ĐỀ KSCL HSG TOÁN 9

Hãy xác định điểm E thuộc cạnh bên BC sao cho đoạn thẳng AE chia hình thang thành hai hình có diện tích bằng nhau... Đoạn thẳng AE chia tam giác ABF thành hai hình có diện tích bằng [r]

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG TOÁN LẦN 2 NĂM HỌC 2019 - 2020

1 Đề bài

Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức:

   

 

 

  

  

 

  

 

   

6 x x

x x

3 x x

3 x : x

x x P

a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P = Bài 2: (5,0 điểm).

a) Giải phương trình:

4 )

1

(

2

  

 x

x x

b) Tìm nghiệm nguyên hệ:  

  

  

8 zx yz xy

z y x

Bài 3: (2,0 điểm).

Cho số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1

Tính: T =

  

2 2

1 1

x z y x

 

   

2 2

1 1

y x z

y

  

   

2 2

1 1

z y x

z

  



Bài 4: (3,0 điểm).Cho hai dãy số chiều : a1 ≤ a2 ≤ a3 ; b1 ≤ b2 ≤ b3

Chứng minh : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3)

Áp dụng chứng minh : với 0abc a b c a b c

c b a

   

 



2006 2006 2006

2005 2005 2005

Bài 5: (6,0 điểm).

1 Cho hai đường tròn (o1) (o2) cắt A B Tiếp tuyến chung gần

B hai đường tròn tiếp xúc với (o1) (o2) C D Qua A kẻ đường

thẳng song song với CD cắt (o1) (o2) M N Các đường thẳng BC

và BD cắt đường thẳng MN P Q Các đường thẳng CM DN cắt E Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng AE vng góc với đường thẳng CD b) Tam giác EPQ tam giác cân

2 Đáp án

1 đk 

                 x x x x x x

Ta có: 

                        ) x )( x ( x ) x )( x ( ) x )( x ( : x )( x ( ) x ( x P =               

 (2 x)(3 x

4 x x : x =               

 (2 x)2

) x )( x ( x

= x

3

 Vậy P = x

3



Ta thấy P = x

3    25 x x

x      

 Vậy với x = 25 P = 1

2 a ĐK: x  -1 PT <=>

 1 4

4 1 2                    

 x x

x x x

x x

<=>  x112 x 4 x13 Giải Pt x = (t/m x  -1) KL: x = 8 b Hệ   

       z y x xy z y x

Đặt      v xy u y x

x, y là nghiệm phương trình: t2 - ut + v = (a) Phương trình có nghiệm  u2 – 4v

 0 (*)

Ta có hệ:       zu v z

u  

 2

Thế (1) vào (2)  v = – z(5 - z) = z2 –5z + Hệ có nghiệm  (a) có nghiệm  (*) xảy

 (5-z)2 – 4(z2 – 5z + 8)   - 3z2 + 10z –  0

 (z-1)(-3z+7)  0 

                     7 z z z z                  7 z z z ) ( ) ( VN

Từ (3) z nguyên  z = 1; +)

                    2 4 4 y x xy y x v u z +)                                 2 3 y x y x xy y x v u z

A D

F

C E

B

=(x+z)(z+y)

Tương tự ta có: 1+y2 =(y+x)(y+z)

1+z2 =(z+x)(z+y) T=

    

x zx y

y z x z z y x y x

 

  

     

x yy z

z x y x y z x z y

 

   

     

z xz y

z y x y z x y x z

 

    

=

=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) =2(xy+yz+zx)=2 Vậy T=

4 Do a1 ¿ a2 ¿ a3 ⇒ a1 - a2 ¿ 0; a1 - a3 ¿ 0; a2 - a3 ¿

và b1 ¿ b2 ¿ b3 ⇒ b1 - b2 ¿ 0; b1 - b3 ¿ 0; b2 - b3 ¿ ⇒ (a1 - a2)(b1 - b2) + (a1 - a3)(b1 - b3) + (a2 - a3)(b2 - b3) ¿

⇔ 2(a1b1+ a2b2 + a3b3)- a1b2 - a2 b1 - a1 b3 - a3b1 - a2b3 - a3b2 ¿

⇔ a1b1+a2b2+a3b3+a1b2+a2b1+a1b3+a3b1+ a2b3+a3b2 ¿ 3(a1b1+a2b2+ a3b3)

⇔ a1(b1+ b2+b3)+ a2(b1+ b2+b3)+ a3(b1+ b2+b3) ¿ 3(a1b1+a2b2+ a3b3)

⇔ ( a1 + a2 + a3 )( b1+ b2+b3) ¿ 3(a1b1+a2b2+ a3b3)

Đặt a1 = a2005 ; a2 = b2005 ; a3 = c2005

b1 = a b c

a



 ; b2 =a b c

b



 ; b3 =a b c

c

 

Do  a  b c Nên ta có ; a1  a2  a3 b1 b2 b3

áp dụng câu a ta có;

(a2005+b2005+c2005)   

 

      

 a b c

c c b a

b c b a

a

3 

 

 

 

 

c b a

c b

a2006 2006 2006



c b a c

b a

c b a

   

 



2006 2006 2006

2005 2005 2005

5.1) Do MN // CD nên EDC = ENA

Mặt khác CDA= DNA ( Cùng chắn cung DA)

-> EDC= CDA hay DC phân giác góc ADE

Lâp luận tương tự -> CD phân giác góc ACE -> A E đối xứng qua CD-> AE  CD

Do PQ song song với CD nên AE  PQ ( *)

Gọi I giao điểm AB CD Ta có AID đồng dạng với  DIB

( Do chung BID IAD = IDB (cùng chắn cung BD))

-> IA ID

=ID IB

-> ID 2 = IA.IB (1)

Lập luân tương tự -> IC2 = IA.IB (2)

Từ (1) (2) -> IC = ID Mà AP

IC

= AQ

ID

( BA BI

2)

Biến đổi hình thang thành hình tam giác có diện tích ABF

Từ D kẻ DF//AC , DF cắt đt BC F Chứng minh SABCD = SABF

Lấy E trung điểm cảu FB Đoạn thẳng AE chia tam giác ABF thành hai hình có diện tích AE đoạn thẳng