tìm trị khả dụng tất ô trống hàng F ta được: F2(1,2,5,9), F3(2,3,5,8,9), F4(1,2,3,4,8), F6(3,4,8), F7(2,5,4,8), F6(4,8,9), F9(1,9)
Trong dãy khối dọc 2, quy luật lần diện cho: trị khả dụng F4 => 3, trị khả dụng rác ô F4
(55)Loại bỏ 3, khỏi F4 F7, ta được:
F2(1,2,5,9), F4(1,2), F7(2,5) F9(1,9) ô Sudoku ẩn hàng F với trị 1, 2,
Loại 1, 2, 5, khỏi cịn lại hàng F: = > F3(3,8), F8(4,8)
QLSU18 – Trị khẳng định suy rộng
Một số gọi trị khẳng định tuyến khung Sudoku số trị khả dụng của tuyến Hai nầy gọi cặp ô khẳng định tuyến
(Nhắc lại: Tuyến hàng hay cột khung Sudoku)
Trong nầy, ta xét trường hợp đặc biệt cặp ô khẳng định nằm khối khung Sudoku Trường hợp nầy đặc biệt trị khẳng định giúp đơn giản trị khả dụng ô khối chứa cặp ô khẳng định
(56)a) Trên hàng D, D4(2,3) D6(2,5) cặp ô khẳng định với trị khẳng định => D4 hay D6 phải
D4 D6 nằm khối
=> Các khối 5, ngồi D4 D6 nhận làm trị khả dụng
=> Lấy khỏi E4(1,2,3), F5(1,2,5,9) F6(2,5,9) => E4(1,3), F5(1,5,9), F6(5,9) b) Trên cột 9, E9(2,3,9) F9(2,5,9) cặp ô khẳng định với trị khẳng định => E9 hay F9 phải E9 F9 nằm khối
=> Các khối 6, ngồi E9 F9 khơng thể nhận làm trị khả dụng => Lấy khỏi E8(1,3,9) F7(1,2,5,9) => E8(1,3), F7(1,2,5)
Trị khẳng định suy rộng
Một số gọi trị khẳng định suy rộng tuyến khung Sudoku số trị khả dụng tuyến Ba nầy gọi cặp ô khẳng định tuyến Cũng giống trường hợp trên, ta xét cặp ô khẳng định nằm khối khung Sudoku
(57)a) Trên hàng D, D4(2,3,8), D5(2,5,8,9) D6(2,5,8) cặp ô khẳng định với trị khẳng định => D4 hay D5 hay D6 phải D4, D5 D6 nằm khối
=> Các ô khối 5, ngồi D4, D5 D6 khơng thể nhận làm trị khả dụng
=> Lấy khỏi E4(1,2,3,8), F5(1,2,5,8,9) F6(2,5,8) => E4(1,3,8), F5(1,5,8,9), F6(5,8) b) Trên hàng cột 9, D9(3,5,6,9), E9(3,6,9) F9(5,9) cặp ô khẳng định với trị khẳng định => D9 hay E9 hay F9 phải D9, E9 F9 nằm khối
=> Các ô khối 6, ngoàiD9, E9 F9 nhận làm trị khả dụng => Lấy khỏi D8(3,5,8,9), E7(1,2,3,8,9), E8(1,3,8,9) F7(1,2,5,8,9 => D8(3,5,8), E7(1,2,3,8), E8(1,3,8), F7(1,2,5,8)
QLSU19 – Trị khẳng định “Cánh-X” (X-Wing)
Trong khung Sudoku, ô A, B, C D đỉnh hình chữ nhật, với AB // CD, có tính chất sau đây:
A B cặp ô khẳng định trị khẳng định x, tuyến chứa A, B (tức x trị khả dụng ô A B tuyến chứa A, B)
C D cặp ô khẳng định trị khẳng định x tuyến chứa C, D (tức x trị khả dụng ô C D tuyến chứa C, D)
A, B, C D tạo thành “Cánh-X” (hay X-Wing) khung Sudoku
(58)
Tính chất Cánh-X:
Trên hàng C, C3 hoăc C8 phải Trên hàng H, H3 H8 phải Nếu C3 = => H8 =
Nếu C8 = => H3 =
= > Hai đỉnh đối diện C3, H8 hay C8, H3
Nói khác đi, cột 3, có C3 H3 5; cột 8, có C8 H8 =
Suy ra: ô trống cột 8, đỉnh C3, C8, H8 H3, nhận làm trị khả dụng
= > lấy khỏi ô A3(2,5,7,8), B3(2,3,5,7,8), G3(2,3,5 ,7), I3(2,3,4,5,7), B8(1,2,5,7) I8(2,5,9)
= > A3(2,,7,8), B3(2,3,7,8), G3(2,3,7), I3(2,3,4,7), B8(1,2,7) I8(2,9)
(59)
trị khẳng định cột với cặp ô khẳng định C4(6,3) G4(6,9) trị khẳng định cột với cặp ô khẳng định C9(6,7) G9(6,7)
= > Bốn ô C4(6,3), G4(6,9), G9(6,7) C9(6,7) Cánh-X khung Sudoku
= > C4 G9 G4 C9
= > Trên hàng C, C4 C9 Trên hàng G, G4 G9
= > Các ô trống hàng C hàng G, đỉnh hình chữ nhật, khơng thể nhận làm trị khả dụng
= > C1(4,5,8), C2(5,8), C3(4,5,8), G1(1,4,8), G2(7,8) G3(1,4,7,8)
QLSU20 – Trị khẳng định suy rộng Cánh-X suy rộng cấp – Kiếm-Ngư (Sword-Fish) Ta bết Trị khẳng định x tuyến x trị khả dụng tuyến Hai nầy gọi cặp ô khẳng định trị khẳng định x
Bốn ô khung Sudoku hơp thành Cánh-X (X-Wing) (Xem Trị khẳng định Cánh-X):
– Bốn ô hợp thành hình chữ nhật
– Các đỉnh nằm cạnh song song cặp ô khẳng định trị khẳng đinh cạnh
Thí dụ: trị khẳng định hàng B ứng với cặp ô khẳng định B3, B8
(60)Trị khẳng định suy rộng x tuyến x trị khả dụng ô tuyến Ba ô nầy gọi cặp ô khẳng định x
Khi cột (hay hàng) khung Sudoku, có:
Mỗi cột (hàng) có cặp khẳng đình trị khẳng định suy rộng
Chín khẳng định cặp nằm hàng cột
= > Chín khẳng định hàng cột tạo thành Kiếm-Ngư (Sword-Fish) Ngư tạo thành cặp ô khằng định trị khằng định suy rộng, nên Kiếm-Ngư còa gọi Cánh-X suy rộng
Nếu để ý, độc giả thấy Kiếm-Ngư giống tre song song có mắt tre (các khẳng định) nằm tuyến song song)
Quy luật Kiếm-Ngư (Sword-Fish) Xét khung Sudoku sau đây:
Ba cột 1, có trị khẳng định suy rộng chung với cặp ô khẳng định C1(1,8,9), E1(1,4,9), H1(1,4,9) cột 1, C3(1,9), E3(1,2,4,9), H3(1,4,9) cột 3, C6(1,3), E6(1,3,4), H6(1,4) cột
= > Chín C1, E1, H1, C3, E3, H3, C6, E6, H6 tạo thành Kiếm Ngư (Sword-Fish)
(61)Nếu ô Kiếm-Ngư trị khẳng định chung, ô lại không hàng hay cột với Cánh-X, hình chữ nhật có đỉnh đối xứng trị khà dụng
Thí dụ 1: C1 = => C3, C6, E1, H1 khộng thể 1: C3 = 9, C6 = 3, E1(4,9), H1(4,9)
=> C1C3H1H3 Cánh-X với trị khẳng định => C1 = 1, H6 = E6 = 1, H3 =
Thí dụ 2: E6 = => C6, H6, E1, E3 khộng thể 1: C6 = 3, H6 = 4, E1(4,9), E3(2,4,9)
=> C1C3H3H1 Cánh-X với trị khẳng định => C1 = 1, H3 = C3 = 1, H1 =
Tính chất Kiếm-Ngư (Sword-Fish):
Những ô trống hàng C, E H, ngồi Kiếm-Ngư, không thể nhận trị khẳng định chung làm trị khả dụng, tức loại khỏi danh sách trị khả dụng ô trống nầy
= > C2(5,7,9), C4(3,5,7,9), C5(5,7,8,9), E2(2,4,9)
(Chú thích: Xem lại “Quy luật tre với trị khả dụng”)
Kiếm-Ngư khuyết
Mộr Kiếm-Ngư đầy đủ gồm có trị khẳng định suy rộng cột hay hàng Thật ra, tính chất Kiếm-Ngư vẵn hàng cột
(62)7 trị khằng định cột 1,
Sáu ô B1(1,2,7,9, E1(7,9) cột 1, B3(1,6,7), G3(1,7) cột E6(7,9), G6(2,4,7) cột 6, tạo thành Kiếm-Ngư khuyết với trị khẳng định Nếu B1 = => E6 = => G3 =
Nếu E6 = => G3 = => B1 = v v …
Suy ra: Những ô trống hàng B, E G, ngồi Kiếm-Ngư, khơng thể nhận trị khẳng định chung làm trị khả dụng, tức loại khỏi danh sách trị khả dụng ô trống nầy
= > B2(1,3), G2(1,3), G4(2,4)
QLSU21 – Trị khẳng định suy rộng Cánh-X suy rộng cấp – Sứa (Jelly-Fish)
Về trị khẳng định trị khẳng định suy rộng, ta có định nghĩa sau đây:
Trị khẳng định suy tuyến trị khả dụng tuyến Trị khẳng định suy rộng cấp t rên tuyến trị khả dụng
tuyến
Trị khẳng định suy rộng cấp tuyến trị khả dụng tuyến
(63)Khi trị khẳng định suy rộng cấp tuyến song song nằm (hay ≥ 6) hợp thành hình chữ nhật, ta có Cánh-X suy rộng cấp hay Kiếm-Ngư (Sword-Fish)
Khi trị khẳng định suy rộng cấp tuyến song song nằm 16 (hay hơn ≥ 11) hợp thành hình chữ nhật, ta có Cánh-X suy rộng cấp hay Sứa (Jelly-Fish)
Bài nầy đặc biệt bàn Sứa hay Jelly-Fish
* * * *
Một Sứa (Jelly-Fish) đầy đủ gồm có 16 ô, nằm tuyến song song (hàng hay cột), ô nầy ô khẳng định trị khẳng định chung tuyến
Trong hình trên, trị khẳng định suy rộng cấp hàng B, D, F H
Mười sáu (16) ô B2, B4, B6, B9, D2, D4, D6, D9, F2, F4, F6, F9, H2, H4, H6 H9 tạo thành Sứa (Jelly-Fish) khung Sudoku
Cũng giống trường hợp Cánh-X (X-Wing), Kiếm-Ngư (Sword-Fish), với Sứa (Jelly-Fish) có tính chất:
Tất cà ô trống nằm tuyến chứa ô khẳng định, ngoại trừ ô khằng định nhận trị khẳng định chung làm trị khả dụng
Trong hình trên, ô trống cột 2, 4, , ngoại trừ ô khẳng định khộng thể có trị khả dụng
(64)Lý thuyết vậy, Sứa (Jelly-Fish) đầy đủ với 16 khó xảy ra, có, khó tìm ra!
Thường Sứa (Jelly-Fish) khuyết xảy Trị khẳng định suy rộng (bằng nhau) tuyến khơng đến cấp (có thể cấp với khẳng định)
Thí dụ : Xét khung Sudoku sau đây:
Chín (9) trị khẳng định cột 2, cột 5, cột cột
Các ô B2, I2, B5, H5, I5, B6, C6, H6, B7, C7 I7 Sứa (Jelly-Fish) khuyết với trị khẳng định
= > Các ô trống hàng B, C, H I, ô Sứa như: B3(1,5,7,9), B8(1,5,6,8,9), B9(4,5,8,9)
C3(1,5,7,9), C8(1,5,6,9),
H1(1,5,9), H8(2,3,9), I8(3,6,8,9), I9(8,9)
Không thể nhận làm trị khả dụng
= > B3(1,5,7), B8(1,5,6,8), B9(4,5,8), C3(1,,5,7), C8(1,5,6), H1(1,5), H8(2,3), I8(3,6,9, I9(8)
= > I9 =
QLSU22 – Một Cánh-X suy rộng đặc biệt
(65)Tính chất Cánh-X là: Các trống tuyến chứa cạnh hình chữ nhật, ngồi đỉnh hình chữ nhật, khơng thể nhận trị khẳng định chung làm trị khả dụng Thí dụ 1: Trong khung Sudoku đây, trị khẳng định hàng C với cặp ô khẳng định C3(5,7,8), C8(5,9) trị khẳng định hàng H với cặp ô khẳng định H3(5,2,3) H8(5,2)
Bốn ô C3(5,7,8), C8(5,9), H3(5,2,3) H8(5,2) tạo thành hình chữ nhật gọi Cánh-X (X-Wing)
Một suy rộng đặc biệt Cánh-X
Nếu có trị khẳng định nằm tuyến song song khơng tạo thành hình chữ nhật sao? Chúng tạo thành hình tổng quát hình thang
Tổng qt hình thang nầy khơng có tính chất đặc biệt Nó có tính chất đặc biệt trường hợp sau đây:
khi cạnh khơng song song hình thang nằm khối khung Sudoku Trị khẳng định chung cạnh song song trị khẳng định
(66)(Chú thích: Chỉ trị khả dụng vả diện khung Sudoku) a) trị khẳng định hàng A với cặp ô khẳng định A3, A7
trị khẳng định hàng B với cặp ô khẳng định B1, B8
A3A7B8B1 hình thang có cạnh khơng song song A3B1 A7B8 nằm khối khối dãy khối ngang
Trị khẳng định hàng A B trị khẳng định khối (có nghĩa khối có A3 B1 có trị khả dụng 6)
=> A3A7B8B1 Cánh-X suy rộng đặc biệt Nếu A3 = => B1 ≠ => B8 =
Nếu B1 = => A3 ≠ => A7 =
Trong trường hợp, A7 = hay B8 =
=> Những ô trống khối 3, khác A7 B8, nhận trị khẳng định làm trị khả dụng
=> trị khả dụng C7 , C8 C9
b) trị khẳng định cột với cặp ô khẳng định D4, I4 trị khẳng định cột với cặp ô khẳng định F6, H6
D4I4H6F6 hình thang có cạnh khơng song song D4F6 I4H6 nằm khối khối dãy khối dọc
(67)=> Những ô trống khối 5, khác D4 F6, nhận trị khẳng định làm trị khả dụng
=> trị khả dụng D5, E5 F5 QLSU23 – Nối ô khẳng định thành chuỗi màu
Nhắc lại: Trị khẳng định x thành phần Sudoku (hàng, cột hay khối) kki x trị khả dụng thành phần Hai nầy gọi cặp ô
khẳng định với trị khẳng định x thành phần
Khi khung Sudoku có nhiều cặp khẳng định với trị khẳng định nhiều thành phần khung Sudoku, tập hợp cặp khẳng định giúp loại trừ trị khẳng định khỏi danh sách trị khả dụng ô khác
Ta áp dụng phương pháp tô màu để nối ô khẳng định thí dụ
Hình cho thấy trị khả dụng 5, trị khả dụng khác khơng ghi
Hình cho thấy nhiều cặp ô khẳng định với trị khẳng định hàng C, G, cột 1, khối 1, 3,
Nếu A2 = => C1 ≠ => C9 = => A7 ≠ => I7 = => G9 ≠ => G1 = => C1 I2 ≠
Các ô A2, C9, I7, G1 5, tô màu, hình đỏ
(68)Tóm lại:
Bằng phương pháp tô màu, ta nối cặp ô khẳng định với trị khẳng định làm chuỗi màu có tính chất: tất có màu nầy hay màu kia (1 2) có trị trị khẳng định chung
Suy tính chất:
Nếu có khác màu nằm thành phần, khơng thuộc chuỗi xét, ô nầy phải trị khẳng định chung (tức ô khác màu nầy trở thành môt cặp ô khẳng định thành phần) Suy ra: ô khác thành phần nhận trị khẳng định chung làm trị khả dụng
Hai ô chuỗi nằm thành phần Sudoku phải khác màu Trong hình, hàng A, hàng I, cột 2, cột chứa ô khác màu
=> Các ô A4, A5, I4, F2, E9 nhận làm trị khả dụng
Trường hợp hình trên, ta nối khẳng địng với trị khẳng định thành chuỗi kín khác màu Kín A2, chuỗi màu đỏ trở A2, C1, chuỗi màu vàng trở C1 Nếu chuỗi khơng trở vị trí ban đầu, ta có chuỗi hở
Sau thí dụ chuỗi hở:
Chuỗi ô A2 kết thúc ô I4 chuỗi hở
Hai ô màu nằm thành phần Sudoku Thí dụ, hình trên, thay I4 = 5, ta có I4 ≠ I1 = 5, điều sai cột chứa màu chuỗi, có nghĩa C1 khơng thể có trị
(69)Đặc biệt hơn, ta bỏ khỏi danh sách trị khả dụng A4, họ A4 chứa khác màu A2 I4 chuỗi
QLSU24 – Chuỗi ô khẳng định đứt đoạn
Trong trước, xét chuỗi màu kín hở khẳng định có trị khẳng định thành phần khung Sudoku Nhắc lại: thành phần Sudoku hàng, cột hay khối khung Sudoku
Nhiều khơng có chuỗi liên tục khẳng định, mà có nhiều chuỗi đứt đoạn ô khẳng định (nhưnng trị khẳng định) Những chuỗi đứt đoạn nầy tơ màu khác giúp loại bỏ trị khẳng định khỏi danh sách các trị khả dụng có họ chứa khác màu (vì nầy phải có trị trị khẳng định) Nhắc lại: Họ ô Sudoku gồm hàng, cột khối chứa đó)
Hình cho thấy trị khả dụng ô khung Sudoku Các trị thực trị khả dụng khác khơng ghi
Trong hình trên, ta có cặp ô khẳng định với trị khẳng định sau: A2, C1 khối
C1, H1 cột H1, H4 hàng H B7, C9 khối B7, I7 cột I7, G9 khối
(70)Chuỗi ô khẳng định A2, C1, H1, H4 Chuỗi ô khẳng định C9, B7, I7, G9
Để ý màu chuỗi phải thích ứng với Thí dụ: Nếu C1 = C9 ≠ => C1 C9 phải khác màu Từ đó, suy màu khác chuỗi
Nếu có màu nằm thành phần khung Sudoku, ta phải kiểm sốt lại, có điền số sai!
Hai chuỗi ô khẳng định giúp loai bỏ trị khẳng định khỏi danh sách trị khả dụng số ô sau:
a) C5, C6 hàng C có khẳng định khác màu C1 C9 b) E9, F9 cột có khẳng định khác màu C9 G9 c) A4 họ A4 co chứa ô khác màu A2 H4 d) G2 họ G2 có chứa ô khác màu A2 G9 QLSU25 – Cánh-Y hay Cánh-XY
Bài ôn
Trong khung Sudoku, xét ô A(x,y), B(x,z) C(y,z) có trị khả dụng
Nếu A(x,y) B(x,z) có liên hệ trực tiếp qua trị khả dụng x (tức là; A = x B ≠ x ngược lại)
Nếu A(x,y) C(y,z) có liên hệ trực tiếp qua trị khả dụng y Nếu B(x,z) C(y,z) có liên hệ gián tiếp qua trị khả dụng z
Thì: Mọi trống có họ chứa B C nhận z làm trị khả dụng
Tổ hợp ô A(x,y), B(x,z) C(y,z) tạo thành Cánh-Y hay Cánh-XY với A(x,y) gọi ô gốc cánh
(71)C3(5,8) C8(5,9) có liên hệ trực tiếp qua trị khả dụng C3(5,8) H(8,9) có liên hệ trực tiếp qua trị khả dụng C8(5,9) H(8,9) có liên hệ gián tiếp qua trị khả dụng
=> Ba ô C3(5,8), C8(5,9), H3(8,9) tạo thành Cánh-Y hay Cánh-XY có gốc ô C3(5,8)
Nếu C3 = => C8 = Nếu C3 = => H3 =
Trong trường hợp, C8 H3 phải
=> Mọi ô trống có họ chứa C8 H3 nhận làm trị khả dụng
=> Ô H8(2,9) có họ chứa C8 H3 nên loại khỏi danh sách trị khả dụng H8 => H8 =
(72)a) Hai A7(1,3) G7(1,9) có liên hệ trực tiếp qua trị khả dụng Hai ô A7(1,3) A3(3,9) có liên hệ trực tiếp qua trị khả dụng Hai ô G7(1,9) A3(3,9) có liên hệ gián tiếp qua trtị khả dụng
=> Ba ô A7(1,3), G7(1,9) A3(3,9) hợp thành Cánh-Y hay Cánh-XY có gốc A7(1,3)
Ơ G3(4,9) có họ chứa G7 A3 nên khơng thể nhận làm trị khả dụng
=> G3 =
b) Hai ô B2(2,9) C1(2,4) có liên hệ trực tiếp qua trị khả dụng Hai B2(2,9) B9(9,4) có liên hệ trực tiếp qua trị khả dụng Hai ô C1(2,4) B9(9,4) có liên hệ gián tiếp qua trị khả dụng
= > Ba ô B2(2,9), C1(2,4) B9(9,4) hợp thành Cánh-Y hay Cánh-XY có gốc B2(2,9)
Ơ C9(4,5) có họ chứa C1và B9 nên khơng thể nhận làm trị khả dụng
=> B9 = QLSU26 – Cánh-XYZ Bài ôn
(73)Trong khung Sudoku, xét A(x,y,z), B(x,y) C(x,z) có tính chất: • Nếu A(x,y,z) B(x,y) có liên hệ trực tiếp qua trị khả dụng x y
• Nếu A(x,y,z) C(x,z) có liên hệ trực tiếp qua trị khả dụng x z • Nếu B(x,y) C(x,z) có liên hệ gián tiếp qua trị khả dụng z
Thì: Mọi trống có họ chứa A, B C nhận trị khả dụng chung x làm trị khả dụng
Tổ hợp ô A(x,y,z), B(x,y) C(x,z) tạo thành Cánh-XYX (XYZ-Wing) với A(x,y,z) g ô gốc cánh trị khả dụng chung x gọi trị gốc cánh
Ba ô Cánh-XYZ nằm họ ô gốc cánh, thí dụ: A(x,y,z), A(x,z) nằm hàng (hay cột) chứa ô gốc A(x,y,z) B(x,z) nằm cột (hay hàng) hay khối chứa gốc A(x,y,z)
Thí dụ 1: Xét khung Sudoku đây:
a) Ba ô A3(3,5,8), A8(3,5) C1(3,8) tạo thành Cánh-XYZ có gốc A3(3,5,8) trị gốc
Nếu A3 = => A8 ≠ C1 ≠ Nếu A3 = => A8 =
Nếu A3 = => C1 =
(74)Suy ra: có họ chứa ô Cánh-XYZ nhận trị gốc Cánh làm trị khả dụng
=> Hai A1(3,4,5,8) A2(3,5,8) có họ chứa ô A3, A8 C1 Cánh-XYZ => Trị gốc Cánh-XYZ trị khả dụng A1 A2
=> A1(4,5,8), A2(3,5,8)
b) Ba ô G6(8,6,5), I4(8,6) C6(8,5) tạo thành Cánh-XYZ có gốc G6(8,6,5) trị gốc
Nếu G6 = => I4 ≠ C6 ≠ Nếu G6 = => I4 =
Nếu G6 = => C6 =
Một ô XYZ G6(8,6,5), I4(8,6) C6(8,5) phải có trị trị gốc Cánh-XYZ, tức
Suy ra: có họ chứa Cánh-XYZ nhận trị gốc Cánh làm trị khả dụng => Hai H6(1,5,6,8) I6(1,5,6,8) có họ chứa ô Cánh-XYZ G6, I4 C6
=> Trị gốc Cánh-XYZ trị khả dụng H6 I6 => H6(1,5,6), I6(1,5,6)
Thí dụ 2: Xét khung Sudoku đây:
(75)Ơ B1(2,4,8) có họ chứa ô B2, B9, C1 Cánh-XYZ nên nhận trị gốc Cánh làm trị khả dụng:
=> B1(2,8)
b) Ba ô H7(9,1,5), G7(9,1) H2(9,5) tạo thành Cánh-XYZ có gốc H7(9,1,5) trị gốc
Ơ H8(1,5,6,9) có họ chứa H7, G7,H2 Cánh-XYZ nên nhận trị gốc Cánh làm trị khả dụng
=> H8(1,5,6)
QLSU27 – Cánh-WXYZ
Cánh-WXYZ suy rộng Cánh-XYZ
Cánh-XYZ gồm có có gốc có trị khả dụng cịn lại, có trị khả dụng Ba ô Cánh-XYZ ô Sudoku đặc biệt trị khả dụng có trị khả dụng diện ô, gọi trị gốc Cánh-XYZ
Trong kỳ rồi, ta có:
– Ba A3(3,5,8), A8(3,5), C1(3,8) Cánh-XYZ có trị gốc – Ba ô G6(8,6,5), I4(8,6), C6(8,5) Cánh-XYZ xó trị gốc
Tương tự Cánh-XYZ, Cánh-WXYZ có hợp thành ô Sudoku đặc biệt, có ô chứa trị khả dụng, gọi ô gốc, ô lại, ô chứa trị khả dụng Có tất trị khả dụng, có trị khả dụng diệng ô, gọi trị gốc Cánh-WXYZ Tóm lại:
Trong khung Sudoku, xét ô A(x,y,z,t), B(x,y), C(x,z) D(x,t) có tính chất: Nếu A(x,y,z,t) B(x,y) có liên hệ trực tiếp qua trị khả dụng x y
Nếu A(x,y,z,t) C(x,z) có liên hệ trực tiếp qua trị khả dụng x z Nếu A(x,y,z,t) D(x,t) có liên hệ trực tiếp qua trị khả dụng x t
Trong ô B, C D, có nằm khối hay tuyến chứa ơ gốc A
Thì: ô A, B, C D Cánh-WXYZ khung Sudoku
(76)Nếu A = x => B = y, C = z, D = t Nếu A = y => B = x
Nếu A = z => C = x Nếu A = t => D = x
= > Dù A có trị A, B, C D có trị x
= > Mọi có họ chứa ô A, B, C D Cánh- WXYZ, ngồi cánh, khơng thể nhận trị gốc Cánh-WXYZ làm trị khả dụng
Trường hợp khác xảy sau, với ô khối với ô góc Cánh-WXYZ:
(77)
a) Bốn ô A3(3,8,7,5), C1(3,8), A6(3,7) A8(3,5) tạo thành Cánh-WXYZ có gốc A3(3,8,7,5) trị gốc
= > Hai A1(3,4,8) A2(3,4,7) có họ chứa ô Cánh-WXYZ A3, C1, A6 A8
= > Trị gốc Cánh-WXYZ trị khả dụng A1 A2 = > A1(4,8), A2(4,7)
b) Bốn ô G6(7,1,9,3), I5(7,1), G4(7,9) A6(7,3) tạo thành Cánh-WXYZ có gốc G6(7,1,9,3 ) trị gốc
= > Hai ô H6(2,3,7,8,9) I6(1,6,7) có họ chứa Cánh-WXYZlà G6, I5, G4 A6
= > Trị gốc Cánh-WXYZ trị khả dụng H6 I6 = > H6(2,3,8,9), I6(1,6)
Để ý A6(3,7) ô thuộc Cánh-WXYZ: A3, C1, A6, A8 G6, I5, G4, A6 QLSU28 – Bộ ô Sudoku cách xa
Bài ôn:
(78)Ta thườn gặp ô Sudoku gồm ô nằmg thành phần khung Sudoku, tức nằm hàng hay cột hay khối khung Sudoku
Bộ ô Sudoku , 3, 4, vv …, thành phần giúp giản lược danh sách trị khà dụng ô khác thành phần
Thí dụ: B1(4,5), B2(4,5) ô Sudoku hàng B, khối 1, danh sách trị khả dụng ô trống hàng B khối 1, chứa Bộ ô Sudoku cách xa
(cũng gọi Cặp cách xa – Remote Pairs)
Đôi Sudoku không nằm thành phần nối với bằng ô Sudoku khác Các Sudoku nầy có trị khả dụng nằm trong thành phần
Trong khung Sudoku (xem hình) A2(3,6) H7(3,6) ô Sudoku cách xa với trị 3,
Hai ô nầy nối với ô Sudoku: A2(3,6), A9(3,6) hàng A
A9(3,6), C7(3,6) khối C7(3,6), H7(3,6) cột
Ta nói rằng: Các A2(3,6), A9(3,6), C7(3,6) H7(3,6) chuỗi có trị khả dụng Hai ô đầu A2(3,6) cuối H(3,6) gọi đầucủa chuỗi Các chuỗi cịn gọi mắt chuỗi
Nếu ô Sudoku cách xa tạo thành số lẻ, thí dụ trên, ô Sudoku nằm trên/trong thành phần (nói cách khác, số mắt chuỗi số chẳn), ta có tính chất sau đây:
Nếu A2 = => A9 = => C7 = => H7 = Nếu A2 = => A9 = => C7 = => H7 =
Suy ra: dù A2 có trị số nào, hay 6, đầu cuối chuỗi, có trị có trị
Tính chất: Nếu Sudoku cách xa tạo thành số lẻ ô Sudoku trung gian nằm thành phần, trống có họ chứa ô cách xa nhận trị ô Sudoku làm trị khả dụng
(79)Trong khung Sudoku đây, A2(3,6) H7(3,6) ô Sudoku cách xa tạo Sudoku
Ơ H2(3,6,8,9) có họ chứa ô A2(3,6) H7(3,6) nên nhận làm trị khả dụng => H2(8,9)
QLSU29 – Các chuỗi hữu dụng Sudoku (1)
Trong trước đây, ta thấy tầm quan trọng có trị khả dụng, ô nầy nằm thành phần (hàng, cột hay khối) có liên hệ tồn phần hay bán phần
Thí dụ:
Hai H3(5,6) H7(5,6) có liên hệ tồn phần hàng H Khí H3 = H7 =
Khi H3 = H7 =
Hai A2(3,6) C3(5,6) có liên hệ bán phần khối Khi A2 = C3 =
Khi C3 = A2 =
(80)Trong khung Sudoku, có trị khả dụng tạo thành chuỗi hữu dụng (Forcing Chain) kết hợp cho ta điều kiện để đơn giản trị khả dụng trống khác thí dụ sau đây:
H3(5,6) H7(5,6) hay bán phần C3(5,6) A2(3,6), H7(5,6) G8(5,8), G8(5,8) C8(3,8)
Xét C3(5,6) có trị khả dụng
Từ C3 xuất phát chuỗi hữu dụng tuỳ theo C3 = hay C3 = Chuỗi thứ nhất: C3 = => A2 =
Chuỗi thứ hai: C3 = => H3 = => H7 = => G8 = => C8 = = > Dù C3 có trị nào, hay 5, ta có A2 = C8 =
Suy ra: Mọi trống có họ chứa A2 C8 nhận làm trị khả dụng
Các ô C2(3,,4,6), A7(2,3,6), A8(3,8), A9(3,6,8) có họ chứa A2 C8 nên nhận làm trị khả dụng
=> loại khỏi danh sách trị khả dụng ô nầy = > C2(4,6), A7(2,6), A8 = 8, A9(6,8)
(81)
Trong trước đây, xét trường hợp chuỗi hữu dụng thường gặp Trong nầy, xét trường hợp chuỗi hữu dụng khác
Xét khung Sudoku sau đây:
Ơ C3(5,6) có trị khả dụng Tử ô C3, xúất phát chuỗi:
a) Chuỗi thứ nhất: C3 = => A2 =
b) Chuỗi thứ hai: C3 = => C8 = => G8 = => H7 = Dù ô C3 có trị nào, A2 = H7 =
Suy ra: ô trống có họ chứa A2 H7 khơng thể nhận làm trị khả dụng Ơ H2(1,3,4,9) có họ chứa cà ô A2 H7 nên nhận làm trị khả dụng = > H2(1,4, 9)
(82)Trong trước đây, xét trường hợp chuỗi hữu dụng thường gặp Trong nầy, xét trường hợp chuỗi hữu dụng khác phức tạp Các chuỗi hữu dụng phát xuất từ có trị khả dụng
Xét khung Sudoku sau đây:
Ơ E7(1,7,9) có trị khả dụng 1, Tử ô E7, xuấtt phát chuỗi:
a) Chuỗi thứ nhất: E7 = => E9 = => F9 = => F5 = => E5 = b) Chuỗi thứ hai: E7 = => E5 =
c) Chuỗi thứ ba: E7 = => F9 = => F5 = => E5 = Dù E7 có trị nào, ta có E5 = Suy ra: E5 = Nếu tiếp tục giải khung Sudoku, ta được:
D4 = 9, D6 = 5, F5 = 7, C4 = 7, C6 = 9, G4 = 8, F4 = 6, F6 = 8,
I4 = 2, I2 = 1, G6 = 7, I6 = 6,
G54,5) H5(4,50 ô Sudoku => G6 = 7, I6 = 6, G3 = 3, G1 = F3 = 1, C3 = 2, C2 = 3, F2 = 4, D2 = 2,
(83)F7 = 9, F9 = 5, E9 = 1, E7 = 7, G9 = 9, H9 = 2, G7 = 1,
G8 = 5, G5 = 4, H5 = 5, H3 = 8, I3 = 5, I8 = 7, I7 = 8, H7 =
QLSU32 – Hình chữ nhật trống
Hình chữ nhật trống (Empty Rectangle)
Khung Sudoku có khối Mỗi khối có Nếu khối Sudoku, có trống khơng chứa trị khả dụng trống nầy đỉnh hình chữ nhật, ta có hình chữ nhật trống (Empty Rectangle) (nên nhớ: trống thiếu trị khả dụng đó)
Trị khả dụng vắng mặt hình chữ nhật trống gọi trị hình chữ nhật trống
Hàng cột khối khơng chứa đỉnh hình chữ nhật trống gọi tuyến hình chữ nhật trống
(84)Trong khối 1, ô A2(1,4), A3(5,6), C2(3,4) C3(3,5) không chứa trị khả dụng nên hợp thành hình chữ nhật trống (đối với 7) trị hình chữ nhật trống
Hàng B cột tuyến hình chữ nhật trống B1(2,7,8,9) giao điểm hình chữ nhật trống
Trong khối 4, ô E2(6,8), E3(2,7), F2(3,8) F3(3,5,9) không chứa trị khả dụng nên hợp thành hình chữ nhật trống (đối với 4) trị hình chữ nhật trống
Hàng D cột tuyến hình chữ nhật trống ô D1(3,4,9) giao điểm hình chữ nhật trống
Trong khối 6, D7(3,9),D9(1,4), F7(3,5) F9(4,5,9) không chứa trị khả dụng nên hợp thành hình chữ nhật trống (đối với 6) trị hình chữ nhật trống
Hàng E cột tuyến hình chữ nhật trống ô E8(6,8) giao điểm hình chữ nhật trống
Tính chất liên kết với hình chữ nhật trống
Hình chữ nhật trống có tính chất liên kết với cặp ô có liên hệ mạnh Hai ô A B có liên hệ mạnh trị khả dụng x khi:
A ≠ x => B = x B ≠ x => A = x
Hai ô ô Sudoku (Twin) có liên hệ mạnh
Thí dụ: Hai G2(5,7) G8(5,7) có liên hệ mạnh hàng G Hai A1(8,9) cà C3(8,9) có liên hệ mạnh khối
Tính chất:
(85)P Q có liên hệ mạnh x
Một ơ, thí dụ P, nằm tuyến hình chữ nhật trống Thì ta có tính chất:
Mọi trống có họ chứa giao điểm G hình chữ nhật trống ô Q nhận x làm trị khả dụng
Thí dụ:
Trong khung Sudoku trên, ta có:
A2(1,4), A3(5,6), C2(3,4) C3(3,5) tạo thành hình vng trống trị khả dụng khối có trị hình vng trống 7, tuyến hàng B cột giao điểm ô B1(2,7,8,9)
Hai B8(6,7) E7(6,7) có liên hệ mạnh (và 6) trị hình chữ nhật trống, có B8(6,7) nằm tuyến hình chữ nhật trống
Suy ra:
Ơ trống có họ chứa giao điểm hình chữ nhật trống
B2(2,7,8,9) E8(6,7) khơng thể nhận trị hình chữ nhật trống làm trị khả dụng
Thật vậy, ta có:
– Nếu E8 = E1 không thễ nhận làm trị khả dụng
– Nếu E8 = 6=> B8 = => trị khả dụng ô khác hàng B, có B1(2,7,8,9)
– Trong khối 1, trị A1 hay C1
(86)chữ nhật trống làm trị khả dụng
– Suy ra, ô E1(7,8) nhận làm trị khả dụng => E1 = Thí dụ: Xét khung Sudoku sau đây:
Trong khung Sudoku trên, ô G1(8,9), G3(8,9), I1(2,4,6,8) I3(2,4,5) không chứa trị khả dụng nên tạo thành hình chữ nhật trống (đối với 1) có trị hình chữ nhật trống 1, tuyến hàng H cột giao điểm ô H2(1,3,6,7)
Hai ô B2(1,2) B7(1,2) có liên hệ mạnh ( 2) có B2 nằm tuyến hình chữ nhật trống Ơ H7(1,7) có họ chứa B7(1,2) giao điểm H2(1,3,6,7) hình chữ nhật trống => Ơ H7(1,7) khơng thể nhận 1, trị hình chữ nhật trống làm trị khả dụng => H7 =
QLSU33 – Trị khả dụng phải có trống
Trong khung Sudoku, trống phải có trị khả dụng Trong nhiều trường hợp, cần xét điều kiện để trống có trị khả dụng giúp ta đơn giản trị khả dụng vơ ích trống khác, trường hợp sau
(87)Có trường hợp mà tập hợp ô nầy chứa nhiều trị khả dụng phân phối theo cách đó, thí dụ X(a,b,c,d,e), Y(a,d,e,b), Z(c,a,b,d)
Nếu khối chứa tập hợp ô X, Y Z, có thêm U(a,b) sao? Nếu a b trị ô X, Y Z, U khơng thể chứa a hay b => Khơng thể U phải chứa trị khả dụng
=> Trong tập hợp X, Y Z, có chứa a hay b
=> Tập hợp ô X, Y, Z ô U(a,b) cư xử ô Sudoku (Twin) với trị a, b U = a => Tập hợp = b (X, Y hay Z b)
U = b => Tập hợp = a (X, Y hay Z a)
Suy ra: ô trống khối chứa X, Y, Z U nhận a b làm trị khả dụng
Nếu tuyến chứa tập hợp X, Y Z, có thêm V(d,e) sao? Nếu d e trị ô X, Y Z, V khơng thể chứa d hay e => Khơng thể V phải chứa trị khả dụng
=> Trong tập hợp ô X, Y Z, có chứa d hay e
=> Tập hợp ô X, Y, Z ô V(d,e) cư xử ô Sudoku (Twin) với trị d, e
V = d => Tập hợp = e (X, Y hay Z e) V = e => Tập hợp = d (X, Y hay Z d)
Suy ra: ô trống tuyến chứa X, Y, Z V nhận d e làm trị khả dụng Chú ý: Trường hợp tập hợp ô tuyến, ô X, Y Z không bắt buộc phải nằm kề Thí dụ: Xét khung Sudoku sau đây:
(88)= > Các ô khác khối nhận làm trị khả dụng => Ơ C1(2,7,6,9) khơng thể nhận 6, làm trị khả dụng => C1(2,7)
Trên hàng A, tập hợp ô A1(6,7,9), A2(3,4,7), A3(3,4,6,9) ô A8(3,7) hợp thành ô Sudoku (Twin) với trị
= > Các ô khác hàng A nhận làm trị khả dụng Thí dụ: Xét khung Sudoku sau đây:
Trong khối 1, tập hợp ô A2(1,2,6,8), B2(2,6,9), C2(1,8,9) ô A3(1,8) hợp thành ô Sudoku (Twin) với trị 1,
= > Các ô trống khối 1, nhận làm trị khả dụng = > C3(4,9,1,8) nằm khối => C3(4,9)
Trên cột 2, , tập hợp ô A2(1,2,6,8), B2(2,6,9), C2(1,8,9) ô E2(2,9) hợp thành ô cột 2, nhận làm trị khả dụng = > F2(1,2,3) nằm cột => F2(1,3)
(89)Trong khung Sudoku sau đây:
Xét hình chữ nhật B2B3D3D2 hợp có trị khả dụng và hình chữ nhật F5F8H8H5 hợp có trị khả dụng
Giả sử khác ngồi hình chữ nhật B2B3D3D2 điền số Vì hai trị hốn vị đỉnh hình chữ nhật, nên khung Sudoku có lời giải ứng với: B2 = 1, B3 = 2, D3 = 1, D2 =
và B2 = 2, B3 = 1, D3 = 2, D2 =
Theo quy ước Sudoku, lời giải khung Sudoku, dù dễ hay khó, phải
Do vậy, kết luận khơng chấp nhận hình chữ nhật B2B3D3D2 gọi hình chữ nhật khơng giải được, có trị
Hình chữ nhật có đỉnh (i) có cặp trị khả dụng, (ii) nằm hàng cột,
(iii) nằm khối khung Sudoku
Để ý hình chữ nhật F5F6H8H5 có đỉnh có cặp trị khả dụng 8, nằm hàng cột, khơng phải hình chữ nhật đỉnh nằn khối khác khung Sudoku
Chú ý: Khi gặp phải hình chữ nhật khơng giải được, người giải nên xem lại sơ điền số, có thển có chỗ sai đâu đó!
(90)
Hình chữ nhật – Loại
Hình chữ nhật loại cặp trị khả dụng chung diện đỉnh hình chữ nhật có đỉnh chứa thêm trị khả dụng khác
Thí dụ: Giả sử ta có Hình chữ nhật hợp ô A(3,5), B(3,5), C(3,5) D(3,5, 7)
Nếu trị D ABCD hình chữ nhật không giải Để tránh trường hợp nầy xảy ra, D phải => D =
Thí dụ: Xét khung Sudoku sau đây:
Bốn ô A2(1,4), A6(1,4), C6(1,4) C2(1,4,5) hợp thành hình chữ nhật loại có trị Đỉnh C2 có thêm trị khả dụng lạ
Để tránh A2A6C6C2 trở thành hình chữ nhật khơng giải => C2 =
(91)QLSU35 – Hiìh chữ nhật – Loai
Nhắc lại:
Trong khung Sudoku, hình chữ nhật hình tạo M, N, P, Q với tính chất sau đây:
1 ô nằm hàng cột không nằm khối khác
2 Có ơ, thí dụ M N, nằm cạnh có cặp tri khả dụng, thí dụ x y (tức M(x,y), N(x,y)) Hai ô nầy gọi đỉnh đáy hình chữ nhật
3 Hai cịn lại, P Q, trị khả dụng M N (tức x, y), chứa tri khả dụng khác, thí dụ: z, t, … Hai nầy gọi đỉnh nóccủa hình chữ nhật Nếu M N chứa trị khả dụng x y M N
M(x,y)N(x,y)P(x,y)Q(x,y) hình chữ nhật khơng giải
Nếu P Q, thí dụ P, chứa trị khả dụng x y, M N hay P(x,y), đỉnh cịn lại, thí dụ Q, ngồi x y cịn chứa thêm trị khả dụng khác z hay Q(x,y,z), Q phải z M(x,y), N(x,y), P(x,y), Q(x,y,z) => Q = z Đó trường hợp hình chữ nhật loại xét kỳ trước
(92)D1(1,2), D3(1,2), B1(1,2), B3(1,2,7) hình chữ nhật
D1(1,2), D3(1,2) đáy B1(1,2), B3(1,2,7) đỉnh hình chữ nhật D1D3B3B1
Vì có đỉnh B3 có chứa trị khả dụng lạ nên B3 = D1D3B3B1 hình chữ nhật – Loại
Hình chữ nhật – Loại
Hình chữ nhật – Loại đỉnh có chứa thêm trị khả dụng khác.
Thí dụ: Trong hình E7(4,5), E9(4,5), A9(4,5,8), A7(4,5,8) hình chữ nhật – Loại 2, có đỉnh đáy E7(4,5), E9(4,5), đỉnh A9(4,5,8), A7(4,5,8) có chứa trị khả dụng khác
Nếu A7 A9 khơng E7E9A9A7 hình chữ nhật khơng giải được, khơng thể có khung Sudoku => Hoặc A7 A9 phải
Suy ra:
Các ô hàng A khối 3, khác A7 A9, nhận làm trị khả dụng.
(93)
Bốn ô A2(1,4,5), A6(1,4), C6(1,4) C2(1,4,5) hợp thành hình chữ nhật loại Hai đỉnh đáy A6(1,4) C6(1,4) Hai đỉnh A2(1,4,5) C2(1,4,5
Để tránh A2A6C6C2 trở thành hình chữ nhật khơng giải được, A2 C2 phải 5
Suy ra, ô trống cột khối 1, trừ A2 C2, nhận làm trị khả dụng
Loại khỏi danh sách trị khả dụng B1(1,2,4,5,7), B2(1,2,4,5), B3(1,4,5,7), F2(1,4,5,6) G2(1,4,5,6)
=> B1(1,2,4,7), B2(1,2,4), B3(1,4,7), F2(1,4,6), G2(1,4,6)
(94)QLSU36 – Hình chữ nhật – Loại
Nhắc lại:
Trong khung Sudoku, hình chữ nhật hình tạo M, N, P, Q với tính chất sau đây:
– ô nằm hàng cột không nằm khối khác
– Có ơ, thí dụ M N, nằm cạnh có cặp tri khả dụng, thí dụ x y (tức M(x,y), N(x,y)) Hai ô nầy gọi đỉnh đáy hình chữ nhật
– Hai cịn lại, P Q, trị khả dụng M N (tức x, y), chứa tri khả dụng khác, thí dụ: z, t, … Hai nầy gọi đỉnh nóccủa hình chữ nhật
Nếu M N chí chứa trị khả dụng x y M N M(x,y)N(x,y)P(x,y)Q(x,y) là hình chữ nhật khơng giải
– Nếu P Q, thí dụ P, chứa trị khả dụng x y, M N hay P(x,y), đỉnh cịn lại, thí dụ Q, ngồi x y chứa thêm trị khả dụng khác z hay Q(x,y,z), Q phải z
(95)Đó trường hợp hình chữ nhật loại
– Nếu P Q, đểu chứa trị khả dụng x y, M(x,y) N(x,y), chứa thêm trị khả dụng khác z, tức P(x,y,z) Q(x,y,z), P hoăc Q phải z
M(x,y), N(x,y), P(x,y,z), Q(x,y,z) => P = z hay Q = z
Đó trường hợp hình chữ nhật loại xét kỳ trước Trong khung Sudoku sau đây:
D1(1,2), D3(1,2), B1(1,2,7), B3(1,2,7) hình chữ nhật
D1(1,2), D3(1,2) đáy B1(1,2,7), B3(1,2,7) đỉnh hình chữ nhật D1D3B3B1
D1D3B3B1 hình chữ nhật – Loại => B1 = hay B3 = => B5 nhận làm trị khả dụng
A7(4,5), E7(4,5), A9(4,5,8), E9(4,5,8) hình chữ nhật có đỉnh đáy A7, E7 đỉnh A9 E9
A7E7A9E9 hình chữ nhật – Loại => A9 = hay E9 = => C9 nhận làm trị khả dụng
Hình chữ nhật – Loại
Hình chữ nhật – Loại đỉnh đỉnh có chứa thêm trị khả dụng khác trị khả dụng nầy không
(96)
a) Trong hình D1(1,2)D3(1,2)B3(1,2,7)B1(1,2,6) hình chữ nhật – Loại 3, có đỉnh đáy D1(1,2), D3(1,2) đỉnh B1(1,2,6), B3(1,2,7) có chứa trị khả dụng khác
Nếu B1 ≠ B3 ≠ D1D3B3B1 hình chữ nhật khơng giải được, khơng thể xảy
=> Hoặc B1 = B3 = hai B1 = 6, B3 =
Nếu hàng B có với có trị khả dụng 7, thí dụ B6(6,7) thì: Nếu B1 = => B6 =
Nếu B3 = => B6 =
Hai B1 B3 với B6 có tính chất ô Sudoku trị 6, mà B6(6,7) cịn lại ô B1(1,2,6) B3(1,2,7)
Suy ra: ô trống hàng B, khác B1, B3, B6 nhận làm trị khả dụng b) Tương tự, A7(4,5)E7(4,5)A9(4,5,3)E9(4,5,8) hình chữ nhật – Loại 3, có đỉnh đáy A7(4,5), E7(4,5) đỉnh A9(3,5,3), E9(4,5,8) có chứa trị khả dụng khác
=> Hoặc A9 = E9 = hai A9 = 3, E9 =
Nếu cột có với có trị khả dụng 8, thí dụ C9(3,8) thì: Nếu A9 = => C9 =
Nếu E9 = => C9 =
Hai A9 E9 với C9 có tính chất ô Sudoku trị 3, mà ô C9(3,8) cịn lại A9(4,5,3) E9(4,5,8)
(97)Bốn ô E6(1,2), H6(1,2), H4(1,2,6), E4(1,2,7) hợp thành hình chữ nhật loại Hai đỉnh đáy E6(1,2) H6(1,2) Hai đỉnh H4(1,2,6) E4(1,2,7)
Để tránh E6H6H4E4 trở thành hình chữ nhật khơng giải được, Hoặc E4 = H4 = hai E4 = 7, H4 = Cột có chứa ô D4(6, 7) với trị khả dụng
D4(6,7) hợp với ô E4(1,2,7) H4(1,2,6) làm thành Sudoku có trị
Suy ra, ô trống cột 7, khác D4, E4, H4, nhận làm trị khả dụng Loại khỏi danh sách trị khả dụng A4(2,6,8) C4(2,5,6,8)
=> A4(2,8) C4(2,5,8)
QLSU37 – Hình chữ nhật – Loại Nhắc lại:
Trong khung Sudoku, hình chữ nhật hình tạo M, N, P, Q với tính chất sau đây:
– ô nằm hàng cột không nằm khối khác
(98)M(x,y), N(x,y)) Hai ô nầy gọi đỉnh đáy hình chữ nhật
– Hai cịn lại, P Q, trị khả dụng M N (tức x, y), chứa tri khả dụng khác, thí dụ: z, t, … Hai nầy gọi đỉnh hình chữ nhật
Nếu M N chí chứa trị khả dụng x y M N M(x,y)N(x,y)P(x,y)Q(x,y) hình chữ nhật khơng giải
– Nếu P Q, thí dụ P, chứa trị khả dụng x y, M N hay P(x,y), đỉnh cịn lại, thí dụ Q, ngồi x y cịn chứa thêm trị khả dụng khác z hay Q(x,y,z), Q phải z
M(x,y), N(x,y), P(x,y), Q(x,y,z) => Q = z
Đó trường hợp hình chữ nhật loại
– Nếu P Q, đểu chứa trị khả dụng x y, M(x,y) N(x,y), chứa thêm trị khả dụng chung khác z, tức P(x,y,z) Q(x,y,z), P hoăc Q phải z
M(x,y), N(x,y), P(x,y,z), Q(x,y,z) => P = z hay Q = z
Đó trường hợp hình chữ nhật loại
– Nếu ô P Q, đểu chứa trị khả dụng x y, M(x,y) N(x,y), cịn chứa thêm trị khả dụng khác z t, tức P(x,y,z) Q(x,y,t), P = z Q t
M(x,y), N(x,y), P(x,y,z), Q(x,y,t) => P = z hay Q = t
Nếu tuyến chứa P, Q có chứa thêm ô với z, t trị khả dụng, thí dụ R(z,t) R với cặp P, Q cư xử Sudoku có trị z t
Suy ra: ô trống tuyến qua P, Q hình chữ nhật MNPQ, ngồi P, Q R khơng thể nhận z t làm trị khả dụng
(99)a) Trong hình D1(1,2)D3(1,2)B3(1,2,7)B1(1,2,6) hình chữ nhật – Loại 3, có đỉnh đáy D1(1,2), D3(1,2) đỉnh B1(1,2,6), B3(1,2,7) có chứa trị khả dụng khác
Nếu B1 ≠ B3 ≠ D1D3B3B1 hình chữ nhật khơng giải được, xảy => Hoặc B1 = B3 = hai B1 = 6, B3 =
Nếu hàng B có với có trị khả dụng 7, thí dụ B6(6,7) thì: Nếu B1 = => B6 =
Nếu B3 = => B6 =
Hai B1 B3 với B6 có tính chất ô Sudoku trị 6, mà ô B6(6,7) ô lại ô B1(1,2,6) B3(1,2,7)
Suy ra: trống hàng B, khác B1, B3, B6 nhận làm trị khả dụng
b) Tương tự, A7(4,5)E7(4,5)A9(4,5,3)E9(4,5,8) hình chữ nhật – Loại 3, có đỉnh đáy A7(4,5), E7(4,5) đỉnh A9(3,5,3), E9(4,5,8) có chứa trị khả dụng khác
=> Hoặc A9 = E9 = hai A9 = 3, E9 =
Nếu cột có với có trị khả dụng 8, thí dụ C9(3,8) thì: Nếu A9 = => C9 =
Nếu E9 = => C9 =
Hai ô A9 E9 với C9 có tính chất ô Sudoku trị 3, mà C9(3,8) cịn lại A9(4,5,3) E9(4,5,8)
Suy ra: ô trống cột 9, khác A9, E9, C9 nhận làm trị khả dụng
(100)Khi có hình chữ nhật – Loại 3, trước hết ta tìm mộ khác tuyến với hình chữ nhật có trị khả dụng trị khả dụng khác ô
Nếu tìm ta áp dụng tính chất: M(x,y), N(x,y), P(x,y,z), Q(x,y,t) R(z,t)
=> [P(x,y,z), Q(x,y,t)] R(z,t) ô Sudoku tuyến chứa P, Q R
Nếu khơng tìm điểm R(z,t) thẳng hàng với P(x,y,z), Q(x,y,t) ta phải xét trường hợp Loại sau đây:
Xét hình chữ nhật M(x,y), N(x,y), P(x, y, a, b, c, …), Q(x,y,u,v,w,…) có đáy M, N P, Q
Nếu x trị khẳng định tuyến chứa P, Q với khẳng định P Q (tức là: x trị p Q) y khơng thể trị khả dụng P Q (tức y loại bỏ khỏi danh sách trị khả dụng P Q)
Thí dụ 2:
C5(2,5) C7(2,5) A7(2,5,8) A5(2,5,3) hình chữ nhật – Loại Hai đáy C5(2,5) C7(2,5) Hai A5(2,5,3) A7(2,5,8)
2 trị khẳng định hàng A với ô khẳng định A5 A7 => A5 = A7 =
Suy ra: trị khả dụng A5 A7 = > loại bỏ khỏi A5 A7
Giải thích: Nếu A5 = , A7 = A7 = 5, A2 = 2, C5C7A7A5 hình chữ nhật không giải
(101)Bốn ô B4(6,8) G4(6,8) G6(6,8,4) B6(6,8,9) hợp thành hình chữ nhật loại Hai đỉnh đáy B4(6,8) G4(6,8) Hai đỉnh B6(5,8,9) G6(6,8,4)
8 trị khẳng định cột với ô khẳng định B6 G6 => B6 = G6 =
Suy ra: trị khả dụng B6 G6 B6(6,8,9), G6(6,8,4) => B6(8,9), G6(8,4)
QLSU38 – Cờ tàn có trị khả dụng (BUG)
Tên quy luật để dịch tạm tên tiếng Anh “Bi-value Universal Grave”, viết tắt “BUG”
Trong trước, ta xét số quy luật liên quan đến “Hình chữ nhật nhất” Các quy luật có mục đích để tránh cho khung Sudoku có nhiều lời giải, tức để tránh phải gặp “Hình chữ nhật khơng giải được”
Có trường hợp khác đưa đến trường hợp khung Sudoku không giải có lời giải mà ta xét sau
(102)Thí dụ 1: Xét khung Sudoku sau đây:
Các ô trống tơ vàng khung Sudoku có trị khả dụng Khung Sudoku có lời giải:
a) A1 = 5, A2 = 3, E1 = 3, F2 = 5, E8 = 8, E6 = 5, G6 = 1, B6 = 6, C5 = 1, G5 = 5, D5 = 8, B2 = 1, C2 = 6, D8 = 5, F8 = 3, I5 = 6, I6 =
b) A1 = 3, A2 = 5, E1 = 5, F2 = 3, E6 = 8, E8 = 3, F8 = 5, D5 = 8, D5 = 5, G5 = 1, G6 = 5, C5 = 6, B6 = 1, I5 = 8, I6 = 6, B2 = 6, C2 =
Quy luật “Cờ tàn có trị khả dụng” hay “Quy luật BUG”
Nếu tất trống có trị khả dụng, trừ có trị khả dụng, ta điền một số vào có trị khả dụng Trị số diện lần thành
(103)Trong khung Sudoku trên, tất ô trống có trị khả dụng trừ E8 có trị khả dụng 3, 5
Trong trị khả dụng, xuất lần D8(5,8), E8(3,5,8) F8(3,5) Nếu E8 = hay E8 = khung có lời giải thí dụ
Vì xuất lần, nên theo quy luật BUG E8 =
Suy ra: E8 = => D8 = 8, F8 = 3, E1 = 3, E6 = 8, F2 = 5, D5 = 5, G5 = 1, G6 = 5, C5 = 6, B6 = 1, C2 = 1,B2 = 6, A1 = 5, A2 = 3, I5 = 8, I6 =
Khung Sudoku có lời giải QLSU39 – Hình chữ nhật tiềm ẩn
Hình chữ nhật khơng giải hình tạo Sudoku có tính chất: – nằm hàng, cột, khối
– có cặp trị khả dụng
“Không giải được” có nghĩa hình chữ nhật dẩn tới lời giải khung Sudoku, điều kiện mà người ta phải tránh làm giải Sudoku theo quy ước
(104)Hai hình chữ nhật B2B3D3D2 hợp có trị khả dụng và hình chữ nhật G4G8I8I4 hợp có trị khả dụng hình chữ nhật khơng giải Hình chữ nhật B2B3D3D2 đưa đến lời giải có:
B2 = 1, B3 = 2, D3 = 1, D2 =
và B2 = 2, B3 = 1, D3 = 2, D2 =
Hình chữ nhật hình chữ nhật khơng giải “biến dạng”, trở thành hình chữ nhật không giải bỏ bớt hay trị khả dụng hình chữ nhật Điều kiện để hình chữ nhật khơng trở thành hình chữ nhật khơng giải quy luật mà ta biết:
(105)Hình chữ nhật D2(1,2) D3(1,2) B3(1,2) B2(1,2,5) hình chữ nhật – Loại => B2 =
Hình chữ nhận I4(7,8) I8(7,8) G8(7,8,9) G4(7,8,9) hình chữ nhật – Loại => G4 G8 phải
=> Mọi ô trống hàng G, G4 G8, nhận làm trị khả dụng Một dấu hình chữ nhật khơng giải
Một hình chữ nhật có trị khả dụng nằm hàng, nằm trêm cột cừng nằm khối dấu hình chữ nhật khơng giải
Hình cho thấy dấu hình chữ nhật khơng giải đươc
(106)Hình chữ nhật tiềm ẩn
Trong hình chữ nhật xét, đáy có trị khả dụng
Trong hình chữ nhật tiềm ẩn, có đáy có trị khả dụng Ba cịn lại có chứa trị khả dụng nầy chung với trị khả dụng khác
Thường trường hợp nầy khơng giúp ích việc giải Sudoku
Tuy nhiên, trị khả dụng ô đáy trị khẳng định hàng hay cột hay hai, có hình chữ nhật khơng giải tiềm ẩn khung
Sudoku
(107)Hình chữ nhật B9(1,7) B7(1,7,5) H7(1,7,9) H9(1,7,6,9) có B9 có trị khả dụng Hai trị khả dụng nầy diện ô cịn lại B7(1,7,5), H7(1,7,9) H9(1,7,6,9) H7 trị khẳng định hàng H cột
B9B7H7H9 hình chữ nhật tiềm ẩn Khi H7 = => H9 = B7 = => B9 =
= > Hai trị khả dụng diện hàng B H, cột và khối Đó trường hợp hình chữ nhật khơng giải
Để tránh trường hợp xảy hình chữ nhật khơng giải được, khơng thể trị khả dụng H7 => H7(7,9)
QLSU40 – Loại trị khả dụng phân tích
Rod Hagglund tìm cách hay để loại bớt trị khả dụng thành phần Sudoku thành phần có nhiều trống chứa khơng nhiều trị khả dụng, thuận lợi có nhiều trống có trị khả dụng (Chú thích: Thành phần Sudoku hàng, cột hay khối
Sudoku)
(108)Xét kết hợp trị khả dụng ô B1(5,6,8) B3(4,5,9) hàng B a) B1 = 5, B3 = => khơng chấp nhận B5 khơng cịn trị khả dụng b) B1 = 5, B3 = => không chấp nhận
c) B1 = 5, B3 = => chấp nhận
d) B1 = 6, B3 = => khơng chấp nhận A2 khơng cịn trị khả dụng e) B1 = 6, B3 = => chấp nhận
f) B1 = 6, B3 = => khơng chấp nhận B9 khơng cịn trị khả dụng g) B1 = 8, B3 = => khơng chấp nhận B7 =
h) B1 = 8, B3 = => khơng chấp nhận B5 = 4, B7 = i) B1 = 8, B3 = => chấp nhận
Theo phân tích trên, kết hợp, B3 4, nên loại khỏi danh sách trị khả dụng B3
Một thí dụ khác
(109)Xét kết hợp trị khả dụng ô G2(5,7,9) H2(4,7) cột
a) G2 = 5, H2 = => chấp nhận
b) G2 = 5, H2 = => khơng chấp nhận B2 khơng cịn trị khả dụng c) G2 = 7, H2 = => chấp nhận
d) G2 = 7, H2 = => không chấp nhận
e) G2 = 9, H2 = => khơng chấp nhận C2 khơng cịn trị khả dụng f) G2 = 9, H2 = => khơng chấp nhận G3 khơng cịn trị khả dụng
Theo phân tích trên, kết hợp, H2 khơng thể 7, nên 7có thể loại khỏi danh sách trị khả dụng H2 => H2 =
Chú thích:
1) Ba G2(7,5,9), G3(7,9) B2(7,5) hợp thàng ô Sudoku đặc biệt Đó Cánh-XYZ với trị khả dụng Một G2, G3, B2, phải có => Mọi trống có họ chứa ô G2, G3, B2 nhận làm trị khả dụng
(110)2) Ba ô H2(4,7), C2(4,9) G3(7,9) hợp thàng Sudoku đặc biệt Đó Cánh-Y với ô H2 Một ô C2 hay G3 phải => Mọi trống có họ chứa ô C2, G3 nhận làm trị khả dụng
=> Ơ G2(5,7,9) có họ chứa C2, G3, nên => G2(5,7) QLSU41 – Bàn thêm Hình Chữ nhật tiềm ẩn
Nhắc lại
Hình chữ nhật khơng giải hình tạo Sudoku có tính chất: – ô nằm hàng, cột, khối
– có cặp trị khả dụng
“Khơng giải được” có nghĩa hình chữ nhật dẩn tới lời giải khung Sudoku, điều kiện mà người ta phải tránh làm giải Sudoku theo quy ước
Trong khung Sudoku sau đây:
Hai hình chữ nhật B2B3D3D2 hợp có trị khả dụng và hình chữ nhật G4G8I8I4 hợp có trị khả dụng hình chữ nhật khơng giải Hình chữ nhật B2B3D3D2 đưa đến lời giải có:
(111)Hình chữ nhật hình chữ nhật khơng giải “biến dạng” , trở thành hình chữ nhật khơng giải bỏ bớt hay trị khả dụng hình chữ nhật Điều kiện để hình chữ nhật khơng trở thành hình chữ nhật không giải quy luật mà ta biết:
– Quy luật Hình chữ nhật không giải – Loại – Quy luật Hình chữ nhật khơng giải – Loại – Quy luật Hình chữ nhật khơng giải – Loại – Quy luật Hình chữ nhật khơng giải – Loại Xét khung Sudoku sau đây:
Hình chữ nhật D2(1,2) D3(1,2) B3(1,2) B2(1,2,5) hình chữ nhật – Loại => B2 =
Hình chữ nhận I4(7,8) G4(7,8) I8(7,8,9) G8(7,8,9) hình chữ nhật – Loại => G8 I8 phải
=> Mọi ô trống cột 8, ngồi G8 I8, khơng thể nhận làm trị khả dụng Hình chữ nhật tiềm ẩn
Từ đầu đến giờ, ta xét hình chữ nhật có đỉnh trống mà đáy có cùng cặp trị khả dụng
(112)hình chữ nhật có điền số: ô đáy ô đỉnh Trường hợp nầy, có khơng nằm hàng hay cột cú trị số
Các trường hợp xảy sau:
Trường hợp a) Hình chữ nhật A2A5C5C2 với A2 = 8, A5 = 9, C5(8,7) C2(9,7)
Nếu C2 C5 không => C5 = 8, C2 =
=> A2A5C5C2 hình ảnh hình chữ nhật khơng giải => C2 C5 phải
=> Các ô trống hàng C, khác C2 C5, nhận làm trị khả dụng:
C7(2,5,7) => C7(2,5) C9(4,6,7) => C9(4,6)
Trường hợp b) Hình chữ nhật D9F9F7D7 với D9 = 3, F9 = 5, D7(5,2) F7(3,2)
Nếu D7 = 5, F7 = => D9F9F7D7 hình ảnh hình chữ nhật không giải đươc => D7 F7 phải
(113)Trường hợp c) Hình chữ nhật A2C2C5A5 với A2 = 6, C2 = 4, C5 = A5(4,8) Hình chữ nhật F8D8D4F4 với F8 = 7, D8 = 5, D4 = F4(5,9)
Trong hình chữ nhật A2C2C5A5, A5 khơng thể => A5 =
8 trị khả dụng ô trống hàng A, cột khối => A9(1,8,9) => A9(1,9), H5(2,3,8) => H5(2,3), B6(3,4,8) => B6(3,4)
Trong hình chữ nhật F8D8D4F4, F4 => F4 =