Tài liệu TUCHON-NANGCAO 11-Full.doc

Giáo án tự chọn 11 CHỦ ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sinx = a • Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm • Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = α + k2π và x = π - α + k2π, k ∈ , với sin α = a. 2. Phương trình cosx = a • Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm • Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = ± α + k2π, k ∈ , với cosα = a. 3. Phương trình tanx = a Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ 2 π +kπ, k ∈ . Nghiệm của phương trình x = α + kπ, k ∈ , với tanα = a 4. Phương trình cotx = a Điều kiện: sinx ≠ 0 hay x ≠ kπ, k ∈ . Nghiệm của phương trình là x= α + kπ, k ∈  với cotα = a. B. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP: 1. Phương trình asinx + bcosx = c • asinx + bsinx = c ⇔ sin(x + α) = 2 2 c a b + trong đó: sinα = 2 2 b a b + ; cosα = 2 2 a a b+ • asinx + bsinx = c ⇔ cos(x – β) = 2 2 c a b + trong đó: sin β = 2 2 a a b + ; cos β = 2 2 b a b+ Chú ý: Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi c 2 ≤ a 2 + b 2 . 2. Phương trình a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c Đặt t = sinx + cosx, |t| ≤ 2 Phương trình trở thành bt 2 + 2at – (b + 2c) = 0 Lê Xuân Hiếu -1- (Loại do điều kiện) Giáo án tự chọn 11 II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN 1. Phương trình đưa về phương trình tích Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0 Giải Điều kiện của phương trình là cos2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0 Ta biến đổi 3tan2xcot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0 ⇒ 3tan2xcot3x + 3 tan2x – 3 3 cot3x – 3 = 0 ⇒ tan2x (3cot3x + 3 ) - 3 (3cot3x + 3 ) = 0 ⇒ (3cot3x + 3 ) (tan2x - 3 ) = 0 ⇒ 2 3 3 cot 3 3 3 3 tan 2 3 3 x k x x k x π π π π   = +  = −  ⇒    = +  =    (k ∈ ) ⇒ 2 9 3 6 2 x k x k π π π π  = +    = +   (k ∈ ) Caá giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x = 2 9 3 k π π + và x = 6 2 k π π + , k ∈  Bài 2: Giải phương trình: 1 tan 2 sin 1 cot x x x + = + Giải Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx ≠ 0, sinx ≠ 0 và cot x ≠ -1. Ta biến đổi phương trình đã cho: 1 tan cos sin sin 2 sin . 2 sin 1 cot cos sin cos x x x x x x x x x x + + = ⇒ = + + ⇒ sin 2 sin cos x x x = ⇒ sinx 1 2 0 cos x   − =  ÷   ⇒ sin 0 2 cos 2 x x =    =   ⇒ x = ± 2 4 k π π + , k∈  Lê Xuân Hiếu -2- Giáo án tự chọn 11 Giá trị x = - 2 4 k π π + , k∈  bị loại do điều kiện cot x ≠ -1. Vậy nghiệm của của phương trình đã cho là x = 2 4 k π π + , k∈ . Bài 3: Giải phương trình tan3x – 2tan4x + tan5x = 0 với x ∈ (0,2π) Giải Điều kiện của phương trình đã cho: cos3x ≠ 0, cos4x ≠ 0 và cos5x ≠ 0. Ta có: tan3x -2tan4x + tan5x = 0 ⇒ sin8 2sin 4 0 cos3 cos5 cos4 x x x x x − = ⇒ 2sin 4 cos4 2sin 4 0 cos3 cos5 cos4 x x x x x x − = ⇒ 2sin4x 2 cos 4 cos3 cos5 0 cos3 cos4 cos5 x x x x x x   − =  ÷   ⇒ 2sin4xsin 2 x = 0 ⇒ sin 4 0 sin 0 x x =   =  ⇒ 4 4 4 x k x k x k x k x k π π π π π  = =   ⇒ ⇒ =   =  =  (k ∈ ) Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là: 1 2 3 4 5 3 5 7 ; ; ; ; 4 4 4 4 x x x x x π π π π π = = = = = 2. Phương trình đưa về phương trình bậc hai của các hàm số lượng giác. Bài 4: Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos 4 x + sin 4 x) Giải: Ta có: 1 + sin2x = 2(cos 4 x + sin 4 x) = 2[(cos 2 x + sin 2 x) 2 – 2sin 2 xcos 2 x] = 2 2 1 1 sin 2 2 x   −  ÷   = 2 – sin 2 2x Vậy ta được phương trình sin 2 2x + sin2x -1 = 0 Đặt t = sin2x với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 ta được phương trình: t 2 + t – 1 = 0 ⇒ t = 1 5 2 − ± . Giá trị 1 5 2 − − < -1 nên bị loại. Với t = 1 5 2 − + ta có phương trình sin2x = 1 5 2 − + Phương trình này có nghiệm: x= 1 1 5 arcsin 2 2 k π   − + +  ÷  ÷   , k ∈  Và x = 1 1 5 arcsin 2 2 2 k π π   − + − +  ÷  ÷   , k ∈  Đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho. Bài 5: Giải phương trình sin 2 x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2. Lê Xuân Hiếu -3- Giáo án tự chọn 11 Giải Điều kiện của phương trình là cosx ≠ 0 Chia hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được: tan 2 x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan 2 x) ⇒ tan 3 x – tan 2 x = 5tanx – 3 – 2 tan 2 x ⇒ tan 3 x + tan 2 x – 5tanx + 3 = 0 Đặt t = tanx ta được phương trình. t 3 + t 2 – 5t +3 = 0 ⇔ (t – 1)(t 2 + 2t – 3) = 0 ⇔ 1 3 t t =   = −  Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm 4 x k π π = + , k ∈  Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + kπ, k ∈  Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 4 k π π + , x = arctan(-3) + kπ, k ∈  Bài 6: Giải phương trình: 3 3 2 3 1 3 1 sin cos sin 2 sin cos 3 2 2 3 x x x x x     − + = + −    ÷  ÷       Giải Ta biến đổi phương trình đã cho: 3 3 2 3 1 3 3 2 sin cos 2sin cos sin cos 3 2 6 x x x x x x   − − + − +     =0 ⇔ 3 2 2 3 2 2 2 2 sin 3 sin cos sin cos cos sin cos 3 sin cos 0 3 3 x x x x x x x x x x     − + + + − =  ÷  ÷     ⇔ 2 2 2 sin 3 sin cos cos (sin cos ) 0 3 x x x x x x   − + + =  ÷   ⇔ 2 2 sin cos 0 (1) 2 sin 3 sin cos cos 0 (2) 3 x x x x x x + =    − + =  • Giải phương trình (1) ta được: x = 3 4 π +kπ, k ∈  • Giải phương trình (2): sin 2 x - 3 sinxcosx + 2 3 cos 2 x = 0 Nếu cosx = 0 thì vế trái bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos 2 x, ta được: tan 2 x - 2 3 tan 0 3 x + = Giải phương trình, ta được: x = 6 k π π + và x = arctan 2 3 3 + kπ, k ∈  Vậy phương trình đã cho có các nghiệm Lê Xuân Hiếu -4- Giáo án tự chọn 11 x = 3 , 4 6 k x k π π π π + = + và x = arctan 2 3 3 + kπ, k ∈  3. Phương trình asinx + bcosx = c Bài 7: Giải phương trình 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0 Giải Ta có: 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0 ⇔ 4cosx + 2 3 sinx + 2cos 2 x – 1 + 2 3 sinxcosx + 3 = 0 ⇔ 2 3 sinx(cosx+1) + 2(cosx +1) 2 = 0 ⇔ 2(cox +1)( 3 sinx + cosx + 1) = 0 ⇔ cos 1 0 3 sin cos 1 0 x x x + =   + + =  ⇔ (2 1) 2 3 x k x k π π π = +    = − +  (k ∈ ) Bài 8: Giải phương trình: 2cos 3 x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0 Giải Ta biến đổi phương trình đã cho: 2cos 3 x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0 ⇔ 2 (cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos 3 x – sin2xcosx – 2cosx = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(2cos 2 x – sin2x – 2) = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx + 2 ) =0 ⇔ cos2 sin 2 1 0 cos sin 2 0 x x x x − − =   + + =  ⇔ 2 cos 2 4 2 cos 1 4 x x π π    + =   ÷       − = −   ÷    ⇔ 2 2 4 4 2 4 x k x k π π π π π π  + = ± +    − = +   (k ∈ ) Lê Xuân Hiếu -5- Giáo án tự chọn 11 ⇔ 4 5 2 4 x k x k x k π π π π π   =   = − +    = +  (k ∈ ) 4. Phương trình a(sinx + cosx) + bsinx + cosx = c Bài 9: Giải phương trình cos2x + cos 2 x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0 Giải Ta có: cos2x + cos 2 x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0 ⇔ 5(sinx + cosx) – 3cosxsinx = 3 Đặt t = sinx + cosx (- 2 ≤ t ≤ 2 ), phương trình trở thành: 3t 2 – 10t + 30 = 0 ⇒ 3( ) 1 3 t loai t =    =  ⇒ sinx + cosx = 1 3 ⇒ sin 2 4 6 x π   + =  ÷   Giải ra ta được: 2 arcsin 2 4 6 3 2 arcsin 2 4 6 x k x k π π π π  = − + +    = − +   (k ∈ ) Bài 10: Giải phương trình 2sin 3 x + cos2x – 3cosx + 2 =0 Giải Biến đổi phương trình đã cho, ta được: 2sin 3 x + cos2x – 3cosx + 2 = 0 ⇔ 2sinx (1-cos 2 x) + 2cos 2 x – 3cosx +1=0 ⇔ (1 – cosx)[2sinxcosx + 2(sinx – cosx) + 1} = 0 ⇔ cos 1 (1) 2sin cos 2(sin cos ) 1 0 (2) x x x x x =   + − + =  Phương trình (1)cho ta nghiệm x = k2π, k ∈  Giải phương trình (2), đặt t = sinx – cosx (- 2 ≤ t ≤ 2 ). Phương trình (2) trở thành: t 2 – 2t – 2 = 0 ⇒ 1 3( ) 1 3 t loai t  = +  = −   Với t = 1 - 3 , giải ra ta được: Lê Xuân Hiếu -6- Giáo án tự chọn 11 2 6 arcsin 2 4 2 5 2 6 arcsin 2 4 2 x k x k π π π π    − = + +   ÷  ÷       −  = − +  ÷  ÷     (k ∈ ) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 2 2 6 arcsin 2 4 2 5 2 6 arcsin 2 4 2 x k x k x k π π π π π   =     −  = + +  ÷  ÷        − = − +   ÷  ÷     (k ∈ ) III. BÀI TẬP Giải các phương trình sau: 1. 3 cot2xtan3x-(cot2x + 3 tan 3x) + 1 =0 2. 4cos 2 2xsinx + 2cosxsin4x + 2 3 cos2x + 2sin3x + 3 = 0 3. 1 cos2 sin 4 1 tan 2 x x x − = − 4. 3sin 2 x - 3 3 sinxcosx + sin2x - 3 cos2x = 3 5. sin4x 2 1 3 sin 4 sin 2 3 5sin 2 4sin 2 9 cos2 (9 sin 4 ) 0 4 2 x x x x x x   − + + − − + − =  ÷   6. cos3x(3tanx + 6 + 2 3 ) – 3tanx + (3 - 2 3 ) sin2x = 2 3 . 7. sin2x – 2sin 2 x + 3sinx – cosx = 1 8. ( 2 - 1)sinx - 2 cosx-cos3x = 0 9. (sinx + cosx)(3cosx + 2) = cos2x + cos 2 x + 3 Lê Xuân Hiếu -7- Giáo án tự chọn 11 CHỦ ĐỀ 2: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN, HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP 1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động, hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách (không trùng với hành động thứ nhất). khi đó có m + n cách hoàn thành công việc. 2. Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp, có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai. Khi đó m.n cách hoàn thành công việc. 3. Hoán vị: • Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là hoán vị của n phần tử đó. • Số các hoán vị của n phần tử được kí hiệu là P n . Ta có: P n = n(n – 1) … 2.1 = n! 4. Chỉnh hợp: • Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp A và xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. • Kí hiệu k n A là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử. Ta có: k n A = n(n -1) … (n – k + 1). Với quy ước 0! = 1, ta có: ! ( )! k n n A n k = − 5. Tổ hợp: • Cho tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của tậm A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. • Kí hiệu k n C là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có: ! ! !( )! k k n n A n C k k n k = = − 6. Nhị thức Niu – tơn: 0 1 1 0 ( ) . . n n n n k n k k n n k n k k n n n n n k a b C a C a b C a b C b C a b − − − = + = + + + + + = ∑ B. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 7. Giải sử Ω là không gian mẫu, A và B là các biến cố. • Ω\A = A được gọi là biến cố đối của biến cố A. • A ∪ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra. Lê Xuân Hiếu -8- Giáo án tự chọn 11 • A ∩ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra. A ∩ B còn được viết là AB. • Nếu AB = ∅, ta nói A và B cung khắc. C. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 8. Kí hiệu P(A) là xác suất của biến cố A, ta có: P(A) = ( ) ( ) n A n Ω Từ đó: • 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(∅) = 0, P(Ω)=1 • P(A ∪B) = P(A) + P(B) nếu A ∩ B = ∅. 9.Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B. A và B độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B) A và B độc lập ⇒ A và B độc lập. 10. Công thức cộng mở rộng Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) D. BIẾN NGẪU NHIÊN 11. Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên là một quy tắc cho ứng mỗi kết quả của phép thử với một số thực: Giả sử X là một biến ngẫu nhiên và a là một giá trị của nó. biến cố “X nhận giá trị a” được kí hiệu là [X = a] hay (X = a) Giải sử X có tập các giá trị là {x 1 , x 2 ,…,x n } Đặt: p 1 = P[X = x 1 ], … , p n = P[X = x n ]. Ta có bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. X x 1 x 2 … … x n P p 1 p 2 … … P n 12. Kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối (1). Kì vọng của X, kí hiệu E (X), là một số được cho bởi công thức: E(X) = x 1 p 1 + … + x n p n (2) Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu V(X), là một số được cho bởi công thức: 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( ) . ( . ) n n n n V X x p x p x p x p x p = + + + − + + Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu: σ (X), là một số được cho bởi công thức: σ (X) = ( )V X Kì vọng của X là số đặc trưng cho giá trị trung bình của X. Phương sai là độ lệch chuẩn là số đặc trung cho độ phân tán của X so với kì vọng của X. II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN Bài 1: Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d mà các hệ số a, b, c, d thuộc tập {- 3, -2, 0, 2, 3}. Biết rằng: a. Các hệ số tùy ý? b. Các hệ số đều khác nhau? Lê Xuân Hiếu -9- Giáo án tự chọn 11 Giải a. Có 4 cách chọn hệ số a vì a ≠ 0. Có 5 cách chọn hệ số b, 5 cách chọn hệ số c, 5 cách chọn hệ số d. Vậy có 4 x 5 x 5 x 5 = 500 đa thức. b. Có 4 cách chọn hệ số a (a≠ 0) - Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b - Khi đã chọn a và b, có 3 cách chọn c. - Khi đã chọn a, b và c, có 2 cách chọn d. Theo quy tắc nhân có: 4 x 4 x 3 x 2 = 96 đa thức. Bài 2: Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 2 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang. Mỗi tín hiệu được xác định bở số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu tín hiệu nếu: a. Cả năm lá cờ đều được dùng? b. Ít nhất một lá cờ được dùng? Giải a. Nếu dùng cả 5 lá cờ thì mỗi tín hiệu chính là một hoán vị của 5 lá cờ. Vậy có 5!=120 tín hiệu được tạo ra. b.Mỗi tín hiệu tạo bởi k lá cờ là một chỉnh hợp chập k của 5 phần tử. Theo quy tắc cộng, có tất cả 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 325A A A A A + + + + = tín hiệu. Bài 3: Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bànd 9ầu theo những thứ tự khác nhau. Tính xác suất sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam. Giải Mỗi một sự sắp xếp chỗ ngồi cho 5 bạn là một chỉnh hợp chập 5 của 11 bạn. Vậy không gian mẫu Ω gồm 5 11 A (phần tử) Kí hiệu A là biến cố: “Trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam” Để tính n(A) ta lí luận như nhau: - Chọn 3 nam từ 6 nam, có 3 6 C cách. - Chọn 2 nữ từ 5 nữ, có 2 5 C cách. - Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau, có 5! Cách. Từ đó theo quy tắc nhân ta có: n(A) = 3 6 C . 2 5 C .5! Vì sự lựa chọn và sự sắp xếp là ngẫu nhiên nên các kết quả đồng khả năng. Do đó: 3 2 6 5 5 11 . .5! ( ) 0,433 C C P A A = ≈ . Bài 4: Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thấy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Tính xác suất để sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai. Giải Kết quả của sự lựa chọn là một nhóm 5 người tức là một tổ hợp chập 5 của 12. Vì vậy không gian mẫu Ω gồm 5 12 792C = phần tử. Gọi A là biến cố cần tìm xác suất. B là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy P nhưng không có cô Q. C là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thấy, 2 cô trong đó có cô Q nhưng không có thầy P. Như vậy: A = B ∪ C và n(A) = n(B) + n(C). Tính n(B) như sau: - Chọn thầy P, có 1 cách Lê Xuân Hiếu -10-