Bài giảng ktr1t

BẢNG ĐẠO HÀM - NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Đạo hàm Nguyên hàm căn bản Nguyên hàm mở rộng (C)' = 0 Cxdx += ∫ Caxdx.a += ∫ (x m )' = m. x m-1 C 1 1 x dxx. + +α +α = ∫ α (với α ≠ –1 ) C a bax dxbax + + + + = ∫ + )1( 1 )( )( α α α (với α ≠ –1 ) (lnx)' = x 1 ∫ += Cxlndx x 1 ∫ + dx bx.a 1 = a 1 lna.x + b+ C (sinx)' = cosx Cxcosxdxsin +−= ∫ Cbax a dxbax ++−=+ ∫ )cos( 1 )sin( (cosx)' = sin x Cxsinxdxcos += ∫ Cbax a dxbax ++= ∫ + )sin( 1 )cos( (tanx)' = x 2 cos 1 ∫(1+ tan 2 x)dx = Cxdx x += ∫ tan cos 1 2 ∫[1+ tan 2 (a x + b)]dx = Cbax a dx bax ++= + ∫ )tan( 1 )(cos 1 2 (cotx)' = x 2 sin 1 − ∫(1+ cot 2 x)dx = - cotx +C xdx x cot sin 1 2 −= ∫ + C ∫[(1+ cot 2 (a x+b)]dx = Cbax a dx bax ++−= + ∫ )cot( 1 )(sin 1 2 x x 2 1 )'( = ∫tanx dx = - ln(cosx) + C Cbax a dxbax ++−=+ ∫ )]ln[cos( 1 )tan( (u.v)' = u.v' + u'.v 2 '.'. )'( v vuvu v u − = ∫cotx dx = ln(sinx) + C Cbax a dxbax ++=+ ∫ )]ln[(sin 1 )cot( (e x )' = e x Cedxe xx += ∫ Ce a dxe baxbax += ++ ∫ 1 (a x )' = a x .lna C aln a dxa x x += ∫ ( 0 < a ≠ 1 ) Công thức luỹ thừa : n m n m xx = ; x m .x n = x m + n ; ( x m ) n = x m.n ; 1 1 3 3 2 x x ; x x = = I/ Tính các nguyên hàm sau: A. Tính bằng phương pháp đổi biến số 1. 5 7 ( 3) ( 7) x dx x + ∫ − 2. ln .ln(ln ) dx x x x ∫ 3. 3 3 2 (2 1)x x dx+ ∫ 4. 2 5 ( 1) x dx x − ∫ 5. 3 4 sin os xdx c x ∫ 6. 3 5 sin . osx c xdx ∫ 7. 2 (2 3) x x e e dx+ ∫ 8. ln ln 1 xdx x x + ∫ 9. 2 x xe dx − ∫ 10. 2 2 (1 ) x dx x+ ∫ 11. 1 x e dx− ∫ 12. 3 1x xdx− ∫ B. Tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần 1. 2 cosx xdx ∫ 2. x xe dx − ∫ 3. sin x e xdx ∫ 4. ( ) cos ln x dx ∫ 1 5. 3 sinx xdx ∫ 6. 2 lnx xdx ∫ 7. cos 2x xdx ∫ 8. 2 x xe dx − ∫ 9. ln(2 1)x dx+ ∫ C. Bài tập tổng hợp 1. 4 2 2 2 2 1 x x x dx x x + + + + + ∫ 2. 4 2 2 1 1 x x dx x x + + + + ∫ 3. 2 3 (3 1) (6 1)x x x dx+ + + ∫ 4. 2 1 x dx x + ∫ TÍCH PHÂN Vấn đề 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1. A = ∫ +++ 1 0 32 dx)1x6()1xx3( 2. B = ∫ +− − 1 0 2 dx 2x2x 1x 3. C = ∫ + 2 0 2 1 ln x x dx )e( e 4. I = ∫ + 5 0 dxx4x 5. J = ∫ + 22 0 2 dx1x.x 6. K = ∫ − 5 1 dx1x2x 7. L = ∫ + 4 0 1x dx 8.M = ∫ + 2 1 3 2 2x dxx 9. N = ∫ + 2 0 23 dx2xx 10.P = ∫ − 9 4 dx 1x x 11.Q = ∫ − 3 0 2 3 dx x4 x 12.R = 2 0 1 3sin x.cos x.dx π + ∫ 13.S = ∫ + 1 0 dx 1x2 x 14. T = ∫ + 1 0 2 dx 1x x 15. U = ∫ − 5 2 1 dx1x2x 16.V = 0 1 cos2x. dx π − ∫ 17 X = 2 1 2.x x dx+ ∫ 18.Y = 3 8 2 2 8 dx sin xcos x π π ∫ 19.Z = 3 2 0 4sin 1 cos x dx x π + ∫ 20.W = 0 1 sin x.dx π − ∫ 21.Ư = 2 0 1 sinx.dx π + ∫ 22. ( ) 1 3 0 1 xdx x + ∫ 23. 1 0 2 1 xdx x + ∫ 24. ( ) 1 5 3 4 0 1x x dx− ∫ 25. 3 2 6 cos x dx sin x π π ∫ 26. 3 2 1 ln 1 ln e x x dx x + ∫ 27. 3 0 3 4 4 x dx x − − ∫ 27. 3 0 1 cos dx x π ∫ 28. 4 0 cos x sin x dx 1 sin 2x π − + ∫ 29. 9 4 x.dx x 1− ∫ 30. 3 5 2 0 1x x dx+ ∫ 31. 1 3 2 0 1x x dx+ ∫ 32. 2 0 cos 1 cos xdx x π + ∫ 33. 2 2 0 sin 3 xdx cos x π + ∫ 34. 2 2 0 sin 9 4 xdx cos x π + ∫ 35. 3 8 2 2 8 dx sin xcos x π π ∫ Vấn đề 2 : PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. 2 2 0 cosx xdx π ∫ 2. ln2 0 x xe dx − ∫ 3. ( ) 1 cos ln e x dx π ∫ 4. 1 3 0 sinx xdx ∫ 5. ( ) 2 1 1 ln e x dx− ∫ 6. 2 0 sin x e xdx π ∫ 2 7. 2 1 ln e x xdx ∫ 8. ∫ π 2 0 / xsin dxe.xcos 9. 2 1 ln e x xdx ∫ 10. 1 0 ln( 1)x dx+ ∫ 11. ln2 2 0 x xe dx − ∫ 12. 2 4 cos ln(sinx)x dx ∏ ∏ ∫ 13. 1 0 (1 2 ) x x e dx− ∫ 14. 2 3 1 2 ln(1 )x x dx− ∫ 15. 2 2 0 cosx xdx π ∫ 16. 2 1 2 ln dx x ∫ 17. 2 2 1 ln x dx x ∫ 18. 1 2 0 ( 2 ) x x x e dx+ ∫ Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN TRÊN CÁC ĐOẠN 1. 3 4 4 sin 2x dx π π ∫ 2. 2 2 0 2 3 1x x dx− + − ∫ 3. ( ) 5 3 2 2x x dx − + − − ∫ 4. 0 1 sin x.dx π − ∫ 5. 2 0 1 sinx.dx π + ∫ 6. ( ) 1 2 1 2 1x x dx − − − ∫ Vấn đề 4: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : x + y = 0 và x 2 -2x + y = 0 Đs: 9/4 Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = 3 x + 2x 2 - 4 và y = -x 2 Đs: 27 4 b) y 2 = 2x + 1 và y = x - 1 Đs: 16 3 Bài 3: Cho hhàm số y = x 3 - 4x 2 + 4x (C) a) Tiếp tuyến của (C) tại gốc toạ độ cắt (C) tại điểm A. Tính toạ độ của điểm A. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng OA. Đs: 64 3 (đvdt) Bài 4: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay parabol y = x 2 giới hạn bởi x = 0 và x = 2 sinh ra khi parabol quay quanh trục 0y. Đs: 8 π (Đvdt) Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) có PT y = x 2 - 4x + 5 và 2 tiếp tuyến của (P) tại hai điểm A (1, 2); B (4, 5) ĐS: 9 4 đvdt Bài 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn bởi các đường sau: x 2 + y - 5 = 0 và x + y - 3 = 0. Đs: 153 5 π đvtt Bài 7: Gọi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0 và y = 2x - x 2 là (D). Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi ta quay(D): a) Quanh trục 0x Đs: 16 15 π b) Quanh trục 0y. Đs: 8 3 π Bài 9: Cho (C) : y = 2x2 5x3 + + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C); Ox; Oy và đường thẳng x = 2 ? ĐS: 3 + ln3 Bài 10: Cho (C): y = x(3 – x) 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số b)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C); Ox; x = 4 và đường thẳng x = 2 ? ĐS: 2 (dvdt) Bài 11: Cho (C): y = x 3 – 4x 2 + 4x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại gốc toạ độ 3 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d ? ĐS: b) d: y = 4x c) S = 16/3 (dvdt) Bài 12: Tính diện tích giới hạn bởi a) (C): y = – x 2 + 2x và đường thẳng d: y = –x b) (P): y 2 = 4x và (P’): x 2 = 4y c) (C): y = sin 2 x + x và d: y = x với 0 ≤ x ≤ π d) (C): y = sin 3 x + cos 3 x ; Ox ; x = 4 π ; x = 4 5 π e) (C): y = –x 2 + 4x – 3 và hai tiếp tuyến với (C) tại các điểm A(0,–3); B(3 , 0) f) (C): y = 2x 2 – 4x – 6 ; Ox ; x = –2 ; x = 4 g) (C): y = 2 x ; (C') : y = 2x – x 2 ; x = 0 ; x = 2 h) (C): y = cosx và d: y = x + 1; Ox i) (P): x 2 = 4y; (C): y = 4x 8 2 + j) (P): x 2 = y và (P’): y 2 = x k) (C): x 2 + y 2 = 8 và (P): y 2 = 2x l) ( C 1 ) : y = (x + 1) 5 ; ( C 2 ) : y = e x ; x = 1 m) (C): y = –x 2 + 3x – 2 và các tiêp tuyến tại giao điểm A và B của (C) với Ox ? n) (C): y = x 2 – 2x +2; (C’): y = x 2 + 4x + 5 và d: y = 1 p) (C): y = 1x x4 4 + ; Ox ; x = –1 ; x = 1 q) (C): y = )x1(x 1 3 + ; Ox; x = 1; x = 2 ĐS: a) 2 9 b) 3 16 c) 2 π d) 3 25 e) 4 9 f) 3 80 g) 3 4 2ln 3 − h) 2 3 i) 2.π – 3 4 j) 3 1 k) 2.π + 3 4 l) 2 23 – e m) 12 1 n) 4 9 p) π q) 9 16 ln 3 1 Bài 13: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi a) Bốn đường y = xcosxsin 44 + ; Ox; x = 2 π ; x = π quay quanh trục Ox ? ĐS 8 3 2 π b) Ba đường y = lnx; Ox ; x = 2 quay quanh trục Ox ? ĐS: 2.π(ln2 – 1) 2 c) Ba đường y = x.e x ; Ox ; x = 1 quay quanh trục Ox ? ĐS : 4 )1e3( 2 π− d) Bốn đường y = 1 + x 3 ; Ox ; Oy ; x = 1 q.quanh Ox ĐS : 14 23 π Bài 14: Đường cong (C): y = ax 2 + bx + c có điểm cực trị là I(1 ; 2). Diện tích hình tạo bởi (C) với Ox; x = –1; x = 2 là 15(dvdt). Tìm phương trình của Parabol ĐS: y = 3x 2 – 6x + 5 Bài 15: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho a) Hình phẳng giới hạn bởi (P): y 2 = 2x; d: y = x quay quanh Ox? ĐS: 3 32 π b) Hình phẳng giới hạn bởi (P): y 2 = x ; (P’): y = x 2 quay quanh Ox ĐS: 10 3 π c) Hình phẳng giới hạn bởi (C): y = 2x – x 2 quay quanh Ox? trục Oy ĐS: 3 8 π d) Hình phẳng giới hạn bởi (C): x 2 + y 2 – 4x + 3 = 0 quay trục Oy ? ĐS: 4.π 2 e) Hình phẳng giới hạn bởi (E): 1 b y a x 2 2 2 2 =+ quay quanh Ox ? ĐS: 3 4 πab 2 ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT 4 Đề 1 Câu 1. Tính các tích phân sau : a. ( ) 1 2 0 2 x I x e dx= − ∫ b. ln 5 ln 3 2 3 − = + − ∫ x x dx I e e c. 3 2 6 cos x dx sin x π π ∫ Câu 2. a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 – 4x, trục hoành, trục tung, và đường thẳng x = -2. b. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi (C): 1 y x = , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2. . ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT Đề 2 Câu 1. Tính các tích phân sau : a. 1 0 (4 1) x I x e dx= + ∫ b. 4 6 0 tan cos2 x I dx x π = ∫ c. ∫ + 2 1 3 2 2x dxx Câu 2. a.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e 2x – 1, trục hoành, đường thẳng x = 1 và đường thẳng x = 2. b. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x(4-x) và trục Ox. ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT Đề 3 Câu 1. Tính các tích phân sau : a. 3 1 2 lnI x xdx= ∫ b. ( ) 2 3 2 0 cos 1 cosI x xdx π = − ∫ c. ∫ − 3 0 2 3 dx x4 x Câu 2. a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2 y x = − , trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = 1. b. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi (C): y x= trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2. 5 . Vấn đề 4: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : x + y = 0 và x 2 -2x + y = 0 Đs: 9/4 Bài 2: Tính diện tích hình phẳng. Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) có PT y = x 2 - 4x + 5 và 2 tiếp tuyến của (P) tại hai điểm A (1, 2); B (4, 5) ĐS: 9 4 đvdt Bài