Nội dung sách giáo khoa tiếng anh thí điểm lớp 10

Cho nöûa ñöôøng troøn O,ñöôøng kính AB=2R,goïi I laø trung ñieåm AO.Qua I döïng ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB,ñöôøng naøy caét nöûa ñöôøng troøn ôû K.Treân IK laáy ñieåm C,AC caét ([r]

Bài 1: Cho ABC có đường cao BD CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M N

1. Chứng minh:BEDC nội tiếp 2. Chứng minh: góc DEA=ACB

3. Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác

4. Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA phân giác góc MAN 5. Chứng tỏ: AM2=AE.AB.

Gơiï ý: 1.C/m BEDC nội tiếp:

C/m góc BEC=BDE=1v Hia điểm D E làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vng 2.C/m góc DEA=ACB

Do BECD ntDMB+DCB=2v Maø DEB+AED=2v

AED=ACB

3.Gọi tiếp tuyến A (O) đường thẳng xy (Hình 1) Ta phải c/m xy//DE

Do xy tiếp tuyến,AB dây cung nên sđ góc xAB= 12 sđ cung AB Mà sđ ACB= 12 sđ AB góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt) xAB=AED hay xy//DE

4.C/m OA phân giác góc MAN

Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN.OA đường trung trực MN.(Đường kính vng góc với dây)AMN cân A AO phân giác góc MAN

5.C/m :AM2=AE.AB.

Do AMN cân A AM=AN cung AM=cung AN.góc MBA=AMN(Góc nội tiếp chắn hai cung nhau);góc MAB chung

MAE ∽ BAM MAAB =MAAE  MA2=AE.AB

Bài 2: Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường trịn tâm O’, đường kính BC.Gọi M trung điểm đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vng góc với AB;DC cắt đường trịn tâm O’ I 1.Tứ giác ADBE hình gì?

2.C/m DMBI nội tiếp

3.C/m B;I;C thẳng hàng MI=MD 4.C/m MC.DB=MI.DC

5.C/m MI tiếp tuyến (O’) Gợi ý:

1.Do MA=MB ABDE M nên ta có DM=ME ADBE hình bình hành

Mà BD=BE(AB đường trung trực DE) ADBE ;là hình thoi 2.C/m DMBI nội tiếp

BC đường kính,I(O’) nên Góc BID=1v.Mà góc DMB=1v(gt) BID+DMB=2vđpcm

3.C/m B;I;E thẳng hàng

Do AEBD hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)BEDC;

CMDE(gt).Do góc BIC=1v BIDC.Qua điểm B có hai đường thẳng BI BE vng góc với DC B;I;E thẳng hàng

C/m MI=MD: Do M trung điểm DE; EID vuông IMI đường trung tuyến tam giác vuông DEI MI=MD

Hinh1

C/m MC.DB=MI.DC

chứng minh MCI∽DCB (góc C chung;BDI=IMB chắn cung MI DMBI nội tiếp) 5.C/m MI tiếp tuyến (O’)

-Ta có O’IC Cân góc O’IC=O’CI MBID nội tiếp MIB=MDB (cùng chắn cung MB) BDE cân B góc MDB=MEB Do MECI nội tiếp góc MEB=MCI (cùng chắn cung MI)

Từ suy góc O’IC=MIB MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v

Vậy MI O’I I nằm đường tròn (O’) MI tiếp tuyến (O’) Bài 3:

Cho ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M cho AM<MC.Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) D;AD kéo dài cắt (O) S

1 C/m BADC nội tiếp

2 BC cắt (O) E.Cmr:MR phân giác góc AED C/m CA phân giác góc BCS

Gợi ý: 1.C/m ABCD nội tiếp:

C/m A D làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vng 2.C/m ME phân giác góc AED

Hãy c/m AMEB nội tiếp

Góc ABM=AEM( chắn cung AM) Góc ABM=ACD( Cùng chắn cung MD) Góc ACD=DME( Cùng chắn cung MD) AEM=MED

3.C/m CA phân giác góc BCS -Góc ACB=ADB (Cùng chắn cung AB)

-Góc ADB=DMS+DSM (góc ngồi tam giác MDS) -Mà góc DSM=DCM(Cùng chắn cung MD)

DMS=DCS(Cùng chắn cung DS) Góc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA Vậy góc ADB=SCAđpcm

Bài 4:

Cho ABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM>MC.Dựng đường trịn tâm O đường kính MC;đường trịn cắt BC E.Đường thẳng BM cắt (O) D đường thẳng AD cắt (O) S

1 C/m ADCB nội tiếp

2 C/m ME phân giác goùc AED C/m: Goùc ASM=ACD

4 Chứng tỏ ME phân giác góc AED C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy Gợi ý:

1.C/m ADCB nội tiếp: Hãy chứng minh: Góc MDC=BDC=1v

Từ suy A vad D làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vng… 2.C/m ME phân giác góc AED

Do ABCD nội tiếp nên

ABD=ACD (Cùng chắn cung AD)

Do MECD nội tiếp nên MCD=MED (Cùng chắn cung MD)

Do MC đường kính;E(O)Góc MEC=1vMEB=1v ABEM nội tiếpGóc MEA=ABD Góc MEA=MEDđpcm

Hinh3

3.C/m góc ASM=ACD

Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngồi tam giác SMD)

Mà góc SMD=SCD(Cùng chắn cung SD) Góc SDM=SCM(Cùng chắn cung SM)SMD+SDM=SCD+SCM=MCD

Vậy Goùc A SM=ACD

4.C/m ME phân giác góc AED (Chứng minh câu 2) 5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy

Gọi giao điểm AB;CD K.Ta chứng minh điểm K;M;E thẳng hàng

Do CAAB(gt);BDDC(cmt) AC cắt BD MM trực tâm tam giác KBCKM đường cao thứ nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng đpcm

Baøi 5:

Cho tam giác ABC có góc nhọn AB<AC nội tiếp đường trịn tâm O.Kẻ đường cao AD đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B C xuống đường kính AA’

1 C/m AEDB nội tiếp C/m DB.A’A=AD.A’C C/m:DEAC

4 Gọi M trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF Gợi ý:

1/C/m AEDB nội tiếp.(Sử dụng hai điểm D;E làm với hai đầu đoạn AB…)

2/C/m: DB.A’A=AD.A’C Chứng minh hai tam giác vuông DBA A’CA đồng dạng 3/ C/m DE AC

Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cùng chắn cung BA’) suy góc CDE=DCA’ Suy DE//A’C Mà góc ACA’=1v nên DEAC

4/C/m MD=ME=MF

Gọi N trung điểm AB.Nên N tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE Do M;N trung điểm BC AB MN//AC(Tính chất đường trung bình)

Do DEAC MNDE (Đường kính qua trung điểm dây…)MN đường trung trực DE ME=MD

 Gọi I trung điểm AC.MI//AB(tính chất đường trung bình) A’BC=A’AC (Cùng chắn cung A’C)

Do ADFC nội tiếp Góc FAC=FDC(Cùng chắn cung FC) Góc A’BC=FDC hay DF//BA’ Mà ABA’=1vMIDF.Đường kính MIdây cung DFMI đường trung trực DFMD=MF Vậy MD=ME=MF

Baøi 6:

Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi M điểm cung nhỏ AC.Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ M đến BC AC.P trung điểm AB;Q trung điểm FE

1/C/m MFEC nội tiếp 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M AMP∽FMQ 4/C/m goùc PQM=90o Giải:

1/C/m MFEC nội tiếp:

(Sử dụng hai điểm E;F cung làm với hai đầu đoạn thẳng CM…) 2/C/m BM.EF=BA.EM

C/m:EFM∽ABM:

Ta có góc ABM=ACM (Vì chắn cung AM)

Do MFEC nội tiếp nên góc ACM=FEM(Cùng chắn cung FM) Góc ABM=FEM.(1)

Ta lại có góc AMB=ACB(Cùng chắn cung AB).Do MFEC nội tiếp nên góc FME=FCM(Cùng chắn cung FE).Goùc AMB=FME.(2)

Từ (1)và(2) suy :EFM∽ABM đpcm 3/C/m  AMP ∽ FMQ

Ta coù EFM∽ABM (theo c/m treân) ABFE =AM

MF maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt)  AP

2 FQ= AM

MF ⇒

AP

FQ=

AM

FM góc PAM=MFQ (suy từ EFM∽ABM)

Vậy: AMP∽FMQ 4/C/m góc:PQM=90 o

Do goùc AMP=FMQ PMQ=AMF PQM∽AFM goùc MQP=AFM Mà góc AFM=1vMQP=1v(đpcm)

Bài 7:

Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm cung BC.Trên tia AC lấy điểm D cho AB=AD.Dựng hình vng ABED;AE cắt (O) điểm thứ hai F;Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G

1 C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I đường tròn

2 C/m BFC vuông cân F tâm đường tròn ngoại tiếp BCD C/m GEFB nội tiếp

4 Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng G nằm đường trịn ngoại tiếp BCD.Có nhận xét I F

1/C/m BGEC nội tiếp: -Sử dụng tổng hai góc đối… -I trung điểm GC

2/

 C/m  BFC vuông cân :

Góc BCF=FBA(Cùng chắn cung BF) mà góc FBA=45o (tính chất hình vuông)

Góc BCF=45o

Góc BFC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)đpcm

C/m F tâm đường tròn ngoại tiếp BDC.ta C/m F cách đỉnh B;C;D Do BFC vng cân nên BC=FC

Xét hai tam giác FEB FED có:E F chung;

Góc BE F=FED =45o;BE=ED(hai cạnh hình vuông ABED).

BFE=E FD BF=FDBF=FC=FD.đpcm

3/C/m GE FB nội tiếp:

Do BFC vuông cân F Cung BF=FC=90o sđgóc GBF= 12 Sđ cung BF= 12 90o=45o.(Góc tiếp tuyến BG dây BF)

Mà góc FED=45o(tính chất hình vuông)

Góc FED=GBF=45o.ta lại có góc FED+FEG=2v Góc GBF+FEG=2v GEFB nội tiếp

4/ C/m C;F;G thẳng hàng :Do GEFB nội tiếp Góc BFG=BEG mà BEG=1vBFG=1v.Do BFG vng cân FGóc BFC=1v.Góc BFG+CFB=2vG;F;C thẳng hàng C/m G nằm trên… :Do

GBC=GDC=1vtâm đường tròn ngt tứ giác BGDC FG nằn đường tròn ngoại tiếp BCD Dễ dàng c/m I F

Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O).Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường cắt đường tròn E F,cắt AC I(E nằm cung nhỏ BC)

1 C/m BDCO nội tiếp C/m: DC2=DE.DF. C/m:DOIC nội tieáp

4 Chứng tỏ I trung điểm FE

1/C/m:BDCO nội tiếp(Dùng tổng hai góc đối) 2/C/m:DC2 =DE.DF

Xét hai tam giác:DEC DCF có góc D chung

SđgócECD= 12 sđ cung EC(Góc tiếp tuyến dây) Sđ góc E FC= 12 sđ cung EC(Góc nội tiếp)góc ECD=DFC DCE ∽DFCđpcm

3/C/m DOIC nội tiếp:

Ta có: sđgóc BAC= 12 sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)

Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD chungBOD=CODGóc BOD=COD

2sđ gócDOC=sđ cung BC sđgóc DOC=

2 sđcungBC (2)

Từ (1)và (2)Góc DOC=BAC

Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đồng vị) Góc DOC=DIC Hai điểm O I làm với hai đầu đoạn thẳng Dc góc nhau…đpcm

4/Chứng tỏ I trung điểm EF:

Do DOIC nội tiếp  góc OID=OCD(cùng chắn cung OD)

Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)Góc OID=1v hay OIID OIFE.Bán kính OI vng góc với dây cung EFI trung điểmEF

Baøi 9:

Cho (O),dây cung AB.Từ điểm M cung AB(MA MB),kẻ dây cung MN vng góc với AB H.Gọi MQ đường cao tam giác MAN

1 C/m điểm A;M;H;Q nằm đường tròn C/m:NQ.NA=NH.NM

3 C/m MN phân giác góc BMQ

4 Hạ đoạn thẳng MP vng góc với BN;xác định vị trí M cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn

Giải:

1/ C/m:A,Q,H,M nằm đường tròn

(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng phương pháp sau: -Cùng làm với hai đàu …một góc vng

-Tổng hai góc đối 2/C/m: NQ.NA=NH.NM

Xét hai vuông NQM NAH đồng dạng

3/C/m MN phân giác góc BMQ Có hai cách:

 Cách 1:Gọi giao điểm MQ AB I.C/m tam giác MIB cân M  Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụ với góc ANH)

Góc NAH=NMB(Cùng chắn cung NB)đpcm

4/ xác định vị trí M cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn Hinh8

Ta coù 2SMAN=MQ.AN

2SMBN=MP.BN

2SMAN + 2SMBN = MQ.AN+MP.BN

Ta lại có: 2SMAN + 2SMBN =2(SMAN + SMBN)=2SAMBN=2

AB×MN

2 =AB.MN

Vậy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN

Mà AB khơng đổi nên tích AB.MN lớn MN lớn nhấtMN đường kính M điểm cung AB

Bài 10:

Cho (O;R) (I;r) tiếp xúc A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung BC (B nằm đường tròn tâm O C nằm đư ờng tròn tâm (I).Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E

1/ Chứng minh tam giác ABC vuông A

2/ O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F;A nằm đường tròn 3/ Chứng tỏ : BC2= Rr

4/ Tính diện tích tứ giác BCIO theo R;r Giải:

1/C/m  ABC vuông : Do BE AE hai tiếp tuyến cắt nên AE=BE; Tương tự AE=ECAE=EB=EC= 12 BC.ABC vuông A 2/C/m A;E;N;F nằm trên…

-Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt EO phân giác tam giác cân AEBEO đường trung trực AB hay OEAB hay góc ENA=1v

Tương tự góc EFA=2vtổng hai góc đối……4 điểm… 3/C/m BC =4Rr2

Ta có tứ giác FANE có góc vng(Cmt)FANE hình vngOEI vng E EAOI(Tính chất tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vng có: AH2=OA.AI(Bình phương đường cao tích hai hình chiếu)

Mà AH= BC2 vaø OA=R;AI=r BC

2

4 =¿ RrBC

2=Rr

4/SBCIO=? Ta có BCIO hình thang vuông SBCIO= OB2+IC×BC S= (r+R)√rR

2

Bài 11:

Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A B cho OA=OB Một đường thẳng qua A cắt OB M(M nằm đoạn OB).Từ B hạ đường vng góc với AM H,cắt AO kéo dài I

1 C/m OMHI noäi tiếp Tính góc OMI

3 Từ O vẽ đường vng góc với BI K.C/m OK=KH Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB Giải:

1/C/m OMHI nội tiếp: Sử dụng tổng hai góc đối 2/Tính góc OMI

Do OBAI;AHAB(gt) OBAH=M Nên M trực tâm tam giác ABI IM đường cao thứ IMAB

Mà  vng OAB có OA=OB OAB vng cân O góc OBA=45ogóc OMI=45o 3/C/m OK=KH

Ta có OHK=HOB+HBO (Góc ngồi OHB)

Do AOHB nội tiếp(Vì góc AOB=AHB=1v) Góc HOB=HAB (Cùng chắn cung HB) OBH=OAH(Cùng chắn

Cùng chắn cung OH)OHK=HAB+HAO=OAB=45o OKH vuông cân KOH=KH

4/Tập hợp điểm K…

Do OKKB OKB=1v;OB không đổi M di động K nằm đường trịn đường kính OB Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B K điểm cung AB.Vậy quỹ tích điểm K 14 đường trịn đường kính OB

Bài 12:

Cho (O) đường kính AB dây CD vng góc với AB F.Trên cung BC lấy điểm M.Nối A với M cắt CD E

1 C/m AM phân giác góc CMD C/m EFBM nội tiếp

3 Chứng tỏ:AC2=AE.AM

4 Gọi giao điểm CB với AM N;MD với AB I.C/m NI//CD Chứng minh N tâm đường trèon nội tiếp CIM

Giaûi:

1/C/m AM phân giác góc CMD

Do ABCD AB phân giác tam giác cân COD. COA=AOD

Các góc tâm AOC AOD nên cung bị chắn cung AC=ADcác góc nội tiếp chắn cung nhau.Vậy CMA=AMD

2/C/m EFBM nội tiếp

Ta có AMB=1v(Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) EFB=1v(Do ABEF)

AMB+EFB=2vđpcm 3/C/m AC2 =AE.AM

C/m hai ACE∽AMC (A chung;góc ACD=AMD chắn cung AD vaø AMD=CMA cmt ACE=AMC)…

4/C/m NI//CD Do cung AC=AD CBA=AMD(Góc nội tiếp chắn cung nhau) hay NMI=NBIM B làm với hai đầu đoạn thẳng NI góc nhauMNIB nội tiếpNMB+NIM=2v mà NMB=1v(cmt)NIB=1v hay NIAB.Mà CDAB(gt) NI//CD 5/Chứng tỏ N tâm đường tròn nội tiếp  ICM

Ta phải C/m N giao điểm đường phân giác CIM Theo c/m ta có MN phân giác CMI

Do MNIB nội tiếp(cmt) NIM=NBM(cùng chắn cung MN) Góc MBC=MAC(cùng chắn cung CM)

Ta lại có CAN=1v(góc nội tiếpACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)ACNI nội tiếpCAN=CIN(cùng chắn cung CN)CIN=NIMIN phân giác CIM

Baøi 13 :

Cho (O) điểm A nằm ngồi đường trịn.Vẽ tiếp tuyến AB;AC cát tuyến ADE.Gọi H trung điểm DE

1 C/m A;B;H;O;C nằm đường trịn C/m HA phân giác góc BHC

3 Gọi I giao điểm BC DE.C/m AB2=AI.AH. BH cắt (O) K.C/m AE//CK

1/C/m:A;B;O;C;H nằm đường tròn: H trung điểm EBOHED(đường kính qua trung điểm dây …)AHO=1v Mà OBA=OCA=1v (Tính chất tiếp tuyến) A;B;O;H;C nằm đường trịn đường kính OA

2/C/m HA phân giác góc BHC

Do AB;AC tiếp tuyến cắt BAO=OAC AB=AC

cung AB=AC(hai dây băøng đường tròn đkOA) mà BHA=BOA(Cùng chắn cung AB) COA=CHA(cùng chắn cung AC) mà cung AB=AC COA=BOH CHA=AHBđpcm

3/Xét hai tam giác ABH AIB (có A chung CBA=BHA hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ABH∽AIBđpcm

4/C/m AE//CK

Do góc BHA=BCA(cùng chắn cung AB) sđ BKC= 12 Sđ cungBC(góc nội tiếp) Sđ BCA= 12 sđ cung BC(góc tt dây)

BHA=BKCCK//AB Baøi 14:

Cho (O) đường kính AB=2R;xy tiếp tuyến với (O) B CD đường kính bất kỳ.Gọi giao điểm AC;AD với xy theo thứ tự M;N

1 Cmr:MCDN nội tiếp Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN

3 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN H trung điểm MN.Cmr:AOIH hình bình hành

4 Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O I di động đường nào? 1/ C/m MCDN nội tiếp:

AOC cân OOCA=CAO; góc

CAO=ANB(cùng phụ với góc AMB)góc ACD=ANM Mà góc ACD+DCM=2v

DCM+DNM=2v DCMB nội tiếp 2/C/m: AC.AM=AD.AN

Hãy c/m ACD∽ANM 3/C/m AOIH hình bình hành

 Xác định I:I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDNI giao điểm dường trung trực CD MNIHMN IOCD

Do ABMN;IHMNAO//IH Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vng góc với CD.Từ trung điểm H MN dựng đường vng góc với MN.Hai đường cách I

Do H trung điểm MNAhlà trung tuyến vuông AMNANM=NAH.Mà ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD

Gọi K giao điểm AH DO ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v hay AKD vuông KAHCD mà OICDOI//AH AHIO hình bình hành

Do AOIH hình bình hành IH=AO=R khơng đổiCD quay xung quanh O I nằm đường thẳng // với xy cách xy khoảng R

Baøi 15:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi D điểm cung nhỏ BC Kẻ DE; DF; DG vng góc với cạnh AB;BC;AC Gọi H hình chiếu D lên tiếp tuyến Ax (O)

1 C/m AHED nội tiếp

2 Gọi giao điểm DH với HB với (O) P Q;ED cắt (O) M.C/m HA.DP=PA.DE C/m:QM=AB

4 C/m DE.DG=DF.DH

5 C/m:E;F;G thẳng hàng.(đường thẳng Sim sơn)

1/C/m AHED nội tiếp(Sử dụng hai điểm H;E làm hành với hai đầu đoạn thẳng AD…) 2/C/m HA.DP=PA.DE

Xét hai tam giác vuông đồng dạng: HAP EPD (Có HPA=EPD đđ) 3/C/m QM=AB:

Do HPA∽EDPHAB=HDM

Mà sđHAB= 12 sđ cung AB;

SđHDM= 12 sđ cung QM cung AM=QMAB=QM

4/C/m: DE.DG=DF.DH

Xét hai tam giác DEH DFG có:

Do EHAD nội tiếp HAE=HDE(cùng chắn cung HE)(1) Và EHD=EAD(cùng chắn cung ED)(2)

Vì F=G=90oDFGC nội tiếpFDG=FCG(cùng chắn cung FG)(3) FGD=FCD(cùng chắn cung FD)(4)

Nhưng FCG=BCA=HAB(5).Từ (1)(3)(5)EDH=FDG(6) Từ (2);(4) BCD=BAD(cùng chắn cungBD)EHD=FGD(7) Từ (6)và (7)EDH∽FDG EDDF =DHDG đpcm

5/C/m: E;F;G thẳng hàng:

Ta có BFE=BDE(cmt)và GFC=CDG(cmt)

Do ABCD nội tiếpBAC+BMC=2v;do GDEA nội tiếpEDG+EAG=2v EDG=BDC mà EDG=EDB+BDG BCD=BDG+CDGEDB=CDG GFC=BEFE;F;G thẳng hàng Bài 16:

Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọi I trung điểm BC;qua I kẻ IKBC(K nằm BC).Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA=AK

1 Chứng minh:ABIK nội tiếp đường trịn tâm O C/m góc BMC=2ACB

3 Chứng tỏ BC2=2AC.KC

4 AI kéo dài cắt đường thẳng BM N.Chứng minh AC=BN C/m: NMIC nội tiếp

1/C/m ABIK nội tiếp (tự C/m) 2/C/m BMC=2ACB

do ABMK MA=AK(gt)BMK cân BBMA=AKB Mà AKB=KBC+KCB (Góc ngồi tam giac KBC)

KBC=KCB Vậy BMC=2ACB 3/C/m BC =2AC.KC2

Xét  vuông ACB ICK có C chungACB∽ICK  AC

IC =

CB

CK IC=

BC

2 

AC BC

=BC

CK ñpcm

4/C/m AC=BN

Do AIB=IAC+ICA(góc ngồi IAC) IAC Cân IIAC=ICA AIB=2IAC(1) Ta lại có BKM=BMK BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB nội tiếp)

AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN(góc ngồi tam giác MNA) Do MNA cân M(gt)MAN=MNABMK=2MNA(3)

Từ (1);(2);(3)IAC=MNA MAN=IAC(đ đ)… 5/C/m NMIC nội tiếp:

do MNA=ACI hay MNI=MCI hai điểm N;C làm thành với hai đầu…) Bài 17:

Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động nửa đường tròn.Tia phân giác ACB cắt (O) tai M.Gọi H;K hình chiếu M lên AC AB

1 C/m:MOBK nội tiếp

2 Tứ giác CKMH hình vng C/m H;O;K thẳng hàng

4 Gọi giao điểm HKvà CM I.Khi C di động nửa đường trịn I chạy đường nào? 1/C/m:BOMK nội tiếp:

Ta có BCA=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CM tia phân giác góc BCAACM=MCB=45o. cungAM=MB=90o.

dây AM=MB có O trung điểm AB OMAB hay gócBOM=BKM=1vBOMK nội tiếp

2/C/m CHMK hình vuông:

Do  vng HCM có góc 45o nên CHM vng cân H HC=HM,

tương tự CK=MK Do C=H=K=1v

CHMK hình chữ nhật có hai cạnh kề CHMK hình vng 3/C/m H,O,K thẳng hàng:

Gọi I giao điểm HK MC;do MHCK hình vngHKMC trung điểm I MC.Do I trung điểm MCOIMC(đường kính qua trung điểm dây…)

Vậy HIMC;OIMC KIMCH;O;I thẳng hàng

4/Do góc OIM=1v;OM cố địnhI nằm đường trịn đường kính OM Bài 18:

Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB=2a,chiều rộng BC=a.Kẻ tia phân giác góc ACD,từ A hạ AH vng góc với đường phân giác nói

1/Chứng minhAHDC nt đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm bán kính theo a 2/HB cắt AD I cắt AC M;HC cắt DB N.Chứng tỏ HB=HC Và AB.AC=BH.BI 3/Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O)

4/Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường cắt HC K cắt (O) J.Chứng minh HOKD nt

Xét hai HCAABI có A=H=1v ABH=ACH(cùng chắn cung AH) HCA∽ABI  HCAB=ACBI mà HB=HCđpcm

DoAH=HD;AO=HO=DOAHO=HODAOH=HOD màAOD cân OOHAD OHHx(tính chất tiếp tuyến) nên AD//Hx(1)

Do cung AH=HD ABH=ACH=HBDHBD=ACH hay MBN=MCN hay điểm B;C làm với hai đầu đoạn MN góc MNCB nội tiếpNMC=NBC(cùng chắn cung NC) mà DBC=DAC (cùng chắn cung DC) NMC=DAC MN//DA(2).Từ (1)và (2)MN//Hx

4/C/m HOKD nội tiếp:

Do DJ//BHHBD=BDJ (so le)cung BJ=HD=AH= AD2 mà cung AD=BCcung BJ=JCH;O;J thẳng hàng tức HJ đường kính HDJ= 1v Góc HJD=ACH(cùng chắn cung

nhau)OJK=OCKCJ làm với hai đầu đoạn OK góc nhauOKCJ nội tiếp KOC=KJC (cùng chắn cung KC); KJC=DAC(cùng chắn cung DC)KOC=DACOK//AD mà ADHJOKHOHDKC nội tiếp

Baøi 19:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB,bán kính OCAB.Gọi M điểm cung BC.Kẻ đường cao CH tam giác ACM

1 Chứng minh AOHC nội tiếp

2 Chứng tỏ CHM vuông cân OH phân giác góc COM

3 Gọi giao điểm OH với BC I.MI cắt (O) D.Cmr:CDBM hình thang cân BM cắt OH N.Chứng minh BNI AMC đồng dạng,từ suy ra: BN.MC=IN.MA 1/C/m AOHC nội tiếp:

(học sinh tự chứng minh) 2/C/mCHM vng cân:

Do OCAB trại trung điểm OCung AC=CB=90o. Ta lại có:

Sđ CMA= 12 sđcung AC=45o.

CHM vuông cân M

C/m OH phân giác góc COM:Do CHM vng cân HCH=HM; CO=OB(bán kính);OH chungCHO=HOMCOH=HOMđpcm

3/C/m:CDBM thang cân:

Do OCM cân O có OH phân giácOH đường trung trực CM mà IOHICM cân IICM=IMC mà ICM=MDB(cùng chắn cung BM)

IMC=IDB hay CM//DB.Do IDB cân IIDB=IBD MBC=MDC(cùng chắn cungCM) nên CDB=MBDCDBM thang cân

4/C/m BNI AMC đồng dạng:

Do OH đường trung trực CM NOH CN=NM

Do AMB=1vHMB=1v hay NMAM mà CHAMCH//NM,có góc CMH=45oNHM=45oMNH vng cân M CHMN hình vng INB=CMA=45o

Do CMBD thang cânCD=BM cungCD=BM mà cung AC=CBcungAD=CM… CAM=CBM(cùng chắn cung CM)

INB=CMA đpcm Bài 20:

Cho  ABC nội tiếp (O;R).Trên cnạh AB AC lấy hai điểm M;N cho BM=AN Chứng tỏ OMN cân

2 C/m :OMAN nội tiếp

3 BO kéo dài cắt AC D cắt (O) E.C/m BC2+DC2=3R2.

1/C/m OMN caân:

Do ABC tam giác nội tiếp (O)AO BO phân giác ABC OAN=OBM=30o; OA=OB=R BM=AN(gt)OMB=ONA

OM=ON OMN cân O 2/C/m OMAN nội tiếp:

do OBM=ONA(cmt)BMO=ANO mà BMO+AMO=2vANO+AMO=2v AMON nội tiếp

3/C/m BC2+DC2=3R2.

Do BO phân giác đều BOAC hay BOD vng D p dụng hệ thức Pitago ta có:

BC2=DB2+CD2=(BO+OD)2+CD2=

=BO2+2.OB.OD+OD2+CD2.(1)

Mà OB=R.AOC cân O có OAC=30o

AOC=120oAOE=60oAOE tam giác có ADOEOD=ED= R2 Aùp dụng Pitago ta có:OD2=OC2-CD2=R2-CD2.(2)

Từ (1)và (2)BC2=R2+2.R R2 +CD2-CD2=3R2 4/Gọi K giao điểm BI với AJ

Ta có BCE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)có B=60o

BFC=30o

BC= 12 BF mà AB=BC=AB=AF.Do AOAI(t/c tt) AJBCAI//BC có A trung điểm BFI trung điểm CF Hay FI=IC

Do AK//FI.p dụng hệ Talét BFI có: AKEI =BKBI Do KJ//CI.p dụng hệ Talét BIC có: KJCJ =BK

BI

Mà FI=CIAK=KJ (đpcm) Bài 21:

Cho ABC (A=1v)nội tiếp đường tròn tâm (O).Gọi M trung điểm cạnh AC.Đường trịn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC N cắt (O) D

1 C/m ABNM nội tiếp CN.AB=AC.MN

2 Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng OM tiếp tuyến (I) Tia IO cắt đường thẳng AB E.C/m BMOE hình bình hành C/m NM phân giác góc AND

1/C/m ABNM nội tiếp: (dùng tổng hai góc đối) C/m CN.AB=AC.MN

Chứng minh hai tam giác vuông ABC NMC đồng dạng

2/C/m B;M;D thẳng hàng Ta có MDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I) hay MD  DC BDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O)

Hay BDDC Qua điểm D có hai đường thẳng BD DM vng góc với DCB;M;D thẳng hàng C/m OM tiếp tuyến (I):Ta có MO đường trung bình ABC (vì M;O trung điểm AC;BC-gt)MO//AB mà ABAC(gt)MOAC hay MOIC;M(I)MO tiếp tuyến đường trịn tâm I

3/C/m BMOE hình bình hành: MO//AB hay MO//EB.Mà I trung điểm MC;O trung điểm BCOI đường trung bình MBCOI//BM hay OE//BMBMOE hình bình hành

4/C/m MN phân giác góc AND:

Do ABNM nội tiếp MBA=MNA(cùng chắn cung AM) MBA=ACD(cùng chắn cung AD)

AK

FI =

Do MNCD nội tiếp ACD=MND(cùng chắn cung MD) ANM=MNDđpcm

Bài 22:

Cho hình vng ABCD có cạnh a.Gọi I điểm đường chéo AC.Qua I kẻ đường thẳng song song với AB;BC,các đường cắt AB;BC;CD;DA P;Q;N;M

1 C/m INCQ hình vng Chứng tỏ NQ//DB

3 BI kéo dài cắt MN E; MP cắt AC F C/m MFIN nội tiếp đường tròn Xác định tâm

4 Chứng tỏ MPQN nội tiếp.Tính diện tích theo a C/m MFIE nội tiếp

1/C/m INCQ hình vuông: MI//AP//BN(gt)MI=AP=BN

NC=IQ=PD NIC vng N có ICN=45o

(Tính chất đường chéo hình vng)NIC vng cân N INCQ hình vng

2/C/m:NQ//DB:

Do ABCD hình vuông DBAC Do IQCN hình vuông NQIC Hay NQACNQ//DB

3/C/m MFIN nội tiếp: Do MPAI(tính chất hình vng)MFI=1v;MIN=1v(gt) hai điểm F;I làm với hai đầu đoạn MN…MFIN nội tiếp

Tâm đường tròn giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MFIN 4/C/m MPQN nội tiếp:

Do NQ//PMMNQP hình thang có PN=MQMNQP thang cân.Dễ dàng C/m thang cân nội tiếp TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ= 12 SAMIP+ 12 SMDNI+ 12 SNIQC+ 12 SPIQB

= 12 SABCD= 12 a2. 5/C/m MFIE nội tiếp:

Ta có tam giác vuông BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v PIB=IMN mà PBI=EIN(đ đ)IMN=EIN

Ta lại có IMN+ENI=1vEIN+ENI=1vIEN=1v mà MFI=1vIEM+MFI=2v FMEI nội tiếp Bài 23:

Cho hình vng ABCD,N trung điểm DC;BN cắt AC F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN.(O) cắt AC E.BE kéo dài cắt AD M;MN cắt (O) I

1 C/m MDNE nội tiếp

2 Chứng tỏ BEN vng cân

3 C/m MF qua trực tâm H BMN C/m BI=BC IE F vuông

5 C/m FIE tam giác vuông 1/C/m MDNE nội tiếp

Ta có NEB=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)

MEN=1v;MDN=1v(t/c hình vuông) MEN+MDN=2vđpcm 2/C/m BEN vuông cân:

NEB vuông(cmt) Do CBNE nội tiếp

Ta có BIN=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)

BIMN Mà ENBM(cmt)BI EN hai đường cao BMNGiao điểm EN BI trực tâm H.Ta phải C/m M;H;F thẳng hàng

Do H trực tâm BMNMHBN(1) MAF=45o(t/c hv);MBF=45o(cmt)

MAF=MBF=45oMABF nội tiếp.MAB+MFB=2v mà MAB=1v(gt)MFB=1v hay MFBM(2)

Từ (1)và (2)M;H;F thẳng hàng

4/C/m BI=BC: Xét 2vng BCN BIN có cạnh huyền BN chung;NBC=NEC (cùng chắn cung NC).Do MEN=MFN=1vMEFN nội tiếpNEC=FMN(cùng chắn cung FN);FMN=IBN(cùng phụ với góc INB)IBN=NBCBCN=BIN.BC=BI

*C/m IEF vuông:Ta có EIB=ECB(cùng chắn cung EB) vaø ECB=45oEIB=45o

Do HIN+HFN=2vIHFN nội tiếpHIF=HNF (cùng chắn cung HF);mà HNF=45o(do EBN vuông cân)HIF=45o Từuvà vEIF=1v đpcm

5/ * C/mBM đường trung trực QH:Do AI=BC=AB(gt cmt)ABI cân B.Hai vuông ABM BIM có cạnh huyền BM chung;AB=BIABM=BIMABM=MBI;ABI cân B có BM phân giác BM đường trung trực QH

*C/mMQBN thang cân: Tứ giác AMEQ có A+QEN=2v(do ENBM theo cmt) AMEQ nội tiếpMAE=MQE(cùng chắn cung ME) mà MAE=45o ENB=45o(cmt) MQN=BNQ=45o MQ//BN.ta lại có MBI=ENI(cùng chắn cungEN) MBI=ABM vàIBN=NBC(cmt)

 QBN=ABM+MBN=ABM+45o(vì MBN=45o)MNB=MNE+ENB=MBI+45o MNB=QBNMQBN thang cân

Bài 24:

Cho ABC có góc nhọn(AB<AC).Vẽ đường cao AH.Từ H kẻ HK;HM vng góc với AB;AC.Gọi J giao điểm AH MK

1 C/m AMHK noäi tieáp C/m JA.JH=JK.JM

3 Từ C kẻ tia Cxvới AC Cx cắt AH kéo dài D.Vẽ HI;HN vng góc với DB DC Cmr : HKM=HCN

4 C/m M;N;I;K nằm đường trịn 1/C/m AMHK nội tiếp: (Dùng tổng hai góc đối) 2/C/m: JA.JH=JK.JM

Xét hai tam giác:JAM JHK có: AJM=KJH

(đđ).Do AKHM nt HAM=HKM( chắn cung HM) JAM∽JKHđpcm

3/C/m HKM=HCN

vì AKHM nội tiếp HKM=HAM(cùng chắn cung HM) Mà HAM=MHC (cùng phụ với góc ACH)

Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)MCNH hình chữ nhật MH//CN hay MHC=HCNHKM=HCN 4/C/m: M;N;I;K nằm đường tròn

Do BKHI nội tiếpBKI=BHI(cùng chắn cung BI);BHI=IDH(cùng phụ với góc IBH) Do IHND nội tiếpIDH=INH(cùng chắn cung IH)BKI=HNI

Do AKHM nội tiếpAKM=AHM(cùng chắn cung AM);AHM=MCH(cùng phụ với HAM) Do HMCN nội tiếpMCH=MNH(cùng chắn cung MH)AKM=MNH

mà BKI+AKM+MKI=2vHNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2v M;N;I;K nằm đường tròn

Baøi 25:

1 Chứng minh D;H;E thẳng hàng

2 C/m BDCE nội tiếp.Xác định tâm O đường tròn C/m AMDE

4 C/m AHOM hình bình hành 1/C/m D;H;E thẳng hàng:

Do DAE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm H) DE đường kính D;E;H thẳng hàng

2/C/m BDCE nội tiếp:

HAD cân H(vì HD=HA=bán kính đt tâm H) HAD=HAD mà HAD=HCA(Cùng phụ với HAB)

BDE=BCEHai điểm D;C làm với hai đầu đoạn thẳng BE… Xác định tâm O:O giao điểm hai đường trung trực DE BC 3/C/m:AMDE:

Do M trung điểm BCAM=MC=MB= BC2 MAC=MCA;mà ABE=ACB(cmt)MAC=ADE Ta lại có:ADE+AED=1v(vì A=1v)CAM+AED=1vAIE=1v AMED

4/C/m AHOM hình bình hành:

Do O tâm đường tròn ngoại tiếp BECDOM đường trung trực BC OMBCOM//AH Do H trung điểm DE(DE đường kính đường trịn tâm H)OHDE mà

AMDEAM//OHAHOM hình bình hành Bài 26:

Cho ABC có góc nhọn,đường cao AH.Gọi K điểm dối xứng H qua AB;I điểm đối xứng H qua AC.E;F giao điểm KI với AB AC

1 Chứng minh AICH nội tiếp C/m AI=AK

3 C/m điểm: A;E;H;C;I nằm đường tròn C/m CE;BF đường cao ABC

5 Chứng tỏ giao điểm đường phân giác HFE trực tâm ABC 1/C/m AICH nội tiếp:

Do I đx với H qua ACAC trung trực HIAI=AH HC=IC;AC chung AHC=AIC(ccc)

AHC=AIC mà AHC=1v(gt)AIC=1v AIC+AHC=2v AICH nội tiếp 2/C/m AI=AK:

Theo chứng minh ta có:AI=AH.Do K đx với H qua AB nên AB đường trung trực KHAH=AK AI=AK(=AH) 3/C/m A;E;H;C;I nằm đường tròn:

DoEABvà ABlà trung trực KHEK=EH;EA chung; AH=AKAKE=AHEAKE=EHA màAKI cân A (theo c/m AK=AI) AKI=AIK.EHA=AIE

 hai điểm I K cung làm với hai đầu đoạn AE…A;E;H;I nằm đường trịn ký hiệu (C)

Theo cmt A;I;CV;H nằm đường tròn(C’)  (C) và (C’) trùng có chung điểm A;H;I khơng thẳng hàng)

4/C/m:CE;BF đường cao ABC

Do AEHCI nằm đường trịn có AIC=1vAC đường kính.AEC=1v

5/Gọi M giao điểmAH EC.Ta C/m M giao điểm đường phân giác HFE EBHM nt MHE=MBE(cùng chắn cungEM)

BEFC nt FBE=ECF (Cùng chắn cung EF) HMFC ntFCM=FMH(cùng chắn cung MF)

C/m tương tự có EC phân giác FHEđpcm Bài 27:

Cho ABC(AB=AC) nội tiếp (O).Gọi M điểm cung nhỏ AC.Trên tia BM lấy MK=MC tia BA laáy AD=AC

1 C/m: BAC=2BKC

2 C/m BCKD nội tiếp.,xác định tâm đường tròn Gọi giao điểm DC với (O) I.C/m B;O;I thẳng hàng C/m DI=BI

1/Chứng tỏ:BAC=BMC (cùng chắn cung BC) BMC=MKC+MCK(góc ngồi MKC)

Mà MK=MC(gt)MKC cân MMKC=MCK BMC=2BKC

BAC=2BKC

2/C/mBCKD nội tiếp:

Ta có BAC=ADC+ACD(góc ngồi ADC) mà AD=AC(gt)ADC cân AADC=ACDBAC=2BDC

Nhưng ta lại có:BAC=2BKC(cmt)BDC=BKC BCKD nội tiếp

ưXác định tâm:Do AB=AC=ADA trung điểm BD trung tuyến CA= 12 BDBCD vuông C Do BCKD nội tiếp DKB=DCB(cùng chắn cungBD).Mà BCD=1vBKD=1vBKD vng K có trung tuyến KAKA= 12 BD AD=AB=AC=AK A tâm đường tròn…

3/C/m B;O;I thẳng hàng:Do góc BCI=1v,mà B;C;I(O) BI đường kính B;O;I thẳng hàng 4/C/mBI=DI:

ưCách 1: Ta có BAI=1v(góc nội tiếp chắn nử đường trịn)hay AIDB,có A trung điểmAI đường trung trực BDIBD cân IID=BI

ưCách 2: ACI=ABI(cùng chắn cung AI)ADC cân DACI=ADIBDC=ACDIDB=IBDBID cân Iđpcm

Baøi 28:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I điểm cung AB(Cung AB khơng chứa điểm C;D).IC ID cắt AB M;N

1 C/m D;M;N;C nằm đường tròn C/m NA.NB=NI.NC

3 DI kéo dài cắt đường thẳng BC F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E.C/m:EF//AB C/m :IA2=IM.ID.

1/C/m D;M;N;C nằm đường tròn Sđ IMB= 12 sđcung(IB+AD)

Sđ NCD= 12 Sđ cungDI Mà cung IB=IAIMB=NCD IMB=NCD

Ta lại có IMN+DMN=2v NCD+DMN=2vMNCD nộitiếp 2/Xét 2NBC NAI có:

IAB=ICB(cùng chắn cung BI)

INA=BNC(ñ ñ)NAI∽NCBñpcm

3/C/m EF//AB:

Do IDA=ICB(cùng chắn hai cung hai cung IA=IB) hay EDF=ECF hai điểm D C làm với hai đầu đoạn EF…EDCF nội tiếp

 EFD=ECD(cùng chắn cung ED),maø ECD=IMN(cmt) EFD=FMN EF//AB 4/C/m: IA2=IM.ID.

AIM∽DIA vì: I chung;IAM=IDA(hai góc nt chắn hai cung nhau) đpcm

Bài 29:

Cho hình vuông ABCD,trên cạnh BC lấy điểm E.Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài F.Kẻ trung tuyến AI AEF,AI kéo dài cắt CD K.qua E dựng đường thẳng song song với AB,cắt AI G

1 C/m AECF nội tiếp C/m: AF2=KF.CF C/m:EGFK hình thoi

4 Cmr:khi E di động BC EK=BE+DK chu vi CKE có giá trị khơng đổi

6 Gọi giao điểm EF với AD J.C/m:GJJK 1/C/m AECF nội tiếp:

FAE=DCE=1v(gt)  AECF nội tiếp 2/C/m: AF2=KF.CF.

Do AECF nội tiếp DCA=FEA(cung chắn cung AF).Mà DCA=45o (Tính chất hình vuông)

FEA=45oFAE vng cân A có FI=IEAIFE FAK=45o

FKA=ACF=45o.Và KFA chung FKA∽FCA

 FA

FC=

FK

FA ñpcm

3/C/m: EGFK hình thoi -Do AK đường trung trực FEGFE cân G

GFE=GEF.Mà GE//CF (cùng vuông góc với AD)GEF=EFK(so le) GFI=IFKFI đường trung trực GKGI=IK,mà I F=IEGFKE hình thoi

4/C/m EK=BE+DK: vuông ADF ABE có AD=AB;AF=AE.(AE F vuông cân)ADF=ABE BE=DF nà FD+DK=FK VÀ FK=KE(t/v hình thoi)KE=BE+DK

ưC/m chu vi tam giác CKE không đổi:Gọi chu vi C= KC+EC+KE =KC+EC+BE +DK =(KC+DK)+ (BE+EC)=2BC không đổi

5/C/m IJJK:

Do JIK=JDK=1vIJDK nội tiếp JIK=IDK(cùng chắn cung IK) IDK=45o(T/c hình vuông) JIK=45o

JIK vuông vân IJI=IK,mà IK=GI JI=IK=GI= 12 GKGJK vuông J hay GJJK Bài 30:

Cho ABC.Gọi H trực tâm tam giác.Dựng hình bình hành BHCD Gọi I giao điểm HD BC

1 C/m:ABDC nội tiếp đường tròn tâm O;nêu cacùh dựng tâm O So sánh goc BAH OAC

3 CH cắt OD E.C/m AB.AE=AH.AC

Gọi đường cao ABC AN;BM;CN

—Do AQH+HMA=2vAQHM nội tiếpBAC+QHM=2v

mà QHM=BHC(đ đ)

BHC=CDB(2 góc đối hình bình hành) BAC+CDB=2VABDC nội tiếp

—Cách xác định tâm O:do CD//BH(t/c hình bình hành)

Và BHACCDAC hay ACD=1v,mà A;D;Cè nằm đường trịnAD đường kính.Vậy O trung điểm AD

2/So sánh BAH OAC:

BAN=QCB(cùng phụ với ABC) mà CH//BD( BHCD hình bình hành) QCB=CBD(so le);CBD=DAC(cùng chắn cung CD)BAH=OAC

3/c/m: AB.AE=AH.AC:

Xét hai tam giác ABH ACE có EAC=HCB(cmt);ACE=HBA(cùng phụ với BAC)ABH∽ACEđpcm

4/C/m G trọng tâm ABC.ta phải cm G giao điểm ba đường trung tuyến hay GJ= 13 AI Do IB=ICOIBC mà AHBCOI//AH.Theo định lý Ta Lét AGH

 OI

AH=

GI

AG Do I trung điểm HDO trung điểm AD OI

AH=

1

2 (T/c đường trung bình) OI

AH=

GI

AG=

1

2 GI=

1

2 AG Hay GI=

3 AIG trọng tâm ABC

Bài 31:

Cho (O) cung AB=90o.C điểm tuỳ ý cung lớn AB.Các đường cao AI;BK;CJ

ABC cắt H.BK cắt (O) N;AH cắt (O) M.BM AN gặp D

1 C/m:B;K;C;J nằm đường tròn c/m: BI.KC=HI.KB

3 C/m:MN đường kính (O) C/m ACBD hình bình hành C/m:OC//DH

Bài có hai hình vẽ tuỳ vào vị trí C Cách c/m tương tự 1/C/m B;K;C;J nằm đường trịn

-Sử dúng toơng hai góc đoẫi

-Sử dụng hai góc làm với hai đầu đoạn thẳng góc vng 2/C/m: BI.KC=HI.KB

Xét hai tam giác vuông BIH BKC có IBH=KBC(đ đ) đpcm

3/ C/m MN đường kính (O) Do cung AB=90o.ACB=ANB=45o KBC;AKN

Tam giác vuông cânKBC=45oIBH=KBC=45oIBH tam giác vng cân.Ta lại có: AMD=MAB+ABM(góc ngồi tam giác MAB).Mà

sñMAB= 12 sñMB

SñABM= 12 sđAM cung MA+AM=AB=90o.

AMD=45o AMD=BMH(đ đ)

BMI=45oBIM vng cânMBI=45oMBH=MBI+IBH=90o hay MBN=1vMN đường kính (O)

Do MN đường kính MAN=1v(góc nt chắn nửa đtròn) mà CAN =45o

MAC=45o hay cung MC=90oMNC=45o.Góc tâm MOC chắn cung MC=90oMOC=90oOCMN Do DBNH;HADN;AH DB cắt MM trực tâm DNH MNDHOC//DH

Bài 32:

Cho hình vuông ABCD.Gọi N điểm CD cho CN<ND;Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN.(O) cắt AC F;BF cắt AD M;BN cắt AC E

1 C/m BFN vuông cân C/m:MEBA nội tiếp

3 Gọi giao điểm ME NF Q.MN cắt (O) P.C/m B;Q;P thẳng hàng Chứng tỏ ME//PC BP=BC

5 C/m FPE tam giác vuông 1/c/m:BFN vuông cân:

ANB=FCB(cùng chắn cung FB).Mà FCB=45o (tính chất hình vuông) ANB=45o

Mà NFB=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)BFN vng cân F 2/C/m MEBA Nội tiếp:

DoFBN vuông cân F

FME=45o MAC=45o(tính chất hình vuông)FME=MAC=45o MABE nội tiếp

3/C/m B;Q;P thẳng hàng:

Do MABE ntMAB+NEB=2v;mà MAB=1v(t/c hình vng)MEB=1v hay MEBN.Theo cmt NFBMQ trực tâm BMNBQMN(1)

Ta lại có BPN=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay BPMN(2) Từ (1)và(2)B;Q;P thẳng hàng

4/C/m MF//PC

Do MFN=MEN=1vMFEN nội tiếpFNM=FEM(cùng chắn cung MF) Mà FNP=FNM=FCD(cùng chắn cung PF (O) FEM=FCPME//CP

C/m:BP=BC:Do ME//CP MEBNCPBN.Đường kính MN vng góc với dây CPBN đường trung trực CP hay BCP cân BBC=BP

5/C/m FPE vuông:

Do FPNB nội tiếpFPB=FNB=45o(cmt)

Dễ dàng cm QENP nội tiếpQPE=QNE=45ođpcm Bài 33:

Trên đường tròn tâm O lấy bốn điểm A;B;C;D cho AB=DB.AB CD cắt E.BC cắt tiếp tuyến A đường tròn(O) Q;DB cắt AC K

1 Cm: CB phân giác góc ACE c/m:AQEC nội tiếp

3 C/m:KA.KC=KB.KD C/m:QE//AD

1/C/m CB phân giác góc ACE: Do ABCD nội tiếp BCD+BAD=2v Mà BCE+BCD=2VBCE=BAD

Do AB=AC(gt)BAD cân BBAD=BDA.ta lại có BDA=BCA (Cùng chắn cung AB) BCE=BCA đpcm

2/C/m AQEC noäi tiếp:

Sđ ADB=Sđ 12 AB

QAB=ADB=BCE(cmt) QAE=QCDhai điểm A C làm với hai đầu đoạn QE…đpcm 3/C/m: KA.KC=KB.KD

C/m KAB∽KDC 4/C/m:QE//AD:

Do AQEC ntQEA=QCA(cùng chắn cung QA) mà QCA=BAD(cmt) QEA=EADQE//AD Bài 34:

Cho (O) tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy hai điểm B C cho AB=BC.Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn.CE CF cắt (O) M N.Dựng hình bình hành AECD

1 C/m:D nằm đường thẳng BF C/m ADCF nội tiếp

3 C/m: CF.CN=CE.CM C/m:MN//AC

5 Gọi giao điểm AF với MN I.Cmr:DF qua trung điểm NI 1/C/m:D nằm đường thẳng BF

Do ADCE hình bình hànhDE AC hai đường chéo Do B trung điểm AC B trung điểm DE

hay DBE thẳng hàng.Mà B;E;F thẳng hàng D nằm BF 2/C/m ADCF nội tiếp:

Do ADCf hình bình hành DCA=CAE(so le)

Sđ CAE= 12 Cung AE(góc tt dây) mà EFA=sđ 12 AE CAE=EFADFA=DCA hai điểm F C làm với đầu đoạn AD…đpcm

3/C/m: CF.CN=CE.CM ta c/m CEF∽CNM 4/C/m:MN//AC

Do ADCF ntDAC=DFC(cùng chắn cung CD).Mà ADCE hình bình hành DAC=ACE(so le),ta lại có CFD=NME(cùng chắn cung EN)ACM=CMN AC//MN

5/C/m:DF qua trung điểm NI:Gọi giao điểm NI với FE J Do NI//AC(vì MN//AB)

NJ//CB,theo hệ talét JEFB=NJ

BC

Tương tự IJ//AB JFFB=JIAB MaØ AB=AC(gt)JI=NJ

Baøi 35:

Cho (O;R) đường kính AB;CD vng góc với nhau.Gọi M điểm cung nhỏ CB 1. C/m:ACBD hình vng

2. AM cắt CD ;CB P I.Gọi J giao điểm DM AB.C/m IB.IC=IA.IM 3. Chứng tỏ IJ//PD IJ phân giác góc CJM

4. Tính diện tích AID theo R 1/C/m:ACBD hình vuông:

Vì O trung điểm AB;CD nên ACBD hình bình hành Mà AC=BD(đường kính) ACDB (gt)

hình bình hành ACBD hình vuông 2/C/m: IB.IC=IA.IM

Xét IAC IBM có CIA=MIB(đ đ)

IAC=IBM(cùng chắn cung CM)IAC∽IBMñpcm

JI

AB=

3/C/m IJ//PD

Do ACBD hình vng CBO=45o.Và cung AC=CB=BD=DA.AMD=DMB=45o IMJ=IBJ=45oM B làm với hai đầu đoạn IJ…MBIJ nội tiếp

IJB+IMB=2v maø IMB=1v IJB =1v hay IJAB.Maø PDAB(gt) IJ//PD

— C/m IJ phân giác góc CMJ:

-Vi IJAB hay AJI=1v ACI=1v(t/c hình vuông)ACIJ nội tiếp  IJC=IAC(cùng chắn cung CI) mà IAC=IBM(cùng chắn cungCM) -Vì MBJI nội tiếp MBI=MJI(cùng chắn cung IM) IJC= IJMđpcm 4/Tính diện tích AID theo R:

Do CB//AD(tính chất hình vng) có ICB khoảng cách từ đến AD CA.Ta lại có IAD CAD chung đáy đường cao SIAD=SCAD.Mà SACD= 12 SABCD. SIAD= 12 SABCD.SABCD=

1

2 AB.CD (diện tích có đường chéo vng góc)SABCD=

2 2R.2R=2R2SIAD=R2

Baøi 37:

Cho ABC(A=1v).Kẻ AHBC.Gọi O O’ tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHB AHC.Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC tạ M;N

1. C/m:  OHO’ tam giác vuoâng

2. C/m:HB.HO’=HA.HO 3. C/m: HOO’∽HBA

4. C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp 5. C/m AMN vuông cân

1/C/m:OHO’ vuoâng:

Do AHB=1v O tâm đường tròn nội tiếp AHBO giao điểm ba đường phân giác tam giácAHO=OHB=45o.Tương tự AHO’=O’HC=45o.

O’HO=45o+45o=90o.hay O’HO vuông H. 2/C/m: HB.HO’=HA.HO

Do ABC vuông A AHBCABH=CAH(cùng phụ với góc C) mà OB;O’A Phân giác hai góc trênOBH=O’AH OHB=O’HA=45o

HBO∽HAO’ HBHA=OHO ' H(1) ñpcm 3/c/m HOO’∽HBA

Từ (1) HBHA=HOHO'  HAHO'=HOHB (Tính chất tỉ lệ thức).Các cặp cạnh HO HO’ HOO’tỉ lệ với cặp cạnh HBA góc xen BHA=O’HO=1v HOO’∽HBA

4/C/m:BMOH nt:Do  HOO’∽HBAO’OH=ABH mà O’OH+MOH=2vMBH+MOH=2vđpcm C/m NCHO’ nội tiếp: HOO’∽HBA(cmt) hai tam giác vngHBA HAC có góc nhọn ABH=HAC(cùng phụ với góc ABC) nênHBA∽HAC HOO’ ∽HACOO’H=ACH.Mà OO’H=NO’H=2v NCH+NO’H=2v đpcm

5/C/m AMN vuông cân:Do OMBH ntOMB+OHB=2v mà AMO+OMB=2vAMO=OHB mà OHB=45o

AMO=45o.Do AMN vng A có AMO=45o.AMN vuông cân A Bài 37:

Cho nửa đường trịn O,đường kính AB=2R,gọi I trung điểm AO.Qua I dựng đường thẳng vng góc với AB,đường cắt nửa đường tròn K.Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) M;MB cắt đường thẳng IK D.Gọi giao điểm IK với tiếp tuyến M N

1. C/m:AIMD nội tiếp 2. C/m CM.CA=CI.CD 3. C/m ND=NC

5. C tâm đường tròn nội tiếp EIM

6. Giả sử C trung điểm IK.Tính CD theo R 1/C/m AIMD nội tiếp:

Sử dụng hai điểm I;M làm với hai đầu đoạn AD… 2/c/m: CM.CA=CI.CD

C/m hai CMD CAI đồng dạng 3/C/m CD=NC:

sđNAM= 12 sđ cung AM(góc tt dây) sđMAB= 12 sđ cung AMNAM=MAB

Mà MBA=ACI(cùng phụ với góc CAI);CAI=KCM(đ đ)NCM+NMC NMC cân NNC=NM Do NMD+NMC=1v NCM+NDM=1v NCM=NMC NDM=NMDNMD cân

NND=NMNC=ND(ñpcm)

4/C/m C tâm đường tròn nội tiếp EMI.Ta phải c/m C giao điểm đường phân giác EMI (xem câu 35)

5/Tính CD theo R:

Do KI trung trực AOAKO cân KKA=KO mà KO=AO(bán kính) AKO  đềuKI=

R√3

2 CI=KC= KI

2 =

R√3

4 Aùp dụng PiTaGo tam giác vuông ACI có:CA= √CI2+AI2=√3R

2 16 +

R2 =

R√7

4 CIA∽BMA( hai tam giác vuông có góc CAI chung)

CA

BA=

IA

MA MA=

AB×AI

AC = 2R

R

2 :

R√7

4 =¿

= 4R√7

7 MC=AM-AC=

9R√7

28 áp dụng hệ thức câu 2CD=

3R√3

4

Baøi 38:

Cho ABC.Gọi P điểm nằm tam giác cho góc PBA=PAC.Gọi H K chân đường vng góc hạ từ P xuống AB;AC

1 C/m AHPK nội tiếp C/m HB.KP=HP.KC

3 Gọi D;E;F trung điểm PB;PC;BC.Cmr:HD=EF; DF=EK C/m:đường trung trực HK qua F

1/C/m AHPK nội tiếp(sử dụng tổng hai góc đối) 2/C/m: HB.KP=HP.KC

C/m hai  vng HPB KPC đồng dạng 3/C/m HD=FE:

Do FE//DO DF//EP (FE FD đường trung bình PBC) DPEF hình bình hành.DP=FE

Do D trung điểm BPDH trung tuyến  vuông HBPHD=DPDH=FE C/m tương tự có:DF=EK

4/C/m đường trung trực HK qua F

Ta phải C/m EF đường trung trực HK.Hay cần c/m FK=FH Do HD=DP+DBHDP=2ABP(góc tam giác cân ABP) Tương tự KEP=2ACP

Do PEFD hình bình hành(cmt)PDF=PEF(2)

Từ (1) (2)HDF=KEF mà HD=FE;KE=DFDHF∽EFK(cgc)FK=FH đpcm

Baøi 39:

Cho hình bình hành ABCD(A>90o).Từ C kẻ CE;Cf;CG vng góc với AD;DB;AB. 1. C/m DEFC nội tiếp

2. C/m:CF2=EF.GF.

3. Gọi O giao điểm AC DB.Kẻ OICD.Cmr: OI qua trung điểm cuûa AG

4. Chứng tỏ EOFG nội tiếp 1/C/mDEFC nội tiếp:

(Sử dụng hai điểm E;F làm với hai đầu đoạn thẳng CD) 2/C/m: CF2=EF.GF: Xét

ECF CGF có:

-Do DE FC ntFCE=FDE(cùng chắn cung FE);FDE=FBC(so le) Do GBCF nt (tự c/m)FBC=FGC(cùng chắn cung FC)FGC=FCE -Do GBCF ntGBF=GCF(cùng chắn cùngG) mà GBF=FDC(so le)

DoDEFC nội tiếp FDC=FCE(cùng chắn cùngC)FCG=FECECF∽CGFđpcm

3/C/m OI qua trung điểm AG.Gọi giao điểm đường trịn tâm O đường kính AC J Do AG//CJ CGAGAGCJ hình chữ nhật AG=CJ Vì OICJ nên I trung điểm CJ(đường kính  với

dây…)đpcm

4/C/m EOFG nội tiếp:Do CEA=AGC=1vAGCE nt (O)AOG=2GCE (góc nt nửa góc tâm chắn cung;Và EAG+GCE=2v(2góc đối tứ giác nt).Mà ADG+ADC=2v(2góc đối hbh)EOG=2.ADC(1)

Do DEFC ntEFD=ECD(cùng chắn cungDE);ECD=90o-EDC(2 góc nhọn  vng EDC)();Do GBCF ntGFB=GBC(cùng chắn cung GB);BCG=90o-GBC(ßß).Từ (ß)và(ßß)EFD+GFB=90o -EDC+90o-GBC=180o-2ADC mà EFG=180o-(EFD+GFB)=180o-180o+2ADC=2ADC(2)

Từ (1) (2)EOG=EFGEOFG nt Bài 40:

Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B.Các đường thẳng AO cắt (O) C D;đường thẳng AO’ cắt (O) (O’) E F

1.C/m:C;B;F thẳng hàng 2.C/m CDEF nội tiếp 3.Chứng tỏ DA.FE=DC.EA

4.C/m A tâm đường tròn nội tiếp BDE

5.Tìm điều kiện để DE

tiếp tuyến chung hai đường tròn (O);(O’) 1/C/m:C;B;F thẳng hàng: Ta có:ABF=1v;ABC=1v

(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ABC+ABF=2vC;B;F thẳng hàng

2/C/mCDEF nội tiếp:Ta có AEF=ADC=1vE;D làm với hai đầu đoạn CF… đpcm

3/C/m: DA.FE=DC.EA Hai  vuông DAC EAF có DAC=EAF(đ đ)  DAC ∽ø EAFđpcm

4/C/m A tâm đường trịn ngoại tiếp BDE.Ta phải c/m A giao điểm đường phân giác DBE (Xem cách c/m 35 câu 3)

5/Để DE tiếp tuyến chung đường tròn cần điều kiện là:

ODO’=OEO’D E làm với hai đầu đoạn thẳngOO’ góc nhauODEO’ nt ODE+EO’O=2v.Vì DE tt (O) (O’)ODE=O’ED=1vEO’O=1vODEO’ hình chữ nhật DA=AO’=OA=AE(t/c hcn) hay OA=O’A

Vậy để DE tt chung hai đường trịn hai đường trịn có bán kính nhau.(hai đường trịn nhau)

Bài 41:

Cho (O;R).Một cát tuyến xy cắt (O) E F.Trên xy lấy điểm A nằm đoạn EF,vẽ tiếp tuyến AB AC với (O).Gọi H trung điểm EF

1. Chứng tỏ điểm:A;B;C;O;H nằm đường tròn

2. Đường thẳng BC cắt OA I cắt đường thẳng OH K.C/m: OI.OA=OH.OK=R2. 3. Khi A di động xy I di động đường nào?

4. C/m KE KF hai tiếp tyuến (O) 1/ C/m:A;B;C;H;O nằm đường trịn: Ta có ABO=ACO(tính chất tiếp tuyến)

Vì H l trung điểm dây FE nên OHFE

(đường kính qua trung điểm dây) hay kính AO

OHA=1v5 điểm A;B;O;C;H nằm đường trịn đường kính AO 2/C/m: OI.OA=OH.OK=R2

Do ABO vng B có BI đường cao

Aùp dung hệ thức lượng tam giác vng ta có:OB2=OI.OA ; mà OB=R.OI.OA=R2.(1)

Xét hai  vuông OHA OIK có IOH chung.AHO∽KIO OAOK=OHOI OI.OA=OH.OK (2)

Từ (1) (2)đpcm

4/C/m KE KF hai tt đuờng tịn (O)

-Xét hai EKO vaø EHO.Do OH.OK=R2=OE2 OHOE =OEOK vaø EOH chung

EOK∽HOE(cgc)OEK=OHE mà OHE=1vOEK=1v hay OEEK điểm E nằm (O)EK tt (O)

Bài 42:

Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt D.Qua A kẻ AE AF vng góc với BN CM.Các đường thẳng AE AF cắt BC I;K

1 C/m AFDE noäi tieáp C/m: AB.NC=BN.AB C/m FE//BC

4 Chứng tỏ ADIC nội tiếp Chú ý toán AB>AC 1/C/m AFDE nội tiếp.(Hs tự c/m) 2/c/m: AB.NC=BN.AB

Do D giao điểm đường phân giác BN CM củaABN  BD

DN=

AB

AN (1)

Do CD phân giác  CBN BDDN=CNBC (2) Từ (1) (2)  BCCN=ABAN đpcm

Do BE phân giác ABI BEAIBE đường trung trực AI.Tương tự CF phân giác ACK CFAKCF đường trung trực AK E F trung điểm AI AK FE đường trung bình AKIFE//KI hay EF//BC

4/C/m ADIC nt:

Do AEDF ntDAE=DFE(cùng chắn cung DE) Do FE//BCEFD=DCI(so le)

Baøi 43:

Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vị đo độ dài).Dựng đường trịn tâm O đường kính AB (O’) đường kính AC.Hai đường trịn (O) (O’) cắt điểm thứ hai D

1.Chứng tỏ D nằm BC

2.Gọi M điểm cung nhỏ DC.AM cắt DC E cắt (O) N C/m DE.AC=AE.MC 3.C/m AN=NE O;N;O’ thẳng hàng

4.Gọi I trung điểm MN.C/m góc OIO’=90o. 5.Tính diện tích tam giác AMC

1/Chứng tỏ:D nằm đường thẳng BC:Do ADB=1v; ADC=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)

ADB+ADC=2vD;B;C thẳng hàng

-Tính DB: Theo PiTaGo  vng ABC có: BC= √AC2+AB2=√152+202=25 p dụng hệ thức lượng tam giác vng ABC có: AD.BC=AB.ACAD=20.15:25=12

2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xét hai tam giác ADE AMC.Có ADE=1v(cmt) AMC=1v (góc nt chắn nửa đường trịn).Do cung MC=DB(gt)DAE=MAC(2 góc nt chắn cung nhau) DAE∽MAC

DA

MA=

DE

MC=

AE

AC (1)Ñpcm

3/C/m:AN=NE:

Do BAAO’(ABC Vuông A)BA tt (O’)sđBAE= 12 sđ AM SđAED=sđ 12 (MC+AD) mà cung MC=DMcung MC+AD=AM

 AED =BAC BAE cân B mà BMAENA=NE

C/m O;N;O’ thẳng hàng:ON đường TB ABEON//BE OO’//BE O;N;O’ thẳng hàng

4/Do OO’//BC cung MC=MD O’MBCO’MOO’NO’M vng O’ có O’I trung tuyến INO’ cân IIO’M=INO’ mà INO’=ONA(đ đ);OAN cân OONA=OANOAI=IO’OOAO’I ntOAO’+OIO’=2v mà OAO’=1v OIO’=1v

5/ Tính diện tích AMC.Ta có SAMC= 12 AM.MC Ta có BD= AB

2

BC =9 DC=16

Ta lại có DA2=CD.BD=16.9

AD=12;BE=AB=15DE=15-9=6AE= √AD2+DE2=6√5

Từ(1) tính AM;MC tính S Bài 44:

Trên (O;R),ta đặt theo chiều,kể từ điểm A cung AB=60o, cung BC=90o cung CD=120o.

1. C/m ABCD hình thang cân 2. Chứng tỏ ACDB

3. Tính cạnh đường chéo ABCD

4. Gọi M;N trung điểm cạnh DC AB.Trên DA kéo dài phía A lấy điểm P;PN cắt DB Q.C/m MN phân giác góc PMQ

1/C/m:ABCD hình thang cân:Do cung BC=90o

BAC=45o (góc nt nửa cung bị chắn).do cung AB=60o;BC=90o;CD=120o

 AD=90o

ACD=45o BAC=ACD=45o.AB//CD

Vì cung DAB=150o.Cung ABC =150o.

 BCD=CDA ABCD thang cân 2/C/mACDB:

Gọi I giao điểm AC BD.sđAID= 12 sđ cung(AD+BC)=180o=90o. ACDB

3/Do cung AB=60o

AOB=60oAOB tam giác đềuAB=R Do cung BC=90o

BOC=90oBOC vuông cân OBC=AD=R √2 Do cung CD=120o DOC=1200.MNCDDOM=600sin 600= DMOD DM= R√3

2 CD=2DM=R √3

-Tính AC:Do AIB vng cân I2IC2=AB2IA=AB √2

2 =

R√2

2 Tương tự IC=

R√6

2 ; AC =

DB=IA+IC =

3 1+√¿

¿

R√2

¿

R√2

2 +

R√6

2 =¿

4/PN cắt CD E;MQ cắt AB K;PM cắt AB taïi J Do JN//ME  JNME=PNPE

Do AN//DE  ANDE =PNPE Do NI//ME  NIME=NQQE NB//ME  NBDE=NQQE

NI=NJ.Mà MNAB(tc thang cân)JMI cân ởp MMN phân giác… Bài45:

Cho  ABC có cạnh a.Gọi D giao điểm hai đường phân giác góc A góc B tam giấcBC.Từ D dựng tia Dx vng góc với DB.Trên Dx lấy điểm E cho ED=DB(D E nằm hai phía đường thẳng AB).Từ E kẻ EFBC Gọi O trung điểm EB

1. C/m AEBC EDFB nội tiếp,xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác theo a

2. Kéo dài FE phía F,cắt (D) M.EC cắt (O) N.C/m EBMC thang cân.Tính diện tích 3. c/m EC phân giác góc DAC

4. C/m FD đường trung trực MB 5. Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng

6. Tính diện tích phần mặt trăng tạo cung nhỏ EB hai đường tròn

E A

N O 

D

AN

DE =

JN

ME Vì NB=NA

 JNME=NI

ME NI

ME=

B F C M

1/Do ABC tam giác có D giao điểm đường phân giác góc A BBD=DA=DC mà DB=DEA;B;E;C cách DAEBC nt (D)

Tính DB.p dụng cơng thức tính bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác ta có: DB=

AB Sin180

o

n

=AB

2sin 60o=¿ a√3

3

Do góc EDB=EFB=1vEDFB nội tiếp đường trịn tâm O đường kính EB.Theo Pi Ta Go tam giác vng EDB có:EB2=2ED2=2.( a√3

3 )

2. EB= a√6

3 OE=

a√6

2/C/m EBMC thang cân:

Góc EDB=90o góc tâm (D) chắn cung EB

Cung EB=90ogóc ECN=45o.EFC vng cân FFEC=45oMBC=45o(=MEC=45o) EFC=CBM=45oBM//EC.Ta có FBM vng cân FBC=EM EBMC thang cân

Do EBMC thang cân có hai đường chéo vng gócSEBMC= 12 BC.EM (BC=EM=a)SEBMC= 12 a2 3/C/m EC phân giác góc DCA:

Ta có ACB=60o;ECB=45o

ACE=15o

Do BD;DC phân giác đều ABC DCB=ACD=30o ECA=15o ECD=15o ECA=ECDEC phân giác góc ECA

4/C/m FD đường trung trực MB:

Do BED=BEF+FED=45o vaø FEC=FED+DEC=45o

BEF=DEC DEC=DCE=15o.Mà BE F=BDF(cùng chắn cung BF) NED=NBD(cùng chắn cung ND)NBD=BDFBN//DF mà BNEC(góc nt chắn nửa đuờng trịn (O) DF EC.Do DC//BM(vì BMCE hình thang cân)DFBM nhưmg BFM vng cân FFD đường trung trực MB

5/C/m:A;N;D thẳng hàng: Ta có BND=BED=45o (cùng chắn cung DB) ENB=90o(cmt);ENA góc ngồi ANCENA=NAC+CAN=45o

ENA+ENB+BND=180oA;N;D thẳng hàng 6/Gọi diện tích mặt trăng cần tính là:S

Ta có: S =Snửa (O)-S viên phân EDB S(O)=.OE2=.( a√6

6 )

2= a2π

6 S

1

2 (O)= a

2

π

12

S quạt EBD= π ×BD 2 90o

360o =

π

4×(

a√6

6 ) =a π 12

SEBD=

2 DB2= a

2

6

—Sviên phân=S quạt EBD - SEDB=

a2π

12

-a2

6 =

a2(π −2)

12

— S = a

2

π

12

-a2(π −2) 12 =

a2

6

Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC.Gọi a điểm nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy F.Gọi D điểm cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy E

1 C/m BD phân giác góc ABC OD//AB C/m ADEF nội tiếp

3 Gọi I giao điểm BD AC.Chứng tỏ CI=CE IA.IC=ID.IB C/m góc AFD=AED

F A

F A

B O C

Hay OD phân giác  cân AOCODAC Vì BAC góc nt chắn nửa đường trịn BAAC 2/C/m ADEF nội tiếp:

Do ADB=ACB(cùng chắn cung AB)

Do ACB=BFC(cùng phụ với góc ABC) Mà ADB+ADE=2vAFE+ADE=2vADEF nội tiếp 3/C/m: *CI=CE:

Ta có:sđ DCA= 12 sđ cung AD(góc nt chắn cung AD) Sđ ECD= 12 sđ cung DC (góc tt dây) Mà cung AD=DCDCA=ECD hay CD phân giác ICE.Nhưng CDDB (góc nt chắn nửa đt)CD vừa đường cao,vừa phân giác ICEICE cân CIC=CE

*C/m IAD∽IBC(có DAC=DBC chắn cung DC) 4/Tự c/m:

Baøi47:

Cho nửa đtrịn (O);đường kính AD.Trên nửa đường trịn lấy hai điểm B C cho cung AB<AC.AC cắt BD E.Kẻ EFAD F

1 C/m:ABEF nt

2 Chứng tỏ DE.DB=DF.DA

3 C/m:I tâm đường tròn nội tiếp CJD

4 Gọi I giao điểm BD với CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC

C B

1/* C/mBD phân giác góc ABC:Do

cung AD=DC(gt)ABD=

DBC(hai góc nt chắn hai cung nhau)BD phân giác góc ABC

*Do cung AD=DC goùc AOD=DOC(2

cung hai góc tâm nhau)

D E I

Hình 47

OD//BA

ADB=AFE

1/Sử dụng tổng hai góc đối 2/c/m: DE.DB=DF.DA

Xét hai tam giác vuông BDA FDE có góc D chung

BDA∽FDEđpcm

E

I M

A F O D

Goïi M trung điểm ED

*C/m:BCMF nội tiếp: Vì FM trung tuyến tam giác vuông FEDFM=EM=MD= 12 EDCác tam giác FEM;MFD cân MMFD=MDF EM F=MFD+MDF=2MDF(góc ngồi MFD)

Vì CA phân giác góc BCF2ACF=BCF.Theo cmt MDF=ACF BMF=BCFBCMF nội tiếp

*Ta có BFM∽BIC FBM=CBI(BD phân giác FBC-cmt) BMF=BCI(cmt)  BFBI =BMBC BF.BC=BM.BIu

* IFM∽IBC BIC=FIM(đđ).Do BCMF nội tiếpCFM=CBM(cùng chắn cung CM) IBFI =ICIM IC.IF=IM.IB v

Lấy utrừv vế theo vế

 BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2 Baøi 48:

Cho (O) đường kính AB;P điểm di động cung AB cho PA<PB Dựng hình vng APQR vào phía đường trịn.Tia PR cắt (O) C

1 C/m ACB vuông cân

2 Vẽ phân giác AI góc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC J.C/m điểm J;A;Q;B nằm đường tròn

3 Chứng tỏ: CI.QJ=CJ.QP RR

I P

J Q A R C

3/C/m: CI.QJ=CJ.QP

Ta cần chứng minh CIJ∽QPJ AIC=APC(cùng chắn cung AC) APC=JPQ=45oJIC=QPJ Hơn PCI=IAP( chắn cung PI);IAP=PQJ(cmt) PQJ=ICJ

4/ Baøi 49:

Cho nửa (O) đường kính AB=2R.Trên nửa đường trịn lấy điểm M cho cung AM<MB.Tiếp tuyến với nửa đường tròn M cắt tt Ax By D C

1. Chứng tỏ ADMO nội tiếp

Hình 47

1/ C/mABC vuông cân:

Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đt) Và APB=1v ;Do APQR hvng có PC đường chéo PC pg

của góc APB cung AC=CB dây AC=CB ABC

vuông cân

2/C/m JANQ nội tiếp:

Vì APJ=JPQ=45o.(t/c hv);PJ

chung;AP=PQPAJ=QPJ

 góc PAJ=PQJ mà JAB=PAJ vaø PQJ+JQB=2v

JAB+JQB=2vJQBA nt

— ÂO

B

2. Chứng tỏ AD.BC=R2.

3. Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB N;MO cắt Ax F;MB cắt Ax E Chứng minh:AMFN hình thang cân

4. Xác định vị trí M nửa đường trịn để DE=EF F

C E

M D

N A O B 1/C/m ADMO nt:Sử dụng tổng hai góc đối

2/C/m: AD.BC=R2.

ßC/m:DOC vng O: Theo tính chất hai tt cắt ta có ADO=MDO MOD=DOA.Tương tự MOC=COB.Mà : MOD+DOA+MOC+COB=2v

AOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v

ßAùp dụng hệ thức lượng tam giác vng DOC có OM đường cao ta có:DM.MC=OM2.Mà DM=AD;MC=CB(t/c hai tt cắt nhau) OM=R đpcm

3/Do AD=MD(t/c hai tt cắt nhau)và ADO=ODM OD đường trung trực AM hay DOAM Vì FAON;NMFO(t/c tt) FA cắt MN D

D trực tâm FNODOFN.Vậy AM//FN

Vì OAM cân OOAM=OMA.Do AM//FN FNO=MAO AMO=NFO FNO=NFO FNAM thang cân

4/Do DE=FE neân EM trung tuyến  vuông FDMED=EM.u Vì DMA=DAM

DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1vEDM=DEM hay EDM cân D hay DM=DEv.Từ uvà vEDM  ODM=60oAOM=60o.Vậy M nằm vị trí cho cung AM=1/3 nửa đường tròn

ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 50:

Cho hình vng ABCD,E điểm thuộc cạnh BC.Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE ,đường cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K

1 Chứng minh:BHCD nt Tính góc CHK

3 C/m KC.KD=KH.KB

4 Khi E di động BC H di động đường nào? A D

Hình 49

1/ C/m BHCD nt(Sử dụng H C làm với hai đầu đoạn thẳng DB…)

2/Tính góc CHK:

Do BDCE nt DBC=DHK(cùng chắn cung DC) mà

DBC=45o (tính chất hình vuông)

B E C H

K

KCB KHD đồng dạng

4/Do BHD=1v không đổi E di chuyển BC H di động đường trịn đường kính DB

ÐÏ(&(ÐÏ

Hết phần I