Chứng minh rằng với M là điểm tuỳ ý nằm trên đường tròn, thì các tổng sau là một số không đổi 1.. An nội tiếp trong đường tròn O, R và một điểm M thay đổi trên đường tròn đó.[r]
(1)1 Các Khái niệm vectơ 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Vectơ là đoạn thẳng có định hướng, tức là ta trên đoạn thẳng đó, ta đã điểm đầu và điểm cuối # » • Một vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B, ta kí hiệu AB • Trong số trường hợp, ta không cần điểm đầu và điểm cuối vectơ, thì ta có thể viết #» x , #» y, Ví dụ 1.1 Với ba điểm phân biệt A, B, C cho trước, có thể lập bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối không trùng nhau? Ví dụ 1.2 Cũng hỏi trên, với 2009 điểm phân biệt A1 , A2 , , A2009 ? #» Định nghĩa 1.2 Vectơ có điểm đầu và điểm cuối không trùng gọi là vectơ - không, kí hiệu Hai vectơ cùng phương 2.1 Giá vectơ Định nghĩa 2.1 Đường thẳng qua điểm đầu và điểm cuối vectơ gọi là giá vectơ # » Giá vectơ AB là đường thẳng AB 2.2 Hai vectơ cùng phương Định nghĩa 2.2 Hai vectơ gọi là cùng phương giá chúng song song trùng Hai vectơ cùng hướng Dựa vào hình vẽ, ta có thể biết hai vectơ cùng hướng hay ngược hướng Chú ý • Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương Điều ngược lại không đúng • Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng • Vectơ - không thì cùng phương, cùng hướng với vectơ 3.1 Xác định vị trí tương đối ba điểm phân biệt A, B, C các trường hợp sau: # » # » AB và AC ngược hướng # » # » AB và AC cùng phương 4.1 Độ dài vectơ, hai vectơ Độ dài vectơ # » # » #» Định nghĩa 4.1 Độ dài vectơ AB, kí hiệu |AB|, chính là độ dài đoạn thẳng AB Độ dài vectơ Định nghĩa 4.2 Một vectơ có độ dài thì gọi là vectơ đơn vị Lop10.com (2) 4.2 Hai vectơ #» #» Định nghĩa 4.3 Hai vectơ #» a và b , gọi là nhau, kí hiệu #» a = b chúng có cùng độ dài và cùng hướng # » 4.1 Cho lục giác ABCDEF tâm O Tìm các vectơ OA # » # » 4.2 Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành và AB = DC 4.3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D là điểm đối xứng B qua O và H là trực tâm tam giác ABC # » # » Chứng minh AH = DC #» # » Gọi I là trung điểm AH, M là trung điểm cạnh BC Chứng minh AI = OM Tổng hai vectơ #» # » # » #» Định nghĩa 5.1 Cho hai vectơ #» a và b Từ điểm A tuỳ ý, dựng AB = #» a Từ B, dựng BC = b Khi đó, #» #» # » # » AC gọi là vectơ tổng hai vectơ #» a và b Kí hiệu AC = #» a + b 5.1 Quy tắc ba điểm Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta luôn có # » # » # » AB + BC = AC 5.2 Quy tắc hình bình hành b #» v A b Cho hình bình hành ABCD, ta có D # » # » # » AB + AD = AC #» u #» u + #» v b B 5.3 b C Tính chất #» Với vectơ #» a , b , #» c , ta có #» #» #» a + b = b + #» a; #» #» #» a + ( b + #» c ) = ( #» a + b ) + #» c; #» #» #» a + = + #» a = #» a # » # » # » # » # » # » 5.1 Tính tổng #» u = AB + DE + F A + CD + EF + BC # » # » # » # » # » # » 5.2 Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh AD + BE + CF = AE + BF + CD # » # » 5.3 Cho ba điểm phân biệt không thẳng hàng O, A, B Với điều kiện nào thì OA + OB nằm trên đường \ phân giác góc AOB? # » # » # » # » 5.4 Cho tam giác ABC cạnh a Tìm độ dài vectơ AB + AC và AB + CB theo a Lop10.com (3) # » # » # » # » 5.5 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh với điểm M , ta có M A + M C = M B + M D 5.6 Cho tam giác ABC, bên ngoài tam giác ta vẽ các hình bình hành ABM N , BCP Q, CARS Chứng minh # » # » # » #» M N + P Q + RS = # » # » # » #» M Q + P S + RN = # » # » 5.7 Cho hai điểm phân biệt A và B cố định và số k > Tìm tập hợp điểm M cho |M A + M B| = k #» #» #» 5.8 Cho các vectơ #» a , b , #» c Chứng minh | #» a | + | b | > | #» a + b | Dấu xảy nào? # » # » # » # » 5.9 Cho tứ giác ABCD Chứng minh |AD + BC| = |AB + DC|, thì AC ⊥ BD 5.10 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính P Q = Trên nửa đường tròn ta lấy các điểm A, B, C # » # » # » khác P và Q Chứng minh |OA + OB + OC| > Hiệu hai vectơ 6.1 Vectơ đối hai vectơ Định nghĩa 6.1 Hai vectơ gọi là đối chúng có cùng độ dại và ngược hướng #» #» #» • Nếu #» a và b là hai vectơ đối nhau, ta kí hiệu #» a = − b hay b = − #» a # » # » # » # » • Vectơ đối AB là −AB, và −AB = BA #» #» • Vectơ đối là Tính chất Tổng vectơ #» a với vectơ đối nó vectơ - không 7.1 Hiệu hai vectơ #» #» Định nghĩa 7.1 Hiệu hai vectơ #» a và b , kí hiệu #» a − b , là tổng vectơ #» a với vectơ đối vectơ #» b #» #» #» a − b = #» a + (− b ) 7.2 Hiệu hai vectơ chung điểm đầu Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta luôn có # » # » # » AB − AC = BC #» 7.1 Dựng hiệu hai vectơ #» a và b cho trước 7.2 Cho hình bình hành ABCD Gọi O là giao điểm hai đường chéo Hãy rút gọn các vector # » # » CO − BA; # » # » # » CO − OD + CB; # » # » # » # » # » # » 7.3 Cho năm điểm A, B, C, D, E Chứng minh AC + DE − DC − CE + CB = AB Lop10.com (4) # » # » # » # » 7.4 Cho tam giác ABC Chứng minh |CA − CB| = |CA + CB|, thì tam giác ABC vuông C # » # » # » # » 7.5 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện AB + AC vuông góc với AB − AC, thì tam giác ABC cân # » # » 7.6 Cho tam giác ABC cạnh a Tìm độ dài vectơ AB − BC theo a 7.7 Cho lục giác ABCDEF Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác Chứng minh # » # » # » # » # » # » #» OA + OB + OC + OD + OE + OF = 7.8 Cho ngũ giác ABCDE Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác Chứng minh # » # » # » # » # » #» OA + OB + OC + OD + OE = 7.9 Chứng minh hai hình bình hành ABCD và A0 B C D0 có cùng tâm thì # » # » # » # » #» AA0 + BB + CC + DD0 = \ = 60◦ và cạnh là a Gọi O là giao điểm hai đường chéo Tính 7.10 Cho hình thoi ABCD có BAD # » # » # » # » # » # » |AB + AD|, |BA − BC|, |OB − DC| # » # » # » # » 7.11 Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm hai đường chéo Tính |OA − CB|, |AB + DC|, # » # » |CD − DA| Tích số thực với vectơ Định nghĩa 8.1 Cho số thực k và vectơ #» a Tích số k với vectơ a là vectơ, kí hiệu k #» a , xác định sau: • Nếu k > 0, thì vectơ k #» a cùng hướng với vectơ #» a Nếu k < 0, thì vectơ k #» a ngược hướng với vectơ #» a • Độ dài vectơ k #» a |k| · | #» a | Tính chất #» Cho các vectơ #» a và b ; cho các số thực k, m Ta có #» #» • k · ( #» a + b ) = k · #» a +k· b; • (k + m) · #» a = k · #» a + m · #» a; • (k − m) · #» a = k · #» a − m · #» a; • k(m · #» a ) = (km) · #» a; #» #» • k · #» a = và k = #» a = 9.1 Chứng minh điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB và với M là điểm bất kì, ta # » # » # » có M A + M B = 2M I 9.2 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Lop10.com (5) # » # » # » #» # » # » # » #» Chứng minh GA + GB + GC = Ngược lại, M A + M B + M C = , thì M là trọng tâm tam giác ABC # » # » # » # » Chứng minh với M là điểm bất kì, ta có GA + GB + GC = 3M G # » # » # » # » #» 9.3 Cho tứ giác ABCD Xác định điểm M cho M A + M B + M C + M D = 9.4 Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo Chứng minh với M là điểm # » # » # » # » # » bất kì, ta có M A + M B + M C + M D = 4M O 9.5 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J là trung điểm các đường chéo AC và BD Chứng minh # » # » #» AB + CD = 2IJ 9.6 Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J lần là trung điểm các cạnh BC, CD Chứng minh # » #» # » # » # » 2(AB + AI + JA + DA) = 3DB # » # » # » # » #» 9.7 Cho tứ giác ABCD Hãy dựng điểm G cho GA + GB + GC + GD = Chứng minh với điểm O, ta có # » # » # » # » # » OG = (OA + OB + OC + OD) 9.8 Cho tam giác ABC và M là điểm bất kì Kẻ M H, M K, M I vuông góc với các cạnh BC, CA, AB Chứng minh # » # » # » # » # » # » M A + M B + M C = 2(M H + M K + M I) 9.9 Cho tam giác ABC Hãy xác định các điểm M, N, P cho # » # » # » #» M A + M B − 2M C = ; # » # » # » #» N A + N B + 2N C = ; # » # » # » #» P A − P B + 2P C = 9.10 Cho hai tam giác ABC và A0 B C có trọng tâm là G và G0 Chứng minh # » # » # » #» AA0 + BB + CC = , thì G trùng G0 9.11 Cho lục giác ABCDEF Gọi P, Q, R, S, T, U là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF , F A Chứng minh hai tam giác P RT và QSU có trọng tâm trùng 9.1 Điều kiện để hai vectơ cùng phương #» #» #» Định lí 9.1 Vectơ b cùng phương với vectơ #» a = và có số k cho b = k #» a 9.2 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng # » # » Định lí 9.2 Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là AB = kAC # » # » # » #» 9.12 Cho bốn điểm A, B, C, M thoả mãn M A + 2M B − 3M C = # » # » # » # » 9.13 Cho tam giác ABC, M và N thay đổi cho M N = 2M A + 3M B − M C #» # » # » #» Tìm điểm I thoả mãn 2IA + 3IB − IC = Chứng minh đường thẳng M N luôn qua điểm cố định Lop10.com (6) 9.14 Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O # » #» Gọi I là trung điểm BC Chứng minh AH = 2OI # » # » # » # » Chứng minh OH = OA + OB + OC Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng #» #» # » # » #» 9.15 Cho tam giác ABC Gọi I, J là hai điểm xác định IA = 2IB; 3JA + 2JC = #» # » # » Tính IJ theo AB và AC # » #» 2# » Đáp số IJ = AC − 2AB Chứng minh đường thẳng IJ qua trọng tâm G tam giác ABC #» # » Đáp số IJ = IG 1# » # » # » # » #» 9.16 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M, N thoả 3M A + 4M B = và CN = BC Chứng minh đường thẳng M N qua trọng tâm G tam giác ABC 3# » # » 9.17 Cho tam giác ABC, trên BC lấy điểm D cho BD = BC, gọi E là điểm thoả mãn hệ thức # » # » # » #» 10EA + 2EB + 3EC = Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng 1# » # » Hướng dẫn Chọn E làm gốc EA = − ED # » # » #» #» #» # » #» 9.18 Cho tam giác ABC, gọi D, I là các điểm xác định 3DB − 2DC = và IA + 3IB − 2IC = Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng # » # » Hướng dẫn Chọn hệ vectơ gốc {AB, AC}; # » #» AD = 2AI # » # » #» # » # » # » #» 9.19 Cho tam giác ABC, gọi M, N là các điểm xác định M A + 3M C = và N A+ 2N B + 3N C = Chứng minh ba điểm M, N, B thẳng hàng # » # » Hướng dẫn Chọn hệ vectơ gốc {BA, BC}; 9.3 # » 3# » BM = BN Phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương #» #» Định nghĩa 9.1 Cho hai vectơ #» a và b Nếu vectơ #» c có thể viết dạng #» c = m #» a + n b , với m, n #» là hai số thực nào đó, thì ta nói vectơ #» c biểu thị (hay phân tích được) qua hai vectơ #» a và b #» Định lí 9.3 Cho hai vectơ không cùng phương #» a và b Khi đó vectơ #» x có thể biểu thị #» #» #» cách qua hai vectơ a và b , nghĩa là có cặp số m, n cho #» x = m #» a +nb 9.20 Cho tam giác ABC và điểm M nằm trên cạnh BC cho M B = 2M C Chứng minh # » 1# » 2# » AM = AB + AC 3 # » 9.21 Cho tam giác ABC Trên BC lấy điểm D cho BD = Gọi E là điểm thoả # » # » # » #» 4EA + 2EB + 3EC = # » # » # » Tính ED theo EB và EC # » 2# » 3# » Đáp số ED = EB + EC 5 Lop10.com (7) Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng 5# » # » Hướng dẫn EA = − ED Bài toán Cho n điểm A1 , A2 , , An và tập hợp các số thực x1 , x2 , , xn cho x1 +x2 +· · ·+xn 6= Tìm tập hợp các điểm M thoả điều kiện # » # » # » |x1 M A1 + x2 M A2 + · · · + xn M An | = k • Bước Chọn điểm I cho # » # » # » #» x1 IA1 + x2 IA2 + · · · + xn IAn = Khi đó, điểm I xác định và # » # » # » # » |x1 M A1 + x2 M A2 + · · · + xn M An | = |(x1 + x2 + · · · + xn )M I| • Bước Từ điều kiện đã cho suy IM có độ dài không đổi và M thuộc đường tròn tâm I, bán kính là số xác định # » # » 9.22 Cho đoạn thẳng AB = 3a Tìm tập hợp các điểm M cho |M A + 2M B| = Đáp số Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính R = 9.23 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M cho # » # » # » • |M A + M B + M C| = # » # » # » • |M A + 2M B + 3M C| = 12 Bài toán Cho đường thẳng d (đường tròn S), tập hợp điểm A1 , A2 , , An và tập hợp các số thực x1 , x2 , , xn cho x1 + x2 + · · · + xn 6= Với điểm N thuộc d (thuộc S), ta dựng điểm M thoả điều kiện # » # » # » # » x1 N A1 + x2 N A2 + · · · + xn N An = N M Tìm tập hợp các điểm M • Bước Rút gọn biểu thức vế trái cách chọn điểm I cho # » # » # » #» x1 IA1 + x2 IA2 + · · · + xn IAn = Khi đó, điểm I xác định và biểu thức vectơ rút gọn là # » (x1 + x2 + · · · + xn )N M # » # » • Bước Đẳng thức trên chứng tỏ N I và N M cùng phương Từ đó, suy tập hợp điểm M • Chú ý xét thêm giới hạn điểm M (nếu có) # » 9.24 Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d) Với điểm N trên (d) ta dựng điểm M thoả N M = # » # » 2N A + 3N B Tìm tập hợp các điểm M N thay đổi trên (d) 9.25 Cho hai điểm A, B và đường tròn (O; R) Với điểm N trên (O; R) ta dựng điểm M thoả # » # » # » N M = 2N A + 3N B Tìm tập hợp các điểm M N thay đổi trên (d) Lop10.com (8) 9.4 Tìm tập hợp điểm Ta áp dụng các kết sau: # » • Nếu |OM | = | #» v | với O cố định, #» v không đổi, thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính #» | v | # » # » • Nếu |M A| = |M B| với A, B cố định, thì tập hợp các điểm M là đường trung trực đoạn thẳng AB # » • Nếu OM = k · #» a với O cố định, #» a không đổi, k ∈ R, thì tập hợp các điểm M là đường thẳng qua #» O và song song với giá a # » # » • Nếu OM = k · OA, với A cố định, k ∈ R, thì tập hợp các điểm M là đường thẳng OA 9.26 Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M cho: # » # » # » M A + kM B = kM C (k ∈ R) # » # » # » #» M A + (1 − k)M B + (1 + k)M C = (k ∈ R) # » # » # » #» M A + (1 − k)M B + kM C = (k ∈ R) 9.27 Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M cho: # » # » # » # » |M A + M B| = |M B − M C|; # » # » # » # » # » |2M A + M B| = |M A + M B + M C|; # » # » # » # » # » # » |M A + M B − M C| = |2M A − M B − M C| # » # » # » # » |M A + M B| = k(M B − M C)| (k ∈ R) 9.28 Cho tam giác ABC tâm O, M là điểm bất kì tam giác Kẻ M D, M E, M F vuông góc với các cạnh BC, CA, AB # » # » # » 3# » Chứng minh M D + M E + M F = M O; # » # » # » Tìm tập hợp các trọng tâm tam giác DEF M chuyển động cho |M D + M E + M F | có giá trị không đổi 10 Trục toạ độ Định nghĩa 10.1 Trục toạ độ là đường thẳng mà trên đó ta đã chọn điểm làm gốc và vectơ đơn vị #» #» Nếu trục toạ độ nhận O làm điểm gốc và nhận vectơ i làm vectơ đơn vị ta kí hiệu là (O; i ) Hướng #» dương trục là hướng vectơ i Hướng ngược lại là hướng âm 11 11.1 Toạ độ vectơ trên trục - độ dài đại số vectơ Toạ độ vectơ trên trục # » #» #» Xét trục (O; i ) và điểm M trên trục Nếu OM = k i , thì toạ độ điểm M là k Lop10.com (9) 11.2 Độ dài đại số vectơ # » # » #» #» Cho hai điểm A, B trên trục toạ độ (O; i ), AB = k i , thì độ dài đại số vectơ AB, kí hiệu AB 12 Hệ trục toạ độ #» #» Định nghĩa 12.1 Hệ toạ độ gồm hai trục toạ độ (O; i ) và (O; j ) vuông góc với O Một hệ trục gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxy hay hệ trục toạ độ Oxy • Điểm O gọi là gốc toạ độ • Trục Ox gọi là trục hoành • Trục Oy gọi là trục tung • Mặt phẳng Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ 13 Toạ độ vectơ 13.1 Toạ độ vectơ # » Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với điểm M tuỳ ý, luôn tồn hai số thực x, y cho OM = # » # » # » #» #» x i + y j Bộ hai số thực (x; y) gọi là toạ độ vectơ OM , kí hiệu OM = (x; y) hay OM (x; y) # » # » #» #» OM = (x; y) ⇔ OM = x i + y j #» #» • Toạ độ vectơ đơn vị i là (1; 0), tức là i = (1; 0); #» #» • Toạ độ vectơ đơn vị j là (0; 1), tức là j = (0; 1); #» • Toạ độ vectơ - không là (0; 0), tức là = (0; 0) # » #» #» Ví dụ 13.1 Nếu OM = −2 i + j , thì M ( ; # » #» Ví dụ 13.2 Nếu OM = i , thì M ( ; ) # » √ #» Ví dụ 13.3 Nếu OM = j , thì M ( ; ) √ # » #» Ví dụ 13.4 Nếu M (1; − 3), thì OM = i + 13.2 ) #» j Toạ độ điểm # » Định nghĩa 13.1 Toạ độ điểm M chính là toạ độ vectơ OM 13.3 Các phép toán vectơ #» Cho các vectơ #» a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) và số k Ta có #» #» a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ); #» #» a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ); k #» a = (ka1 ; ka2 ) Lop10.com (10) a = b , #» 1 #» a = b ⇔ a = b 2 b = ka #» 1 #» Cho #» a 6= , vectơ b cùng phương với #» a và tồn số thực k thoả mãn b = ka 13.4 Toạ độ vectơ biết toạ độ hai điểm # » Cho A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ) thì AB = (xB − xA ; yB − yA ) # » AB = (xB − xA ; yB − yA ) 13.5 Toạ độ trung điểm đoạn thẳng Cho A(xA ; yA ) và B(xB ; yB ) Gọi I(xI ; yI ) là trung điểm đoạn thẳng AB, thì 13.6 xI = xA + xB , y = y A + y B I Toạ độ trọng tâm tam giác Cho tam giác ABC, A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) và C(xC ; yC ) Gọi G(xG ; yG ) là trọng tâm tam giác ABC, ta có xI = xA + xB + xC , y = y A + y B + y C G #» = (4; 1) 13.1 Cho #» u = (−1; 2), #» v = (−5; −3); m Tìm toạ độ vectơ #» s = #» u − #» v; #» #» + #» j; Tìm toạ độ vectơ t = 5m # » #» Cho điểm A(1; −3) Tìm toạ độ điểm M cho 3AM − #» v = # » #» #» #» 13.2 Cho hình vuông ABCD có cạnh Chọn hệ trục toạ độ (A; i , j ) cho i và AD cùng # » #» hướng, j và AB cùng hướng Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông, toạ độ giao điểm I hai đường chéo hình vuông, toạ độ trung điểm M cạnh BC và toạ độ trung điểm N cạnh CD 13.3 Cho tam giác ABC với A(−1; 3), B(2; 4), C(4; −1) Tìm toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD là hình bình hành 13.4 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Tìm toạ độ các đỉnh tam giác ABC 13.5 Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương không? Trong trường hợp chúng cùng phương, xét xem chúng cùng hướng hay ngược hướng #» #» a = (2; 3) và b = (−10; −15); #» u = (0; 7) và #» v = (0; 8); 10 Lop10.com (11) #» #» c = (3; 4) và d = (6; 9) 13.6 Cho A(−1; 1), B(1; 3), C(−2; 0) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng 13.7 Cho A(3; 4), B(2; 5) Tìm x để điểm C(−7; x) thuộc đường thẳng AB 13.8 Cho bốn điểm A(0; 1), B(1; 3), C(2; 7), D(0; 3) Chứng minh AB và CD song song 13.9 Cho tam giác ABC với A(3; 2), B(−11; 0), C(5; 4) Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC Tìm toạ độ điểm I đối xứng với A qua B 13.10 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(−3; 4), B(1; 1), C(9; −5) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng; Tìm toạ độ điểm D cho A là trung điểm đoạn BD; Tìm toạ độ điểm E trên trục Ox cho ba điểm A, B, E thẳng hàng 13.11 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2) Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC; Tìm toạ độ điểm D cho C là trọng tâm tam giác ABD; Tìm toạ độ điểm E cho tứ giác ABCE là hình bình hành #» #» 13.12 Cho tam giác ABC cạnh a Chọn hệ toạ độ (O; i , j ), đó O là trung điểm cạnh # » #» # » #» BC, i cùng hướng với OC, j cùng hướng với OA Tính toạ độ các đỉnh tam giác ABC; Tìm toạ độ trung điểm E cạnh AC; Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giá trị lượng giác góc bất kì từ 0◦ đến 180◦ 14 14.1 Nửa đường tròn đơn vị Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1, phía trên trục hoành Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị 14.2 Định nghĩa \ Với góc α (0◦ α 180◦ ), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị cho M Ox = α Giả sử điểm M có toạ độ (x; y) Khi đó, • tung độ y điểm M gọi là sin góc α, kí hiệu là sin α • tung độ x điểm M gọi là côsin góc α, kí hiệu là cos α 11 Lop10.com (12) • Với x 6= 0, tỉ số y gọi là tang góc α, kí hiệu là tan α x tan α = • Với y 6= 0, tỉ số sin α , cos α α 6= 90◦ x gọi là côtang góc α, kí hiệu là cot α y cot α = cos α , sin α α 6= 0◦ và α 6= 180◦ Các số sin α, cos α, tan α và cot α gọi là các giá trị lượng giác góc α 14.1 Tính các giá trị lượng giác góc 120◦ 14.3 Quan hệ các giá trị lượng giác hai góc phụ 1) sin(90◦ − α) = cos α; 2) cos(90◦ − α) = sin α; 3) tan(90◦ −α) = cot α; 4) cot(90◦ −α) = tan α 14.2 Tính P = tan 5◦ · tan 10◦ · tan 15◦ · · · tan 80◦ · tan 85◦ 14.4 Quan hệ các giá trị lượng giác hai góc bù Nếu hai góc bù nhau, thì sin chúng còn côsin, tang và côtang chúng đối 1) sin(180◦ − α) = sin α; 2) cos(180◦ − α) = − cos α; 3) tan(180◦ − α) = − tan α 4) cot(180◦ − α) = − cot α với α 6= 90◦ ; với 0◦ < α < 180◦ 14.3 Tính tổng S = cos 0◦ + cos 20◦ + cos 40◦ + · · · + cos 140◦ + cos 160◦ + cos 180◦ 14.4 Đơn giản các biểu thức S1 = sin 100◦ + sin 80◦ + cos 16◦ + cos 164◦ S2 = sin(180◦ − α) · cot α − cos(180◦ − α) · tan α · cot(180◦ − α) với 0◦ < α < 90◦ 14.5 Chứng minh các hệ thức sau sin2 α + cos2 α = 1; + tan2 α = (α 6= 90◦ ); cos2 α + cot2 α = (0◦ < α < 180◦ ) sin2 α 14.6 Cho α ∈ (90◦ ; 180◦ ) và sin α = Tính các giá trị còn lại góc α 12 Lop10.com (13) 14.7 Cho và cos α = − Tính các giá trị còn lại góc α 14.8 Cho tan α = Tính các giá trị còn lại góc α 14.9 Biết tan a = Tính A = B = sin a + cos a ; sin a − cos a sin2 a + cos a · sin a + cos2 a + cos2 a 14.10 Biết sin x + cos x = m Tính theo m sin x · cos x; sin4 x + cos4 x; sin6 x + cos6 x 14.11 Cho tan x + cot x = k Tính các tổng sau theo k: tan2 x + cot2 x; tan4 x + cot4 x; tan6 x + cot6 x 15 Tích vô hướng hai vectơ 15.1 Góc hai vectơ #» # » #» Định nghĩa 15.1 Cho hai vectơ #» a và b khác Từ điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ OA = #» a và #» #» # » #» OB = b Khi đó, số đo góc AOB gọi là số đo góc hai vectơ a và b , đơn giản là #» góc hai vectơ #» a và b #» #» Góc hai vectơ #» a và b kí hiệu là ( #» a , b ) Chú ý #» • 0◦ ( #» a , b ) 180◦ #» #» • Trong trường hợp có ít hai vectơ #» a b là vectơ , thì góc hai vectơ đó là tuỳ ý #» #» #» • Nếu ( #» a , b ) = 90◦ , thì ta nói hai vectơ #» a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là #» a ⊥ b 15.2 Định nghĩa tích vô hướng hai vectơ #» #» Định nghĩa 15.2 Tích vô hướng hai vectơ hai vectơ #» a và b , kí hiệu #» a · b , là số, xác định #» #» #» #» a · b = | #» a | · | b | · cos( #» a , b ) Từ định nghĩa trên, ta suy #» #» #» a · b = ⇔ #» a ⊥ b 15.1 Cho tam giác ABC có cạnh a và trọng tâm G Tính các tích vô hướng sau 13 Lop10.com (14) # » # » # » # » # » # » AB · AC; AC · CB; AG · AB # » # » # » # » # » # » GB · GC; BG · GA; GA · BC # » # » # » # » b = 60◦ Tính các tích vô hướng CA 15.2 Cho tam giác ABC vuông A có A · CB; AB · BC √ √ # » # » 15.3 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Biết AB = và AC = Tính AB · AC # » # » 15.4 Cho tam giác ABC vuông C có AB = 9, CB = Tính AB · AC 15.3 Bình phương vô hướng vectơ Định nghĩa 15.3 Với vectơ vô hướng vectơ vectơ #» a tuỳ ý, tích vô hướng #» a · #» a kí kiệu ( #» a )2 hay #» a và gọi là bình phương #» a Ta có #» a = | #» a | · | #» a | · cos 0◦ = | #» a |2 Bình phương vô hướng vectơ bình phương độ dài vectơ đó 15.4 Tính chất tích vô hướng #» Với ba vectơ #» a , b , #» c tuỳ ý và số thực k, ta có #» #» 1) #» a · b = b · #» a; #» #» #» 2) (k #» a ) · b = a · (k b ) = k( #» a · b ); #» #» 3) a · ( b + #» c ) = #» a · b + #» a · #» c; #» #» 4) a · ( b − #» c ) = #» a · b − #» a · #» c # » # » # » # » 15.5 Cho hình vuông ABCD có cạnh Tính giá trị biểu thức (AB + 2AD) · (3AB − CD) #» có độ dài 1, ( #» #» = 60◦ , ( w, #» #» 15.6 Cho các vectơ #» u , #» v, w u , #» v ) = 30◦ , ( #» v , w) u ) = 120◦ Tính #» P = ( #» u + #» v + w) √ #» #» #» 15.7 Cho các vectơ #» a , b có độ dài và thoả mãn điều kiện | #» a + b | = Tính ( #» a , b ) 15.8 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh AC + BD2 = 2(AB + AD ) 15.9 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N là trung điểm các đường chéo AC, BD Chứng minh AB + BC + CD2 + DA2 = AC + BD2 + 4M N 15.10 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh M A2 + M B + M C = 3M G2 + GA2 + GB + GC 15.11 Cho hình chữ nhật ABCD, M là điểm tuỳ ý Chứng minh M A2 + M C = M B + M D ; # » # » # » # » M A · M C = M B · M D; # » # » # » # » M A2 + M B · M D = 2M A · M O (O là tâm hình chữ nhật) 14 Lop10.com (15) b = 120◦ 15.12 Cho tam giác ABC có AB = 7, AC = 5, A # » # » # » # » Tính các tích vô hướng AB · AC và AB · BC; Tính độ dài đườn trung tuyến AM tam giác 15.13 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Chứng minh với M là điểm tuỳ ý, thì M A2 + M B + M C + M D là số không đổi 15.14 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Chứng minh với M là điểm tuỳ ý nằm trên đường tròn, thì các tổng sau là số không đổi M A2 + M B + M C ; M A4 + M B + M C 15.15 Cho đa giác A1 A2 An nội tiếp đường tròn (O, R) và điểm M thay đổi trên đường tròn đó Chứng minh \ \ \ cos M OA1 + cos M OA1 + · · · + cos M OAn = 0; M A21 + M A22 + · · · + M A2n có giá trị không đổi 15.16 Cho tam giác ABC với các trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh # » # » # » # » # » # » BC · AD + CA · BE + AB · CF = 15.17 Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì Chứng minh # » # » # » # » # » # » DA · BC + DB · CA + DC · AB = Từ đó, suy cách chứng minh định lí “Ba đường cao tam giác đồng quy ” 15.5 Công thức hình chiếu # » # » Định lí 15.1 Cho hai vectơ OA, OB Gọi B là hình chiếu vuông góc B trên đường thẳng OA Khi đó # » # » # » # » OA · OB = OA · OB # » # » 15.18 Cho đoạn thẳng AB và số thực k Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức AB · AM = k Hướng dẫn Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên đường thẳng AB Ta có k # » # » AB · AM = k ⇔ AH = AB Tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với AB H 15.19 Cho đoạn thẳng AB và số thực k Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức AM −BM = k 15.20 Cho đoạn thẳng AB và số thực k Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức AM +BM = k # » # » 15.21 Cho đoạn thẳng AB và số thực k Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện M A· M B = k 15.22 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức M A2 + M B = 2M C 15 Lop10.com (16) 15.6 Phương tích điểm đường tròn 15.23 Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định Một đường thẳng ∆ thay đổi, luôn qua M , cắt # » # » đường tròn (O; R) hai điểm A và B Chứng minh M A · M B = M O2 − R2 # » # » Hướng dẫn Vẽ đường kính BC đường tròn (O; R), ta có M A là hình chiếu M C trên đường thẳng M B Sau đó, dùng công thức hình chiếu # » # » Định nghĩa 15.4 Giá trị không đổi M A · M B = M O2 − R2 = d2 − R2 Bài toán trên gọi là phương tích điểm M đường tròn (O) và kí hiệu là PM/(O) # » # » PM/(O) = M A · M B = M O2 − R2 = d2 − R2 Khi điểm M ngoài (O), M T là tiếp tuyến (O) (T là tiếp điểm), thì # » PM/(O) = M T = M T 15.24 Cho hai đường thẳng AB và CD cắt M Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng # » # » # » # » nằm trên đường tròn và M A · M B = M C · M D 15.25 Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng ∆ M và điểm C trên ∆ (C khác M ) Chứng minh ∆ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M C = M A · M B 15.7 Biểu thức toạ độ tích vô hướng #» Cho hai vectơ #» a = (x1 ; y1 ) và b = (x2 ; y2 ) Khi đó #» 1) #» a · b = x1 x2 + y1 y2 ; p 2) | #» a | = x21 + y12 ; x1 x2 + y y #» p 3) cos( #» a, b) = p x1 + y12 x22 + y22 #» #» #» ( #» a 6= và b = 0) Hệ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy khoảng cách hai điểm M (xM ; yM ) và M (xN ; yN ) là p # » M N = |M N | = (xN − xM )2 + (yN − yM )2 15.26 Cho ba điểm A(1; 1), B(2; 3), C(5; −1) • Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác vuông • Tính diện tích và chu vi tam giác ABC • Tính độ dài đường trung tuyến tam giác ABC kẻ từ đỉnh A √ 15.27 (A, 2004) Cho hai điểm A(0; 2) và B(− 3; −1) Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB (O là gốc toạ độ) √ √ Đáp số H( 3; −1) và I(− 3; 1) 15.28 (D, 2004) Cho tam giác ABC có các đỉnh A(−1; 0), B(4; 0), C(0; m) với m 6= Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G √ Đáp số M (1; m/3); m = ±3 16 Lop10.com (17) 15.29 Cho điểm N (2; −3) Tìm điểm M trên trục hoành cho độ dài đoạn M N Đáp số M1 (6; 0) và M2 (−2; 0) 15.30 Cho điểm N (−8; −13) Tìm điểm M trên trục tung cho độ dài đoạn M N 17 Đáp số M1 (0; 28) và M2 (0; −2) 15.31 Cho các điểm M (2; 2) và N (5; −2) Tìm điểm P trên trục hoành cho tam giác M P N vuông P Đáp số P1 (1; 0) và P2 (6; 0) 15.32 Xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn (C ), biết (C ) qua điểm A(4; 2) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Đáp số C1 (2; 2) R1 = 2; và C1 (10; 10) R1 = 10 15.33 Cho hình vuông ABCD với A(3; 0) và C(−4; 1) Xác định toạ độ hai đỉnh B và D Đáp số B(0; 4) và D(−1; −3) 15.34 Cho tam giác ABC, với A(−3; 6), B(9; −10), C(−5; 4) Xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đáp số I(3; −2) và R = 10 Xác định toạ độ trực tâm tam giác ABC Tìm toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD là hình bình hành 15.35 Xác định độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A tam giác ABC biết A(3; −5), B(−3; 3), C(−1; −2) √ 14 Đáp số 15.36 Xác định độ dài đường phân giác ngoài kẻ từ đỉnh B tam giác ABC biết A(3; −5), B(1; −3), C(2; −2) Đáp số 15.37 Cho điểm A(7; −3) và B(23; −6) Xác định toạ độ giao điểm C đường thẳng AB và trục hoành Đáp số C(−9; 0) 15.38 Cho điểm A(5; 2) và B(−4; −7) Xác định toạ độ giao điểm C đường thẳng AB và trục tung Đáp số C(0; −3) # » # » 15.39 Cho hai điểm A, B và số thực k Tìm tập hợp các điểm M cho AM · BM = k Hướng dẫn Chọn A(0; 0), B(0; b) và M (x; y) 15.40 Cho tam giác ABC Gọi M, N là trung điểm các cạnh BC, AC Chứng minh AC > BC, thì AM > BN Hướng dẫn Chọn A(a; 0), B(b; 0) và C(0; c) 17 Lop10.com (18) 16 Hệ thức lượng tam giác Trong mục này, với tam giác ABC, ta kí hiệu • AB = c, AC = b, BC = a; • ma , mb , mc là các đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C; • , hb , hc là các đường cao xuất phát từ A, B, C; • R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; • r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC; • S diện tích tam giác ABC; • p= 16.1 AB + BC + CA là nửa chu vi tam giác ABC Định lí côsin tam giác Trong tam giác ABC, ta có • a2 = b2 + c2 − 2bc cos A; • b2 = a2 + c2 − 2ac cos B; • c2 = a2 + b2 − 2ab cos A Hệ Trong tam giác ABC, ta có 16.2 • cos A = b2 + c2 − a2 ; 2bc • cos B = a2 + c2 − b2 ; 2ac • cos C = a2 + b2 − c2 2ab Định lí sin tam giác Định lí 16.1 Với tam giác ABC, ta có b c a = = = 2R sin A sin B sin C 16.3 Công thức trung tuyến Trong tam giác ABC, ta có • m2a = b2 + c2 a2 − ; • m2b = a2 + c2 b2 − ; • m2c = a2 + b2 c2 − 18 Lop10.com (19) 16.4 Diện tích tam giác Trong tam giác ABC, ta có 1 • S = aha = bhb = chc ; 2 1 • S = ab sin C = acb sin B = bc sin A; 2 • S= abc ; 4R • S = pr; p • S = p(p − a)(p − b)(p − c) (công thức Hê - rông) 16.1 (Biết hai cạnh và góc xen giữa) b = 60◦ Tính cạnh a, SABC , ma , , R và r Cho tam giác ABC có b = 4, c = và A Đáp số a = 7, SABC √ √ √ 20 ,R= = 10 3, = 16.2 (Biết hai cạnh và góc không xen giữa) b = 120◦ Tính cạnh BC, SABC , ma , , R và r Cho tam giác ABC có AC = 8, AB = và C 16.3 (Biết cạnh và hai góc) b = 60◦ và C b = 45◦ Tính các cạnh và góc còn lại Tính SABC , mb , hb , Cho tam giác ABC có BC = 8, B R và r 16.4 (Biết ba cạnh) √ √ Cho tam giác ABC có a = 6, b = 2, c = + Tính các góc tam giác Tính , R √ √ √ (1 + 3) ◦ ◦ ◦ b b b Đáp số A = 60 , B = 45 , C = 75 , = , R = 2 √ b = 60◦ Tính độ dài 16.5 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = 13, độ dài cạnh BC = và góc B cạnh c và R, r √ √ √ 21 3(5 − 7) Đáp số c = 4, R = ,r= 3 16.6 Tính góc A tam giác ABC, biết b(b2 − a2 ) = c(c2 − a2 ), b 6= c √ 16.7 Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = và diện tích 3 Tìm cạnh BC b = 120◦ Đáp số A Hướng dẫn • S = AB · AC · sin A Từ đó, tìm sin A • BC = AB + AC − 2AB · AC · cos A Đáp số BC = √ 13 BC = √ 37 16.8 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N là trung điểm các cạnh AC và BD Chứng minh AB + BC + CD2 + DA2 = AC + BD2 + 4M N 19 Lop10.com (20) 16.9 Chứng minh hình bình hành, tổng bình phương các cạnh tổng bình phương hai đường chéo 16.10 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh 1 GA2 + GB + GC = (a2 + b2 + c2 ) với điểm M , ta luôn có M A2 + M B + M C = 3M G2 + GA2 + GB + GC 16.11 Cho tam giác ABC Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với là b2 + c2 = 5a2 3 16.12 Tính độ dài các cạnh tam giác ABC biết b2 + c2 = 15, = , sin A = Hướng dẫn 1 • S = aha = bc sin A ⇒ bc = a 2 • a2 = b2 + c2 − 2bc cos A Từ sin A = ⇒ cos A = ± 5 • Xét hai trường hợp cos A, cùng với giả thiết suy a2 + 2a − 15 = ⇒ a = Có a, có bc và b2 + c2 Từ đó tìm b và c √ b = 30◦ 16.13 Tính diện tích tam giác ABC, biết b = 3, a + c = 3hb , A √ 2 Hướng dẫn c = 2hb , c = 2a, a = b + c − 2bc cos A Suy a = 3, b = 6, S = √ b = 45◦ , B b = 60◦ , hc = 2 16.14 Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A Đáp số √ 16.15 Chứng minh các góc tam giác ABC thoả mãn điều kiện sin B = sin A · cos C, thì tam giác đó cân 16.16 Chứng minh các cạnh và các góc tam giác ABC thoả mãn điều kiện thì tam giác đó vuông a c a + = , cos B cos C sin B · sin C 16.17 Kí hiệu `a là độ dài đường phân giác tam giác ABC kẻ từ đỉnh A Chứng minh a b+c 2c cos `a = 16.18 Chứng minh a > b, thì `a > `b 17 17.1 Phương trình đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng #» Định nghĩa 17.1 Vectơ phương đường thẳng ∆ là vector khác , có giá song song với ∆ trùng ∆ Nhận xét Một đường thẳng cho trước có vô số vectơ phương và các vectơ phương này cùng phương với 20 Lop10.com (21)