Thời điểm dừng tối ưu cho bài toán quảng cáo và bài toán bán tài sản

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Trung THỜI ĐIỂM DỪNG TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN QUẢNG CÁO VÀ BÀI TOÁN BÁN TÀI SẢN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Trung THỜI ĐIỂM DỪNG TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN QUẢNG CÁO VÀ BÀI TOÁN BÁN TÀI SẢN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê Toán học Mã số: 9460112.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Phan Viết Thư Hà Nội – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn cán hướng dẫn Các số liệu, kết trình bày luận án hồn tồn trung thực chưa cơng bố cơng trình trước Các liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ Hà Nội, ngày tháng năm 20 Nguyễn Thành Trung i LỜI CẢM ƠN Trong q trình nghiên cứu hồn thành Luận án, Nghiên cứu sinh nhận định hướng, giúp đỡ, ý kiến đóng góp quý báu lời động viên nhà khoa học, thầy giáo, đồng nghiệp gia đình Trước hết, Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lời cảm ơn tới thầy PGS.TS Phan Viết Thư tận tình hướng dẫn giúp đỡ trình nghiên cứu Cho phép Nghiên cứu sinh chân thành cảm ơn thầy cô giáo, nhà khoa học Bộ môn Xác suất - Thống kê, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội, có góp ý quý báu cho Nghiên cứu sinh trình thực Luận án Nghiên cứu sinh chân thành cảm ơn Ban Giám đốc, Phòng Đào tạo, Học viện Hậu cần tạo điều kiện thuận lợi để Nghiên cứu sinh hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu Cuối Nghiên cứu sinh bày tỏ lời cảm ơn tới đồng nghiệp, gia đình, bạn bè ln động viên, chia sẻ, ủng hộ giúp đỡ Nghiên cứu sinh vượt qua khó khăn để đạt kết nghiên cứu Luận án NCS Nguyễn Thành Trung ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ vi DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU vi MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.2 Bài toán thời điểm dừng tối ưu 1.2.1 Trường hợp thời gian rời rạc 1.2.2 Trường hợp thời gian liên tục 12 1.3 Tổng quan mạng nơ-ron 15 1.3.1 Nơ-ron sinh học nơ-ron nhân tạo 17 1.3.2 Mơ hình mạng nơ-ron 20 1.3.3 Huấn luyện mạng nơ-ron 22 1.3.4 Ví dụ chi tiết xây dựng mạng nơ-ron với ngơn ngữ lập trình Python 25 1.4 Kết luận chương 31 CHƯƠNG THỜI ĐIỂM DỪNG TỐI ƯU CHO BÀI TỐN QUẢNG CÁO 32 2.1 Mơ hình toán quảng cáo 33 2.2 Giải mơ hình 36 2.3 Xấp xỉ thời điểm dừng tối ưu mạng nơ-ron 39 2.4 Giải thuật giải toán thời điểm dừng tối ưu 45 iii 2.5 Kết mô 47 2.6 Kết luận chương 49 CHƯƠNG THỜI ĐIỂM DỪNG TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN BÁN TÀI SẢN 50 3.1 Bài toán bán tài sản tối ưu lời giải 50 3.2 Xấp xỉ đường bao tối ưu mạng nơ-ron 58 3.3 Kết mô 74 3.4 Kết luận chương 77 KẾT LUẬN 78 CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT (Ω, F, P ) Không gian xác suất đầy đủ h.c.c Hầu chắn với xác suất ĐLNN Đại lượng ngẫu nhiên EX Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X DX Phương sai biến ngẫu nhiên X Ft = σ(X(s))0≤s≤t σ -trường bé sinh q trình ngẫu nhiên X R+ [0, +∞) Rn Khơng gian Euclide n chiều |x| Giá trị tuyệt đối số thực x Chuẩn vectơ x x A◦B Hợp hai toán tử A B IA Hàm số tập A, nghĩa IA (x) = x ∈ A ngược lại Ac σ (x) = Phần bù tập hợp A 1+e−x Hàm sigmoid EQ Kỳ vọng theo độ đo Q π ae(π) Chuẩn theo độ đo xác suất π = Bằng hầu chắn độ đo xác suất π (almost surely equal) v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Cấu trúc nơ-ron sinh học điển hình 18 Hình 1.2 Nơ-ron nhân tạo 19 Hình 1.3 Mạng MLP tổng quát 21 Hình 1.4 Huấn luyện mạng nơ-ron 23 Hình 1.5 Ví dụ xây dựng mạng nơ-ron 26 Hình 1.6 Vịng lặp huấn luyện mạng nơ-ron 27 Hình 1.7 Phương pháp hướng giảm gradient 29 Hình 2.1 Mơ cho thời điểm dừng tối ưu 35 Hình 2.2 Thời điểm dừng thu τ ∗ = 137; X (τ ∗ ) = 0.321177633918076 48 Hình 2.3 Thời điểm dừng thu τ ∗ = 266; X (τ ∗ ) = 0.394082392905975 48 Hình 2.4 Thời điểm dừng thu τ ∗ = 324; X (τ ∗ ) = 0.341861018848676 49 Hình 3.1 Thời điểm bán giá bán tối ưu τB = 120; X (τB ) = 1.4474 75 Hình 3.2 Thời điểm giá bán tối ưu τB = 300; X (τB ) = 2.4888 76 Hình 3.3 Thời điểm giá bán tối ưu τB = 300; X (τB ) = 3.0850 77 vi DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Bảng 3.1 Phân bố ban đầu độ trượt 51 vii MỞ ĐẦU Trong lĩnh vực mang tính xác suất ngẫu nhiên thời điểm dừng tối ưu mang ý nghĩa quan trọng Những người chơi trò chơi Poker thường nói "thắng thua việc hồn tồn bình thường, khơng có lạ lẫm Nếu bạn khơng kiểm soát rủi ro, bạn bị rủi ro kiểm sốt" Biết rủi ro khơng thể kiểm sốt, khơng thể dự liệu trước, chi ta cố gắng tránh nó, khơng phải kiểm sốt Việc xác lập thời điểm dừng tối ưu việc làm cần thiết để tránh thất bại nặng nề tình trạng kiểm sốt ưu khơng nằm phía Đặc biệt, "trị chơi kinh tế" chứng khoán, điều hành kinh tế thời điểm dừng tối ưu phải tính tốn cân nhắc thận trọng nên tiếp tục thực biện pháp dài hạn để thu lợi nhuận cao nhất, bền vững lâu dài Những tiến máy tính đầu năm 1950 giúp cho việc mơ hình hóa ngun lý lý thuyết liên quan tới cách thức người suy nghĩ trở thành thực Nathanial Rochester sau nhiều năm làm việc phịng thí nghiệm nghiên cứu IBM có nỗ lực để mơ mạng nơ-ron Trong thời kì tính tốn truyền thống đạt thành cơng rực rỡ nghiên cứu nơ-ron giai đoạn sơ khai Mặc dù người ủng hộ triết lý “thinking machines” (các máy biết suy nghĩ) tiếp tục bảo vệ cho lập trường Năm 1956 dự án Dartmouth nghiên cứu trí tuệ nhân tạo (Artificial Intelligence) mở thời kỳ phát triển lĩnh vực trí tuệ nhân tạo lẫn mạng nơ-ron Tác động tích cực thúc đẩy quan tâm nhà khoa học trí tuệ nhân tạo trình xử lý mức đơn giản mạng nơ-ron não người Chứng minh Với Q, Q ∈ L2 (π) ta có FQ − FQ π ≤ α P · max{G, Q} − P max{G, Q} π ≤ α max{G, Q} − max{G, Q} ≤α Q−Q Như F toán tử co không gian L2 (π) nên tồn điểm bất động Theo định lý 3.6 ta có ae(π) J∗ = T J∗ ae(π) g + αP J ∗ = g + αP max {G, g + αP J ∗ } ae(π) Q∗ = g + αP max {G, Q∗ } ae(π) Q∗ = F Q∗ Bổ đề chứng minh Bổ đề 3.5 Với giả thiết 1- toán tử ΠF thỏa mãn điều kiện ΠF Q − ΠF Q π ≤α Q−Q π ; ∀Q, Q ∈ L2 (π) Hơn Qθ điểm bất động ΠF L2 (π) thỏa mãn: Qθ − Q∗ ≤√ π 1 − α2 ΠQ∗ − Q∗ π Chứng minh Vì tốn tử chiếu khơng toán tử mở rộng nên ΠF Q − ΠF Q π ≤ FQ − FQ π ≤α Q−Q π Vì miền chiếu Π mạng nơ ron nên điểm bất động ΠF có dạng Qθ Theo tính chất phép chiếu ta có Qθ − ΠQ∗ , ΠQ∗ − Q∗ = 68 Theo định lý Pythagorean ta có Qθ − Q∗ π F Qθ = = Qθ − ΠQ∗ − F Q∗ + ΠQ∗ − Q∗ π + ΠQ∗ π − Q∗ 2π ≤ π = ΠF Qθ − ΠQ∗ α2 Qθ − Q∗ 2 + ΠQ∗ − Q∗ π π π + ΠQ∗ − Q∗ π Vậy ta có Qθ − Q∗ ≤√ π ΠQ∗ − Q∗ − α2 π Bổ đề chứng minh Cho trước θ∗ thu từ thuật toán xấp xỉ, ta định nghĩa thời điểm dừng τ thời điểm xác định ∗ τ = t|G(xt ) ≥ Qθ (xt ) Ta định nghĩa toán tử H F sau:   G(x) G(x) ≥ Qθ∗ (x) (HQ)(x) =  Q(x) G(x) < Qθ∗ (x) F Q = g + αP HQ Bổ đề sau cho thấy F toán tử co có điểm bất động Q = g + αP J τ Bổ đề 3.6 Với giả thiết từ 1-4 với Q, Q ∈ L2 (π) ta có ≤α Q−Q FQ − FQ π π , ∀Q, Q ∈ L2 (π) Hơn Q = g + αP J τ điểm bất động F L2 (π) Chứng minh Với Q, Q ∈ L2 (π) ta có FQ − FQ π = (g + αP HQ) − (g + αP HQ) π ≤ α max{0, Q − Q} ≤ α Q − Q 69 ≤ α HQ − HQ π π Ta lại có (H Q)(x) = H g + αP J τ   G(x) (x) =  Q(x) ˜   G(x) =  g(x) + αP J τ (x) ∗ G(x) ≥ Qθ (x) ∗ G(x) < Qθ (x) ∗ G(x) ≥ Qθ (x) ∗ G(x) < Qθ (x) = J τ (x) Do F Q = g + αP H Q = g + αP J τ = Q Bổ đề chứng minh Bổ đề 3.7 Với giả thiết 1-4, thời điểm dừng τ thỏa mãn E [J ∗ (x0 )] − E J τ (x0 ) ≤ (1 − α) √ − α2 ΠQ∗ − Q∗ π Chứng minh Do tính dừng chuỗi bất đẳng thức Jensen ta có E [J ∗ (x0 )] − E J τ (x0 ) ≤ E [(P J ∗ ) (x0 )] − E ≤ E [(P J ∗ ) (x0 )] − E ≤ P J∗ − P Jτ P J τ (x0 ) P J τ (x0 ) π Ta lại ý Q∗ (x) = g(x) + (αP J ∗ ) (x) Q = g + αP J τ (g + αP J ∗ ) − g + αP J τ α Q∗ − Qτ π = α E [J ∗ (x0 )] − E J τ (x0 ) ≤ Theo định nghĩa F F ta có F Qθ ∗ 70 ∗ π = F Qθ Áp dụng bất đẳng thức tam giác Bổ đề 3.4 3.6 ta có ≤ Q∗ − F Qθ Q∗ − Q ∗ + Q − F Qθ π π ∗ ≤α Q −Q θ∗ π ≤ 2α Q∗ − Qθ +α Q−Q ∗ π θ∗ π ∗ π + α Q∗ − Q π Từ suy Q∗ − Q ≤ π ∗ 2α Q∗ − Qθ 1−α π ≤ 2α √ Q∗ − ΠQ∗ (1 − α) − α π Vậy Q∗ − Q α π 2α √ ≤ Q∗ − ΠQ∗ α (1 − α) − α2 √ Q∗ − ΠQ∗ π = (1 − α) − α2 E [J ∗ (x0 )] − E J τ (x0 ) ≤ π Bổ đề chứng minh Xét xấp xỉ ngẫu nhiên θt+1 = θt + γt s (zt , θt ) với hàm s : R2d × RK → RK cho bởi: s(z, θ) = ∇θ Qθ (x)(g(x) + α max{Qθ (y), G(y)} − Qθ (x)) với z = (x, y) Kí hiệu s(θ) = E [s (z0 , θ)] , ∀θ Ta có sk (θ) = E ∂Qθ (x0 ) g (x0 ) + α max Qθ (x1 ) , G (x1 ) − Qθ (x0 ) ∂θk =E ∂Qθ (x0 ) g (x0 ) + αE max Qθ (x1 ) , G (x1 ) |x0 − Qθ (x0 ) ∂θk =E ∂Q6 (x0 ) g (x0 ) + αP max Qθ , G (x0 ) − Qθ (x0 ) ∂θk = ∂Qθ , F Qθ − Qθ ∂θk 71 Bổ đề 3.8 ([13]) Với giả thiêt – ta có (θ − θ) s(θ) < 0, ∀θ = θ s θ = Định lý 3.7 ([13]) Xét xấp xỉ ngẫu nhiên θt+1 = θt + γt s (zt , θt ) với hàm s : R2d × RK → RK thỏa mãn giả thiết sau: {zt |t = 0, 1, 2, · · ·} xích Markov có tính Ergodic nhận giá trị R2d Với số thực dương q , tồn số µq cho với x t ta có E + xt q |x0 = x ≤ µq + x q Tốc độ học γt dãy không tăng xác định trước thỏa mãn điều ∞ ∞ γt = ∞; kiện sau: t=0 γt2 = ∞ t=0 Tồn số C, q cho s(z, r) ≤ C(1 + r ) (1 + z q ) , ∀z, r Tồn số C, q cho ∞ E [s (zt , r) |z0 = z] − E [s (z0 , r)] ≤ C(1 + r ) (1 + z q ) , ∀z, r t=0 Tồn số C cho E [s (z0 , r)] − E [s (z0 , r¯)] ≤ C r − r , ∀r, r Tồn số C, q cho ∞ E [s (zt , r) − s (zt , r) |z0 = z] − E [s (z0 , r) − s (z0 , r)] t=0 ≤ C r − r (1 + z q ) , ∀z, r, r Tồn θ ∈ RK cho (θ − θ) s(θ) < 0, 72 ∀θ = θ s θ = Khi θt hội tụ đến θ Định lý 3.8 Với giả thiết ta có: Giải thuật xấp xỉ hội tụ cách hầu chắn nghĩa limt→∞ θt = θ∗ (h.c.c) Giá trị hội tụ θ∗ nghiệm phương trình ΠF Qθ = Qθ Hơn θ∗ thỏa mãn: ∗ Qθ − Q∗ π ≤√ 1 − α2 ΠQ∗ − Q∗ π Gọi τ thời điểm xác định ∗ τ = t|G(xt ) ≥ Qθ (xt ) E [J ∗ (x0 )] − E J τ (x0 ) ≤ √ ΠQ∗ − Q∗ (1 − α) − α π Chứng minh Các điều kiện 1, định lý dễ dàng thỏa mãn với kiện thuật toán Ta có s(z, θ) = ∇θ Qθ (x)(g(x) + α max{Qθ (y), G(y)} − Qθ (x)) ≤ ∇θ Qθ (x) (|g(x)| + α ∇θ Qθ (y) r + |G(y)| + ∇θ Qθ (x) ≤ ∇θ Qθ (x) (|g(x)| + α |G(y)|) + ∇θ Qθ (x) α ∇θ Qθ (y) + ∇θ Qθ (x) Như điều kiện Định lý 3.7 thỏa mãn 73 θ θ ¯ s(z, θ) − s(z, θ) ¯ ¯ = ∇θ Qθ (x)(α max{Qθ (y), G(y)} − α max{Qθ (y), G(y)} − Qθ (x) + Qθ (x)) ¯ ≤ α ∇θ Qθ (x) max Qθ (y), G(y) − max Qθ (y), G(y) ≤ α ∇θ Qθ (x) Qθ (y) − Qθ (y) + ∇θ Qθ (x) ≤ α ∇θ Qθ (x) ∇θ Qθ (y) ¯ θ − θ¯ + ∇θ Qθ (y) + φ(x) ¯ Qθ (x) − Qθ (x) θ − θ¯ θ − θ¯ Từ tồn số C2 , q2 cho ¯ ≤ C2 θ − θ¯ s(z, θ) − s(z, θ) 1+ z q2 Như điều kiện thỏa mãn Từ giả thiết ta có ∞ E s (zt , θ) − s zt , θ¯ |z0 = z − E s (z0 , θ) − s z0 , θ¯ t=0 ≤ C1 C2 θ − θ¯ 1+ z q1 q2 Vì giả thiết thỏa mãn Giả thiết cho Bổ đề 3.8 Như điệu kiện định lý thỏa mãn nên phần định lý chứng minh Phần suy từ Định lý 3.7 Bổ đề 3.5 Phần suy từ Bổ đề 3.6 phần định lý suy từ Bổ đề 3.7 3.3 Kết mô Trong mục chúng tơi mơ q trình giá tài sản µ1 = 0.08; µ2 = 0.1; r = 0.09; σ = 0.35; λ = µ2 − r + ω + 0.05 = 0.0633 74 ω = (µ1 − µ2 ) /σ = 0.0571; Hình 3.1: Thời điểm bán giá bán tối ưu τB = 120; X (τB ) = 1.4474 75 Hình 3.2: Thời điểm giá bán tối ưu τB = 300; X (τB ) = 2.4888 76 Hình 3.3: Thời điểm giá bán tối ưu τB = 300; X (τB ) = 3.0850 3.4 Kết luận chương Trong chương chúng tơi xem xét tốn tìm thời điểm dừng tối ưu cho trình bán tài sản với tốc độ tăng giá trình Markov rời rạc hai trạng thái (tăng giá giảm giá) Kết tìm ngưỡng cố định cho trình xác suất hậu nghiệm Nếu trình xác suất hậu nghiệm vượt qua ngưỡng ta định bán tài sản Các kết thu khả quan kiểm tra liệu mơ cho thấy tính đắn kết tìm Chương xem xét cách tiếp cận khác cho tốn thời điểm dừng tối ưu tiếp cận học máy Xấp xỉ đường bao tối ưu mạng nơ-ron nhiều lớp, sau huấn luyện mạng nơ-ron, cho liệu qua mạng ta nhận định bán tài sản 77 KẾT LUẬN Những đóng góp luận án: Luận án xem xét hai tốn thực tế là: Bài toán xác định thời điểm dừng tối ưu cho chiến dịch quảng cáo Thị phần (tiềm năng) công ty xét sản phẩm A mơ tả phương trình vi phân ngẫu nhiên tác động chiến dịch quảng cáo thông qua truyền thông truyền miệng khách hàng có cơng ty Hàm mục tiêu hàm liên tục xác định thời gian t thị phần đạt chiến dịch quảng cáo Bài tốn tìm thời điểm dừng tối ưu cho trình bán tài sản với tốc độ tăng giá trình Markov rời rạc hai trạng thái (tăng giá giảm giá) Tiến hành giải mô hình kiểm tra liệu mơ cho thấy tính đắn kết tìm Xem xét cách tiếp cận khác cho toán thời điểm dừng tối ưu tiếp cận học máy 78 CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CƠNG BỐ [CT1] Nguyen Khac Minh, Nguyen Thanh Trung, Pham Van Khanh (2018), “THE OPTIMAL STOPPING TIME FOR SELLING AN ASSET WHEN IT IS UNCERTAIN WHETHER THE PRICE PROCESS IS INCREASING OR DECREASING WHEN THE HORIZON IS INFINITE”, American Journal of Operations Research, 8, pp 82-91 [CT2] Nguyen Thanh Trung (2018), “MODELING ELECTION PROBLEM BY A STOCHASTIC DIFERENTIAL EQUATION”, American Journal of Operations Research, 8, pp 441-447 [CT3] Nguyễn Thành Trung, Phan Viết Thư, Phạm Văn Khánh, “SỬ DỤNG TIẾP CẬN HỌC MÁY ĐỂ XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM DỪNG TỐI ƯU CHO MỘT CHIẾN DỊCH QUẢNG CÁO”, Tạp chí Ứng dụng Tốn học, Số 2, Tập XVII (2019) 79 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Thế Anh (2015), Điểm bất động điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên ứng dụng, Luận án tiến sĩ toán học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia, Hà Nội [2] Tạ Ngọc Ánh (2012), Một số vấn đề phương trình ngẫu nhiên, Luận án tiến sĩ toán học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia, Hà Nội [3] Bùi Hoàng Khánh, Lê Duy Hưng, Hồng Mạnh Khơi (2010), Báo cáo Mạng Neural Ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [4] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [5] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [6] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [7] Đặng Hùng Thắng (2007), Giáo trình xác suất: Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [8] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2000), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [9] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mơ hình xác suất ứng dụng phần 1: Xích Markov ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội 80 [10] Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng phần 2: Quá trình dừng ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [11] Đặng Minh Tuấn (2011), "Đánh giá lược đồ thuật toán chữ ký số tập thể", Tạp chí Nghiên cứu KHCN Quân sự,13(6) [12] Arnold L (1974), Stochastic Differential Equations: Theory and Applications, Wiley, Hoboken, New Jersey [13] A Benveniste and M Metivier and P Priouret (1990), Adaptive Algorithms and Stochastic Approximations, Berlin, Germany, Springer-Verlag [14] Chen E and Simonovits G and Krosnick J.A and Pasek J (2014), "The Impact of Candidate Name Order on Election Outcomes in North Dakota", Electoral Studies,35, pp 115-122 [15] Christos V Nikolopoulos and Athanassios N Yannacopoulos (2010), "A model for optimal stopping in advertisement", Nonlinear Analysis Real World Applications, 11(3), pp 1229-1242 [16] Khanh P (2012), "Optimal Stopping Time for Holding an Asset", American Journal of Operations Research, 2, pp 527-535 [17] Khanh P (2014), "Optimal Stopping Time to Buy an Asset When Growth Rate Is a Two-State Markov Chain", American Journal of Operations Research, 4, pp 132-141 [18] Khanh P (2015), "When to Sell an Asset Where Its Drift Drops from a High Value to a Smaller One", American Journal of Operations Research, 5, pp 514-525 [19] Ksendal B (2003), "Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications", Springer, 27, pp 379-395 81 [20] M Leshno and V.Y Lin and A Pinkus and S Schocken (1993), "Multilayer feedforward networks with a non-polynomial activation function can approximate any function", Neural Networks, 6, pp 861–867 [21] Lipster R.S and Shiryaev A.N (2001), Statistics of Random Process: I General Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg [22] Malliaris A.G (1983), "Ito’s Calculus in Financial Decision making", SIAM Review, 25, pp 481-496 [23] Minh N and Trung N and Khanh P (2018), "The Optimal Stopping Time for Selling an Asset When It Is Uncertain Whether the Price Process Is Increasing or Decreasing When the Horizon Is Infinite", American Journal of Operations Research, 8, pp 82-91 [24] Bernt Oksendal (1992), Stochastic Differential Equation, An introduction with Applications, Springer-Verlag, Berlin [25] Peskir G and Shiryaev A.N (2006), Optimal Stopping and Free-Boundary Problems (Lectures in Mathematics ETH Ză urich), Birkhăauser, Basel [26] Goran Peskir and Albert Shiryaev (2006), Optimal Stopping and FreeBoundary Problems, Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin [27] Shiryaev A.N (2008), Optimal Stopping Rules, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg [28] Shiryaev A.N and Xu Z and Zhou X.Y (2008), "Thou Shalt Buy and Hold", Quantitative Finance, 8, pp 765-776 82 ... tập tất thời điểm dừng M tập tất thời điểm Markov Ký hiệu MN n = {τ ∈ M : n ≤ τ ≤ N } (1.5) ≤ n ≤ N Bài toán thời điểm dừng tối ưu Bài toán thời điểm dừng tối ưu toán xác định thời điểm dừng thỏa... từ tài liệu [3], [5], [6], [7], [8], [24] Chương THỜI ĐIỂM DỪNG TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN QUẢNG CÁO Trong chương chúng tơi xem xét tốn thực tế xác định thời điểm dừng tối ưu cho chiến dịch quảng cáo. .. CHƯƠNG THỜI ĐIỂM DỪNG TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN QUẢNG CÁO Trong chương chúng tơi xem xét tốn thực tế xác định thời điểm dừng tối ưu cho chiến dịch quảng cáo Thị phần (tiềm năng) công ty xét sản phẩm