Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P).[r]
(1)Kiểm tra học kỳ II
Mơn: Tốn 11 Nâng cao- 2009-2010 Thời gian : 90 phút
*****
Câu I : (2 điểm) Tính giới hạn sau :
1. (1đ)
1 lim
1 3
x
x A
x x
2 (1đ)
1 cos cos3 lim
x
x x
B
x
Câu II : (2 điểm)
1. (1đ) Cho hàm số :
2
1 1
0 ( )
1 0
x
x
f x x x
m x
(m tham số)
Tìm m để hàm số f liên tục x0. 2. (1đ) Cho phương trình :
4 1 2010 32 0
m m x x
(m tham số)
Chứng minh phương trình ln có nghiệm dương với giá trị tham số m.
Câu III : (3 điểm)Tìm xét dấu đạo hàm
a. (1đ)
2 2 3 ( )
1
x x
f x
x
. (1đ) b f x( ) 4x 6 x
2. (1đ) Cho hàm số
2
2 1
x y
x
Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho,
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
4 9
y x
.
Câu IV : (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a
và góc Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = 2a. 1. (1đ) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD)
2 (1đ) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SBC) vng góc với nhau. 3. (1đ) Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A vng góc với đường thẳng SC Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (P) Tính diện tích thiết diện theo a.
(2)-HẾT -ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu Nội dung Điểm
I (2đ) 1 2 1 1 lim lim 1 1
1 3 1 3
x x
x x
A
x x x x
x x
1
1 1
lim
2
1 1 3
x x x 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Vì
2 0 0
1
1 cos3 cos 2 cos cos3
2
lim lim
2
x x
x x x x
L
x x
0,25
0,25 1 cos lim x x x = 2 sin lim 2 x x x = 1 2và 2 0 sin
1 cos3 2
lim lim
4
2 4 3
9 x x x x x x 2 0
1 cos cos3
lim lim 2 x x x x x x 0,25
nên
1 9 5 4 4 2
L
0,25 II (2đ) 1 2
4 2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
lim ( ) lim lim lim
2
1 1 1 1 1 1
x x x x
x x
f x
x x x x x x x
0,50
Hàm số f liên tục x = 0 lim ( )x0 f x f(0)
0,25
1 3
1
2 m m 2
0,25
2
Hàm số
4 2010
( ) 1 32
f x m m x x
hàm đa thức nên liên tục , liên tục đoạn 0 ; 2
0,25
(0) 32 0
f ;
2
4 2010 2010 1
(2) 2 0,
2 2
f m m m m m
0,50
Suy f(0) (2) 0,f m nên phương trình f(x) = có nghiệm thuộc khoảng (0 ;
2) nên ln có nghiệm dương với giá trị tham số m 0,25
III (3đ)
1 2 3
( ) 1 x x f x x 2 2 5 '( ) ( 1) x x f x x 0,75
'( ) 0, 1
f x x 0,25
2
( ) 4 6
f x x x
1 1
'( )
2 4 2 6
f x
x x
0,75
'( ) 0, ( 4,6)
f x x
0,25 3
(3)Phương trình tiếp tuyến M có dạng ( ) :d y y f x'( )(0 x x 0)
với
2
0
2
'
2
o o
o
x x
f x
x
Do
2
2
2 (2 1) 2. 2 2 '
(2 1) (2 1)
x x x x x
y
x x
0,25
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y3x : 0 4 '
9
f x
2
2 2 4
9
2 1
o o
o
x x
x
2
2
0
9.(2xo 2 ) 2xo x 1 2xo 2xo 4 0
xo=1, xo=2
0,25
với x0 1 1 3
y
nên ta có phương trình tiếp tuyến
4 1
( ) :
9 9
d y x 0,25
với x0 2 4 3
y
nên ta có phương trình tiếp tuyến
4 4
( ) :
9 9
d y x 0,25
IV (3đ)
1 Vì SA (ABCD) nên AC hình chiếu SC lên mp(ABCD), góc đường thẳng
SC mp(ABCD) góc đường thẳng SC AC góc SCA
0,25
ABCD hình vng tanSCA =1 SCA = 45o 0,5
Vậy góc đường thẳng SC mp(ABCD) góc SCA 45o 0,25
2 ABCD hình vng nên suy BCAB (1) 0,25
SA(ABCD)SABC(2) Từ (1), (2) suy BC (SAB) 0,5
Mà BC(SBC) nên suy (SBC) (SAB) 0,25
3 Gọi K hình chiếu A lên SC, suy AH SC (3)
Gọi I giao điểm SO AH Qua I, vẽ MN // BD
Vì BD (SAC) nên MN (SAC) , MN SC (4)
Từ (3), (4) suy (AMHN) SC nên mặt phẳng (P) mặt phẳng (AMHN)
0,25
Suy thiết diện tứ giác AMHN
MN (SAC)
MN AH
AH (SAC)
Vậy tứ giác AMHN có hai đường chéo vng góc.
0,25
AH đường cao tam giác vuông cân SAC nên AH = a MN // BD
MN SI 2
BD SO 3 (vì I trọng tâm SAC), suy
2
MN BD
3
Mà BD = a 2 nên MN =
2
3
a
0,25
AMHN 1
S AH.MN
2
2
1 2
2 3
a a
a
(đvdt)