Lập BBT; nêu đúng các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị * Đồ thị: tự vẽ, rõ ràng, đầy đủ, chính xác... Kết luận: Những điểm cần tìm thoả mãn điều kiện bài toán..[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 212) I PHẦN CHUNG (7 điểm) (Cho tất các thí sinh) Câu (2đ) Cho hàm số: y = 2x3 - 3x2 + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Tìm trên (C) điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ xy 18 12 x Câu (2đ) Giải hệ phương trình: xy y x Giải phương trình: + ( x - 12).3x + 11 - x = Câu (1đ) Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và khoảng cách cạnh bên và cạnh đáy đối diện m Câu (1đ) Tính tích phân: I [ x(2 x) ln(4 x )]dx Câu (1đ) Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c a (a c) b 1 Thoả mãn hệ điều kiện: CMR: sin A sin B sin C b(b a ) c II PHẦN RIÊNG (3đ) (Thí sinh làm hai phần) Theo chương trình chuẩn: Câu 6a (2đ) Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + = và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x 6y + = Tìm điểm M (C) và N (d) cho MN có độ dài nhỏ Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng: (P1): x - 2y + 2z - = x2 y z4 (P2): 2x + y - 2z - = và đường thẳng (d): 1 2 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2) Câu 7a (1đ) Đặt: (1 - x + x2 - x3)4 = a0 + a1x + a2x2 + + a12x12 Tính hệ số a7 Theo chương trình nâng cao Câu 6b (2đ) Trong mặt phẳng (oxy) cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = và điểm 1 7 M , Tìm trên (C) điểm N cho MN có độ dài lớn 5 5 Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z + = và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - = Tìm điểm M (S), N (P) cho MN có độ dài nhỏ Câu 7b (1đ) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số: 3x x f ( x) x 0, và f (0) ; điểm x0 = x ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 212) I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu (2đ) y = 2x3 - 3x2 + 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) * TXĐ: R * Sự biến thiên: ĐIỂM + Giới hạn: lim y = , lim y = x Lop10.com x 0,25đ (2) + Bảng biến thiên: y’ = 6x2 - 6x = 6x (x - 1) x 0; ( y 1) y' = x 1; ( y 0) 2) 0,25đ Lập BBT; nêu đúng các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị * Đồ thị: (tự vẽ), rõ ràng, đầy đủ, chính xác Tìm M (C) ? Giả sử M (x0; y0) (C) y0 = 2x03 - 3x02 + Tiếp tuyến ( ) (C) M: y = (6x02 - 6x0) (x - x0) + 2x03 - 3x02 + ( ) qua điểm P(0 ; 8) = -4x03 + 3x02 + 0,25đ 0,25đ 0,25đ (x0 + 1) (4x02 - 7x0 + 7) = 0,25đ x0 = -1 ; (4x0 - 7x0 + > 0, x0) 0,25đ Vậy, có điểm M (-1 ; -4) cần tìm Câu (2đ) 1) 0,25đ xy 18 12 x 12 x x Giải hệ: xy y x y y x 3 x xy 18 0,25đ x 3;2 , tương ứng y 3;3 Thử lại, thoả mãn hệ đã cho Vậy, x; y 3;3 , 3;3 2) 0,25đ x 123 Giải phương trình: x x 0,25đ 0,25đ 11 x 3 x x x (a + b + c = 0) x f ( x ) x 11 (*) 3 11 x f ' ( x) x ln 0, x (*) có nghiệm x = f (2) Vậy, tập nghiệm phương trình: S = {0 ; 2} Câu (1đ) S N A C O B SO (ABC) S.ABC chóp AO BC M 0,5đ 0,25đ 0,25đ M O là tâm tam giác ABC AM BC BC (SAM ) SO BC Trong SAM kẻ đường cao MN MN = m AO a a 3a AM AO sin 60 2 Lop10.com 0,25đ (3) a2 SO h SA SO AO h 2 3a 4m h SA.MN = SO.AM h 2am m a a ; và S(ABC) = 3a 4m 2 am 0,25đ 0,25đ m a a 3m V S ( ABC ).h 3a 4m 0,25đ Câu (1đ) Tính tích phân 2 0 I x(2 x) dx + ln(4 x )dx = I1 I 2 0 I1 x(2 x) dx ( x 1) dx (sử dụng đổi biến: x 1 sin t ) 0,25đ x2 dx (Từng phần) x2 I ln(4 x )dx x ln(4 x ) |02 2 0,25đ ln (đổi biến x tan t ) I I1 I 0,25đ 3 ln 2 0,25đ Câu (1đ) a (a c) b (1) ABC: b(b a ) c (2) (1) sin2A + sinAsinC = sin2B sinAsinC = (Đl sin) (cos2A - cos2B) sinAsinC = sin(A + B) sin (B -A) sinA = sin (B - A) ; (sin (A + B) = sin C > 0) A = B - A ; (A, B là góc tam giác) B = 2A 0,25đ Tương tự: (2) C = 2B A + B + C = , nên A = ;B= 2 4 ;C= 7 0,25đ 4 2 3 sin sin sin cos 1 7 7 Ta có: = 2 4 3 sin B sin C sin sin sin cos sin 7 7 = sin sin A (đpcm) II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Chương trình Câu 6a (2đ) 1) Tìm M (C), N (d)? Lop10.com 0,25đ 0,25đ (4) (d): 3x - 4y + = (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = d (I ; d) = (d) (C) = Ø Giả sử tìm N0 (d) N0 là hình chiếu vuông góc I trên (d) I (1;3) N0 = (d) , với: (d ) u 3;4 0,25đ x 1 3t 1 7 : N0 ; 5 5 y 4t 0,25đ 11 19 Rõ ràng (C) = {M1; M2} ; M1 ; ; M2 ; 5 5 M0 (C) để M0N0 nhỏ M0 M1 và M0N0 = 0,25đ Kết luận: Những điểm cần tìm thoả mãn điều kiện bài toán 11 M ; ; N 5 1 7 ; 5 5 0,25đ 2) Phương trình mặt cầu (S) ? (P1): x - 2y + 2z - = (P2): 2x + y - 2z - = Giả sử I (x0 ; y0 ; z0) (d): x2 y z4 1 2 I (-2 - t ; 2t ; + 3t) là tâm mặt cầu (S) 0,25đ Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P1), (P2) d (I, (P1)) = d (I ; (P2)) t 13 1 9t 10t 16 3 t 1 0,25đ I1 = (11 ; 26 ; -35) ; I2 (-1 ; ; 1) R1 = 38 ; R2 = 0,25đ Vậy, có hai mặt cầu cần tìm: (S1): (x - 11)2 + (y - 26)2 + (z + 35)2 = 382 (S2): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 22 Câu 7a (1đ) Tính hệ số a7 ? (1 - x + x2 - x3)4 = (1 - x)4 (1 + x2)4 0,25đ 0,25đ k = 1 C4k x k C4i x 2i k 0 i 0,25đ k 2i (Gt) k ; i 1;3, 3;2 k , i 0,1,2,3,4 0,25đ a7 C41C43 C43C42 40 0,25đ Chương trình nâng cao Câu 6b (2đ) 1) Tìm N (C)? (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1 7 Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = ; M ; 5 5 Lop10.com (5) 6 8 IM ; MI 5 5 0,25đ Giả sử tìm N (C) MN MI + IN = 0,25đ Dấu “=” xảy N là giao điểm tia đối IM và đường tròn (C) x 1 t (IM): y t ; IM C N1; N 11 19 N1 ; , N ; ; MN1 < MN2 5 5 0,25đ 19 Kết luận: Thoả mãn điều kiện bài toán: N ; 5 0,25đ 2) Tìm M (S) , N (P) ? (S): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = Tâm I (-1 ; ; 1), bán kính R = (P): x - 2y + 2z - = d I; P = ( P ) ( S ) Ø Giả sử tìm N0 (P) N0 là hình chiếu vuông góc I trên (P) 0,25đ d I (1;2;1) N d P , với: (d ) ( P ) ud (1;2;2) x 1 t 7 d : y 2t N ; ; 3 3 z 2t 0,25đ (d ) ( S ) {M1 ; M2} 5 1 M1 ; ; , M ; ; 3 3 3 3 M1M0 = < M2M0 = M0 (S) để M0N0 nhỏ M0 M1 0,25đ Vậy, điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán 5 7 M ; ; , N ; ; 3 3 3 3 0,25đ Câu 7b (1đ) Đạo hàm định nghĩa: lim x 0 3x x f ( x) f (0) = lim x x2 x 0,25đ x (1 x) (1 x) x x2 0,25đ = lim x 0 = lim x 0 = -1 + 3 x (1 x) 1 x 3 x 1 x 2 x (1 x ) x lim 1 = - Vậy, f '( ) 2 0,25đ 0,25đ Lop10.com (6)