Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.. a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông. b) Chứng minh OA vuông góc BC. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc ch[r]
(1)Đề I Phần chung cho hai ban
Bài Tìm giới hạn sau: 1)
x
x x x
2
2 lim
1
2) x x x
4
lim 12
3)x
x x
3
7
lim
4) x
x x2
3
1 lim
9
Bài
1) Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định nó:
x x khi x
f x x
x khi x
2 5 6
3
( ) 3
2
2) Chứng minh phương trình sau có hai nghiệm : 2x35x2 x Bài
1) Tìm đạo hàm hàm số sau:
a) y x x 21 b) y
x
3
(2 5)
2) Cho hàm số y x
x
1
a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ x = – 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y x
2
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA = a 2 1) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông
2) Chứng minh rằng: (SAC) (SBD) 3) Tính góc SC mp (SAB)
4) Tính góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) II Phần tự chọn
Theo chương trình chuẩn Bài 5a Tính
x
x
x x
3 2
8 lim
11 18
Bài 6a Cho y 1x3 2x2 6x
3
Giải bất phương trình y/0
2 Theo chương trình nâng cao.
Bài 5b Tính
x
x x
x2 x
1
2
lim
12 11
Bài 6b Cho y x x
x
2 3 3
1
Giải bất phương trình y
/0
Đề I Phần chung cho hai ban
Bài Tìm giới hạn sau: 1)
x
x x x
x
2 1 3
lim
2
2) x x x
lim ( 1)
3) x
x x
5
2 11
lim
4) x
x x x
3
1 lim
Bài
1) Cho hàm số f(x) = f x xx khi x
m khi x
3 1
1
( ) 1
2 1
Xác định m để hàm số liên tục R
2) Chứng minh phương trình: (1m x2) 53x 1 ln có nghiệm với m Bài
1) Tìm đạo hàm hàm số: a) y x x
x
2 2
1
b) y 2tan x
(2)2) Cho hàm số y x 4x23 (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Tại điểm có tung độ
b) Vng góc với d: x2y 3
Bài Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đơi vng góc OA = OB = OC = a, I trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI)
(ABC)
2) Chứng minh rằng: BC (AOI) 3) Tính góc AB mặt phẳng (AOI) 4) Tính góc đường thẳng AI OB II Phần tự chọn
1 Theo chương trình chuẩn
Bài 5a Tính n
n2 n2 n2
1
lim( )
1 1
Bài 6a Cho ysin2x2cosx Giải phương trình y/=
2 Theo chương trình nâng cao
Bài 5b Cho y 2x x Chứng minh rằng: y y3 // 1 Bài 6b Cho f( x ) = f x x
x x3
64 60
( ) 3 16 Giải phương trình f x( ) 0 Đề
Bài Tính giới hạn sau: 1)
x x x x
3
lim ( 1)
2) x
x x
1
3 lim
1
3) x
x x
2
2 lim
7
4)
x
x x x
x x x
3
3
3
2
lim
4 13
5) lim
n n
n n
4
2 3.5
Bài Cho hàm số:
x x >2 x
f x
ax x 2
33 2 2
2 ( )
1
Xác định a để hàm số liên tục điểm x =
Bài Chứng minh phương trình x53x45x 2 có ba nghiệm phân biệt khoảng (–2; 5) Bài Tìm đạo hàm hàm số sau:
1) y x x2 x
5
1
2) y x x x
2
( 1)
3) y 2tan x 4) ysin(sin )x
Bài Cho hình chóp S.ABC có ABC vng A, góc B = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) (SBC) vng góc với đáy; SB = a Hạ BH SA (H SA); BK SC (K SC)
1) Chứng minh: SB (ABC) 2) Chứng minh: mp(BHK) SC 3) Chứng minh: BHK vng
4) Tính cosin góc tạo SA (BHK) Bài Cho hàm số f x x x
x
2 3 2
( )
1
(1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y 5x
Bài Cho hàm số ycos 22 x 1) Tính y y ,
2) Tính giá trị biểu thức: A y 16y16y8 Đề Bài Tính giới hạn sau:
1) x x
xlim ( 5 32 23) 2) x
x x
1
3 lim
1
3) x
x x
2 lim
7
4)
x
x x
3
( 3) 27
lim
5)
n n
n n
3
lim
2.4
(3)Bài Cho hàm số:
x x
f x x
ax x
1 1
( ) 1
3
Xác định a để hàm số liên tục điểm x =
Bài Chứng minh phương trình sau có it nghiệm âm: x31000x0,1 0 Bài Tìm đạo hàm hàm số sau:
1) y x x x
2
2
2
2)
x x
y
x
2 2 3
2
3)
x x
y
x x
sin cos
sin cos
4) ysin(cos )x Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA (ABCD) SA = 2a
1) Chứng minh (SAC) ( SBD); (SCD) ( SAD) 2) Tính góc SD (ABCD); SB (SAD) ; SB (SAC) 3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 33x22: 1) Tại điểm M ( –1; –2)
2) Vng góc với đường thẳng d: y 1x
9
Bài Cho hàm số: y x x
2 2 2
2
Chứng minh rằng: y y 1 y2 Đề A PHẦN CHUNG:
Bài 1: Tìm giới hạn sau: a) n n
n
3
2
lim
1
b) x
x x2
1
3 lim
1
Bài 2: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định nó:
x x khi x
f x x
khi x
2 3 2
2
( ) 2
3
Bài 3: Tính đạo hàm hàm số sau:
a) y2sinxcosxtanx b) ysin(3x1) c)ycos(2x1) d) y 2tan 4 x Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD600 SA = SB = SD = a
a) Chứng minh (SAC) vng góc với (ABCD) b) Chứng minh tam giác SAC vng
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) B PHẦN TỰ CHỌN:
1 Theo chương trình chuẩn
Bài 5a: Cho hàm số y f x ( ) 2 x36x1 (1) a) Tínhf '( 5)
b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm Mo(0; 1)
c) Chứng minh phương trình f x( ) 0 có nghiệm nằm khoảng (–1; 1)
2 Theo chương trình Nâng cao
Bài 5b: Cho f x( ) sin3x cosx sinx cos3x
3
Giải phương trình f x'( ) 0
Bài 6b: Cho hàm số f x( ) 2 x32x3 (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y22x2011 b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc đường thẳng : y 1x 2011
4
Đề
A PHẦN CHUNG
Câu 1: Tìm giới hạn sau:
(4)a) x x
x x
2
3
lim
1
b)
x
x x
2 lim
3
c)
x
x x
2 lim
2 7 3
d)
x x
x x
2 lim
2
Câu 2: Cho hàm số
x x khi x
f x x
m khi x
2
2
( ) 2
a) Xét tính liên tục hàm số m =
b) Với giá trị m f(x) liên tục x = ?
Câu 3: Chứng minh phương trình x53x45x 2 0 có ba nghiệm phân biệt khoảng (–2; 5) Câu 4: Tính đạo hàm hàm số sau:
b) y(x21)(x32) c) y
x2
1
( 1)
d) y x x
2 2
e) y x x
4 2
2
3
B.PHẦN TỰ CHỌN:
1 Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân B, AB = BC= a 2, I trung điểm cạnh AC, AM đường cao SAB Trên đường thẳng Ix vng góc với mp(ABC) I, lấy điểm S cho IS = a
a) Chứng minh AC SB, SB (AMC)
b) Xác định góc đường thẳng SB mp(ABC) c) Xác định góc đường thẳng SC mp(AMC)
2 Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên 2a Gọi O tâm đáy ABCD a) Chứng minh (SAC) (SBD), (SBD) (ABCD)
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) từ điểm O đến mp(SBC)
c) Dựng đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD SC Đề
I PHẦN BẮT BUỘC: Câu 1: Tính giới hạn sau:
a)
x x x
2
lim
b)x
x x2
3 lim
9
Câu (1 điểm): Cho hàm số
x khi x
x x
f x
A khi x
2
2 1
2
2
( )
1
Xét tính liên tục hàm số x
2
Câu (1 điểm): Chứng minh phương trình sau có nghiệm [0; 1]: x35x 3 Câu (1,5 điểm): Tính đạo hàm hàm số sau:
a) y(x1)(2x3) b) y cos2 x
2
Câu (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, BAD600, đường cao SO = a a) Gọi K hình chiếu O lên BC Chứng minh rằng: BC (SOK)
b) Tính góc SK mp(ABCD) c) Tính khoảng cách AD SB
II PHẦN TỰ CHỌN
1 Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số: y2x37x1 (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x = b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k = –1
Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác đều, SA (ABC), SA= a M điểm cạnh AB, ACM, hạ SH CM
(5)Câu 6b (1,5 điểm): Cho đồ thị (P): y x x
2
2
(C): y x x x
2
1
2
a) Chứng minh (P) tiếp xúc với (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (P) (C) tiếp điểm
Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a; SA = SB = SC = SD =
2 a
Gọi I J trung điểm BC AD
a) Chứng minh rằng: SO (ABCD)
b) Chứng minh rằng: (SIJ) (ABCD) Xác định góc (SIJ) (SBC) c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
Đề I Phần chung
Bài 1:
1) Tìm giới hạn sau: a)
x
x x
x x
5
5
1 7 11
3 lim
3 2
4
b)
x
x x
5
1 lim
5
c) x
x
x x
2 2
4 lim
2( 6)
2) Cho hàm số : f x x x x
4
( )
2
Tính f (1) Bài 2:
1) Cho hàm số f x x x x ax x
2 1
( )
1
Hãy tìm a để f x( ) liên tục x = 2) Cho hàm số f x x x
x
2 2 3
( )
1
Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f x( ) điểm có hồnh độ Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC tam giác cạnh a, AD vng góc với BC, AD = a khoảng cách từ điểm D đến
đường thẳng BC a Gọi H trung điểm BC, I trung điểm AH
1) Chứng minh đường thẳng BC vng góc với mặt phẳng (ADH) DH = a 2) Chứng minh đường thẳng DI vng góc với mặt phẳng (ABC)
3) Tính khoảng cách AD BC II Phần tự chọn
A Theo chương trình chuẩn
Bài 4a: Tính giới hạn sau: 1)
x
x x
x
2
9
lim
3
2) x
x x2 x
2 lim
5
Bài 5a:
1) Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: 6x33x26x 2 2) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy cạnh bên a Tính chiều cao hình chóp
B Theo chương trình nâng cao
Bài 4b: Tính giới hạn:
xlim x 1 x Bài 5b:
1) Chứng minh phương trình sau ln ln có nghiệm: (m22m2)x33x 3
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc (ABCD) SA = a 3 Gọi (P) mặt phẳng chứa AB vng góc (SCD) Thiết diên cắt (P) hình chóp hình gì? Tính diện tích thiết diện
Đề Bài 1:
1) Tính giới hạn sau: a)
4
2
lim
1
n n
n b)
3
8 lim
2 x
x
x c)
1
3
lim x
x
x
2) Cho y f x ( )x33x22 Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm phân biệt
(6)3) Cho
x x khi x
f x x
a x khi x
2 2
2
( ) 2
5
Tìm a để hàm số liên tục x =
Bài 2: Cho y x21 Giải bất phương trình: y y 2x21
Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, AOB AOC 60 ,0 BOC900 a) Chứng minh ABC tam giác vng
b) Chứng minh OA vng góc BC
c) Gọi I, J trung điểm OA BC Chứng minh IJ đoạn vng góc chung OA BC
Bài 4: Cho y f x ( )x33x22 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f(x) biết tiếp tuyến song song với d: y = 9x + 2011
Bài 5: Cho f x x
x
2 1
( ) Tính f( )n( )x , với n
Đề 10 A PHẦN BẮT BUỘC:
Câu 1: Tính giới hạn sau: a)
x
x x2 x
3
3 lim
2
b) x
x x
3
( 1)
lim
c)
x
x x
2
5 lim
2
Câu 2:
a) Chứng minh phương trình sau có nghiệm: 2x310x 7 b) Xét tính liên tục hàm số
x x
f x x
x , ( ) 1
2 ,
tập xác định Câu 3:
a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thi hàm số y x điểm có hồnh độ x0 1 b) Tính đạo hàm hàm số sau: y x 1x2 y (2 x2)cosx2 sinx x
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) ABCD hình thang vng A, B AB = BC = a, ADC45 ,0 SA a
a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng b) Tính góc (SBC) (ABCD)
c) Tính khoảng cách AD SC B PHẦN TỰ CHỌN:
1 Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: a) Tính
x x2 x
1
lim
2
b) Cho hàm số f x x
8
( ) Chứng minh: f ( 2) f (2) Câu 6a: Cho y x 33x22 Giải bất phương trình: y 3
Câu 7a: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB a AD b AE c , , Gọi I trung điểm đoạn BG Hãy biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a b c, ,
2 Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: a) Tính gần giá trị 4,04 b) Tính vi phân hàm số y x cot2x Câu 6b: Tính
x
x x
x
2
3
lim
3
Câu 7b 3: Cho tứ diện cạnh a Tính khoảng cách hai cạnh đối tứ diện Đề 11
(7)Câu 1:
1) Tính giới hạn sau: a)
x
x
x2 x
1 lim
2
b) x
x x x
x x
3
3
3
lim
6
c) x x x x
2
lim
2)
Chứng minh phương trình x33x 1 có nghiệm phân biệt
Câu 2:
1) Tính đạo hàm hàm số sau:
a) y x x
x
2 3 1
b) y x sinx c)
x x
y x
2 2
1
2) Tính đạo hàm cấp hai hàm số ytanx 3) Tính vi phân ham số y = sinx.cosx
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA(ABCD) SA a 1) Chứng minh : BD SC SBD , ( ) ( SAC)
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) 3) Tính góc SC (ABCD)
II Phần tự chọn
1 Theo chương trình chuẩn
Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 1
x giao điểm với trục hoành
Câu 5a: Cho hàm số f x( ) 3 x60 64 3 5
x x Giải phương trình f ( ) 0x
Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Tính AB EG
2 Theo chương trình nâng cao
Câu 4b: Tính vi phân đạo hàm cấp hai hàm số ysin2 cos2x x
Câu 5b: Cho
3
2
3
x x
y x Với giá trị x y x( ) 2
Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Xác định đường vng góc chung tính
khoảng cách hai đường thẳng chéo BD BC Đề 12
Bài 1: Tính giới hạn sau:
a)
n n
n
1
3
lim
4
b) x
x x2
3
1 lim
9
Bài 2: Chứng minh phương trình x33x 1 có nghiệm thuộc 2;2
Bài 3: Chứng minh hàm số sau khơng có đạo hàm x 3
x x
f x x
x =
2 9
3
( ) 3
1
Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau:
a) y(2x1) 2x x b) yx2.cosx
Bài 5: Cho hàm số y x
x
1
có đồ thị (H)
a) Viết phương trình tiếp tuyến (H) A(2; 3)
b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 1x
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a, SA vng góc với (ABCD) Gọi I,
K hình chiếu vng góc A lên SB, SD
a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK)
(8)c) Tính góc SC (SAB) d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD)
Đề 13
Bài 1: Tính giới hạn sau:
a) x
x x
x
2
2
lim
1
b) x
x x
x
3
1 lim
1
Bài 2: Chứng minh phương trình x32mx2 x m 0 ln có nghiệm với m
Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục x =
x x x x 1
f x x a
x a x = 1
3 2 2
( ) 3
3
Bài 4: Tính đạo hàm hàm số:
a) y x
x x2 x4
2 3 1
b) y x x
x x
cos
sin
Bài 5: Cho đường cong (C): y x 33x22 Viết phương trình tiếp tuyến (C):
a) Tại điểm có hồnh độ
b) Biết tiếp tuyến vng góc đường thẳng y 1x
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, OB a
3
, SO(ABCD), SB a a) Chứng minh: SAC vng SC vng góc với BD
b) Chứng minh: (SAD) ( SAB SCB), ( ) ( SCD) c) Tính khoảng cách SA BD
Đề 14
Bài 1: Tính giới hạn sau:
a)
x x x x
2
lim
b) x x x x
2
lim
Bài 2: Chứng minh phương trình 2x310x 7 có hai nghiệm
Bài 3: Tìm m để hàm số sau liên tục x = –1
x x
f x x
mx x
2 1
1
( ) 1
2
Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau:
a) y x
x
3
2
b) y x x x
2
( 1).sin
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y
x
1
: a) Tại điểm có tung độ
2
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 4x3
Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có ABC cạnh a, SA (ABC SA), 3a
Gọi I trung điểm BC
a) Chứng minh: (SBC) vng góc (SAI) b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) c) Tính góc (SBC) (ABC)
Đề 15
(9)a) x
x x
2
lim
b) x
x x
x
2 5 3
lim
2
Bài 2: Chứng minh phương trình x4x33x2 x có nghiệm thuộc ( 1;1)
Bài 3: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định nó:
x x x
f x x
x
2 3 2
2
( ) 2
3
Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau:
a) y x x
x x
sin cos
sin cos
b) y(2x3).cos(2x3)
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y x x
x
2
2
1
a) Tại giao điểm đồ thị trục tung
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y x 2011
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, BAD600, SO (ABCD), SB SD a 13
4
Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE a) Chứng minh: (SOF) vng góc (SBC)
b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC)
c) Gọi ( ) mặt phẳng qua AD vuông góc (SBC) Xác định thiết diện hình chóp bị cắt () Tính góc () (ABCD)
Đề 16
I Phần chung Bài 1:
1) Tìm giới hạn sau:
a) x
x x
x x
5
5
1 7 11
3 lim
3 2
4
b)
x
x x
5
1 lim
5
c) x
x
x x
2 2
4 lim
2( 6)
2) Cho hàm số : f x x x x
4
( )
2
Tính f (1)
Bài 2:
1) Cho hàm số f x x x x
ax x
2 1
( )
1
Hãy tìm a để f x( ) liên tục x =
2) Cho hàm số f x x x
x
2 2 3
( )
1
Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f x( ) điểm có
hồnh độ
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC tam giác cạnh a, AD vng góc với BC, AD = a
khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC a Gọi H trung điểm BC, I trung điểm AH 1) Chứng minh đường thẳng BC vng góc với mặt phẳng (ADH) DH = a
2) Chứng minh đường thẳng DI vng góc với mặt phẳng (ABC) 3) Tính khoảng cách AD BC
II Phần tự chọn
A Theo chương trình chuẩn
Bài 4a: Tính giới hạn sau:
1) x
x x
x
2
9
lim
3
2) x
x x2 x
2
lim
5
Bài 5a:
1) Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: x6 33x26x 2
(10)2) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy cạnh bên a Tính chiều cao hình chóp
B Theo chương trình nâng cao
Bài 4b: Tính giới hạn:
xlim x 1 x
Bài 5b:
1) Chứng minh phương trình sau ln ln có nghiệm: (m22m2)x33x 3
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc (ABCD) SA = a 3 Gọi (P) mặt phẳng chứa AB vng góc (SCD) Thiết diên cắt (P) hình chóp hình gì? Tính diện tích thiết diện
Đề 17
I Phần chung Bài 1:
1) Tính giới hạn sau: a) x
x x
x
2
2 lim
2
b)
n n
n n
2
1
3 3.5
lim
4.5 5.3
2) Tính đạo hàm hàm số: y x x
x x
cos sin
Bài 2:
1) Cho hàm số:yx3x2 x (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 6x y 2011 0
2) Tìm a để hàm số: f x x x x
ax a x
2
5
( )
3
liên tục x =
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB), (SAC) vng góc với (ABC), tam giác ABC vuông
cân C AC = a, SA = x
a) Xác định tính góc SB (ABC), SB (SAC)
b) Chứng minh (SAC)(SBC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC) (O trung điểm AB) d) Xác định đường vng góc chung SB AC
II Phần tự chọn
A Theo chương trình Chuẩn
Bài 4a:
1) Cho f x( )x2sin(x2) Tìm f (2) 2) Viết thêm số vào hai số
2và để cấp số cộng có số hạng Tính tổng số hạng cấp số cộng
Bài 5a:
1) CMR phương trình sau có nghiệm: 2x310x7
2) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 300 Tính chiều cao hình
chóp
B Theo chương trình Nâng cao
Bài 4b:
1) Cho f x( ) sin2 x2sinx5 Giải phương trình f( ) 0x 2) Cho số a, b, c số hạng liên tiếp cấp số nhân
Chứng minh rằng: a( 2b b2)( 2c2) ( ab bc )2
Bài 5b:
1) Chứng minh với m phương trình sau ln có nghiệm: m( 21)x4x31 2) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC, có cạnh đáy a, cạnh bên a
2 Tính góc mặt phẳng (ABC) (ABC) khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC)
(11)I PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu 1: (1,5 điểm) Tìm giới hạn hàm số sau:
a) x
x x
x
2
5
lim
2
b) x
x x
3
3 lim
1
c) x
x x
x
2 2 1
lim
Câu 2: (1 điểm) Cho hàm số
x khi x
f x x
A khi x
2 25
5
( ) 5
5
Tìm A để hàm số cho liên tục x =
Câu 3: (1,5 điểm) Tìm đạo hàm hàm số sau:
a) y x x
x
2
3
1
b) y x.cos3x
Câu 4: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B có SA vng góc với mặt phẳng
(ABC)
a) Chứng minh: BC (SAB)
b) Giả sử SA = a AB = a, tính góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC)
c) Gọi AM đường cao SAB, N điểm thuộc cạnh SC Chứng minh: (AMN) (SBC)
II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chọn hai phần
Phần A: (theo chương trình chuẩn)
Câu 5a: (1 điểm) Chứng minh phương trình x53x45x 2 có ba nghiệm nằm khoảng (–2; 5)
Câu 6a: (2 điểm) Cho hàm số y x x x
2
4 5
3
có đồ thị (C)
a) Tìm x cho y 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x =
Phần B: (theo chương trình nâng cao)
Câu 5b: (1 điểm) Chứng minh phương trình 2x36x 1 có nhát hai nghiệm
Câu 6b: (2 điểm) Cho hàm số y4x36x21 có đồ thị (C) a) Tìm x cho y 24
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua điểm A(–1; –9) Đề19
A Phần chung: (8 điểm)
Câu 1: (2 điểm) Tìm giới hạn sau:
1) x
x x
x x
2
2
2
lim
2) x x x x x
2
lim 2
Câu II: (1 điểm) Xét tính liên tục hàm số
x khi x
f x x
x khi x
2
4 2
( ) 2 2
2 20
điểm x =
Câu III: (2 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau:
1) f x x
x2 x ( )
1
2) f x x
2 ( ) sin(tan( 1))
Câu IV: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA(ABCD),
a
SA
2
1) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (SBC) 2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC
3) Tính góc mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD)
B Phần riêng: (2 điểm)
Câu Va: Dành cho học sinh học chương trình Chuẩn
Cho hàm số: y x 33x22x2
(12)1) Giải bất phương trình y 2
2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
x y 50 0
Câu Vb: Dành cho học sinh học chương trình Nâng cao
1) Tìm số hạng cấp số nhân gồm số hạng, biết u3 3 u5 27
2) Tìm a để phương trình f ( ) 0x , biết f x( )a.cosx2sinx3x1
Đề 20 A Phần chung: (7 điểm)
Câu I: (2 điểm) Tính giới hạn sau:
a)
n n
n n
3 2.4
lim
4
b) n n n
2
lim 2
c) x
x x
x x
2
3 10
lim
5
d) x
x x
1
3
lim
1
Câu II: (2 điểm)
a) Cho hàm số
x x x
f x x
a x khi x
2 3 18
3
3
Tìm a để hàm số liên tục x 3
b) Chứng minh phương trình x33x24x 7 có nghiệm khoảng (–4; 0)
Câu III: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SA = SB = SC = SD =
2a Gọi M, N trung điểm BC SO Kẻ OP vng góc với SA a) CMR: SO (ABCD), SA (PBD)
b) CMR: MN AD
c) Tính góc SA mp (ABCD)
d) CMR: vec tơ BD SC MN, , đồng phẳng
B Phần riêng (3 điểm)
Câu IVa: Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn
a) Cho hàm số f x( )x33x4 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M(1; 2) b) Tìm đạo hàm hàm số ysin2x
Câu IVb: Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao
a) Cho hàm số f x( )x33x4 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M(1; 0)
(13)ĐÁP ÁN ĐỀ Bài
1)
x
x x x
2
2 lim
1
= x x
x x x
x
1
( 2)( 1)
lim lim( 2)
( 1)
2)
x x x
4
lim 12
= x x x x
2
4 12
lim
3)
x
x x
3
7
lim
Ta có:
xlim (3 x 3) 0, lim (7x3 x 1) 20 0; x 3 x
nên I
4)
x
x x2
3
1 lim
9
= x x
x
x x x x x
3
3 1
lim lim
24
(3 )(3 )( 2) ( 3)( 2)
Bài
1) Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định nó: f x x x x khi x
x khi x
2 5 6
3
( ) 3
2
Hàm số liên tục với x
Tại x = 3, ta có: + f (3) 7 +
xlim ( ) lim (23 f x x3 x 1) + x x x
x x
f x x
x
3 3
( 2)( 3)
lim ( ) lim lim ( 2)
( 3)
Hàm số không liên tục x =
Vậy hàm số liên tục khoảng ( ;3), (3; )
2) Chứng minh phương trình sau có hai nghiệm : 2x35x2 x Xét hàm số: f x( ) 2 x35x2 x 1 Hàm số f liên tục R
Ta có: + f
f(0) 0(1) 1 PT f(x) = có nghiệm c1(0;1) + f
f(2)(3) 13 0 0 PT f(x) = có nghiệm c2(2;3) Mà c1c2 nên PT f(x) = có nghiệm
Bài
1) a) y x x y x x
2
2
2
1 '
1
b) y y
x x
3 ' 12
(2 5) (2 5)
2) y x x
1
y x x
2 ( 1)
( 1)
a) Với x = –2 ta có: y = –3 y ( 2) 2 PTTT: y 3 2(x2) y2x1 b) d: y x
2
có hệ số góc k 1
2
TT có hệ số góc k 1
2
Gọi ( ; )x y0 0 toạ độ tiếp điểm Ta có y x
x
0 2
0
1
( )
2 ( 1)
x x00 13
(14)+ Với x0 1 y0 0 PTTT: y 1x
2
+ Với x0 3 y02 PTTT: y 1x
2
Bài
1) SA (ABCD) SA AB, SA AD Các tam giác SAB, SAD vuông A
BC SA, BC AB BC SB SBC vuông B CD SA, CD AD CD SD SCD vuông D 2) BD AC, BD SA BD (SAC) (SBD) (SAC) 3) BC (SAB) SC SAB,( )BSC
SAB vuông A SB2SA2AB2 3a2 SB = a 3 SBC vuông B BSC BC
SB
1 tan
3
BSC600
4) Gọi O tâm hình vng ABCD
Ta có: (SBD) ( ABCD)BD, SO BD, AO BD (SBD ABCD),( )SOA SAO vuông A SOA SA
AO
tan 2
Bài 5a
x
x I
x x
2 2
8 lim
11 18
Ta có:
x x x
2
lim ( 11 18)
,
x
x x x x khi x
x x x x khi x
x
2
2
11 18 ( 2)( 9) 0, (1)
11 18 ( 2)( 9) 0, (2)
lim ( 8) 12 (*)
Từ (1) (*)
x
x I
x x
2
1 lim2 2
11 18
Từ (2) (*) x
x I
x x
2
2 lim2 2 11 18
Bài 6a y 1x3 2x2 6x 18 y' x2 4x
3
BPT y' 0 x24x 6 10 x 10
Bài 5b
x x
x x x x x x
x2 x x2 x x x
1
2 ( 1) 11
lim lim
12 11 ( 12 11)
= x
x
x x x
1
( 1)
lim
( 11)
Bài 6b y x x y x x
x x
2
2
3 '
1 ( 1)
BPT y x x x
2 2
0
( 1)
x x
x
2 2 0
1
x x 02
ĐÁP ÁN ĐỀ Bài 1:
1)
x x x
x
x x x x
x
x x x x
x x x
x x
2
2 2
1
1 1 3
1
1
lim lim lim
2 2 2
2)
x x x x x x x
3
2
5
lim lim
S
A
B C
(15)3)
x x
x
5
2 11 lim
5
Ta có:
x
x x
x
x x
x
x x
5
5
lim
2 11 lim 11 lim
5
5
4)
x x x
x x x
x x x x x x x
3
2
0 3
1
lim lim lim
1 1 1
Bài 2:
1) Khi x 1 ta có f x x x x x
3
2
( )
1
f(x) liên tục x 1 Khi x = 1, ta có:
x x
f m
f x x2 x
1
(1)
lim ( ) lim( 1)
f(x) liên tục x =
x
f f x m m
1
(1) lim ( )
Vậy: f(x) liên tục R m =
2) Xét hàm số f x( ) (1 m x2) 53x1 f(x) liên tục R
Ta có: f( 1) m2 1 0, m f; (0) 1 0, m f(0) (1) 0,f m Phương trình có nghiệm c (0;1) , m
Bài 3:
1) a) y x x y x x
x x
2
2 2
2 ' 2
1 ( 1)
b)
x
y x y
x
2 tan
1 2tan '
1 2tan
2) (C): y x 4x23 y 4x32x
a) Với
x
y x x x
x
4
3 3
1
Với x 0 k y(0) 0 PTTT y: 3
Với x 1 k y( 1) 2 PTTT y: 2(x 1) y 2x Với x 1 k y(1) 2 PTTT y: 2(x 1) y 2x1
b) d: x2y 3 có hệ số góc kd
2
Tiếp tuyến có hệ số góc k 2
Gọi ( ; )x y0 0 toạ độ tiếp điểm Ta có: y x( ) 20 4x032x0 2 x0 1 (y0 3) PTTT: y2(x 1) y 2x1
Bài 4:
1) OA OB, OA OC OA BC (1)
OBC cân O, I trung điểm BC OI BC (2) Từ (1) (2) BC (OAI) (ABC) (OAI)
2) Từ câu 1) BC (OAI)
3) BC (OAI) AB AOI,( )BAI BI BC a
2
ABC AI BC a a
2 2
ABI vuông I BAI AI BAI AB
0
cos 30
2
AB AOI,( )300 A
B
C O
I K
(16)4) Gọi K trung điểm OC IK // OB AI OB, AI IK, AIK AOK vuông O AK OA OK a
2
2 2
4
AI a
2
4
IK a
2
4
AIK vuông K AIK IK AI
1 cos
6
Bài 5a: n n
n2 n2 n2 n2
1 1
lim lim (1 ( 1))
1 1
=
n n n n n
n n n 2 1
( 1) ( 1)
1 ( 1)
lim lim lim
2
2
1 2( 1) 2
Bài 6a: ysin2x2cosx y 2cos2x2sinx
PT y' 0 2cos2x2sinx 0 2sin2xsinx 1
x x sin 1 sin x k x k x k 2 2
Bài 5b: y x x y x y y y
x x x x x x
2
2 2
1
2 ' " "
2 (2 )
Bài 6b: f x x x x3
64 60
( ) 3 16 f x
x4 x2
192 60
( )
PT f x x x x
x x
x x
4
4
192 60 20 64
( ) 4
0 Đề Bài 1: 1)
x x x x x x x x x
3
2
1 1
lim ( 1) lim
2) x x x lim
Ta có: x x x x x x 1
lim ( 1)
lim (3 1)
1
x x x lim
3)
x x x
x x x x
x x x x
2 2
2 ( 2) 7 3
lim lim lim
2
7 ( 2) 2 2
4)
x x
x x x x x
x x x x x
3 2
3 2
3
2 11
lim lim
17
4 13 4
5) n n n
n n n
4 1
5
4
lim lim
3
2 3.5 2
(17)Bài 2:
x x >2 x
f x
ax x 2
33 2 2
2 ( )
1
Ta có: f(2) 2a 1
4
x f x x ax a
1
lim ( ) lim
4
x x x
x x
f x
x x x x
3
2
2 2 3
3 2 3( 2)
lim ( ) lim lim
2 ( 2) (3 2) 2 (3 2) 4
Hàm số liên tục x =
x x
f f x f x
2
(2) lim ( ) lim ( )
2a 1 a
4
Bài 3: Xét hàm số f x( )x53x45x2 f liên tục R
Ta có: f(0) 2, (1) 1, (2)f f 8, (4) 16f f(0) (1) 0f PT f(x) = có nghiệm c1(0;1)
f(1) (2) 0f PT f(x) = có nghiệm c2(1;2) f(2) (4) 0f PT f(x) = có nghiệm c3(2;4) PT f(x) = có nghiệm khoảng (–2; 5)
Bài 4:
1) y x y x x
x x x x
2
2 2
5
1 ( 1)
2)
x x
y x x x y
x x
2
2
4
( 1)
2
3) y x y x
x
2 2tan
1 2tan '
1 2tan
4) ysin(sin )x y' cos cos(sin )x x Bài 5:
1)
SAB ABC
SBC ABC SB ABC
SAB SBC SB
2) CA AB, CA SB CA (SAB) CA BH Mặt khác: BH SA BH (SAC) BH SC Mà BK SC SC (BHK)
3) Từ câu 2), BH (SAC) BH HK BHK vuông H 4) Vì SC (BHK) nên KH hình chiếu SA (BHK)
SA BHK,( )SA KH, SHK Trong ABC, có: AC AB tanB a 3; BC2 AB2AC2 a23a2 4a2 Trong SBC, có: SC2SB2BC2a24a2 5a2SC a 5; SK SB a
SC
2 5
5
Trong SAB, có: SH SB a SA
2 2
2
Trong BHK, có: HK SH SK a
2
2 2
10
HK a 30
10
SA BHK BHK HK
SH
60 15
cos ,( ) cos
10
Bài 6: f x x x x
2 3 2
( )
1
x x
f x
x
2
2
( )
( 1)
S
B
A
C H
K
0
60
(18)Tiếp tuyến song song với d: y 5x nên tiếp tuyến có hệ số góc k 5 Gọi ( ; )x y0 0 toạ độ tiếp điểm Ta có: f x( )0 5 x x
x
2
0
2
2
5
( 1)
x x00
0
Với x0 0 y02 PTTT: y 5x
Với x0 2 y0 12 PTTT: y 5x 22 Bài 7: ycos 22 x = cos4x
2
1) y 2sin 4x y" 8cos4xy'" 32sin4 x 2) A y 16y16y 8 8cos4x
Đề Bài 1:
1)
x x x x x x x
3
2
2
lim ( 3) lim
2)
x
x x
1
3 lim
1
Ta có: x x
x x
x x
1
lim ( 1) lim (3 1)
1
x
x x
1
3 lim
1
3)
x x x
x x x x
x x
2 2
2 (2 )
lim lim lim
2
4)
x x x
x x x x x x
x x
3
2
0 0
( 3) 27 27
4) lim lim lim( 27) 27
5)
n n
n n
n n n
3 1
4
3 1
lim lim
2
2.4 1
2
Bài 2:
x x
f x x
ax x
1 1
( ) 1
3
Ta có: f(1) 3 a
xlim ( ) lim 31 f x x1 ax3a
x x x
x f x
x x
1 1
1 1
lim ( ) lim lim
1 1
Hàm số liên tục x =
x x
f f x f x
1
(1) lim ( ) lim ( )
3a a
2
Bài 3: Xét hàm số f x( )x31000x0,1 f liên tục R
f f f
f( 1)(0) 0,1 0 1001 0,1 0 ( 1) (0) 0 PT f x( ) 0 có nghiệm c ( 1;0) Bài 4:
1) y x x y x x x x
x x x
2 2
2
2 ' 16 34 17
2 (2 4) 2( 2)
(19)2) y x x y x
x x x x
2
2
2 '
2 (2 1) 2 3
3) y x x y x y x
x x 2 x
sin cos tan ' 1 tan
sin cos cos
4
4) ysin(cos )x y' sin cos(cos )x x Bài 5:
1) BD AC, BD SA BD (SAC) (SBD) (SAC) CD AD, CD SA CD (SAD) (DCS) (SAD) 2) Tìm góc SD mặt phẳng (ABCD)
SA (ABCD) SD ABCD,( )SDA
SA a
SDA
AD a
2
tan 2
Tìm góc SB mặt phẳng (SAD)
AB (ABCD) SB SAD,( )BSA
AB a
BSA
SA a
1 tan
2
Tìm góc SB mặt phẳng (SAC) BO (SAC) SB SAC,( )BSO
a
OB
2
, SO 2a
2
BSO OB
OS
1 tan
3
3) Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Trong SAD, vẽ đường cao AH Ta có: AH SD, AH CD AH (SCD) d(A,(SCD)) = AH a
AH AH2 SA2 AD2 a2 a2
1 1 1
5
d A SCD( ,( )) 5a
5
Tính khoảng cách từ B đến (SAC)
BO (SAC) d(B,(SAC)) = BO = a 2
2
Bài 6: ( ):C y x 33x22 y 3x26x
1) Tại điểm M(–1; –2) ta có: y ( 1) 9 PTTT: y9x7 2) Tiếp tuyến vng góc với d: y 1x
9
Tiếp tuyến có hệ số góc k 9 Gọi ( ; )x y0 0 toạ độ tiếp điểm
Ta có: y x( ) 90 x x x x x x
2 0
0 0
0 6 9 2 3 3
Với x0 1 y0 2 PTTT: y9x7
Với x0 3 y02 PTTT: y9x25
Bài 7: y x x y x y
2 2 2
1
2
y y x x x x x y
2 2
2
2 1 ( 1)
2
Đề Bài 1:
S
A B
C D
O H
(20)a) n n n n n
n
3 2 3
3
3
2
2
2
lim lim
1
1 4
b)
x x x
x x x
x2 x x x x x
1 1
3 3 1
lim lim lim
8
1 ( 1)( 1) ( 1)
Bài 2:
x x khi x
f x x
khi x
2 3 2
2
( ) 2
3
Khi x 2 ta có f x x x x x
( 1)( 2)
( )
2
f(x) liên tục x Tại x 2 ta có:
x x x
f f x x f f x
2 2
( 2) 3, lim ( ) lim ( 1) ( 2) lim ( )
f(x) không liên tục x = –2
Vậy hàm số f(x) liên tục khoảng ( ; 2), ( 2; ) Bài 3:
a) y2sinxcosxtanx y' 2cosxsinx 1 tan2x b) ysin(3x 1) y' 3cos(3x1)
c) ycos(2x 1) y 2sin(2x1)
d) y x y x
x x
x
2
8 tan
1 2tan '
2 2tan 2tan
cos
Bài 4:
a) Vẽ SH (ABCD) Vì SA = SB = SC = a nên HA = HB = HD H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
Mặt khác ABD có AB = AD BAD600 nên ABD Do H trọng tâm tam giác ABD nên H AO H AC Như vậy, SH SAC SAC ABCD
SH ((ABCD) ) ( ) ( )
b) Ta có ABD cạnh a nên có AO a AC a
2
Tam giác SAC có SA = a, AC = a 3
Trong ABC, ta có: AH AO AC a AH a
2
2
3 3
Tam giác SHA vuông H có SH SA AH a a a
2
2 2 2
3
a a a a
HC 2AC HC2 SC2 HC2 SH2 2 2a2
3 3 3
SA2SC2 a22a2 3a2 AC2 tam giác SCA vuông S c) SH (ABCD) d S ABCD( ,( )) SH a
3
Bài 5a: f x( ) 2 x36x1 f x( ) 6 x26 a) f ( 5) 144
b) Tại điểm Mo(0; 1) ta có: f (0) 6 PTTT: y 6x
c) Hàm số f(x) liên tục R f( 1) 5, (1) f 3 f( 1) (1) 0f phương trình f x( ) 0 có nghiệm nằm khoảng (–1; 1)
S
A
B C
D O
(21)Bài 5b: f x( ) sin3x cosx sinx cos3x
3
f x( ) cos3 xsinx 3(cosxsin3 )x PT f x( ) 0 cos3x sin3x sinx cosx 1cos3x 3sin3x 1sinx 3cosx
2 2
x x x k x k
x k x k
4
2
sin sin 7 7
6 2 2
6 12
Bài 6b: f x( ) 2 x32x 3 f x( ) 6 x22
a) Tiếp tuyến song song với d: y22x2011 Tiếp tuyến có hệ số góc k 22
Gọi ( ; )x y0 0 toạ độ tiếp điểm Ta có f x( ) 220 x x x x
2 0
0
0 2 22 4 2
Với x0 2 y0 9 PTTT y: 22x35
Với x0 2 y0 15PTTT y: 22x29 b) Tiếp tuyến vng góc với : y 1x 2011
4
Tiếp tuyến có hệ số góc k 4 Gọi ( ; )x y1 1 toạ độ tiếp điểm Ta có f x( ) 41 x x x
x
2
1
1 2 1 1
Với x1 1 y1 3 PTTT y: 4x7
Với x1 1 y1 3 PTTT y: 4x1
Đề Câu 1:
a) x x x x x
x x x x x
2
3 ( 1)(3 1)
lim lim lim (3 1)
1 1 1
b) x x
x x x
2
lim lim ( 3)
3 3
c) x x
x x x
2
lim lim
2 7 3
d)
x x x
x x x x
x x x x x x
2
1 3
2 2 3 2
lim lim lim
2 2
x x
x
1
2
lim
1
Câu 2:
x x khi x
f x x
m khi x
2
2
( ) 2
Ta có tập xác định hàm số D = R a) Khi m = ta có
x x khi x x khi x
f x x
khi x khi x
( 1)( 2), 2 1, 2
( ) 2
3 ,
3 ,
f(x) liên tục x Tại x = ta có: f(2) = 3; f x x
xlim ( )2 xlim (2 1) f(x) liên tục x =
(22)Vậy với m = hàm số liên tục tập xác định b)
x x khi x x khi x
f x x
m khi x
m khi x
2
2 2
( ) 2
2
Tại x = ta có: f(2) = m , f x
xlim ( ) 32 Hàm số f(x) liên tục x = f f x m
x
(2) lim ( )
Câu 3: Xét hàm số f x( )x53x45x2 f liên tục R Ta có: f(0) 2, (1) 1, (2)f f 8, (4) 16f f(0) (1) 0f PT f(x) = có nghiệm c1(0;1)
f(1) (2) 0f PT f(x) = có nghiệm c2(1;2) f(2) (4) 0f PT f(x) = có nghiệm c3(2;4) PT f(x) = có nghiệm khoảng (–2; 5)
Câu 4:
a) y' 5 x43x24x b)
x y
x2
4 '
1
c) y x x2 x
1 '
2
d)
x x
y
x x
3
2
2
56
'
3
Câu 5a:
a) AC BI, AC SI AC SB SB AM, SB AC SB (AMC) b) SI (ABC) SB ABC,( )SBI
AC = 2a BI = a = SI SBI vuông cân SBI 450 c) SB (AMC) SC AMC,( )SCM
Tính SB = SC = a 2= BC SBC M trung điểm SB SCM300
Câu 5b:
a) Vì S.ABCD chóp tứ giác nên SO ABCD AC BD( )
SO BD BD SAC
AC BD ( )
(SAC) (SBD) SO (ABCD
SO (SBD) )
(SBD) (ABCD)
b) Tính d S ABCD( ,( ))
SO (ABCD) d S ABCD( ,( ))SO Xét tam giác SOB có OB a SB a SO SA OB a SO a
2
2 2
2, 2 14
2 2
Tính d O SBC( ,( ))
Lấy M trung điểm BC OM BC, SM BC BC (SOM) (SBC) (SOM) Trong SOM, vẽ OH SM OH (SBC) d O SBC( ,( ))OH
Tính OH: SOM có
a
SO OM OS a a
OH OH
a OH OM OS OM OS
OM
2 2
2
2 2 2
14
1 1 210
2
30 30
2
c) Tính d BD SC( , )
Trong SOC, vẽ OK SC Ta có BD (SAC) BD OK OK đường vng góc chung BD SC
S
A B
C M D
O
H K S
A
B
C I
(23)d BD SC( , )OK Tính OK:
SOC có
a
SO OC OS a a
OK OK
a OK OC OS OC OS
OC
2 2
2
2 2 2
14
1 1 7
2
16
2
Đề Câu 1:
a)
x x x x x x x
x
x
2
2
2
5
lim lim lim
5
5 1 1
b)
x x
x
x x2
3
3 1
lim lim
3
Câu 2:
x khi x
x x
f x
A khi x
2
2 1
2
2
( )
1
=
khi x x
A khi x
1
1
1
Tại x
2
ta có: f A
2
, x 1x
1
lim
1
f x( ) liên tục x
2
x
f A
x
1
1 lim 2
2
Câu 3: Xét hàm số f x( )x35x3 f x( ) liên tục R
f(0) 3, (1) 3f f(0) (1) 0f PT cho có nghiệm thuộc khoảng (0;1) Câu 4:
a) y(x1)(2x 3) 2x2 x y 4x1
b)
x x
x x
y y
x x
2
2
2sin cos sin
2
1 cos '
2
4 cos cos
2
Câu 5:
a) AB = AD = a, BAD600 BAD BD a BC OK, BC SO BC (SOK)
b) Tính góc SK mp(ABCD)
SO (ABCD) SK ABCD,( )SKO BOC có OB a,OC a
2
a OK OK2 OB2 OC2
1 1
4
SKO SO
OK
4 tan
3
c) Tính khoảng cách AD SB AD // BC AD // (SBC) d AD SB( , )d A SBC( ,( ))
Vẽ OF SK OF (SBC)
Vẽ AH // OF, H CF AH (SBC) d AD SB( , )d A SBC( ,( ))AH CAH có OF đường trung bình nên AH = 2.OF
SOK có OK = a 3
4 , OS = a
a OF OF2 OS2 OK2
1 1 57
19
AH 2OF 57a
19
S
A B
C D
O K
F H
0
60
(24)Câu 6a: y2x37x1 y' 6 x27
a) Với x0 2 y0 3, (2) 17y PTTT y: 17x31
b) Gọi ( ; )x y0 0 toạ độ tiếp điểm Ta có: y x x x x
2 0
0
0
( ) 1
Với x0 1 y0 6 PTTT y: x
Với x0 1 y0 4 PTTT y: x Câu 7a:
a) Tìm quỹ tích điểm H M di động AB
SA (ABC) AH hình chiều SH (ABC) Mà CH SH nên CH AH
AC cố định, AHC900 H nằm đường trịn đường kính AC nằm mp(ABC)
Mặt khác: + Khi M A H A
+ Khi M B H E (E trung điểm BC)
Vậy quĩ tích điểm H cung AHE đường tròn đường kính AC nằm mp(ABC)
b) Tính SK AH theo a và
AHC vuông H nên AH = AC.sinACM a sin
SH2 SA2AH2a2a2sin2SH a sin 2 SAH vng A có SA SK SH SK SA SK a
SH
2
2
1 sin
Câu 6b: (P): y f x x x
2 ( )
2
(C): y g x x x x
2
( )
2
a) f x x x f x x
2
( ) ( )
2
; g x x x x g x x x
2
( ) ( )
2
f x( )g x( ) x
f(0)g(0) 1 đồ thị hai hàm số có tiếp tuyến chung điểm M(0;1)hay tiếp xúc M(0;1) b) Phương trình tiếp tuyến chung (P) (C) tiếp điểm M(0;1): y x 1
Câu 7b:
a) Vì SA = SC nên SO AC, SB = SD nên SO BD SO (ABCD)
b) I, J, O thẳng hàng SO (ABCD) SO (ABCD) (SIJ) (ABCD)
BC IJ, BC SI BC (SIJ) (SBC) (SIJ) (SBC SIJ),( )900
c) Vẽ OH SI OH (SBC) d O SBC( ,( ))OH SOB có SB a 5,OB a
2
SO SB OB a
2
2 2
4
SOI có
OH2 SO2 OI2
1
OH a
2
2
16
OH a
4
Đề Bài 1:
1) a)
x x
x x
x x
x x
x x
5
2
5
5
1 11
1 7 11
4
3
lim lim
3 2
4
S
A
B
C M H
E K
S
A B
C D
O I
J
H
a
(25)b)
x x x
x x
x x x x
5 5
1 1
lim lim lim
5 ( 5) 1 2 1 2
c)
x x x
x x x x
x x x
x x
2
2 2
4 (2 )(2 ) ( 2)
lim lim lim
2( 2)( 3) 2( 3)
2( 6)
2) f x x x x f x x x f
x
4
3
5 1
( ) ( ) (1)
2 2 2 2 2
Bài 2:
1) f x x x x ax x
2 1
( )
1
f(1) a
x f x x x x x f x a f
2
1 1
lim ( ) lim ( ) 2, lim ( ) (1)
f x( ) liên tục x =
xlim ( ) lim ( )1 f x x1 f x f(1) a a
2) f x x x x
2 2 3
( )
1
x x
f x
x
2
2
( )
( 1)
Vớix0 1 y0 1, f (1)
2
PTTT: y 1x
2
Bài 3:
1) CMR: BC (ADH) DH = a
ABC đều, H trung điểm BC nên AH BC, AD BC BC (ADH) BC DH DH = d(D, BC) = a 2) CMR: DI (ABC)
AD = a, DH = a DAH cân D, mặt khác I trung điểm AH nên DI AH
BC (ADH) BC DI DI (ABC)
3) Tính khoảng cách AD BC
Trong ADH vẽ đường cao HK tức HK AD (1) Mặt khác BC (ADH) nên BC HK (2) Từ (1) (2) ta suy d AD BC( , )HK
Xét DIA vuông I ta có:
a a a
DI AD AI a
2 2
2 2
2
Xét DAH ta có: S = 1AH DI
2 = AD HK
1 .
2
a a
AH DI a
d AD BC HK
AD a
3
2 2
( , )
4
Bài 4a:
1)
x x x
x x
x x x x
x x
x
2 12 12
9
lim lim lim
3
3 2
2)
x
x x2 x
2
lim
5
Vì
x
x x
x
x
x x
x x
x x x
2
2
2
2
lim
lim ( 6) lim
5
5 0,
Bài 5a:
1) Xét hàm số f x( ) 6 x33x26x2 f x( ) liên tục R
I
H
A B
C D
K
(26) f( 1) 1, (0) 2f f( 1) (0) 0f PT f x( ) 0 có nghiệm c1 ( 1;0) f(0) 2, (1) f 1 f(0) (1) 0f PT f x( ) 0 có nghiệm c2(0;1) f(1) 1, (2) 26f f(1) (2) 0f PT f x( ) 0 có nghiệm c3(1;2)
Vì c1c2 c3 PT f x( ) 0 phương trình bậc ba nên phương trình có ba nghiệm thực 2)
Bài 4b:
x x x x x x
1
lim lim
1
Bài 5b:
1) Xét hàm số f(x) = f x( ) ( m22m2)x33x3 f x( ) liên tục R Có g(m) = m22m 2 m12 1 0, m R
f(0) 3, (1)f m22m 2 f(0) (1) 0f PT f x( ) 0 có nghiệm c (0;1) 2)
Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH AH SD (1) SA (ABCD) CD SA
CD AD CD (SAD) CD AH (2) Từ (1) (2) AH (SCD)
(ABH) (SCD) (P) (ABH)
Vì AB//CD AB // (SCD), (P) AB nên (P) (SCD) = HI HI // CD thiết diện hình thang AHIB
Hơn AB (SAD) AB HA Vậy thiết diện hình thang vuông AHIB SD SA2AD2 3a2a2 2a
SAD có SA SH SD SH SA a SH a
SD a
2
2 . 3
2
a
HI SH HI CD a
CD SD a
3
3 3
2
2 4
(3)
a AH AH2 SA2 AD2 a2 a2 a2
1 1 1
2
3
(4)
Từ (3) (4) ta có: SAHIB AB HI AH a a a a
2
( ) .
2 16
Đề Bài 1:
1) a) n n n n
n
n
4
2
2
2
1
2
lim lim
1
1 1
b)
x x x
x x x x x x
x x
3
2
2 2
8 ( 2)( 4)
lim lim lim( 4)
2 ( 2)
c)
1
3
lim x
x
x Ta có
x
x x
x
x
x x
x x
1
1
lim ( 1)
3
1 lim
1
lim (3 2)
2) Xét hàm số y f x ( )x33x22 f(x) liên tục R
f(–1) = –2, f(0) =2 f(–1).f(0) < phương trình f(x) = có nghiệm c1 1;0 f(1) = phương trình f(x) = có nghiệm x = c1
f(2) = –2, f(3) = f 2 3f 0 nên phương trình có nghiệm c2 2;3
I
O A
B
D C
S
(27)Mà ba nghiệm c c1 2, ,1 phân biệt nên phương trình cho có ba nghiệm thực phân biệt 3)
x x khi x
f x x
a x khi x
2 2
2
( ) 2
5
Tìm A để hàm số liên tục x=2
x x x
x x
f x x
x
2
2 2
2
lim ( ) lim lim( 1)
2
, f(2) = 5a – Để hàm số liên tục x = 5a a 9
5
Bài 2: Xéty x21 y x
x2
'
1
BPT y y 2x21 2x2 x x ; 1;
2
Bài 3:
a) CMR: ABC vuông
OA = OB = OC = a, AOB AOC 600 nên AOB AOC đều cạnh a (1)
Có BOC900 BOC vng O BC a 2 (2) ABC có AB AC a a a a BC
2
2 2 2 2
tam giác ABC vng A b) CM: OA vng góc BC
J trung điểm BC, ABC vuông cân A nên AJ BC
OBC vuông cân O nên OJ BC BC OAJ OA BC c) Từ câu b) ta có IJ BC
ABC OBC c c c( ) AJ OJ
(3)
Từ (3) ta có tam giác JOA cân J, IA = IO (gt) nên IJ OA (4) Từ (3) (4) ta có IJ đoạn vng góc chung OA BC
Bài 4: y f x ( )x33x22 y 3x26x
Tiếp tuyến // với d: y9x2011 Tiếp tuyến có hệ số góc k =
Gọi ( ; )x y0 0 toạ độ tiếp điểm x x x x x
x
2 0
0 0
0 6 9 2 3 3
Với x0 1 y0 2 PTTT y: 9x7
Với x0 3 y0 2 PTTT y: 9x25 Bài 5: f x x
x
2 1
( ) = x x
1
f x
x2
1 ( )
f x
x3
1.2 ( )
, f x
x
4 ( ) ( 1)
Dự đoán n n n
n f
x
( )
1 !
( 1)
(*)
Thật vậy, (*) với n =
Giả sử (*) với n = k (k 2), tức có k k
k
k
f x
x
( ) ( 1)
1 ! ( ) ( 1)
Vì
k
k k k k
k k
k k x k
f x f x
x x
( 1) ( ) 2
(2 2)
!( 1) ( 1)!
( ) ( ) ( 1) ( 1)
(*) với n = k +
Vậy f n n nn x
( )
1 !
( 1)
Đề 10 Câu 1:
x x
x x x
x
3
2
0
( 1)
lim lim 3
a)
x x
x
x
x2 x
3
3 1
lim lim
1
2
b)
O
I
B
C J
A
(28)c)
x x x
x x x x
x x x x
2
2 2 2
5 2
lim lim lim
2 2 5 3 5 3
Câu 2:
a) Xét hàm số: f(x) = 2x310x7 f(x) liên tục R
f(–1) = 1, f(0) = –7 f 1 0f 0 nên phương trình có nghiệm thuộc c1 1;0 f(0) = –7, f(3) = 17 f(0).f(3) < phương trình có nghiệm c2 0;3
c1c2 nên phương trình cho có hai nghiệm thực b)
x x
f x x
x , ( ) 1
2 ,
Tập xác định D = R \ {1}
Với x 1;1 hàm số f x x x
3 ( )
1
xác định nên liên tục Xét x = D nên hàm số không liên tục x =
Xét x = –1
x x
x
f x f
x
2
3
lim lim 1
1
nên hàm số không liên tục x = –1 Câu 3:
a) y x y 3x2
Với x0 1 y0 1, ( 1) 3y PTTT: y3x2 b) Tính đạo hàm
y x x y x x y x
x x
2
2
2
1
1 ' '
1
y (2 x2)cosx2 sinx x y' cosx x(x22)sinx2sinx2 cosx x y' x2sinx Câu 4:
a) CM mặt bên tam giác vuông
SA AB
SA ABCD SA AD
SAB SAD vuông A
BC AB, BC SA BC (SAB) BC SB SBC vuông B
SB SA AB a a a
SC SB BC a a a
2 2 2
2 2 223 2 234 hạ CE AD CDE vuông cân E nên
EC = ED = AB = a CD a 2
AD AE ED BC ED a
SD2 SA2 AD2 a2
2
SC2CD2 4a22a2 6a2 SD2 nên tam giác SDC vng C b) Tính góc (SBC) (ABCD)
(SBC) ( ABCD)BC SB BC AB BC, , SBC ABCD SBA SBA SA AB
( ),( ) tan
c) Tính khoảng cách AD SC
Ta có SC(SBC BC AD), d AD SC( , )d A SBC( ,( ))
Hạ AH SB AH AB SA a a AH a
AH AB SA AB SA a
2
2
2 2 2
1 1 6
9
3
Vậy d AD SC , a
3
(29)a) Tính
x x
x I
x
x2 x2
2
1 1
lim lim
2
4
Ta có
x x
x
x I
x x
2 2
2
lim ( 1)
lim ( 4)
2
b) f x f x f f f f
x x2
8
( ) ( ) , ( 2) 2, (2) 2 ( 2) (2)
Câu 6a: y x 33x22 y 3x26x
BPT: y' 3 3x26x 3 x 1 2;1 2 Câu 7a:
AI 1(AB AG) AB AB AD AE
2
a b c a b c
1 2 1
2 2
Câu 5b: a) Tính gần giá trị 4,04
Đặt f(x) = x, ta có f x x
1 '
2
, theo cơng thức tính gần ta có với: x0 4,x0,04 f(4,04) f(4 0,04) f (4).0,04
Tức ta có 4,04 0,04 0,04 0,01 2,01 4,04 2,01
2
b) Tính vi phân y x x y x x x y x x x x x
2 2
2 2cot
.cot ' cot ' cot cot (1 cot )
sin
dy(cot2x2 cotx x2 cot )x 3x dx
Câu 6b: Tính
x
x x
x
2
3
lim
3
Ta có x
x x
x x
x x
x
x
x x
2
2
3
lim ( 1)
3
lim lim
3
3
Câu 7b:
Tứ diện ABCD đều, nên ta tính khoảng cách hai cạnh đối diện AB CD
a a
NA NB AM AMN
a a a
MN AN AM
a d AB CD
0
2 2
2 2
3 , 90
2
3
4 4
2
,
2
(30)
Đề 11
Câu 1:
1) a)
x x
x x x
x x
x x
2
2
1
1
lim lim
2
2 1
b)
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
3 2
3 2
2 2
3 ( 2)( 1) 15
lim lim lim
11
6 ( 2)( 3)
c)
x x x
x x
x x x
x x x x x
x x
2
2
2
3
lim lim lim
1
3 1
x
x x x2
3 1
lim
2
1
2) Xét hàm số f x( )x33x1 f(x) liên tục R
f(–2) = –1, f(0) = phuơng trình f(x) = có nghiệm c1 2;0
f(0) = 1, f(1) = –1 phương trình f(x) = có nghiệm c2 0;1
f(1) = –1, f(2) = phương trình f(x) = có nghiệm c3 1;2
Phương trình cho phương trình bậc ba, mà c c c1 3, , phân biệt nên phương trình cho có ba nghiệm thực
Câu 2:
1) a) y x x y x x
x x2 x x
2 3 1 ' 3 1 3
2
x x x
x x x2 x x x x x2
2 3 3 3
2
b) y x sinx y' cosx c)
x x x x
y y
x x
2
2
2 ' 2
1 1
2) ytanx y' tan2xy" 2tan tan x 2x 3) y = sinx cosx y sin2x dy cos2xdx
2
Câu 3:
a) Chứng minh : BD SC SBD ,( ) ( SAC)
ABCD hình vng nên BD AC, BD SA (SA (ABCD)) BD (SAC) BD SC
(SBD) chứa BD (SAC) nên (SBD) (SAC) b) Tính d(A,(SBD))
(31)31
AO a
2
, SA = a 6 gt SAO vuông A nên
AH2 SA2 AO2 a2 a2 a2
1 1 13
6
a a
AH2 AH 78
13 13
c) Tính góc SC (ABCD)
Dế thấy SA (ABCD) nên hình chiếu SC (ABCD) AC góc SC (ABCD) SCA Vậy ta có:
SA a
SCA SCA
AC a
0
tan 60
2
Câu 4a: y x
x
1
y
x2
1
Các giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành A1;0 , 1;0 B
Tại A(–1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k12 nên PTTT: y = 2x +2
Tại B(1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k22 nên PTTT: y = 2x –
Câu 5a: f x x
x x3 60 64
( ) 3 5 f x
x2 x4
60 128 ( )
PT
x x
f x x x
x
x x x
2
4
2
2
4
60 128
( ) 3 60 128 16 3
8
Câu 6a:
Đặt AB e AD e AE e 1, 2, 3
AB EG e EF EH 1 e e e1 1 2 e e e e1 1 1 2 a2
Cách khác:
AB EG EF EG EF EG cos EF EG, a a 2.cos450a2
Câu 4b: y = sin2x.cos2x
y = sin4x y' 2cos4x y" 8sin 4x
2
Câu 5b: y x x x y x x
3
2
2 '
3
y 2 x2 x 2 x x( 1) xx 01
Câu 6b:
Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm ABC
O
A B
D C
S
H
A B
C
D E
F G
H
C D
A’ B’
C’ D’
O G
M
(32)Vì D.ABC hình chóp đều, có cạnh bên có độ dài a , nên BD’ đường cao chóp
BD (ABC)
BD GM
Mặt khác ABC nên GM BC
GM đoạn vng góc chung BD’ B’C
Tính độ dài GM = 1AC 1a a
3 3
Đề 12
Bài 1: Tính giới hạn:
a)
n
n n n n
n n
n
1
1 1
1
1
3
9
4
3 9.3 4.4
lim lim lim
3
4 1
4
b)
x x
x
x2 x x
3
1 1
lim lim
24
9 ( 3)
Bài 2: Chứng minh phương trình x33x 1 có nghiệm thuộc 2;2 Xem đề 11
Bài 3: Chứng minh hàm số sau đạo hàm x 3
x x
f x x
x =
2 9
3
( ) 3
1
Khi x 3 f x( ) x
x x
f x f x
x x
3
( ) (3)
lim lim
3
mà x x
x x
x x
3
4
lim ; lim
3
nên hàm số khơng có đạo hàm
x = –3
Chú ý: Có thể chứng minh hàm số f(x) không liên tục x = –3 f(x) khơng có đạo hàm x = –3
Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau:
a) y x x x y'=2 x x x x y x x
x x x x
2
2
2
1
(2 1) 2 (2 1) '
2
b) yx2.cosx y' cosx x x 2sinx
Bài 5: y x
x
1
y x 2
( 1)
a) Tại A(2; 3) ky(2) 2 PTTT y: 2x b) Vì tiếp tuyến song song với đường thằng y 1x
8
nên hệ số góc tiếp tuyến k
Gọi x y( ; ) toạ độ tiếp điểm 0 0 y x k x xx
x
2 0
0 2
0
3
2
( ) ( 1) 16 5
8 ( 1)
Với x0 y0 PTTT y: 1x 3
2
Với x0 y0 PTTT y: 1x 5
2
(33)Bài 6:
a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông
SA (ABCD) nên SA BC, AB BC (gt)
BC (SAB) BC SB SBC vuông B
SA (ABCD) SA CD, CD AD (gt)
CD (SAD) CD SD SCD vuông D
SA (ABCD) nên SA AB, SA AD
tam giác SAB SAD vuông A b) Chứng minh: (SAC) vng góc (AIK)
SA (ABCD) SA BD, BD AC BD (SAC) SAB SAD vuông cân A, AK SA AI SB
nên I K trung điểm AB AD IK//BD mà BD (SAC) nên IK (SAC) (AIK) (SAC) c) Tính góc SC (SAB)
CB AB (từ gt),CB SA (SA (ABCD)) nên CB (SAB) hình chiếu SC (SAB) SB SC SAB,( ) SC SB, CSB
Tam giác SAB vuông cân có AB = SA = a SB a CSB BC
SB
2 tan
d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD)
Hạ AH SO , AH BD BD (SAC) AH (SBD)
AH a
AH2 SA2 AO2 a2 a2 a2
1 1
3
a
d A SBD,
3
Đề 13
Bài 1:
a)
x x
x x = x
x x
2
1
2 5
lim lim
1
1
b) x
x x
x
3
1 lim
1
Ta có x
x x
x
x x
x
x
x x
3
1
1
lim ( 1)
1
1 lim
1
lim ( 1)
Bài 2: Xét hàm số f x( )x32mx2 x m f(x) liên tục R
f m( ) m3, (0)f m f(0) ( )f m m4
Nếu m = phuơng trình có nghiệm x =
Nếu m 0 f(0) ( ) 0,f m m phương trình ln có nhát nghiệm thuộc (0; m) (m; 0)
Vậy phương trình x32mx2 x m ln có nghiệm
Bài 3:
x x x x 1
f x x a
x a x = 1
3 2 2
( ) 3
3
Đề 14
Bài 1:
O I K
A
B
D C
S
H
(34)a)
x x x x =x x x x x x x x x x x
2
2
1 3
lim lim lim
=
x x x x2
1
lim ( )
b)
x x x
x x
x x x
x x x
x x
2
2
2 1
1
lim lim lim
4
1
4 4 2
Bài 2: Xét hàm số f x( ) 2 x310x7 f(x) liên tục R
f( 1) 1, (0) f 7 f( 1) (0) 0 f PT f x( ) 0 có nghiệm c1 ( 1;0)
f(0) 7, (3) 17f f(0) (3) 0f PT f x( ) 0 có nghiệm c2(0;3)
c1c2 nên phương trình cho có hai nghiệm thực
Bài 3:
x x
f x x
mx x
2 1
1
( ) 1
2
Ta có: f( 1) m
x x x
x
f x x
x
2
1 1
1
lim ( ) lim lim ( 1)
1
xlim ( )1 f x xlim (1 mx 2) m
Hàm số f x( )liên tục x = –1 m 2 m
Bài 4:
a) y x
x
3
2
x
x x
x y'=
x x x x x
2
3
3(2 5) 13
2
2 (2 5) 2 5 (2 5) 2 5
b) y(x23x1).sinx y' (2x3)sinx(x23x1)cosx
Bài 5: y
x
1
y x
x1 ( 0)2
a) Với y0
ta có x
x0
1 2
2
; y (2)
PTTT: y 1x 1
4
b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y 4x 3nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –4
Gọi x y( ; ) toạ độ tiếp 0 0 y x x
x x
0
0 2
0 0
1
1 2
( ) 4 1
2
Với x0 y0 PTTT y: 4x
2
Với x0 y0 PTTT y: 4x
2
Bài 6:
a) Chứng minh: (SBC) vng góc (SAI)
SA (ABC) SA BC, AI BC BC (SAI)
(SBC) (SAI)
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
Vẽ AH SI (1) BC (SAI) BC AH (2) Từ (1) (2) AH (SBC) nên d( A,(SBC)) = AH
A B
S
(35) AH a AH2 AI2 SA2 a2 a2 a2
1 1 4 16
4
9
c) Tính góc (SBC) (ABC)
(SBC) ( ABC)BC AI BC, , SI BC
(SBC ABC),( )SIA
SIA SA a SIA
IA a
3
tan 60
3
Đề 15
Bài 1:
a)
x x
2 x = x
x
x
3
3
lim lim
2
2 3
b)
x x
x x x x
x
x
2 5 3
lim lim
2
2 1
Bài 2: Xét hàm số f x( )x4x33x2 x 1 f x( ) liên tục R
f( 1) 3, (1) 1f f( 1) (1) 0f nên PT f x( ) 0 có nghiệm thuộc (–1; 1)
Bài 3:
x x x
f x x
x
2 3 2
2
( ) 2
3
Tập xác định: D = R
Tại x f x x x x
x
( 1)( 2)
2 ( )
2
f x( ) liên tục x –2 Tại x = –2 ta có
x x
f f x x f
2
( 2) 3, lim ( ) lim ( 1) ( 2)
f x( ) không liên tục x = –2
Bài 4:
a) y x x
x x
sin cos
sin cos
y x x x x x x x x
x x
(cos sin )(sin cos ) (sin cos )(cos sin )
(sin cos )
= x x
2
(sin cos )
b) y(2x3).cos(2x 3) y' cos(2 x 3) (2x3)sin(2x3)
Bài 5: y x x
x
2
2
1
x x
y
x
2
2
( 1)
a) Giao điểm đồ thị với trục tung (0; 1); y(0) 1 PTTT: y x 1
b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y x 2011 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = Gọi x y( ; ) toạ độ tiếp điểm 0 0
x x x
y x x x x
x
2
2
0 0
0 2 0
0
2
( ) 1 0
1
Với x0 0 y0 1 PTTT: y x 1
(36) Với x0 2 y0 5 PTTT: y x 3
Bài 6:
a) Chứng minh: (SOF) vng góc (SBC)
CBD đều, E trung điểm BC nên DE BC
BED có OF đường trung bình nên OF//DE,
DE BC OF BC (1)
SO (ABCD) SO BC (2) Từ (1) (2) BC (SOF)
Mà BC (SBC) nên (SOF) (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC)
Vẽ OH SF; (SOF) (SBC),
SOF SBC SF OH SF ( ) ( ) ,
OH (SBC) d O SBC( ,( )) OH
OF = a a
2 ,
a SO2 SB2 OB2 SO
4
a OH OH2 SO2 OF2
1 1
8
Trong mặt phẳng (ACH), vẽ AK// OH với K CH AK (SBC) d A SBC( ,( ))AK AK 2OH AK 3a d A SBC( ,( )) 3a
4
c) AD( ), ( ) ( SBC)( ) ( AKD)
Xác định thiết diện
Dễ thấy K( ), K(SBC) K () (SBC)
Mặt khác AD // BC, AD(SBC) nên ( ) ( SBC) K , BC Gọi B' SB C, ' SC BC // BC BC // AD
Vậy thiết diện hình chóp S.ABCD bị cắt bời () hình thang AB’C’D
SO (ABCD), OF hình chiếu SF (ABCD) nên SF BC SF AD (*)
SF OH OH AK , SF AK (**)
Từ (*) (**) ta có SF ()
SF (), SO (ABCD) ( ),( ABCD)( ,SF SO)OSF
a OF OSF
a SO
3 tan
3 3
4
( ),( ABCD)300
Đề 16
Bài 1:
1) a)
x x
x x
x x
x x
x x
5
2
5
5
1 11
1 7 11
4
3
lim lim
3 2
4
b)
x x x
x x
x x x x
5 5
1 1
lim lim lim
5 ( 5) 1 2 1 2
B' C'
K
F E O
D
C
A B
S
(37)c)
x x x
x x x x
x x x
x x
2
2 2
4 (2 )(2 ) ( 2)
lim lim lim
2( 2)( 3) 2( 3)
2( 6)
2) f x x x x f x x x f
x
4
3
5 1
( ) ( ) (1)
2 2 2 2 2
Bài 2:
1) f x x x x
ax x
2 1
( )
1
f(1) a
x f x x x x x f x a f
2
1 1
lim ( ) lim ( ) 2, lim ( ) (1)
f x( ) liên tục x =
xlim ( ) lim ( )1 f x x1 f x f(1) a a
2) f x x x
x
2 2 3
( )
1
x x
f x
x
2
2
( )
( 1)
Với x0 1 y0 1, f (1)
PTTT: y 1x
2
Bài 3:
1) CMR: BC (ADH) DH = a
ABC đều, H trung điểm BC nên AH BC, AD BC
BC (ADH) BC DH DH = d(D, BC) = a 2) CMR: DI (ABC)
AD = a, DH = a DAH cân D, mặt khác I trung điểm AH nên DI AH
BC (ADH) BC DI
DI (ABC)
3) Tính khoảng cách AD BC
Trong ADH vẽ đường cao HK tức HK AD (1)
Mặt khác BC (ADH) nên BC HK (2)
Từ (1) (2) ta suy d AD BC( , )HK
Xét DIA vng I ta có:
a a a
DI AD AI a
2 2
2 2
2
Xét DAH ta có: S = 1AH DI
2 = AD HK
1 .
2
a a
AH DI a
d AD BC HK
AD a
3
2 2
( , )
4
Bài 4a:
1)
x x x
x x
x x x x
x x
x
2 12 12
9
lim lim lim
3
3 2
2) x
x x2 x
2
lim
5
Vì
x
x x
x
x
x x
x x
x x x
2
2
2
2
lim
lim ( 6) lim
5
5 0,
Bài 5a:
1) Xét hàm số f x( ) 6 x33x26x2 f x( ) liên tục R
I
H
A B
C D
K
(38) f( 1) 1, (0) 2f f( 1) (0) 0f PT f x( ) 0 có nghiệm c1 ( 1;0)
f(0) 2, (1) f 1 f(0) (1) 0f PT f x( ) 0 có nghiệm c2(0;1)
f(1) 1, (2) 26f f(1) (2) 0f PT f x( ) 0 có nghiệm c3(1;2)
Vì c1c2 c3 PT f x( ) 0 phương trình bậc ba nên phương trình có ba nghiệm thực 2)
Bài 4b:
x x x x x x
1
lim lim
1
Bài 5b:
1) Xét hàm số f(x) = f x( ) ( m22m2)x33x3 f x( ) liên tục R
Có g(m) = m22m 2 m12 1 0, m R
f(0) 3, (1)f m22m 2 f(0) (1) 0f PT f x( ) 0 có nghiệm c (0;1) 2)
Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH AH SD (1)
SA (ABCD) CD SA
CD AD CD (SAD) CD AH (2)
Từ (1) (2) AH (SCD)
(ABH) (SCD) (P) (ABH)
Vì AB//CD AB // (SCD), (P) AB nên (P) (SCD) = HI
HI // CD thiết diện hình thang AHIB Hơn AB (SAD) AB HA
Vậy thiết diện hình thang vng AHIB
SD SA2AD2 3a2a2 2a
SAD có SA SH SD SH SA a SH a
SD a
2
2 . 3
2
a
HI SH HI CD a
CD SD a
3
3 3
2
2 4
(3)
a AH AH2 SA2 AD2 a2 a2 a2
1 1 1
2
3
(4)
Từ (3) (4) ta có: SAHIB AB HI AH a a a a
2
( ) .
2 16
Đề 17
Bài 1:
1) a)
x x x
x x x x x
x x
2
1 1
2 ( 1)( 2)
lim lim lim
2 2( 1) 2
b)
n
n n n n
n n n n n
2
1
3
9 15
5
3 3.5 9.3 15.5 15
lim lim lim
4
4.5 5.3 4.5 15.3 3
4 15
2) y x x
x x
cos sin
y x x x x x x x x x x x
x x x x
(1 sin )(sin ) (cos 1)(cos ) (sin cos ) (sin cos )
'
(sin ) (sin )
Bài 2:
1) yx3x2 x y 3x22x1
I
O A
B
D C
S
(39) (d): 6x y 2011 0 y 6x2011
Vì tiếp tuyến song song với (d) nên tiếp tuyến có hệ số góc k =
Gọi x y( ; ) toạ độ tiếp điểm 0 0
x
x x x x
x
0
2
0 0
0
1
3 5
3
Với x0 1 y0 2 PTTT y: 6x8
Với x0 y0 230 PTTT y: x 230 y 6x 10
3 27 27
2) f x x x x
ax a x
2
5
( )
3
xlim ( ) 152 f x f(2) x f x x ax a a
2
lim ( ) lim ( )
f x( ) liên tục x = a7 15 a 15
Bài 3:
a) Xác định tính góc SB (ABC), SB (SAC)
(SAB) (ABC) SAC) (ABC) nên SA (ABC) AB hình chiếu SB (ABC)
SB ABC SB AB SBA SBA SA x
AB a
,( ) , tan
2
BC AC, BC SA nên BC (SAC) SC hình chiếu SB (SAC)
SB SAC SB SC BSC BSC BC a
SC a2 x2
,( ) , tan
b) Chứng minh (SAC)(SBC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Theo chứng minh ta có BC (SAC) (SBC) (SAC)
Hạ AH SC AH BC (do BC (SAC) Vậy AH (SBC) d A SBC( ,( ))AH
AH ax
AH2 SA2 AC2 x2 a2 x2 a2
1
c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) (O trung điểm AB)
Gọi K trung điểm BH OK // AH OK (SBC) OK = AH
d O SBC OK ax
x2 a2
( ,( )
2
S
A
C
B O
K H
S
A
C
B Q
P
d) Xác định đường vng góc chung SB AC
Dựng mặt phẳng () qua AC vng góc với SB P CP SB AP SB
Trong tam giác PAC hạ PQ AC PQ SB SB ( PAC) Như PQ đường vng góc chung SB AC
Bài 4a:
(40)2) Giả sử công sai cấp số cộng cần tìm d ta có cấp số cộng là:
1, d,1 ,d ,d 4d 4d 15 d 15
2 2 2 2 2
Vậy cấp số cộng 19 34 49, , , ,8 8
Bài 5a:
1) Xét hàm số f x( ) 2 x310x7 f x( ) liên tục R
f( 1) 1, (0) f 7 f( 1) (0) 0f nên PT f x( ) 0 có nghiệm c1(–1; 0)
f(3) 10, (4) 17f f(3) (4) 0f nên PT f x( ) 0 có nghiệm c2 3;4
mà c1c2 nên phương trình cho có nghiệm thực 2)
Hình chóp S.ABCD chóp tứ giác nên chân đường cao SO hình chóp O = AC BD
Đáy hình vng cạnh a nên AC = a OC a
2
SOC vng O, có OC a ,SCO 300
SO OC.tanSCO a a
2
Bài 4b:
1) f x( ) sin2 x2sinx5 f x( ) 2cos2 x2cosx PT f ( ) 0x 2cos2xcosx 1
x x cos
1 cos
2
x k
x k
2
2 2
3
2) Cho số a, b, c số hạng liên tiếp cấp số nhân
Gọi q cơng bội cấp số nhân ta có baq c aq,
a( 2b b2)( 2c2) ( a2a q a q2 2)( 2a q2 4)a q4 2(1q2 2) (1)
ab bc( )2 ( a aq aq aq 2) a q4 2(1q2 2) (2)
Từ (1) (2) ta suy a( 2b b2)( 2c2) ( ab bc )2
Bài 5b:
1) Xét hàm số f x( ) ( m21)x4x31 f x( ) liên tục R với m
f( 1) m21, (0)f 1 f( 1) (0) 0f nên PT f x( ) 0 có it nghiệm c1 ( 1;0)
f(0) 1, (2) 16f m2 7 f(0) (2) 0f nên PT f x( ) 0 có ít nghiệm c2(0;2)
mà c1c2 phương trình cho có hai nghiệm thực 2)
Tính góc mặt phẳng (ABC) (ABC) khoảng cách từ A đến (ABC)
AA B' AA C c g c' A B A C' '
Gọi K trung điểm BC AK BC A’K BC
BC (AA’K ) (A’BC) (AA’K),
O D
C
A B
S
K
C'
A C
B
A'
(41)A BC AA K A K AH A K AH A BC
( ' ) ( ' ) ' , ' ( ' )
d A A BC( ,( ))AH
AH a
AH2 A A2 AB2 a2 a2 a2
1 1
5 '
d A A BC( ,( ' )) AH a
5
AK BC A’K BC (A BC ABC ),( ) A KA
Trong AKA ta có
a AA A KA
AK a
1 tan
3
2
A KA 300
Đề 18
Câu Nội dung Điểm
1.a (0.5đ)
x
x x
x
2
( 2)( 3)
lim
2
0.25
= –1 0.25
1.b (0.5đ)
x
x x
x
3
( 3)
lim
3
0.25
= 0.25
1.c (0.5đ) x
x
x x x
2
2 1
lim
0.25
= –1 0.25
2 (1đ)
f(5) = A 0.25
x x x
x
f x x
x
2
5 5
25
lim ( ) lim lim( 5) 10
5
l 0.25
Hàm số liên tục x =
xlim ( )5f x f(5) 0.25
A = 10 0.25
3.a (0.75đ)
y x x x x x x
x
2 2
2
(3 1) ( 1) (3 1)( 1)
( 1)
0.25
y x x x x x
x
2
2
(6 2)( 1) (3 1)2
( 1)
0.25
y x x
x
2
2
2
( 1)
0.25
3.b (0.75đ)
y x .cos3x x(cos3 )x 0.25
y x x x x
x
1 cos3 sin3 (3 )
2
0.25
y x x x
x
1 cos3 sin3
0.25
4.a (1đ)
BC AB (ABC vuông B) 0.25
BC SA (SA (ABC)) 0.25
BC (SAB) 0.50
4.b AB hình chiếu SB (ABC) 0.25
(42)(1đ) SB ABC,( )SB AB, SBA 0.25
SBA SA a SBA
AB a
3
tan 3 60 0.25
Kết luận: SB ABC,( )600 0.25
4.c (1đ)
AM SB (AM đường cao tam giác SAB) 0.25
AM BC (BC (SAB)) 0.25
AM (SBC) 0.25
(AMN) (SBC) 0.25
5a (1đ)
Đặt f x( )x53x45x2 f(x) liên tục đoạn [–2; 5] 0.25
f(–2) = –92, f(1) = 1, f(2) = –8, f(5) = 1273 0.25
f(–2).f(1) =–92 < 0, f(1).f(2) = –8 < 0, f(2).f(5) = –10184 < 0.25
Kết luận 0.25
6a.a (1đ)
y 4x2 x 0.25
y 0 4x2 x 0.25
Lập bảng xét dấu 0.25
x ; 1;
0.25
5b (1đ)
Đặt f x( ) 2 x36x1 f(x) liên tục đoạn [–2; 1] 0.25
f(–2) = –3, f(–1) = 5, f(1) = –3 0.25
f(–2).f(–1) = –15 < 0, f(–1).f(1) = –15 < 0.25
Kết luận 0.25
6b.b (1đ)
PTTT d: y y 0 f x( ).(0 x x 0) y 4x03620 1 12x0212x0(x x 0) 0.25
A(–1; –9) d 9 4 x03620 1 12x2012x0( 1 x0) 0.25
x x x x
x
3 0
0 0
0
5
8 12 10 4
1
0.25
Kết luận: d y1: 15x 21
4
, d y2: 24x15 0.25
Đề 19
Câu 1:
1)
x x x
x x x x x
x x x
x x
2
2
1 1
2 ( 1)(2 1) 1
lim lim lim
( 1)(4 )
4
x x
x
x
x x x x
x
x x x x
x
x x x x
2
2
2
4
2) lim 2 lim
2 2
1
1
lim
2 2
1
Câu II:
x khi x
f x x
x khi x
2
4 2
( ) 2 2
2 20
(43)
x x x
x x x
f x f x
x
2 2
(2 )(2 ) 2
lim ( ) 16, lim ( ) lim
2
xlim (2 x 2) x 2 16
Vậy hàm số liên tục x =
Câu III:
1) f x x f x x x
x x x x
2
2 2
3 5
( ) ( )
1 ( 1)
2) f x( )sin(tan(x41))2
x x
f x x x x
x x
3
3 4
2 4
4 sin2 tan( 1)
1
( ) sin tan( 1) cos tan( 1)
cos ( 1) cos ( 1)
Câu IV:
1) CMR: (SAB) (SBC)
SA (ABCD) SA BC, BC AB
BC (SAB), BC (SBC) (SAB) (SBC) 2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC
Trong tam giác SAC có AH SC
d A SC AH
AH2 SA2 OA2 a2 a2 a2
1 1 2
,
3
a
AH
4
3) Tính góc mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD)
Vì ABCD hình vng nên AO BD, SO BD
(SBD) ( ABCD)BD((SBD ABCD),( ))SOA
Tam giác SOA vuông A
a SA
SOA SBD ABCD
OA a
0
6
tan ( ),( ) 60
2
Câu Va: yx33x22x2 y3x26x2 1) BPT y' 2 3x26x 0 x ( ;0] [2; )
2) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: x y 50 0 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –1 Gọi x y( ; ) toạ độ tiếp điểm Ta có: x0 0 026x0 2 x022x0 1 x0 1
Khi y0 2 phương trình tiếp tuyến y (x 1) y x
Câu Vb:
1) u33 u5 27
Gọi công bội cấp số nhân q cấp số nhân gồm số hạng u u q u q u q u q1, 1 , 1 2, 1 3, 1
Theo giả thiết ta có hệ u u q q q
q u q
2
1
1 4
1
3 9
3 27
Với q = ta suy u1
3
cấp số nhân là: 1; 1; 3; 9; 27
Với q = –3 ta suy u1
cấp số nhân là: 1; 1; 3; 9; 27
3
2) f x( )a.cosx2sinx3x1 f( ) 2cosx x a sinx3 PT f ( ) 0x 2cosx a sinx3 (*)
Phương trình (*) có nghiệm 22 ( )a 232a2 5 a ; 5 5; ĐỀ 20
O A
B
D C
S
H
(44)Câu I:
a)
n
n n
n n n
3 2
4
3 2.4
lim lim
4 3
1
b) n n n n
n n n
n
2
2
2
lim lim lim
2
2 1 1
c)
x x x
x x x x x
x x x
x x
2
3 3
3 10 ( 3)(3 1)
lim lim lim
( 2)( 3)
5
d)
x x x
x x
x x x x
1 1
3 3( 1) 3
lim lim lim
1 ( 1) 3 1 2 3 1 2
Câu II:
a)
x x x
f x x
a x khi x
2 3 18
3
3
f(3) = a+3
x x x x
x x x x
f x x
x x
2
3 3
3 18 ( 3)( 6)
lim ( ) lim lim lim( 6)
3
f(x) liên tục x = a + = a =
b) Xét hàm số f x( )x33x24x7 f x( ) liên tục R
f(–3) = 5, f(0) = –7 f( 3) (0) 0f PT f x( ) 0 có nghiệm thuộc ( –3 ; )
( 3;0) ( 4;0) PT f x( ) 0 có nghiệm thuộc (–4; 0)
Câu III:
a) CMR: SO (ABCD), SA (PBD)
SO AC, SO BD SO (ABCD)
BD AC, BD SO BD (SAC) BD SA (1)
OP SA, OP (PBD) (2) Từ (1) (2) ta suy SA (PBD) b) CMR: MN AD
Đáy ABCD hình vng nên OB = OC, mà OB OC hình chiếu NB NC (ABCD) NB = NC
NBC cân N, lại có M trung điểm BC (gt)
MN BC MN AD (vì AD // BC) c) Tính góc SA mp (ABCD)
SO (ABCD) nên AO hình chiếu SA (ABCD) Vậy góc SA mặt phẳng (ABCD) SAO
a AO SAO
SA a
2 2
cos
2
d) CMR: vec tơ BD SC MN, , đồng phẳng
Gọi E, F trung điểm SD DC, dễ thấy EN, FM, FE đường trung bình tam giác SDO, CBD, DSC nên đồng thời có EN // BD, FM// BD, FE // SC từ ta có M, M, E, F đồng phẳng
MN (MNEF), BD // (MNEF), SC // (MNEF) BD SC MN, , đồng phẳng
Câu IVa:
a) f x( )x33x4 f ( ) 3x x23 f (1) 0 PTTT: y 2
E
F P
N
M O
D
C
A B
(45)b) ysin2x y2sin cosx xsin2x
Câu IVb:
a) f x( )x33x4 f x( ) 3 x23
Gọi x y( ; ) toạ độ tiếp điểm 0 0 y0x303x04, f ( ) 3x0 x023 PTTT d là: yy0 f x x x( )(0 0) y(x033x0 4) (3x023)(x x 0) d qua M(1; 0) nên (x033x0 4) (3x203)(1x0) x2 033x20 1
x x
0
1
Với x0 1 y0 0, f x( ) 60 PTTT y6(x1)
Với x0 y0 45, f x( )0 15
2
PTTT: y 15x 15
4
b) ysin(cos(5x34x6)2011)
y 2011(5x34x6)2010(15x24)sin(5x34x6)2011.cos cos(5 x34x6)2011