50 đề chuyên toán 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 03/06/2018 Câu a) Giải phương trình : x    x  x2  5x 1  xy  y  x b) Giải hệ phương trình:  2   y  y   x  8x Câu a) Tìm số nguyên x; y; z cho x2  y  z   xy  3x  4z b) Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m  n  ước nguyên tố  m2  n2   CMR m.n số phương Câu Cho a, b, c thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: a  a3  ab   b4  b3  bc   c  c3  ac   Câu Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  nội tiếp đường tròn (O) đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Gọi K hình chiếu vng góc A lên BD Qua H kẻ đường thẳng song song với BD cắt AK I Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) N (N khác B) a) Chứng minh AN.BI  DH BK b) Tiếp tuyến (O) D cắt đường thẳng BC P Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP c) Tiếp tuyến (O) C cắt DP M Đường tròn qua D tiếp xúc với CM M cắt OD Q (Q khác D) Chứng minh đường thẳng qua Q vng góc với BM ln qua điểm cố định BC cố định A di động đường tròn (O) Câu Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cung 2018, ban tổ chức giải đấu chuẩn bị 25000 bóng, bóng đánh số từ đến 25000 Người ta dùng màu: Đỏ, Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn bóng (mỗi sơn màu) Chứng minh 25000 bóng nói tồn bóng màu đánh số a, b, c mà a chia hết cho b, b chia hết cho c abc  17 ĐÁP ÁN Câu a) Giải phương trình : x    x  x2  5x 1 Điều kiện xác định:  x  Ta có x2  5x      x  1    x 1  x 3 x 3  0 x  1  x 1 1     x  3  x    0 x  1  x 1     x  1 x  3  1    1 0 1  Do  x    2x 1  0 x  1 x  1  x 1 2  x    x    x  3(tm) Vậy phương trình có nghiệm x  b) Hệ cho tương đương với 2 xy  y  x  xy  y  x    2 2  y  y   x  x  x  y  y   xy  y  x  x   xy  y  x  xy  y  x    x  y    x  y     x  y   x  y  1    2  13 5  13 ;y  x  y  x  3    3 x  x    2  13 5  13 ;y  x  3     5  22 26  22  ;y x  x  y   3    3 x  10 x  21   5  22 26  22  ;y x   3  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Câu a) Do x, y, z số nguyên nên x  y  z    xy  y  z  x  y  z   xy  y  z  2   y    x  y     1   z      2   x  y  x   y    1    y  2  z  z     Vậy x  1; y  z  số nguyên cần tìm b) Giả sử m  n Theo ta có: m  n    m  n  1 m  n  1  m  n  1   m  n     m  n   1  m  n  1     2m  2n  m  2mn  n   m  n  1   m  n  m  n  1 Do m  n  số nguyên tố  m  n  ước m  n Mà m  n  m  n  vơ lý Vậy giả sử sai  m  n  m.n  m2 số phương Ta có điều phải chứng minh Câu Ta có:  a  1 a  a  1    a  2a  1 a  a  1   a  a3  a    a  a3   a  a  a  ab   ab  a   a  a  ab   ab  a  Chứng minh hồn tồn tương tự ta có: b4  b3  bc   1 ;  bc  b  c  c3  ac  ac  c  Như VT  1 1 1          ab  a  bc  b  ac  c   ab  a  bc  b  ac  c   (Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho số) Lại có 1 1 a ab               ab  a  bc  b  ac  c    ab  a  abc  ab  a a bc  abc  ab  a ab         ab  a  1  ab  a a  ab   Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu “=” xảy a  b  c  Câu A I N P C H J M D O Q K B a) Chứng minh AN.BI  DH BK Ta có chắn cung AB nên BDA  BNA  IHA  BNA  INA Suy tứ giác ANHI nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh nhìn cạnh góc nhau) Do đó: AHN  AIN  BIK (hai góc nội tiếp chắn cung AN ) Ta có : AK  BD  AK  IH  AIH  900 Do tứ giác AHNI tứ giác nội tiếp (cmt)  AIH  ANH  1800  ANH  900  IBK  NAH  ANH BKI ( g.g )  BK BI BI    AN BI  DH BK AN AH DH b) Gọi O1 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP, I trung điểm NP Vì A; D đối xứng qua BC nên PA tiếp tuyến (O) Ta có: PAN  PO1 N  PO1I1 (góc nội tiếp góc tâm chắn cung NP đường trịn  O1  ) Lại có: PAN  ADN (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung AN  O  )  PO1I1  ADN Hơn ANHI nội tiếp (cmt) nên ANH  AIH  900  NAH  NHP (cùng phụ với NHA ) Ta có : NAH  NIH  NBD  NDP  NHP  NDP  tứ giác PDNH nội tiếp nên NPH  NDA  NPH  PO1I1 Mặt khác : PO1I1  O1PI1  900  NPH  O1PI1  900  O1PH  900 Suy BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP c) Gọi J trung điểm OM, G trung điểm OC, E giao điểm QG BM Dễ thấy MQ đường kính đường tròn qua D tiếp xúc với MC (Do MDQ  900 )  MQ  MC Mà MC  BC  MQ / / BC Do MQ / / BC  QMO  MOP (so le trong)  QOM  Tam giác QOM cân Q  QJ  OM (trung tuyến đồng thời đường cao)  BOM  GJQ (góc có cạnh tương ứng vng góc) Mặt khác OGJ OJG( g.g )  GJ OG  JQ OJ OGJ  OCM  OG OC OB   (OC  OB) OJ OM OM GJ OB   GJQ JQ OM BOM (c.g.c)  OMB  QJM  900 (hai góc nội tiếp chắn cung QM)  QE  EM  QE  BM Vậy đường thẳng qua Q vng góc với BM qua trung điểm G OC cố định Câu 5: Xét tập A  1; 2;3; .; 2500 tập B  1;3;3.2;3.22 ; ;3.213 Do 3.213  24576  250000  B  A Tập B có 15 phần tử Do bóng sơn màu mà có màu nên theo nguyên lý Dirichle tập B tồn bóng màu Giả sử bóng đánh số a  b  c a chia hết cho b, b chia hết cho c abc  18  17 Vậy ta có điều phải chứng minh SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TỈNH KHÁNH HÒA KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018-2019 Mơn thi: TỐN CHUN Ngày thi : 03/06/2018 Câu a) Giải phương trình : x2  x   3x x  b) Có số tự nhiên có chữ số abc cho a, b, c độ dài cạnh tam giác cân Câu a) Chứng minh với số thực a, b, c ta ln có: a  b  c  a  b2  c2   ab  ac  bc  1 1 1  2  4;    2 x y xyz x y z b) Cho số x, y, z khác thỏa mãn : x  y  z  ; Tính Q   y 2017  z 2017  z 2019  x2019  x2021  y 2021  Câu Cho đường trịn (O) đường kính BC H điểm nằm đoạn thẳng BO (điểm H không trùng với hai điểm B O) Qua H vẽ đường thẳng vng góc với BC, cắt đường trịn (O) A D Gọi M giao điểm AC BD, qua M vẽ đường thẳng vuông góc với BC N a) Chứng minh tứ giác MNBA nội tiếp BO  OH b) Tính giá trị: P      AB  BH c) Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O), cắt hai đường thẳng AC AN K E Chứng minh đường thẳng EC qua trung điểm I đoạn thẳng AH H di động đoạn thẳng BO Câu Cho a, b,c số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  abc Chứng minh  a2  b2    c2  a b Câu Để tiết kiệm chi phí vận hành đồng thời du khách tham quan hết 18 danh lam, thắng cảnh tỉnh K, công ty du lịch lữ hành KH thiết lập tuyến chiều sau: Nếu từ tỉnh A đến B từ B đến C khơng có tuyến từ A đến C Hỏi có cách thiết lập để hết 18 địa danh ? ĐÁP ÁN Câu a) Giải phương trình Điều kiện xác định x  1 x2  x   3x x   x   x  1  3x x   u  x Đặt   v  x  u  v u  2v Phương trình  u  3uv  2v    u  v  u  2v     TH 1: u  v  x2  x 1  1 x  x 1   x x  TH : u  2v x  x  x 1    x  2 x  4x   Vậy nghiệm phương trình cho : x  1 ;x  22 2 b) TH1:Tam giác a  b  c   có số lập TH2: Xét a  b  c Vì a  b  c (bất đẳng thức tam giác) nên: c  )a  b     khơng có giá trị c c  c   có cách chọn c +) a  b    c  c  )a  b     có cách chọn c c  c  )a  b     có cách chọn c c  c  10 )a  b     có cách chọn c c  c  12 )a  b     có cách chọn c c  c  14 )a  b     có cách chọn c c  c  18 )a  b     có cách chọn c c  c  18 )a  b     có cách chọn c c  Vậy trường hợp có 52 số thỏa mãn Do vai trò a, b, c nên : 52.3  156 (số) Vậy có tất  156  165 số thỏa mãn Câu a) VT   a  b  c    a  b  c  a  b  c   a  ab  ac  ab  b  bc  ac  bc  c  a  b  c   ab  bc  ca   VP b) Ta có: x yz   xyz xyz 1 1 2         xy yz xz xyz xy yz xz xyz 1 2 1 1  2 2 2    2 2 2 4 x y z xy yz xz x y z xyz x yz  1 1 1     4   2 x y z x y z Từ 1 1    x y z x yz   xy  yz  xz  x  y  z   xyz   x  y  x  z  y  z   x   y   y   z  z   x Hơn mũ Q lẻ nên có thừa số Vậy Q  Câu 3: M K A E I B N H C O D a) Ta có : BAC  900  BAM  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) MNB  900 ( gt )  BAM  MNB  1800 Do tứ giác MNBA nội tiếp đường trịn đường kính MB (Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 ) b) Do tam giác ABC vuông A nên áp dụng hệ thức lượng ta có: AB AB  BC BO OH BO.OH BO  BO  BH     BH AB AB BH  BO  BH BC BO  AB  BO       1 2 AB AB  AB  2  BO  OH  P  2 1    AB  BH Vậy giá trị P P  c) Ta dễ dàng có : ... 3.4 2018. 2019       2018 2018 .2019      P  1  1       2.3  3.4   2018. 2019  2.3  3.4  2018. 2019   2.3 3.4 2018. 2019 10 4074340  2.3 3.4 2018. 2019 1.4... TẠO BÌNH ĐỊNH Đề thức KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: TỐN (Chun Tốn) Ngày thi: 03/ 6/ 2018 Thời gián làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2,0điểm)... – ĐÀO TẠO TỈNH CÀ MAU KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018- 2019 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian: 150 phút Ngày thi: 03/06 /2018 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu 1: Rút gọn biểu thức sau a) A  20  45