Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để * Nội dung phương pháp : Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho : Đưa phương trình về d[r]
(1)Bàn dạng phương trình Trong bài viết này tôi muốn trao đổi với các bạn cách tiếp cận khác qua đó các bạn thấy lời giải tự nhiên và phát triển thêm số bài khó Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: Đặt Vậy ta có hệ phương trình : Trừ hai phương trình hệ: (Do ) Thay vào hệ ta có: Vậy phương trình có ba nghiệm: Bình luận: Bài toán trên là bài toán khá đơn giản và có lẽ nhiều bạn không khó khăn để giải bài toán này Tuy nhiên từ bài toán trên ta có thể tổng quát dnagj phương trình trên sau: * Dạng tổng quát bài toán trên: (I) Để giải phương trình này ta đặt ta có hệ: Đây là hệ đối xứng loại II với hai ẩn t và y biểu thức cụ thể và biến đổi ta có phương * Từ dạng trên ta cho trình mà ta thường gọi là chứa hai hàm ngược Do đó gặp phương trình chứa hai hàm ngược ta tìm cách biến đổi dạng trên Ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 2: Giải phương trình : Giải: Điều kiện : PT Đặt Ta có hệ : Lop10.com (2) * (thỏa ) * (thỏa đk ) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: Ví dụ 3: Giải phương trình: Giải: ĐK: PT Đặt Ta có hệ phương trình: Do nên Từ (2) ta có: .Vậy phương trình đã cho có nghiệm: thay vào (1) ta được: Chú ý : Ở (II) ta thay số b biểu thức thì ta giải phương trình cách làm tương tự trên Ví dụ 4: Giải phương trình : Giải: Điều kiện : Phương trình Đặt và Ta có : * * Vậy phương trình có hai nghiệm: Ví dụ 5: Giải phương trình : Lop10.com (3) Giải: Ta thấy không là nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho ta được: Đặt , ta có: Đặt , ta có hệ phương trình : Thử lại ta thấy ba nghiệm này thỏa phương trình Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: Những ví dụ trên ta đã thay b (II) biểu thức chứa x Vậy thay a biểu thức chứa x thì nào ? ta còn giải theo cách trên hay không? Ta xét ví dụ sau Ví dụ 6: Giải phương trình : Giải: PT Đặt , Ta có hệ phương trình : * phương trình vô nghiệm * hệ vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ Lop10.com (4) Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ A Phương pháp đặt ẩn phụ Có bước phương pháp này : - Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ - Đưa phương trình ban đầu phương trình có biến là ẩn phụ Tiến hành giải phương trình vừa tạo này Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp - Giải phương trình cho ẩn phụ vừa tìm và kết luận nghiệm * Nhận xét : - Cái mấu chốt phương pháp này chính là bước đầu tiên Lí là nó định đến toàn lời giải hay, dở , ngắn hay dài bài toán - Có phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu bài viết này đó là : + PP Lượng giác hoá + PP dùng ẩn phụ không triệt để + PP dùng ẩn phụ đưa dạng tích + PP dùng ẩn phụ đưa hệ Sau đây là bài viết : B Nội dung phương pháp I Phương pháp lượng giác hoá Nếu thì ta có thể đặt Ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt cos( )( Phương trình đã cho trở thành : )=0 Kết hợp với điều kiện t suy : Vậy phương trình có nghiệm : Ví dụ : Lời giải : ĐK : Khi đó VP > Nếu Lop10.com (5) Nếu Đặt ( , với )( ta có : )=0 Vậy nghiệm phương trình là Ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành : Vậy nghiệm phương trình là Ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành : Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ HD : Nếu : phương trình không xác định Chú ý với ta có : để giải phương trình (1) ta cần xét với Đặt đó phương trình đã cho trở thành : Nếu thì ta có thể đặt : Lop10.com (6) Ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt Phương trình đã cho trở thành : kết hợp với điều kiện t suy Vậy phương trình có nghiệm : TQ : Ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành : (thỏa mãn) TQ : với a,b là các số cho trước : Đặt để đưa phương trình lượng giác đơn giản : Ví dụ : (1) Lời giải : Do không là nghiệm phương trình nên : (1) (2) Đặt Khi đó (2) trở thành : Lop10.com (7) Suy (1) có nghiệm : Ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành : Kết hợp với điều kiện su : Vậy phương trình có nghiệm : Mặc định điều kiện : trình và kết luận : Ví dụ : sau tìm số nghiệm chính là số nghiệm tối đa phương Lời giải : phương trình đã cho tương đương với : (1) Đặt : (1) trở thành : Suy (1) có tập nghiệm : Vậy nghiệm phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ (2) Lop10.com (8) II Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để * Nội dung phương pháp : Đưa phương trình đã cho phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn phương trình đã cho : Đưa phương trình dạng sau : đó : Đặt Phương trình viết thành : Đến đây chúng ta giải t theo x Cuối cùng là giải phương trình giản hóa và kết luận : Ví dụ : (1) lời giải : ĐK : Đặt Lúc đó : (1) Phương trình trở thành : Giải phương trình trên với ẩn t , ta tìm : Do Với nên thì : không thỏa điều kiện ( thỏa mãn điều kiên Ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành : * Với ta có : , (vô nghiệm vì : * Với Do ) , ta có : không là nghiệm phương trình nên : Lop10.com sau đã đơn (9) Bình phương hai vế và rút gọn ta : TQ : Ví dụ : (thỏa mãn) Lời giải : Đặt Phương trình đã cho viết thành : Từ đó ta tìm Giải : * Nhận xét : Cái khéo léo việc đặt ẩn phụ đã thể rõ phương pháp này và cụ thể là ví dụ trên Ở bài trên dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải trọn vẹn nó Vấn đề chính là việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến hệ số tự , việc gải t theo x thực dễ dàng ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt phương trình đã cho trở thành : Giải : ta có : * Vậy ví dụ : (loại) là các nghiệm phương trình đã cho Lời giải : ĐK : Đặt Phương trình đã cho trở thành : Hệ phương trình đồng bậc Lop10.com (10) Chuyên đề này giới thiệu với các bạn dạng hệ phương trình đó là hệ phương trình đồng bậc I)Hệ đồng bậc: Ví dụ: Đặt x=ky ta thu được: ta có: +)Với k=1 ta có: +)Với k=-2 ta có: Cách giải chung:Nếu các số hạng trừ số hạng tự các phương trình hệ có bậc thì ta đặt x=ky nối hai phương trình hệ Bài tập áp dụng:Giải các hệ phương trình sau: 1) 2) 3) II)Hệ phương trình đưa dạng đồng bậc nhờ phép đặt ẩn phụ: Ví dụ 2)Giải hệ phương trình: Lop10.com (11) Đặt x=u+a , y=u+b thay vào phương trình (1): Để đưa hệ đồng bậc thì ta phải chọn để hệ số số hạng u ,v là tức là Thay x=u-1 , y=v-2 vào hệ phương trình đã cho ta có: Khi này ta đã có thể giải bình thường hệ đồng bậc Ví dụ 3:Giải hệ phương trình: Rõ ràng x=0 không là nghiệm phương trình nên chia phương trình hệ cho Đặt ta có: Đến đây ta đã có thể giải giải hệ đồng bậc bình thường (đặt u=ky) Sau đây là số bài tập áp dụng: Giải hệ phương trình: 1) 2) 3) Lop10.com ta có: (12) 4) 5) PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ PHỤ PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ PHỤ Lop10.com (13) Áp dụng cho BDT Côsi Ví dụ : Cho x,y >= thỏa mãn Tìm GTLN biểu thức : Giải : Đặt Áp dụng BDT Côsi cho số : Cộng vế theo vế : Vậy ta cần xác định a,b thỏa hệ : Từ (2) : thay vào (1) : Thay vào (4) : Ví dụ : Tìm GTNN hàm số : với Giải : Đặt Áp dụng BDT Côsi : Ta xác định a cho : (vì ) Vậy : Lop10.com (14) Xảy Ví dụ : Tìm GTLN hàm số : Giải : Đặt Áp dụng BDT Côsi : Ta cần xác định a cho : Vậy : Xảy Ví dụ : Tìm GTLN hàm số : Giải : Đặt (*) Áp dụng BDT Côsi : Ta cần xác định a cho : (Do ) Thỏa mãn (3) Thay lại vào (2) : Thay vào (*) : Vậy GTLN hàm số là Lop10.com (15) Đạt Ví dụ : (DH - B 2008) Cho x,y là các số thực thỏa mãn : Tìm GTLN và GTNN biểu thức : Lời giải : GS k là cực trị P ta có : Ta cần xác định k cho : Vậy : ; Để thục phương pháp này các bạn làm thêm các bài tập sau : BÀI TẬP : Cho các số dương x,y thỏa mãn : Tìm GTNN biểu thức : Cho a,b là các số dương thỏa mãn : Tìm GTNN biểu thức : Tìm GLNN hàm số : Tìm GTNN hàm số : với Tìm GTLN hàm số : Tìm GTNN hàm số : Cho x,y là các số không âm thỏa mãn : Tìm GTLN biểu thức : Lop10.com (16)