Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC.. phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của Cm tại A, B vuông góc...[r]
(1)1 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 143 ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm ) x2 (C) x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Chứng minh rằng: với giá trị m, đường thẳng d : y x m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm A,B phân biệt Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng AB Câu II (2,0 điểm ) x4 x4 x x 16 Giải bất phương trình: cos x cos ( x) sin x 3cos( x ) sin x 2.Giải phương trình: 3 Cho hàm số : y Câu I: (2 điểm) Câu III (1,0 điểm) ln Tính tích phân: I e ln e x dx x 1 ex Câu IV (1,0 điểm) Một hình nón đỉnh S , có tâm đường tròn đáy là O A, B là hai điểm trên đường tròn đáy A 600 Tính theo a cho khoảng cách từ O đến đường thẳng AB a , AASO SAB chiều cao và diện tích xung quanh hình nón Câu V (1,0 điểm) a1 b1 c1 32 b a c c b a a c b Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh: a b3 c 3 II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a(2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x y x y và điểm A(4;5) Chứng minh A nằm ngoài đường tròn (C) Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) T1, T2, viết phương trình đường thẳng T1T2 Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S): x y z x y z Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P) Câu VII.a(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện: z i z 3i Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ B Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b(2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho tam giác ABC cân A có chu vi 16, A,B thuộc đường thẳng d: 2 x y 2 và B, C thuộc trục Ox Xác định toạ độ trọng tâm tam giác ABC Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A tam giác ABC Câu VII.b(1,0 điểm) x2 x m Cho hàm số (Cm): y (m là tham số) Tìm m để (Cm) cắt Ox hai điểm x 1 phân biệt A,B cho tiếp tuyến (Cm) A, B vuông góc ……………………….Hết………………………… Lop10.com (2) ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 143 ) PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I Nội dung chính và kết Điểm thành phần D=R/ a) (1điểm) > , x D h/số đồng biến trên D và không có cực trị ( x 1) Các đường tiệm cận: T/c đứng x=1; T/c ngang: y =1 Tâm đối xứng I(1;1) BBT x - y’ + + + y ' điểm y 0,25 điểm + 0,25 điểm - Đồ thị y f(x)=(x-2)/(x-1) f(x)=1 x(t)=1 , y(t)=t 0,5 điểm x -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 b) (1 điểm) * Phương trình hoành độ giao điểm d (C ) là: x mx m (1) ; đ/k x m 4m Vì với m ,nên p/t (1) có nghiệm phân biệt khác với f (1) m Suy d (C ) hai điểm phân biệt với m *Gọi các giao điểm d (C ) là: A( x A ; x A m ) ; B( xB ; xB m );với x A ; xB là các nghiệm p/t (1) AB 2( x A xB ) ( x A xB ) x A xB 2 m 4(m 2) (m 2) Lop10.com 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm (3) Vậy : AB 2 , đạt m = 0,25 điểm x x Đặt t = x x (t > 0) x t 2( L) BPT trở thành: t2 - t - t 0,25 x (a) 2x * Với t x 16 - 2x x (b) 9 - 2x 2 4( x 16) (9 x) 0,25 II.1 * Đk: (1 điểm) * * 145 x< (b) 36 (a) x 0,25 *Tập nghệm BPT là: T= 145 ; 36 0,25 II.2 a) (1 điểm) 2cosx+ cos ( x) sin x 3cos(x+ )+ sin x 3 (1 điểm 2cosx+ cos x sin x 3s inx+ sin x 3 ) 6cosx+cos x 6s inx.cosx-9sinx+sin x 6cosx(1-sinx)-(2sin x 9s inx+7) 6cosx(1-sinx)-2(s inx-1)(s inx- ) 1 s inx=0 (1) x k 2 ;(k Z ) (1-sinx)(6cosx-2sinx+7) 6cosx-2sinx+7=0(2) (p/t (2) vô nghiệm ) III * Đặt t = e x , Khi x = ln2 t = (1 điểm) x = ln3 t = x 2x e = t + e dx = 2tdt * 0,25 (t 2)tdt 2t = (t )dt t t 1 t t 1 0 I = 2 0,25 Lop10.com 0,25 (4) * 1 d (t t 1) t2 t 1 = (t 1)dt + * = (t 2t ) 10 Câu IV (1,0 đ) Gọi I là trung điểm AB , nên S O A I B Chiếu cao: SO 0,25 + 2ln(t2 + t + 1) 10 = 2ln3 - OI a Đặt OA R A 600 SAB SAB 1 OA R IA AB SA 2 sin AASO Tam giác OIA vuông I nên OA2 IA2 IO R2 a R a2 R SA a a 2 0,25 0,25 0,25 0,25 Diện tích xung quanh: S xq Rl a a a2 V * Ta cm với a, b > có a3 + b3 a2b + ab2 (*) (1 điểm) Thật vậy: (*) (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) (a + b)(a - b)2 đúng Đẳng thức xẩy a = b * Từ (*) a3 + b3 ab(a + b) b3 + c3 bc(b + c) c3 + a3 ca(c + a) 2(a3 + b3 + c3 ) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) * Áp dụng BĐT co si cho số dương ta có: 1 1 1 + + 33 3 = a b c a a a abc 0,25 0,25 (1) (2) * Nhân vế với vế (1) và (2) ta BĐT cần cm Đẳng thức xẩy a = b = c VI.a.1 * Đường tròn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = (1 điểm) Ta có IA = > R A nằm ngoài đường tròn (C) * Xét đường thẳng 1 : x = qua A có d(I; 1 ) = 1 là tiếp tuyến (C) * 1 tiếp xúc với (C ) T1(4;1) Lop10.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (5) * T1T2 IA đường thẳng T1T2 có vtpt n = IA =(1;2) phương trình đường thẳng T1T2 : 1(x - 4) + 2(y - 1) x + 2y - = VI.a.2 * Mp(P) có vtpt n P = (1;1;-2) (1 điểm) (S) có tâm I(1;-2;-1) * IA = (2;1;2) Gọi vtcp đường thẳng là u tiếp xúc với (S) A u IA Vì // (P) u n P * Chọn u = [ IA , n P ] = (-4;6;1) x 4t * Phương trình tham số đường thẳng : y 1 6t z 1 t VII.a * Đặt z = x + yi (x; y R) (1 điểm) |z - i| = | Z - - 3i| |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i| * x - 2y - = Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là đường thẳng x - 2y - 3 = * |z| nhỏ | OM | nhỏ M là hình chiếu O trên * M( 6 ;- ) z = - i 5 5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý: HS có thể dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M VI.b.1 * B = d Ox = (1;0) (1 điểm) Gọi A = (t;2 t - 2 ) d H là hình chiếu A trên Ox H(t;0) H là trung điểm BC * Ta có: BH = |t - 1|; AB = (t 1)2 (2 2t 2)2 3|t - 1| ABC cân A chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1| t * 16 = 8|t - 1| t 1 0,25 0,25 0,25 ) 4 Với t = -1 A(-1;-4 ), B(1;0), C(-3;0) G( 1 ; ) * Với t = A(3;4 ), B(1;0), C(5;0) G( ; Lop10.com 0,25 (6) VI.b.2 * Gọi d là đường cao tương ứng với đỉnh A ABC d là giao tuyến (ABC) với ( ) qua A và vuông góc với (1 điểm) BC AC = (-1;1;-5) , BC = (-2;-2;-2) * Ta có: AB = (1;3;-3), [ AB , AC ] = (18;8;2) 0,25 0,25 mp(ABC) có vtpt n = [ AB , AC ] = (-3;2;1) mp( ) có vtpt n ' = - BC = (1;1;1) * Đường thẳng d có vtcp u =[ n , n ' ] = (1;4;-5) * Phương trình đường thẳng d: x 1 t y 2 4t z 5t 0,25 VII.b * Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) với Ox: (1 điểm) x x m x2 x m =0 x 1 0,25 0,25 x (Cm) cắt Ox điểm phân biệt pt f(x) = x2 - x + m = có nghiệm phân biệt khác 1 m (*) f (1) m x1 x x1x m * Khi đó gọi x1, x2 là nghiệm f(x) = Ta có: y' = 0,25 f '( x)( x 1) ( x 1) ' f ( x) ( x 1) Hệ số góc tiếp tuyến (Cm) A và B là: f '( x1 )( x1 1) f ( x1 ) f '( x1 ) x1 k1 = y'(x1) = = = ( x1 1) ( x1 1) x1 x2 * Tương tự: k1 = y'(x2) = ( f(x1) = f(x2) = 0) x2 x1 x2 Theo gt: k1k2 = -1 = -1 x1 x2 1 * m = ( thoả mãn (*)) Lop10.com 0,25 0,25 (7)