Một trăm bài tập Hình học lớp 9

Baøi 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC.Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các cạnh AB;BC;AC.Gọi H là hình chiếu của D leân tieáp tuyeá[r]

MOÄT TRAÊM BAØI TAÄP HÌNH HỌC LỚP Phaàn 1: 50 baøi taäp cô baûn Lop10.com Bài 1: Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M và N Chứng minh:BEDC nội tiếp Chứng minh: góc DEA=ACB Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phân giaùc cuûa goùc MAN Chứng tỏ: AM2=AE.AB Giợi ý: y A x N E D O M B C Hình Ta phaûi c/m xy//DE 1.C/m BEDC noäi tieáp: C/m goùc BEC=BDE=1v Hia điểm D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vuoâng 2.C/m goùc DEA=ACB Do BECD nt⇒DMB+DCB=2v Maø DEB+AED=2v ⇒AED=ACB 3.Goïi tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) laø đường thẳng xy (Hình 1) Do xy laø tieáp tuyeán,AB laø daây cung neân sñ goùc xAB= sñ cung AB Maø sñ ACB= sñ AB ⇒goùc xAB=ACB maø goùc ACB=AED(cmt) ⇒xAB=AED hay xy//DE 4.C/m OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN Do xy//DE hay xy//MN mà OA⊥xy⇒OA⊥MN.⊥OA là đường trung trực MN.(Đường kính vuông góc với dây)⇒∆AMN cân A ⇒AO là phân giác cuûa goùc MAN 5.C/m :AM2=AE.AB Do ∆AMN cân A ⇒AM=AN ⇒cung AM=cung AN.⇒góc MBA=AMN(Góc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau);goùc MAB chung ⇒∆MAE ∆ BAM⇒ MA AE ⇒ MA2=AE.AB = AB MA

 Lop10.com Baøi 2: Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi M là trung điểm đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ I 1.Tứ giác ADBE là hình gì? 2.C/m DMBI noäi tieáp 3.C/m B;I;C thaúng haøng vaø MI=MD 4.C/m MC.DB=MI.DC 5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’) Gợi ý: 1.Do MA=MB vaø AB⊥DE taïi M neân ta coù DM=ME ⇒ADBE laø hình bình haønh Mà BD=BE(AB là đường trung trực DE) ADBE ;laø hình thoi 2.C/m DMBI noäi tieáp BC là đường kính,I∈(O’) nên Goùc BID=1v.Maø goùc DMB=1v(gt) ⇒BID+DMB=2v⇒ñpcm D I A M O B O’ C E Hình 3.C/m B;I;E thaúng haøng Do AEBD là hình thoi ⇒BE//AD mà AD⊥DC (góc nội tiếp chắn nửa đường troøn)⇒BE⊥DC; CM⊥DE(gt).Do goùc BIC=1v ⇒BI⊥DC.Qua ñieåm B coù hai đường thẳng BI và BE cùng vuông góc với DC ⊥B;I;E thẳng hàng •C/m MI=MD: Do M là trung điểm DE; ∆EID vuông I⇒MI là đường trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng DEI ⇒MI=MD C/m MC.DB=MI.DC hãy chứng minh ∆MCI ∆DCB (góc C chung;BDI=IMB cùng chắn cung MI DMBI noäi tieáp) 5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’) -Ta coù ∆O’IC Caân ⇒goùc O’IC=O’CI MBID noäi tieáp ⇒MIB=MDB (cuøng chaén cung MB) ∆BDE cân B ⇒góc MDB=MEB Do MECI nội tiếp ⇒góc MEB=MCI (cuøng chaén cung MI) Từ đó suy góc O’IC=MIB ⇒MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v Vậy MI ⊥O’I I nằm trên đường tròn (O’) ⇒MI là tiếp tuyến (O’) Lop10.com

 Baøi 3: Cho ∆ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M cho AM<MC.Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) D;AD kéo dài cắt (O) S C/m BADC noäi tieáp BC cắt (O) E.Cmr:MR là phân giác góc AED C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS Gợi ý: D A 1.C/m ABCD noäi tieáp: C/m A vaø D cuøng laøm với hai đầu đoạn thẳng BC moät goùc vuoâng 2.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED •Haõy c/m AMEB noäi tieáp •Goùc ABM=AEM( cuøng chaén cung AM) Goùc ABM=ACD( Cuøng chaén cung MD) Goùc ACD=DME( Cuøng chaén cung MD) S M O B E C Hình ⇒AEM=MED 4.C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS -Goùc ACB=ADB (Cuøng chaén cung AB) -Góc ADB=DMS+DSM (góc ngoài tam giác MDS) -Maø goùc DSM=DCM(Cuøng chaén cung MD) DMS=DCS(Cuøng chaén cung DS) ⇒Goùc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA Vaäy goùc ADB=SCA⇒ñpcm
  
 Lop10.com Baøi 4: Cho ∆ABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM>MC.Dựng đường tròn tâm O đường kính MC;đường tròn này cắt BC E.Đường thẳng BM cắt (O) D và đường thẳng AD cắt (O) S C/m ADCB noäi tieáp C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED C/m: Goùc ASM=ACD Chứng tỏ ME là phân giác góc AED C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy Gợi ý: A S D M B E C Hình 1.C/m ADCB noäi tieáp: Hãy chứng minh: Goùc MDC=BDC=1v Từ đó suy A vad D cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vuoâng… 2.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED •Do ABCD noäi tieáp neân ⇒ABD=ACD (Cuøng chaén cung AD) •Do MECD noäi tieáp neân MCD=MED (Cuøng chaén cung MD) •Do MC là đường kính;E∈(O)⇒Góc MEC=1v⇒MEB=1v ⇒ABEM nội tieáp⇒Goùc MEA=ABD ⇒Goùc MEA=MED⇒ñpcm 3.C/m goùc ASM=ACD Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngoài tam giác SMD) Maø goùc SMD=SCD(Cuøng chaén cung SD) vaø Goùc SDM=SCM(Cuøng chaén cung SM)⇒SMD+SDM=SCD+SCM=MCD Vaäy Goùc A SM=ACD 4.C/m ME là phân giác góc AED (Chứng minh câu bài 2) 5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy Gọi giao điểm AB;CD là K.Ta chứng minh điểm K;M;E thẳng hàng •Do CA⊥AB(gt);BD⊥DC(cmt) và AC cắt BD M⇒M là trực tâm tam giác KBC⇒KM là đường cao thứ nên KM⊥BC.Mà ME⊥BC(cmt) nên K;M;E thẳng haøng ⇒ñpcm

 Lop10.com Baøi 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn và AB<AC nội tiếp đường tròn tâm O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’ C/m AEDB noäi tieáp C/m DB.A’A=AD.A’C C/m:DE⊥AC Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF Gợi ý: A N E O I Hình B D M C F A’ 1/C/m AEDB nội tiếp.(Sử dụng hai điểm D;E cùng làm với hai đầu đoạn AB…) 2/C/m: DB.A’A=AD.A’C Chứng minh hai tam giác vuông DBA và A’CA đồng dạng 3/ C/m DE⊥AC Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cuøng chaén cung BA’) suy goùc CDE=DCA’ Suy DE//A’C Maø goùc ACA’=1v neân DE⊥AC 4/C/m MD=ME=MF •Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE Do M;N là trung điểm BC và AB ⇒MN//AC(Tính chất đường trung bình) Do DE⊥AC ⇒MN⊥DE (Đường kính qua trung điểm dây…)⇒MN là đường trung trực DE ⇒ME=MD • Gọi I là trung điểm AC.⇒MI//AB(tính chất đường trung bình) ⇒A’BC=A’AC (Cuøng chaén cung A’C) Do ADFC noäi tieáp ⇒Goùc FAC=FDC(Cuøng chaén cung FC) ⇒Goùc A’BC=FDC hay DF//BA’ Mà ABA’=1v⇒MI⊥DF.Đường kính MI⊥dây cung DF⇒MI là đường trung trực DF⇒MD=MF Vaäy MD=ME=MF

 Lop10.com Baøi 6: Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi M là điểm trên cung nhỏ AC.Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE 1/C/m MFEC noäi tieáp 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M ∆AMP ∆FMQ 4/C/m goùc PQM=90o Giaûi: A M 1/C/m MFEC noäi tieáp: (Sử dụng hai điểm E;F cung làm với hai đầu đoạn thẳng CM…) 2/C/m BM.EF=BA.EM •C/m:∆EFM ∆ABM: F P B E Ta coù goùc ABM=ACM (Vì C cuøng chaén cung AM) Hình Do MFEC noäi tieáp neân goùc ACM=FEM(Cuøng chaén cung FM) ⇒Goùc ABM=FEM.(1) Ta laïi coù goùc AMB=ACB(Cuøng chaén cung AB).Do MFEC noäi tieáp neân goùc FME=FCM(Cuøng chaén cung FE).⇒Goùc AMB=FME.(2) Từ (1)và(2) suy :∆EFM ∆ABM ⇒đpcm 3/C/m ∆AMP ∆FMQ Ta coù ∆EFM ∆ABM (theo c/m treân)⇒ ⇒ AB AM = maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) FE MF AP AM AP AM = ⇒ = và góc PAM=MFQ (suy từ ∆EFM ∆ABM) FQ MF FQ FM Vaäy: ∆AMP ∆FMQ 4/C/m goùc:PQM=90o Do goùc AMP=FMQ ⇒PMQ=AMF ⇒∆PQM ∆AFM ⇒goùc MQP=AFM Maø goùc AFM=1v⇒MQP=1v(ñpcm)

 Lop10.com Baøi 7: Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D cho AB=AD.Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) điểm thứ hai F;Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I đường tròn này C/m ∆BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD C/m GEFB noäi tieáp Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.Coù nhaän xeùt gì veà I vaø F A B O C F I D G E Hình 1/C/m BGEC noäi tieáp: -Sử dụng tổng hai góc đối… -I laø trung ñieåm GC 2/•C/m∆BFC vuoâng caân: Goùc BCF=FBA(Cuøng chaén cung BF) maø goùc FBA=45o (tính chaát hình vuoâng) ⇒Goùc BCF=45o Goùc BFC=1v(goùc noäi tieáp chắn nửa đường tròn)⇒đpcm •C/m F là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BDC.ta C/m F cách các đỉnh B;C;D Do ∆BFC vuoâng caân neân BC=FC Xeùt hai tam giaùc FEB vaø FED coù:E F chung; Goùc BE F=FED =45o;BE=ED(hai caïnh cuûa hình vuoâng ABED).⇒∆BFE=∆E FD ⇒BF=FD⇒BF=FC=FD.⇒ñpcm 3/C/m GE FB noäi tieáp: Do ∆BFC vuông cân F ⇒Cung BF=FC=90o ⇒sñgoùc GBF= Sñ cung BF= 90o=45o.(Góc tiếp tuyến BG và dây BF) Maø goùc FED=45o(tính chaát hình vuoâng)⇒Goùc FED=GBF=45o.ta laïi coù goùc FED+FEG=2v⇒Goùc GBF+FEG=2v ⇒GEFB noäi tieáp 4/ C/m• C;F;G thaúng haøng:Do GEFB noäi tieáp ⇒Goùc BFG=BEG maø BEG=1v⇒BFG=1v.Do ∆BFG vuông cân F⇒Góc BFC=1v.⇒Góc BFG+CFB=2v⇒G;F;C thaúng haøng C/m G cuõng naèm treân… :Do GBC=GDC=1v⇒tâm đường tròn ngt tứ giác BGDC là F⇒G nằn trên đường tròn ngoại tiếp ∆BCD •Dễ dàng c/m I≡ F Lop10.com Baøi 8: Cho ∆ABC có góc nhọn nội tiếp (O).Tiếp tuyến B và C đường tròn cắt D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn E và F,cắt AC I(E nằm trên cung nhỏ BC) C/m BDCO noäi tieáp C/m: DC2=DE.DF C/m:DOIC noäi tieáp Chứng tỏ I là trung điểm FE A F O I B C 1/C/m:BDCO noäi tieáp(Duøng toång hai góc đối) 2/C/m:DC2=DE.DF Xeùt hai tam giaùc:DEC vaø DCF coù goùc D chung SđgócECD= sđ cung EC(Góc E tieáp tuyeán vaø moät daây) Sñ goùc E FC= sñ cung EC(Goùc noäi D Hình tieáp)⇒goùc ECD=DFC ⇒∆DCE ∆DFC⇒ñpcm 3/C/m DOIC noäi tieáp: Ta coù: sñgoùc BAC= sñcung BC(Goùc noäi tieáp) (1) Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD chung⇒∆BOD=∆COD⇒Goùc BOD=COD ⇒2sñ goùcDOC=sñ cung BC ⇒sñgoùc DOC= sñcungBC (2) Từ (1)và (2)⇒Góc DOC=BAC Do DF//AB⇒góc BAC=DIC(Đồng vị) ⇒Góc DOC=DIC⇒ Hai điểm O và I cùng làm với hai đầu đoạn thẳng Dc góc nhau…⇒đpcm 4/Chứng tỏ I là trung điểm EF: Do DOIC noäi tieáp ⇒ goùc OID=OCD(cuøng chaén cung OD) Maø Goùc OCD=1v(tính chaát tieáp tuyeán)⇒Goùc OID=1v hay OI⊥ID ⇒OI⊥FE.Baùn kính OI vuông góc với dây cung EF⇒I là trung điểmEF Lop10.com

 Lop10.com Baøi 9: Cho (O),dây cung AB.Từ điểm M trên cung AB(M≠A và M≠B),kẻ dây cung MN vuông góc với AB H.Gọi MQ là đường cao tam giác MAN C/m điểm A;M;H;Q cùng nằm trên đường tròn C/m:NQ.NA=NH.NM C/m Mn laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn Giải:Có hình vẽ,cách c/m tương tự.Sau đây C/m trên hình 9-a Hình 9a Hình 9b M A I Q H P B O N 1/ C/m:A,Q,H,M cùng nằm trên đường tròn.(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng các phương pháp sau:-Cùng làm với hai đàu …một góc vuông -Tổng hai góc đối 2/C/m: NQ.NA=NH.NM Xét hai ∆vuông NQM và ∆NAH đồng dạng 3/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ Coù hai caùch: • Cách 1:Gọi giao điểm MQ và AB là I.C/m tam giác MIB cân M • Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụ với góc ANH) Goùc NAH=NMB(Cuøng chaén cung NB)⇒ñpcm 4/ xác định vị trí M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn Ta coù 2S∆MAN=MQ.AN 2S∆MBN=MP.BN 2S∆MAN + 2S∆MBN = MQ.AN+MP.BN Ta laïi coù: 2S∆MAN + 2S∆MBN =2(S∆MAN + S∆MBN)=2SAMBN=2 AB × MN =AB.MN Vaäy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN Mà AB không đổi nên tích AB.MN lớn ⇔MN lớn nhất⇔MN là đường kính 10 Lop10.com ⇔M là điểm chính cung AB Baøi 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đư ờng tròn tâm (I).Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E 1/ Chứng minh tam giác ABC vuông A 2/ O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên đường tròn 3/ Chứng tỏ : BC2= Rr 4/ Tính diện tích tứ giác BCIO theo R;r Giaûi: B 1/C/m ∆ABC vuoâng: Do BE vaø AE laø hai tieáp tuyeán caét nênAE=BE; Tương tự AE=EC⇒AE=EB=EC= E C N O F A I Hình 10 BC.⇒∆ABC vuông A 2/C/m A;E;N;F cuøng naèm treân… -Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét thì EO laø phaân giaùc cuûa tam giaùc caân AEB⇒EO là đường trung trực AB hay OE⊥AB hay góc ENA=1v Tương tự góc EFA=2v⇒tổng hai góc đối……⇒4 điểm… 3/C/m BC2=4Rr Ta có tứ giác FANE có góc vuông(Cmt)⇒FANE là hình vuông⇒∆OEI vuông E và EA⊥OI(Tính chất tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vuông có: AH2=OA.AI(Bình phương đường cao tích hai hình chiếu) Maø AH= BC BC vaø OA=R;AI=r⇒ = Rr⇒BC =Rr 4/SBCIO=? Ta coù BCIO laø hình thang vuoâng ⇒SBCIO= ⇒S= OB + IC × BC (r + R) rR 11 Lop10.com

 Baøi 11: Treân hai caïnh goùc vuoâng xOy laáy hai ñieåm A vaø B cho OA=OB Moät đường thẳng qua A cắt OB M(M nằm trên đoạn OB).Từ B hạ đường vuông góc với AM H,cắt AO kéo dài I C/m OMHI noäi tieáp Tính goùc OMI Từ O vẽ đường vuông góc với BI K.C/m OK=KH Tìm tập hợp các điểm K M thay đổi trên OB Giaûi: 1/C/m OMHI noäi tieáp: Sử dụng tổng hai góc đối 2/Tính goùc OMI Do OB⊥AI;AH⊥AB(gt) vaø OB∩AH=M Nên M là trực tâm tam giác ABI ⇒IM là đường cao thứ ⇒IM⊥AB ⇒góc OIM=ABO(Góc có cạnh tương ứng vuoâng goùc) A O M B H K I Hình 11 Maø ∆ vuoâng OAB coù OA=OB ⇒∆OAB vuông cân O ⇒góc OBA=45o⇒goùc OMI=45o 3/C/m OK=KH Ta coù OHK=HOB+HBO (Góc ngoài ∆OHB) Do AOHB noäi tieáp(Vì goùc AOB=AHB=1v) ⇒Goùc HOB=HAB (Cuøng chaén cung HB) vaø OBH=OAH(Cuøng chaén Cuøng chaén cung OH)⇒OHK=HAB+HAO=OAB=45o ⇒∆OKH vuông cân K⇒OH=KH 4/Tập hợp các điểm K… Do OK⊥KB⇒ OKB=1v;OB không đổi M di động ⇒K nằm trên đường tròn đường kính OB Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K là điểm chính cung AB.Vậy quỹ tích điểm K laø đường tròn đường kính OB

 12 Lop10.com Baøi 12: Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB F.Trên cung BC lấy điểm M.Nối A với M cắt CD E C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD C/m EFBM noäi tieáp Chứng tỏ:AC2=AE.AM Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I.C/m NI//CD Chứng minh N là tâm đường trèon nội tiếp ∆CIM Giaûi: C N A F O B I D M 1/C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD Do AB⊥CD ⇒AB laø phaân giaùc cuûa tam giaùc caân COD.⇒ COA=AOD Các góc tâm AOC và AOD neân caùc cung bò chaén baèng ⇒cung AC=AD⇒caùc goùc noäi tieáp chaén caùc cung naøy baèng nhau.Vaäy CMA=AMD 2/C/m EFBM noäi tieáp Ta có AMB=1v(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) EFB=1v(Do AB⊥EF) ⇒AMB+EFB=2v⇒ñpcm 3/C/m AC2=AE.AM C/m hai ∆ACE ∆AMC (A chung;goùc ACD=AMD cuøng chaén cung AD vaø AMD=CMA cmt ⇒ACE=AMC)… 4/C/m NI//CD Do cung AC=AD ⇒CBA=AMD(Goùc noäi tieáp chaén caùc cung baèng nhau) hay NMI=NBI⇒M và B cùng làm với hai đầu đoạn thẳng NI góc baèng nhau⇒MNIB noäi tieáp⇒NMB+NIM=2v maø NMB=1v(cmt)⇒NIB=1v hay NI⊥AB.Maø CD⊥AB(gt) ⇒NI//CD 5/Chứng tỏ N là tâm đường tròn nội tiếp ∆ICM Ta phải C/m N là giao điểm đường phân giác ∆CIM • Theo c/m ta coù MN laø phaân giaùc cuûa CMI • Do MNIB noäi tieáp(cmt) ⇒NIM=NBM(cuøng chaén cung MN) Goùc MBC=MAC(cuøng chaén cung CM) Ta laïi coù CAN=1v(goùc noäi tieápACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)⇒ACNI noäi tieáp⇒CAN=CIN(cuøng chaén cung CN)⇒CIN=NIM⇒IN laø phaân giaùc CIM Vậy N là tâm đường tròn…… 13 Lop10.com Baøi 13: Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn.Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyeán ADE.Goïi H laø trung ñieåm DE C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên đường tròn C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC Goïi I laø giao ñieåm cuûa BC vaø DE.C/m AB2=AI.AH BH cắt (O) K.C/m AE//CK Hình 13 B E H I D O A K C 1/C/m:A;B;O;C;H cùng nằm trên đường tròn: H là trung điểm EB⇒OH⊥ED(đường kính qua trung điểm dây …)⇒AHO=1v Mà OBA=OCA=1v (Tính chất tiếp tuyến) ⇒A;B;O;H;C cùng nằm trên đường tròn đường kính OA 2/C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC Do AB;AC laø tieáp tuyeán caét ⇒BAO=OAC vaø AB=AC ⇒cung AB=AC(hai dây băøng đường tròn đkOA) mà BHA=BOA(Cùng chaén cung AB) vaø COA=CHA(cuøng chaén cung AC) maø cung AB=AC ⇒COA=BOH⇒ CHA=AHB⇒ñpcm 3/Xeùt hai tam giaùc ABH vaø AIB (coù A chung vaø CBA=BHA hai goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau) ⇒∆ABH ∆AIB⇒ñpcm 4/C/m AE//CK Do goùc BHA=BCA(cuøng chaén cung AB) vaø sñ BKC= Sñ cungBC(goùc noäi tieáp) Sđ BCA= sđ cung BC(góc tt và dây) ⇒BHA=BKC⇒CK//AB

 14 Lop10.com Baøi 14: Cho (O) đường kính AB=2R;xy là tiếp tuyến với (O) B CD là đường kính bất kỳ.Gọi giao điểm AC;AD với xy theo thứ tự là M;N Cmr:MCDN noäi tieáp Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN.Cmr:AOIH laø hình bình haønh Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường naøo? M C A O B K D H N I 1/ C/m MCDN noäi tieáp: ∆AOC cân O⇒OCA=CAO; góc CAO=ANB(cùng phụ với góc AMB)⇒goùc ACD=ANM Maø goùc ACD+DCM=2v ⇒DCM+DNM=2v⇒ DCMB noäi tieáp 2/C/m: AC.AM=AD.AN Haõy c/m ∆ACD ∆ANM 3/C/m AOIH laø hình bình haønh • Xác định I:I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN⇒I laø giao ñieåm dường trung trực CD và Hình 14 MN⇒IH⊥MN là IO⊥CD.Do AB⊥MN;IH⊥MN⇒AO//IH Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vuông góc với CD.Từ trung điểm H MN dựng đường vuông góc với MN.Hai đường này cách I •Do H laø trung ñieåm MN⇒Ahlaø trung tuyeán cuûa ∆vuoâng AMN⇒ANM=NAH.Maø ANM=BAM=ACD(cmt)⇒DAH=ACD Goïi K laø giao ñieåm AH vaø DO ADC+ACD=1v⇒DAK+ADK=1v hay ∆AKD vuông K⇒AH⊥CD mà OI⊥CD⇒OI//AH AHIO là hình bình hành 4/Quyõ tích ñieåm I: Do AOIH là hình bình hành ⇒IH=AO=R không đổi⇒CD quay xung quanh O thì I nằm trên đường thẳng // với xy và cách xy khoảng R 15 Lop10.com

 16 Lop10.com Baøi 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi D là điểm trên cung nhỏ BC.Kẻ DE;DF;DG vuông góc với các cạnh AB;BC;AC.Gọi H là hình chiếu D leân tieáp tuyeán Ax cuûa (O) C/m AHED noäi tieáp Gọi giao điểm AH với HB và với (O) là P và Q;ED cắt (O) M.C/m HA.DP=PA.DE C/m:QM=AB C/m DE.DG=DF.DH C/m:E;F;G thẳng hàng.(đường thẳng Sim sơn) A H Q P O G B F E M D C 1/C/m AHED nội tiếp(Sử dụng hai điểm H;E cùng làm hành với hai đầu đoạn thẳng AD…) 2/C/m HA.DP=PA.DE Xét hai tam giác vuông đồng dạng: HAP vaø EPD (Coù HPA=EPD ññ) 3/C/m QM=AB: Do ∆HPA ∆EDP⇒HAB=HDM Maø sñHAB= sñ cung AB; SñHDM= sñ cung QM⇒ cung Hình 15 AM=QM⇒AB=QM 4/C/m: DE.DG=DF.DH Xeùt hai tam giaùc DEH vaø DFG coù: Do EHAD noäi tieáp ⇒HAE=HDE(cuøng chaén cung HE)(1) Vaø EHD=EAD(cuøng chaén cung ED)(2) Vì F=G=90o⇒DFGC noäi tieáp⇒FDG=FCG(cuøng chaén cung FG)(3) FGD=FCD(cuøng chaén cung FD)(4) Nhưng FCG=BCA=HAB(5).Từ (1)(3)(5)⇒EDH=FDG(6) Từ (2);(4) và BCD=BAD(cùng chắn cungBD)⇒EHD=FGD(7) ED DH Từ (6)và (7)⇒∆EDH ∆FDG⇒ ⇒ñpcm = DF DG 5/C/m: E;F;G thaúng haøng: Ta coù BFE=BDE(cmt)vaø GFC=CDG(cmt) Do ABCD noäi tieáp⇒BAC+BMC=2v;do GDEA noäi tieáp⇒EDG+EAG=2v ⇒EDG=BDC maø EDG=EDB+BDG vaø BCD=BDG+CDG⇒EDB=CDG ⇒GFC=BEF⇒E;F;G thaúng haøng

 17 Lop10.com Baøi 16: Cho tam giaùc ABC coù A=1v;AB<AC.Goïi I laø trung ñieåm BC;qua I keû IK⊥BC(K nằm trên BC).Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA=AK Chứng minh:ABIK nội tiếp đường tròn tâm O C/m goùc BMC=2ACB Chứng tỏ BC2=2AC.KC AI kéo dài cắt đường thẳng BM N.Chứng minh AC=BN C/m: NMIC noäi tieáp N M A K B I C Hình 16 1/C/m ABIK noäi tieáp (tự C/m) 2/C/m BMC=2ACB AB⊥MK vaø MA=AK(gt)⇒∆BMK cân B⇒BMA=AKB Maø AKB=KBC+KCB (Góc ngoài tam giac KBC) Do I laø trung ñieåm BC vaø KI⊥BC(gt) ⇒∆KBC cân K ⇒KBC=KCB Vaäy BMC=2ACB 3/C/m BC2=2AC.KC Xeùt ∆ vuoâng ACB vaø ICK coù C chung⇒∆ACB ∆ICK ⇒ AC CB BC AC BC = ⇒IC= ⇒ = ⇒ñpcm BC CK IC CK 2 4/C/m AC=BN Do AIB=IAC+ICA(góc ngoài ∆IAC) và ∆IAC Cân I⇒IAC=ICA ⇒AIB=2IAC(1) Ta lại có BKM=BMK và BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB noäi tieáp) ⇒AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN(góc ngoài tam giác MNA) Do ∆MNA cân M(gt)⇒MAN=MNA⇒BMK=2MNA(3) Từ (1);(2);(3)⇒IAC=MNA và MAN=IAC(đ đ)⇒… 5/C/m NMIC noäi tieáp: MNA=ACI hay MNI=MCI⇒ hai điểm N;C cùng làm thành với hai đầu…)
 
 18 Lop10.com Baøi 17: Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động trên nửa đường tròn.Tia phaân giaùc cuûa ACB caét (O) tai M.Goïi H;K laø hình chieáu cuûa M leân AC vaø AB C/m:MOBK noäi tieáp Tứ giác CKMH là hình vuông C/m H;O;K thaúng haøng Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy trên đường nào? C H A O B I Q P K M Hình 17 1/C/m:BOMK noäi tieáp: Ta coù BCA=1v(goùc noäi tieáp chắn nửa đường tròn) CM laø tia phaân giaùc cuûa goùc BCA⇒ACM=MCB=45o ⇒cungAM=MB=90o ⇒daây AM=MB coù O laø trung ñieåm AB ⇒OM⊥AB hay goùcBOM=BKM=1v ⇒BOMK noäi tieáp 2/C/m CHMK laø hình vuoâng: Do ∆ vuông HCM có góc 45o nên ∆CHM vuông cân H ⇒HC=HM, tương tự CK=MK Do C=H=K=1v ⇒CHMK là hình chữ nhật có hai cạnh kề ⇒CHMK laø hình vuoâng 3/C/m H,O,K thaúng haøng: Goïi I laø giao ñieåm HK vaø MC;do MHCK laø hình vuoâng⇒HK⊥MC taïi trung ñieåm I MC.Do I là trung điểm MC⇒OI⊥MC(đường kính qua trung điểm daây…) Vaäy HI⊥MC;OI⊥MC vaø KI⊥MC⇒H;O;I thaúng haøng 4/Do góc OIM=1v;OM cố định⇒I nằm trên đường tròn đường kính OM -Giới hạn:Khi C≡B thì I≡Q;Khi C≡A thì I≡P.Vậy C di động trên nửa đường tròn (O) thì I chạy trên cung tròn PHQ đường tròn đường kính OM
 
 19 Lop10.com