tài liệu xstk 022019 nguyenvantien0405

Gọi X là số lần mặt sấp xuất hiện, X là bnn rời rạc.. a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra?. b) Xác định PMF, CDF.[r]

CHƯƠNG 2

BI N NG U NHIÊN

Ế

Ẫ

2.1 Khái niệm phân loại

• Khái niệm Biến số gọi biến ngẫu nhiên (random

variable) kết phép thử nhận giá trị có tùy thuộc vào tác động nhân tố ngẫu nhiên

• Ký hiệu: X, Y, Z … hay X1,X2,…

Ví dụ 1

• X: Lượng khách vào cửa hàng ngày • Y: Tuổi thọ điện thoại

• Trả ngẫu nhiên mũ bảo hiểm cho người Gọi Z:

số mũ bảo hiểm trả người

• T: Số sản phẩm hỏng 100 sản phẩm

nhập

• U: Chiều cao sinh viên gọi ngẫu nhiên

Phân loại

Rời rạc

- Hữu hạn giá trị

- Vô hạn đếm giá trị

- Xác suất tập trung điểm giá trị

Biến ngẫu

nhiên

Liên tục

- Giá trị lấp đầy hay vài khoảng hữu hạn vô hạn - Xác suất khoảng giá trị

- Xác suất không tập trung điểm

Ví dụ 2

• Hộp có viên bi gồm trắng vàng Lấy ngẫu

nhiên viên bi từ hộp Đặt Y số viên bi vàng có viên lấy

• Khi Y biến ngẫu nhiên. • Ta có:

• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” biến cố nào???



2; ;



Hai biến ngẫu nhiên độc lập

• Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập hai biến cố: • Độc lập với giá trị x, y.

• Nói cách khác biến cố liên quan đến hai biến

2.2 Quy luật phân phối xác suất

•

Biểu diễn

quan hệ

giữa

giá trị

của biến ngẫu

Luật phân phối xác suất

Hàm phân bố xác

suất (CDF) Rời rạc + Liên tục

Xác suất bên trái

Tỷ lệ bên trái F(x) Hàm khối xác suất

(PMF) Rời rạc Xác suất điểm p(x)f(x) Hàm mật độ xác Liên tục Mật độ xác suất f(x)

• Biểu diễn quan hệ giữa giá trị của biến ngẫu nhiên xác suất tương ứng

Hàm phân phối xác suất

• Hàm phân phối xác suất (Cumulative Distribution

Function), viết tắt CDF biến ngẫu nhiên X hàm xác định:

• {X≤x} : biến cố “bnn X nhận giá trị nhỏ hay

bằng x”

• Đơi ta cịn gọi hàm phân bố xác suất hay

hàm tích lũy xác suất





( )

;

X

x

Hàm khối xác suất

• Probability Mass Function (PMF)

• Tính chất:

•

Dạng bảng

•

Dạng đồ thị

 





X

p

x



P X



x

 

 

) ) ) X X x

i p x

ii p x

iii P A p x





Bnn Rời rạc - Bảng ppxs

• Bảng phân phối xác suất X.

• xi : giá trị có bnn X

• pi : xác suất tương ứng;

X

x

1

… x

2

… x

n

P

p

1

… p

2

… p

n

1 ) ) ( ) ( )     



i X n i i i i

i p p x i

x p

PMF CDF

• Hàm phân phối xác suất xác định sau:

 

1

1

1 2

1 1

0

,

,

,

,

X

k k k

x x

p

x

x x

F x

p

p

x

x x

p

p



x



x x







 











 









 





 





 

k

X X k

x x

F x

P X

x

p

x



Ví dụ 3

Xét phép thử tung hai đồng xu phân biệt Không gian mẫu là:

Gọi X số lần mặt sấp xuất hiện, X bnn rời rạc Hàm khối xác suất:

•

 

1/ 4

;

0

2

1/ 2

;

1

0

;

0; 1; 2

X

x

hay x

p

x

x

Ví dụ 3

• Hàm phân phối xác suất:

X

P 1/4 1/2 1/4

 

0

,

0

1/ 4

,0

1

3 / 4

,1

2

Ví dụ 4

• Một hộp có 10 sản phẩm có sản

phẩm đạt loại A Lấy ngẫu nhiên sản phẩm

• Lập bảng phân phối xác suất số sản phẩm

loại A lấy ra?

Ví dụ 5

Có kiện hàng Kiện có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Kiện có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ kiện sản phẩm từ kiện sản phẩm

a) Lập bảng phân phối xác suất số sản phẩm tốt sản phẩm lấy ra?

Ví dụ 6

• Luật Benford phát biểu lượng

lớn số thực đời, chữ số tuân theo luật phân phối với 30% số 1, 18% số nói chung:

• Với D chữ số phần tử chọn

ngẫu nhiên

• Luật phân phối có hợp lý khơng?





10

1

log j , {1,2,3 ,9}

P D j j

j

  

    

Chú ý BNN liên tục

• Nếu X bnn liên tục thì:

   

) 0, )

)

(   

    

X a a

ii P a X b P a i

X P

Hàm mật độ xác suất

• Probability Density Function

Hàm mật độ xác suất

 

 

)

)



 

  





i f x x R

PDF CDF

 

f x

 

 

x

F x

f t dt

 

Ví dụ 7

• Cho biến ngẫu nhiên X có CDF dạng:

• A) Xác định hệ số k • B) Tìm PDF

 

0 ,

,0 1 ,1

x

F x kx x

Ví dụ 8

• Cho biến ngẫu nhiên X có PDF dạng:

• A) Xác định hệ số k • B) Tìm hàm CDF

• C) Tính P(2<X<3)

• D) Thực lần phép thử độc lập với bnn X Tính

xác suất bnn X khơng nhận giá trị khoảng (2;3)

 

k2



1



f x x

x

2.3 Các tham số biến ngẫu nhiên

• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)

• Phương sai (Variance) V(X), Var(X) • Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) • Mốt (Mode) m0

• Trung vị (Median) me

• Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV • Hệ số bất đối xứng (Skewness)

Kỳ vọng (Expected Value)

• Kỳ vọng tốn học bnn X ký hiệu E(X)

hay  tính theo cơng thức sau:

Ví dụ 9

• Tung cục xúc sắc nhiều lần Gọi X số chấm

mặt ngửa cục xúc sắc

• Tính kỳ vọng X

• Về lâu dài (in a long run) giá trị trung bình

Ý nghĩa kỳ vọng

• Là giá trị trung bình bnn (trong trình

lâu dài); phản ánh giá trị trung tâm ppxs bnn

• Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, cần

Ví dụ 10

• Một nhân viên bán hàng có hẹn

Ví dụ 11

• X tuổi thọ loại thiết bị điện tử

• Tìm tuổi thọ trung bình loại thiết bị này.

 

20.0003



100



f x x

x

Ví dụ 12

• Nhu cầu hàng ngày loại thực phẩm tươi sống

1 khu vực bnn rời rạc có ppxs:

• Giả sử khu vực có cửa hàng cửa hàng

nhập ngày 100kg thực phẩm

• Giá nhập 40 ngàn/kg; bán 60 ngàn/kg Nếu thực

phẩm không bán ngày phải bán với giá 20/kg ngàn hết hàng

• Muốn có lãi trung bình cao cửa hàng có nên

X 80 100 120 150

Ví dụ 13

• Cho bnn X có hàm mật độ:

• A) Kiểm tra lại tính hợp lý PDF trên • B) Tính E(X)

• Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối mũ

với tham số λ Ký hiệu: X~E(λ)

 

x



0



f x e  x

Ví dụ 14

• Tính kỳ vọng bnn X rời rạc có hàm mật độ:





 

C

P X k p k k

k

Kỳ vọng hàm bnn

• Cho bnn X hàm (x) Đặt Y=(X) bnn • Kỳ vọng tốn học Y:

�

(

�

(

�

)

)

=

{

∑

�

�

(

�

�

)

�

(

�

�

)

,

n

ế

u   X   r

ờ

i r

ạ

�



−∞

+∞

�

(

�

)

�

(

�

)

��

,

n

ế

u  X   li ê n   t

ụ

c

Ví dụ 15

• Xét hai bnn sau:

• So sánh E(X) E(Y)

• Vẽ đồ thị nhận xét mức độ biến thiên X,

X

P 0,3 0,4 0,3

Y

Phương sai

• Định nghĩa Phương sai (variance) bnn X, ký

hiệu V(X) tính theo cơng thức:

• Rút gọn: V X

 

E X E X





 



2

 





 

Ý nghĩa phương sai

• Phương sai đo độ dao động giá trị X

xung quanh kỳ vọng tốn E(X)

• Phương sai có đơn vị bình phương đơn vị X • Nếu X, Y đơn vị, ý nghĩa, V(X)>V(Y) thì:

– X biến động, dao động, phân tán Y

– Y ổn định, đồng X

• Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho sai số

Ví dụ 16

• Tiền lãi đầu tư tỷ đồng vào ngành A, B

các bnn độc lập X, Y:

• Muốn lãi trung bình cao đầu tư vào ngành

nào?

• Muốn rủi ro thấp đầu tư vào ngành nào?

• Muốn rủi ro thấp chia vốn đầu tư theo tỷ

X 15 30

P 0,3 0,5 0,2

Y -2 15 35

Ví dụ 17

• Đầu tư a tỷ vào ngành A b tỷ vào ngành B tháng Tìm trung bình phương sai tổng tiền lãi tháng?

• Đầu tư tỷ vào ngành A tháng Tìm trung bình phương sai tiền lãi thu

• Mỗi tháng đầu tư vào ngành A tỷ, độc lập Tìm trung bình phương sai tổng tiền lãi tháng Tính xác suất tổng tiền lãi khơng 50 triệu

X 15 30

P 0,3 0,5 0,2

Y -2 15 35

Độ lệch chuẩn

• Định nghĩa Độ lệch chuẩn (standard deviation) bnn X, ký hiệu (X) hay X, bậc hai

phương sai

• Độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán, dao động bnn X có ý nghĩa tương tự phương sai

• Độ lệch chuẩn có đơn vị với bnn X

 

X V X

 

Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên

• Cho X bnn có kỳ vọng  độ lệch chuẩn >0. • Đặt:

• Ta có:

• Biến Z gọi bnn chuẩn hóa bnn X.

X

Z 



 

 

0

 

1

Tuổi thọ loại côn trùng M biến ngẫu nhiên X (đơn vị: tháng) với PDF sau:

• Tìm số k? • Xác định CDF?

• Tính tuổi thọ trung bình loại trùng trên.

Ví dụ 20

 





,



4



Hệ số biến thiên

• Định nghĩa Hệ số biến thiên (coefficient of variation)

của X ký hiệu CV(X) tính theo cơng thức:

• Kí hiệu: CV(X).

• Hệ số biến thiên có đơn vị %.

• Hệ số biến thiên đo độ phân tán tương đối.

• Có thể so sánh hệ số biến thiên nhiều bnn khác

nhau, không cần đơn vị, ý nghĩa, khơng có kỳ vọng

 

 

100%



 

0



X

CV X E X E X



Median (Trung vị)

• Định nghĩa Trung vị bnn X, ký hiệu MedX, me giá trị nằm phân phối xác suất

• Nếu X rời rạc:

• Nếu X liên tục:









0,5 0,5 e e

P X m

P X m

        

 

0,5

e

m

f x dx



Mode X

• Định nghĩa Mốt (mode) bnn X, ký hiệu mo là giá trị ứng với xác suất lớn (X rời rạc) hàm mật độ f(x) lớn (X liên tục)

• BNN X có mod, nhiều mod khơng có mod

• Nếu X rời rạc:

• Nếu X liên tục:





x R

 

f m

max f x









i



i



Ví dụ 21

Cho bnn X

Ta có:

X 1 2 3 4 5

P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25

X 1 2 3

4

5

Ví dụ 22

• Cho bnn X có hàm mật độ xác suất

• Tìm MedX ModX?

 









3

2 ,0

4

0 , 0,2

Phân vị mức (1-)

• Định nghĩa Với bnn X liên tục, phân vị (percentile)

mức ký hiệu là số thực thỏa mãn:

•





1 



  

1

Giá trị tới hạn

• Định nghĩa Với bnn X liên tục, giá trị tới hạn

(critical value) mức ký hiệu là số thực thỏa mãn:

•

� 





P X



x







Ví dụ 23

Tuổi thọ loại trùng X (tháng) có hàm mật độ

a) Tìm số k b) Tìm Mod(X)

c) Tìm xác suất trùng chết trước tháng tuổi

 













2 4 , 0;4

0 , 0;4

kx x x

Ví dụ 24

Cho bnn X có hàm mật độ

và E(X)=0,6; V(X)=0,06 a) Tìm a,b,c?

b) Đặt Y=X3 Tính E(Y)

 









2 , 0;1

0 , 0;1

ax bx c x

Ví dụ 25

• Giả sử cửa hàng sách định nhập số

cuốn truyện trinh thám Nhu cầu hàng năm loại sách sau:

• Cửa hàng mua sách với giá 7USD cuốn, bán

với giá 10USD đến cuối năm phải hạ giá với giá 5USD

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

Ví dụ 25

• Nếu nhập 32 lợi nhuận bán trung bình bao nhiêu?

• Xác định số lượng nhập cho lợi nhuận kì vọng lớn

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

Bài tập chương 2

• 2.1; 2.2; 2.6; 2.7; 2.9;

• 2.10; 2.11; 2.14; 2.15; 2.17; • 2.18; 2.10; 2.23; 2.24; 2.25 • 2.26; 2.27; 2.30; 2.31; 2.32 • 2.33; 2.34; 2.37

Anscombe's quartet

Anscombe's quartet

I II III IV

x y x y x y x y

10.0 8.04 10.0 9.14 10.0 7.46 8.0 6.58

8.0 6.95 8.0 8.14 8.0 6.77 8.0 5.76

13.0 7.58 13.0 8.74 13.0 12.74 8.0 7.71

9.0 8.81 9.0 8.77 9.0 7.11 8.0 8.84

11.0 8.33 11.0 9.26 11.0 7.81 8.0 8.47

14.0 9.96 14.0 8.10 14.0 8.84 8.0 7.04

6.0 7.24 6.0 6.13 6.0 6.08 8.0 5.25

4.0 4.26 4.0 3.10 4.0 5.39 19.0 12.50

12.0 10.84 12.0 9.13 12.0 8.15 8.0 5.56

7.0 4.82 7.0 7.26 7.0 6.42 8.0 7.91

Anscombe's quartet

Property Value Accuracy

Mean of x exact

Sample variance of x 11 exact

Mean of y 7.50 to decimal places

Sample variance of y 4.125 ±0.003

Correlation between x and y 0.816 to decimal places

Linear regression line y = 3.00 + 0.500x to and decimal places, respectively Coefficient of determination

Mean variance Correlation Linear regression Coefficient of determination