Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng 1 :.. Chứng minh hai đường thẳng 1 và 2 chéo nhau.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 192) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm các giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = Câu II: (2 điểm) Giải phương trình : + (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = Tìm m để phương trình x x m.( x 4) x2 x x 14 m có nghiệm thực 4 x Câu III: (2 điểm) x y z , 2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : x 1 y 1 z 1 1 Chứng minh hai đường thẳng 1 và 2 chéo Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 và tạo với đường thẳng 1 góc 300 Câu IV: (2 điểm) ln( x 1) Tính tích phân : I dx x3 2 : Cho x, y, z > và x + y + z ≤ xyz Tìm giá trị lớn biểu thức 1 P x yz y zx z xy Câu Va: (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác Oxy, cho tam giác ABC cân A , phương trình cạnh AB: x + y – = , phương trình cạnh AC : x – 7y + = 0, đường thẳng BC qua điểm M(1; 10) Viết phương trình cạnh BC và tính diện tích tam giác ABC Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn 2.x x An2 Cnn11 4n n , biết (n là số nguyên dương, x > 0, Ank là số chỉnhhợp chập k n phần tử, Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử) ……………… Hết ……………… Lop10.com (2) ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 192) Câu I-1 Nội dung Khi m = Ta có hàm số y = - x3 + 3x2 – Tập xác định D = R Sự biến thiên Chiều biến thiên y’ = - 3x2 + 6x , y’ = x = v x = y’> x ( 0;2) Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2) y’ < x (- ∞; 0) (2; +∞).Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞;0) và (2; +∞) Cực trị Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = y(2) = Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = y(0) = - Giới hạn Lim ( x x 4) , Lim ( x x 4) Đồ thị hàm số không có tiệm cận x Điểm 0,25 0,25 x Tính lồi, lõm và điểm uốn y’’ = - 6x +6 , y’’ = x = Bảng biến thiên x -∞ y’ y +∞ + 0 +∞ - 0,25 (I) -2 -4 -∞ Đồ thị Đồ thị hàm số cắt trục Ox tai các điểm (- 1; 0) , (2; 0) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tai điểm (0 ; -4) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm uốn I(1;- 2) Hệ số góc tiếp tuyến điểm uốn là k = y’(1) = y f(x)=-x^3+3x^2-4 0,25 x -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 I-2 Ta có y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ = x = v x = 2m Hàm số có cực đại , cực tiểu phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt m Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1) Trung điểm thẳng AB là I(m ; 2m3 – 3m – 1) I đoạn Vectơ AB (2m; 4m ) ; Một vectơ phương đường thẳng d là u (8; 1) I d Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với qua đường thẳng d AB d m 8(2m3 3m 1) 74 m=2 AB.u 0,25 0,25 0,25 0,25 Lop10.com (3) II-1 Tập xác định D = R Phương trình đã cho tương đương với ( s inx sin x) cos x (1 cos2 x) 0,25 ( s inx 2s inx.cos x) ( cos x 2cos x) s inx( cos x) cos x( cos x) 0,25 cos x ( cos x)(s inx cos x) s inx cos x 5 5 x k 2 x k 2 x k t anx 1 II-2 Điều kiện: 0,25 ,k Z 0,25 x 4 x 2 x x 8 x x 0,25 Phương trình đã cho tương đương với x x m | x | x2 x x 14 m 4 x ( x x 8) m x x x x m (1) 2x x ; Khi x - 2; 4) thì t 0; 3 (2) Đặt t = Phương trình trở thành : - t2 – mt + 2t – – m = m t 2t t 1 t 2t t 2t ; t 0;3 ; f’(t) = Xét hàm số f (t ) ; f’(t) = t = - v t = t 1 (t 1) Bảng biến thiên hàm số f(t) trên đoạn ; t -∞ -4 -1 +∞ f’(t) - + + + -2 f(t) III-1 III -2 -6 0,25 Phương trình đx cho có nghiệm x - 2; 4) Phương trình (2) có nghiệm t 0; Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f(t) , t 0; - ≤ m ≤ - Đường thẳng 1 có vectơ phương u1 (1; 2;1) , Điểm M O(0; 0; 0) 1 Đường thẳng 2 có vectơ phương u2 (1; 1;3) , điểm N(1;-1;1) 2 2 1 1 2 Ta có u1 , u2 ; ; (5; 2;1) ; ON (1; 1;1) 1 3 1 1 Ta có u1 , u2 ON 5 2 Suy hai đường thẳng 1 và 2 chéo x y Phương trình đường thẳng 2 : 3 y z Lop10.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 có dạng (x + y) + (3y + z + 2) = với 2 + 2 x + ( + 3)y + z + 2 = Một vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) là n ( ; 3 ; ) Mặt phẳng (P) tạo với đường thẳng 1 góc 300 Ta có sin(1,(P)) = | cos(u1 , n) | | 1. 2( 3 ) 1. | sin300 = 3 5 | 5 | 2 ( 3 ) IV-1 0,25 22 - - 102 = (2 - 5)( + 2) = 2 = 5 v = - 2 Với 2 = 5 chọn = 5, = ta có phương trình mặt phẳng (P) là: 5x + 11y + 2z + = Với = - 2 chọn = 2, = - ta có phương trình mặt phẳng (P) là: 2x – y – z – = Kết luận: Có hai phương trình mặt phẳng (P) thoả mãn 5x + 11y + 2z + = ; 2x – y – z – = 0,25 2x u ln( x 1) du x 1 Đặt dx dv v x 2x2 0,25 ln( x 1) dx Do đó I = 1 x( x 1) 2x 0,25 IV -2 0,25 2 ln ln x ln ln dx d ( x 1) 1 dx x x 1 1 x 1 x 1 0,25 ln ln 2 ln | x | ln | x | 1 0,25 Từ giả thiết ta có xyz ≥ x + y + z ≥ 3 xyz = ln ln (xyz)3 ≥ 27.xyz xyz ≥ 3 0,25 Áp dụng BĐT Cauchy ta có x2 + yz + yz ≥ 3 ( xyz ) ; y2 + zx + zx ≥ 3 ( xyz ) ; 1 1 Từ đó ta có P 3 ( xyz ) 3 ( xyz ) 3 ( xyz ) ( xyz ) Từ đó ta có Max P = Va-1 z2 + xy + xy ≥ 3 ( xyz ) 1 (3 3) x y z đạt x y z 3 x y z xyz 3 x y 0,25 d2 Do tam giác ABC cân A nên đường phân giác kẻ từ A là đường cao * Nếu d1 là đường cao tam giác ABC kẻ từ A thì phương trình cạnh BC là 3x – y + = * Nếu d2 là đường cao tam giác ABC kẻ từ A thì phương trình cạnh BC là x + 3y - 31 = TH1: Phương trình cạnh BC: 3x – y + = x y x 1 Toạ độ điểm B là nghiệm hệ phương trình Hay B(-1; 4) 3 x y y Toạ độ điểm C là nghiệm hệ phương trình 11 x x y 3 x y y 0,25 0,25 x y x Toạ độ điểm A là nghiệm hệ phương trình: Hay A(2;1) x y y 1 Phương trình đường phân giác góc A là x y x y x y d1 0,25 Hay C( 11 ; ) 5 0,25 0,25 Diện tích tam giác ABC là : S d (C , AB ) AB 24 36 (đvdt) 2 Lop10.com (5) TH2: Phương trình cạnh BC: x +3y - 31 = x y x 11 Toạ độ điểm B là nghiệm hệ phương trình Hay B(-11; 14) x y 31 y 14 101 x x y x y 31 y 18 Toạ độ điểm C là nghiệm hệ phương trình Diện tích tam giác ABC là : S Va-2 Hay C( 101 18 ; ) 0,25 1 104 676 d (C , AB ) AB 13 (đvdt) 2 5 Giải phương trình An2 Cnn11 4n ; Điều kiện: n ≥ ; n N (n 1)! n(n 1) 4n n(n 1) 4n Phương trình tương đương với n(n 1) 2!(n 1)! n2 – 11n – 12 = n = - (Loại) v n = 12 0,25 12 Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn: 2x x k 12 12 k Số hạng thứ k + khai triển là : Tk +1 = C (2 x) k 12 Hay Tk+ = C 2 x 12 k .x k k 12 12 k = C .x 24 3 k x k ; k N, ≤ k ≤ 12 0,25 k N , k 12 Số hạng này không chứa x k 24 3k Vậy số hạng thứ không chứa x là T9 = C128 24 7920 Lop10.com 0,25 0,25 (6)