ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ========================================================================= TUYỂN CHỌN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Năm 2002 A. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: 1 2 : 2 3 4 x y z+ ∆ = = và 2 1 : 2 1 2 x t y t z t = + ∆ = + = + a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ 1 và song song với đường thẳng ∆ 2 . b. Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆ 2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. B. Cho hình lập phương 1 1 1 1 .ABCD A B C D có cạnh bằng a a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 A B và 1 B D b. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh 1 BB , CD, 1 1 A D . Tính góc giữa hai đường thẳng MP và 1 C N . D. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2x − y + 2 = 0 và đường thẳng d m là giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ): (2m + 1)x + (1 − m)y + m − 1 = 0, ( β ): mx + (2m + 1)z + 4m + 2 = 0. Tìm m để đường thẳng d m song song với mặt phẳng (P). Năm 2003 B. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho ( ) 0;6;0AC = uuur . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. D. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng d k là giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ): x + 3ky − z + 2 = 0, ( β ): kx − y + z + 1 = 0. Tìm k để đường thẳng d k vuông góc với mp (P): x − y − 2z+5=0 Năm 2004 A. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0), ( ) 0;0;2 2S . Gọi M là trung điểm của cạnh SC. a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM. b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thểtích khối chóp S.ABMN. B. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(−4;−2;4) và đường thẳng 3 2 : 1 1 4 x t d y t z t = − + = − = − + . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. D. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mp (P): x + y + z − 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ========================================================================= Năm 2005 A. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: 1 3 3 1 2 1 x y z− + − = = − và mp (P): 2x + y − 2z + 9 = 0. a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2. b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với d. ĐS: a. I 1 (−3;5;7), I 2 (3;−7;1) B. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 với A(0;−3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B(4;0;4). a. Tìm tọa độ các đỉnh A 1 , C 1 . Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCB 1 C 1 ). b. Gọi M là trung điểm của A 1 B 1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A , M và song song với BC 1 . Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A 1 C 1 tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN. D. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 21 1 : 3 1 2 yx z d +− + = = − và 2 12 3 : 10 2 x t d y t z t = − = = − . a. Chứng minh d 1 và d 2 song song với nhau. Viết phương trình mp(P) chứa cả hai đường thẳng d 1 và d 2 . b. Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ). Năm 2006 A. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;01). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng A’C và MN. b. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết 1 cos 6 α = B. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng 1 1 1 : 2 1 1 yx z d − + = = − , 2 1 : 1 2 2 x t d y t z t = + = − − = + . a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d 1 , d 2 . b. Tìm tọa độ điểm M thuộc d 1 , N thuộc d 2 sao cho A, M, N thẳng hàng. D. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng 1 22 3 : 2 1 1 yx z d +− − = = − , 1 11 1 : 1 2 1 yx z d −− + = = − . a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d 1 . b. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d 1 và cắt d 2 . Năm 2007 A. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 1 2 : 2 1 1 yx z d − + = = − và 2 1 2 : 1 3 x t d y t z = − + = + = . ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 2 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ========================================================================= a. Chứng minh rằng d 1 và d 2 chéo nhau. b. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P): 7x + y − 4z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 . B. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x − y + 2z − 14 = 0. a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M dến mặt phẳng (P) lớn nhất. D. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(−1;2;4) và đường thẳng 21 : 1 1 2 yx z+− ∆ = = − . a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mp(OAB). b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA 2 + MB 2 nhỏ nhất Năm 2008 A. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng 1 2 : 2 1 2 x y z d − − = = . a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d. b. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa d sao cho khoảng cáh từ A đến ( α ) lớn nhất. B. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;−2;1), C(−2;0;1). a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. b. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z − 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. D. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3). a. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. b. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Năm 2009 A. 1. Trong không gian với hệ Oxyz, cho mp(P): 2x − 2y − z − 4 = 0 và (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 6z − 11 = 0. Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z − 1 = 0 và hai đường thẳng 1 1 9 : 1 1 6 yx z+ + ∆ = = , 2 31 1 : 2 1 2 yx z−− + ∆ = = − . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. ĐS: 1. H(3;0;2), r = 4; 2. M 1 (0;1;−3), 2 18 53 3 ; ; 35 35 35 M ÷ . B. 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diệm ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(−2;1;3), C(2;−1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z − 5 = 0 và hai điểm A(−3;0;1), B(1;−1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. D. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 3 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ========================================================================= 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mp(P): x + y + z − 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 22 : 1 1 1 yx z−+ ∆ = = − và mp(P):x + 2y − 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆. Năm 2010 A. 1. Trong không gian toạ độ 0xyz, cho đường thẳng 1 1 2 : 2 1 1 x y z− − + ∆ = = − và mặt phẳng (P): 2 0x y z− + = . Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆ . Tính khoảng cách từ điểm M đến (P), biết 6.MC = 2. Trong không gian toạ độ oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) và đường thẳng ∆ : 2 2 3 . 2 3 2 x y z+ − + = = Tính khoảng cách từ A đến ∆ . Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8. B. 1. Trong không gian hệ toạ độ 0xyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y - z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1 3 . 2. Trong không gian toạ độ 0xyz, cho đường thẳng 1 : . 2 1 2 x y z− ∆ = = Xác định toạ độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến ∆ bằng OM. D. 1. Trong không gian toạ độ oyxz, cho hai mặt phẳng (P): 3 0x y z+ + − = và (Q): 1 0.x y z− + − = Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến R bằng 2. 2. Trong không gian toạ độ oxyz, cho hai đường thẳng 1 3 : x t y t z t = + ∆ = = và 2 2 1 : 2 2 2 x y z− − ∆ = = . Xác định toạ độ điểm M thuộc 1 ∆ sao cho khoảng cách từ M đến 2 ∆ bằng 1. ========================================== ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 4 . = 0. a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng. 4y − 6z − 11 = 0. Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó. 2. Trong không gian với hệ