TL: BCH Tỉnh đoàn TH K.XVII

KiÕn thøc cÇn nhí. 1.[r]

(1)

Chuyên đề: số phức

Chủ đề1: dạng đại số số phức Cộng, trừ, nhân, chia số phức A củng cố kiến thức

Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, a b số thực i thỏa mãn i2 = -1 đợc gọi số phức

a đợc gọi phần thực, b đợc gọi phần ảo i đợc gọi đơn vị ảo

Tập số phức đợc kớ hiu l

Số phức có phần ảo gọi số thực nên R. Số phức có phần thực gọi số ảo

= + 0i lµ sè võa thùc võa ¶o Hai sè phøc b»ng nhau

z a+bi (a,b

)

z' a'+b' i (a',b'

)

'

z z'

'

a a

b b

  

















3 Céng, trõ hai sè phøc

z a+bi (a,b

)

z' a'+b' i (a',b'

)

z + z' (a + a' ) + (b + b') i

z z' (a - a') + (b - b' )i

















Số đối số phức z = a + bi số phức - z = - a - bi; z + (-z) = Nhân hai số phức

z a+bi (a,b

)

z' a'+b' i (a',b'

)

zz'

aa bb

'

' (

ab a b i

'

' )

















Môđun số phức, số phức liên hợp

z = a +bi (a, b ) môđun z

z = a +b

2

z = a +bi (a, b ) số phức liên hợp z lµ

z

2 2

zz' = z z' , zz a

b

z

z + z' = z + z', zz'=z z', z = z







z lµ sè thùc vµ chØ z =

z

Chia cho sè phøc kh¸c 0

Nếu z = a + bi (a, b  ) khác khơng số phức nghịch đảo z

1

-1

z =

2

z

Th¬ng cđa z' cho z khác không là:

z'

z'z

-1

z'z

z

zz

'

' ' '

, z

z z z

z z z z

 

  

  . 7. BiÓu diƠn h×nh häc cđa sè phøc

Số phức z = a + bi (a, b  ) đợc biểu diễn M(a; b) mặt phẳng toạ độ Oxy hay gọi mặt phẳng phức

Trục Ox biểu diễn số thực gọi trục thực, trục Oy biểu diễn số ảo gọi trục ảo Số phức z = a + bi (a, b  ) đợc biểu diễn vectơ u( ; )a b



, M(a; b) điểm biểu diễn số phức z = a + bi (a, b  ) có nghĩa OM biểu diễn số phức

Ta cã:NÕu u v,  

(2)

u v  biĨu diƠn sè phøc z + z', u v  biÓu diÔn sè phøc z - z', ku k (  )



 biĨu diƠn sè phøc kz, OM u z

, với M điểm biểu diễn z

B Các dạng tập

Xác định tổng, hiệu, tích, thơng số phức a) Phơng pháp giải

- áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, ý tính chất giao hốn, kết hợp phép toán cộng nhân

b) Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm phân thực, phần ảo số phức sau a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) ( ) i 3 (2 )i

Bµi gi¶i

a) Ta cã: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i

= -1 - i

Vậy số phức cho có phần thực - 1, phần ảo - b) Sử dụng quy tắc cộng, trừ, nhân hai số phức ta có

3

2

3

( )

( 1)

3( 1)

2 2

3

3 3

( )

( 2) ( )

8

i

 

 

 



 



 



Do nhận đợc kết toán + 10i

VÝ dô 2: TÝnh 1 2 i

Bài giải

Ta có :

1 3

1

2 2

1 2

1 3

2 2

i i

i

i i

 

  

   

 

   

   

VÝ dô 3: TÝnh 1 i i2i3  i2009 Bài giải Ta có: i2010 (1 )(1i i i2i3 i2009) Mà i20102 Nên

2

3

2009

1

i i

i

 



 





2 2009

1 i i i   i  1 i. VÝ dô 4: TÝnh (1 ) i100

Bài giải Nhận thấy (1 ) i 2 (1 )(1 )i  i 2i

Suy (1 ) i100 ((1 ) ) i 50 ( )i 50  ( 2) ( )50 50i 250

VÝ dô 5: Cho sè phøc

1

3

2

z





i

H·y chøng minh r»ng: ;

1

2

1 0;

2

3

1.

z

z z

z

  



(3)

Do

1

3

2

z





i

Nªn

1

3

1

3

2

1 (

) (

) 0

2

z

   

z



i

 



i

 

;

L¹i cã

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

2

i

z

i











Suy

1

2

z

3 1



VÝ dơ 6: T×m sè phøc z, nÕu

2 z 0

z  

Bài giải Đặt z = x + yi,





2 2

2 2 2

2

0 ( )

0 0 0 0 (1 )

1

0

(1 )

z x yi x y

x y x y xyi

x y y

x y x y

y xy x x x x y y y y y x x

z

                                                               

0 (do 0) 0, 0, 0, 0, x x y x y x y x y y x                                         

Vậy có ba số phức thoả mãn điều kiện z = 0; z = i; z = - i 2 Biểu diễn số phức mặt phẳng toạ độ

a) Phơng pháp giải

biu din mt số phức cần dựa vào định nghĩa tính chất sau: Nếu số phức z đợc biểu diễn vectơ u



, số phức z' đợc biểu diễn vectơ u'



, z + z' đợc biểu diễn u u '



 

; z - z' đợc biểu diễn u u '

  ; - z đợc biểu diễn u

 b) C¸c vÝ dơ.

Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng toạ biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau

a) z  1 i 2; b) 2z  i z Bài giải

a) Đặt z = x + yi suy z - + i = (x - 1) + (y + 1)i Nªn hƯ thøc z  1 i trë thµnh

2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x y

   

    

(4)

b) Gọi A (- ; 0), B(0 ; 1) Khi 2z  i z  z ( 2)  z i

M(z)A = M(z)B Vậy tập hợp điểm M(z) đờng trung trực đoạn thẳng AB Nhận xét: Với phần b ta thức cách giải nh làm phần a Tuy nhiên để thể thực cách giải nh ta dựa váo nhận xét sau:

NÕu vÐct¬ u 

mặt phẳng phức biểu diễn số phức z độ dài vectơ u 

lµ u z 

, từ điểm A, B theo thứ tự biểu diễn số phức z, z' AB  z z'



Ví dụ 2: Trong số phức z thoả m·n ®iỊu kiƯn

3

2 z  i 

T×m sè phøc z cã modul nhỏ

Bài giải

Xét biÓu thøc

3

2 z  i 

(1) Đặt z = x + yi Khi (1) trở thành

( 2) ( 3)

9

2

( 2) ( 3)

4

x y i

x y

   

    

Do điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm đờng tròn (C) tâm

I(2; -3) bán kính R = .

Ta có z đạt giá trị nhỏ

điểm M nằm đờng tròn (C) gần O Do M giao điểm (C) đờng thẳng OI, với M giao điểm gần O

Ta có OI = 9  13 Kẻ MH  Ox Theo định lí ta lét có

13 9 6 13 9

2 13 3 13

3 13 2

MH OM

MH OI



     

6 13 78 13 26 13

MH  

  

L¹i cã

3

13 2 13 3 26 13

2 13 13 13

OH

OH 

 



Vậy số phức cần tìm lµ

26 13 78 13

13 26

z    i

VÝ dơ 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w, ta cã z w z  w Đẳng thức xảy nào?

Bài giải

Gọi A, B, C lần lợt ®iĨm biĨu diƠn cđa c¸c sè phøc z, w, z + w y

O H 2

M I

-

(5)

Ta có z OA w, OB z w,  OC Từ OC  OA + AC suy z w z  w . Hơn OC = OA + AC O, A, C thẳng hàng A thuộc đoạn thẳng OC Khi O  A (hay z  0) điều có nghĩa có số k  để AC kOA tức w = kz (Còn z = 0, rõ ràng z w z  w )

Vậy z w z  w z = z  tồn k R  w = kz

c câu hỏi bµi tËp

1 Chứng minh với số phức z, w ta có z  w  z w Dấu xảy nào?

2 Trong mặt phẳng phức, bốn điểm phân biệt A, B, C, D theo thø tù biĨu diƠn c¸c sè phức z, w, u, v thoả mÃn tính chất:

a) z w u v 1; b) z + w + u + v =

3 Cho sè phøc z = m + (m - 3)i, m R

a) Tìm m để biểu diễn số phức nằm đờng phân giác thứ hai y = - x;

b) Tìm m để biểu diễn số phức nằm hypebol

2 y

x 

;

c) Tìm m để khoảng cách điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ nhỏ Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thoả mãn hệ

thøc

3 z

z i  .

5 Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phøc ; (1 )(1 ); 2

1

i i i i

i i



 

  .

a) Chứng minh ABC tam giác vuông cân;

b) Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình vu«ng

Chủ đề 2: Căn bậc hai số phức phơng trình bậc hai A Kiến thức cần nh

1 Định nghĩa bậc hai số phức Cho số phức w số phức z thoả m·n z2

= w đợc gọi bậc hai số phức w a) Nếu w số thực

+ w < có hai bậc hai:



wi

&



wi

w

&



w

+ Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy bậc hai w tức là: z2 w ta có hệ:

2

(1)

2

(2)

x

y

a

xy b













Bình phơng vế (1) (2) cộng lại ta đợc

2 2

x



y



a



b

Do ta đợc hệ:

2

2 2

(1)

(2')

x

y

a

x

y

a

b





















Giải hệ tìm đợc

x

y

Chó ý: Theo (2) ta cã nÕu b > th× x, y cïng dÊu NÕu b < x, y trái dấu 2 Công thức nghiệm phơng trình bậc hai hệ số phức

Cho PT:

2

0; (1)

( , ,

,

0)

ax



bx c

 

a b c





a



b

4

ac

(6)

+ NÕu

 

0

;

2

b

x

a







 



Trong





+ NÕu = th× pt cã nghiÖm kÐp:

2

b

x

a





B C¸c dạng tập 1 Giải phơng trình bậc nhất a) Phơng pháp giải

Biến đổi phơng trình dạng Az + B = 0, A, B , A0 Viết nghiệm

B z

A



b) VÝ dô

Ví dụ 1: Giải phơng trình 2iz + - i = Bài giải

Nghiệm phơng trình

(1 ) 1 1

2 2 2

i z i i i      2 Tính bậc hai giảiphơng trình bậc hai

a) Phơng pháp giải

S dng cụng thc tớnh bậc hai số phức để tính bậc hai

Sử dụng công thức nghiệm phơng trình bậc hai để tìm nghiệm phơng trình với ý phải đa dạng phơng trình

b) C¸c vÝ dơ

Ví dụ 1:Tìm bậc hai số phøc sau:

)

5 12

) 6

) 33 56

)

3 4

a

i

b

i

c

i

d

i





Bài giải

a) Gọi z = x + iy bËc hai cđa -5 + 12i tøc lµ



x iy



5 12

i

x

y

2

ixy

5 12

i



 







 

2 2

2

2 2

5

4

5

2

12

13

9

x

y

x

y

xy

x

y













































2

3

x

y





 





Do b = 12 > nên x y dấu từ có

2

3

x

y











2

3

x

y











VËy -5 + 12i có bậc hai z1 =2+3i z2 = -2-3i

b) Tơng tù ta gäi z = x + iy lµ mét bậc hai 8+ 6i tức

x iy





 

8 6

i



x



y



2

ixy

 

8 6

i

2 2

2

2 2

8

9

8

2

6

10

1

x

y

x

y

xy

x

y













































3

1

x

y





 





Do b= 6> nên x y dấu từ có

3

1

x

y











3

1

x

y











Vậy + 6i có bậc hai 3+i vµ -3-i

c) Gäi z = x + iy bậc hai 33 - 56i tøc lµ



x iy







33 56



i



x



y



2

ixy



33 56



i

2 2

2

2 2

33

49

33

2

56

65

16

x

y

x

y

xy

x

y













































7

4

x

y





 





Do b = -56 < nên x y trái dấu từ có

7

4

x

y











7

4

x

y











(7)

d) Gäi z = x + iy bậc hai -3 +4i tức lµ



x iy





 

3 4

i



x



y



2

ixy

 

3 4

i

2 2

2

2 2

3

1

3

2

4

5

4

x

y

x

y

xy

x

y













































1

2

x

y





 





Do b = > nên x y dấu từ có

1

2

x

y











1

2

x

y











Vậy bậc hai -3 + 4i lµ + 2i vµ -1-2i

Ví dụ 2: Giải phơng trình sau:









2

)

3 4

5 0; (1)

)

1

2

0;

(2)

a

x

i x

i

b

x

i x

i













 

Bài giải

a) Ta có









2

3 4

i

4 1

i

3 4

i

 





 

Theo kết ví dụ 1d) có hai bậc hai 1+ 2i -1 - 2i Do pt (1) có hai

nghiƯm lµ:

3 4

1 2

3 2

2 ;

1

2

i

x





 

 

i

x





 

 

i

b) T¬ng tù ta cã









1

i

4

i

2

8 6

i

  



 

 

Theo kết ví dụ 1b) có hai bậc hai + i -3 - i Do pt (2) có hai nghiệm là:

1

3

1

3

1;

2

i

x



   



x



  







i

Chó ý: PT (2) cã thĨ dïng nhÈm nghiƯm nhê a + b + c = Ví dụ 3: Giải phơng trình sau:

2

3

) 3

2 0; (1)

)

1 0; (2)

)

1 0

(3)

a

x

b

x

c x

  





Bài giải

a) Ta cú



i

23 &



i

23

1

23

1

23

;

6

i

x



 

x



 

b) T¬ng tù ta cã = -3 < có hai bậc hai là:

i

3 &

i

3

1

3

1

3

;

2

i

x



 

x



 

c) Ta cã









2

(3)

1

0

1 0

1 0; (*)

x





 









 

  



Theo b) ta cã (*) cã hai nghiƯm lµ

1

3

1

3

;

2

i

x



 

x



 

(8)

1

3

1

3

1;

;

2

i

x



x



 

x



 

( Các nghiệm pt (3) đợc gọi bậc ba 1)

VÝ dô 4: Chøng minh phơng trình bậc hai với hệ số thùc cã nghiƯm phøc

  

Bài giải

Gi¶ sư PT bËc hai:





2

0;

, ,

,

0

ax



bx c

 

a b c





a



nhËn sè phøc

  

a





b



c

0

Lấy liên hợp hai vế (1) sử dụng tính chất liên hợp sè thùc b»ng chÝnh nã th× ta

đợc:

 

2

0

a





b



  

c

a





b



 

c

Điều chứng tỏ



áp dụng

x



3

x



3 5



i



0

Ví dụ 5: Phát biểu chứng minh định lí đảo thuận định lí Vi-et phơng tình bậc hai với hệ số phức

ThuËn: NÕu hai sè

x

&

x



2

0;

, ,

,

0

ax



bx c

 

a b c





a



th× 2

&

b

c

x

x x

a







Chøng minh

Theo c«ng thøc nghiƯm cđa pt bËc hai víi hƯ sè phøc ta cã:

1

2

1 2

2

.

2

4

b

x

a

b

c

x x

a



 



 























 





 







 







Đảo : Nếu hai sè  ; tho¶ m·n:   S &  P ; nghiệm pt:

2

0

x



Sx P





Chøng minh

Ta cã:







 



2

(1)

x

0

x

0

x





















 



  

Điều chứng tỏ ; nghiệm (1)

áp dụng: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm

 

4 ;

i



 

2 5

i

Theo ta có:





i



i

 

i



i

VD5





2

2 8

14

23 0

x





i x



i





Ví dụ 6:Tìm m để phơng trình:

x



mx



3

i



0

Bài giải

Theo bµi ta cã:





2 2

1

8

2

8

x



x

 

x



x



x x



(1) Theo Vi-et ta cã

1

3

x

m

x x

i













m



6

i

 

8

m

 

8 6

i

m

hai cña 8+6i Theo kết VD1b/ ta có giá trị m lµ: + i vµ -3 - i

Ví dụ 7: Giải hệ phơng trình

2 2

1

5 2

(1)

4

(2)

z

i

z

i





 





 

(9)

Bµi gi¶i Tõ (2) ta cã

2

1

2

15

z



z



z z





i

z z

 

5 5

i

phơng trình:

1

4

5 5

z

i

z z

i



 





 



z z

,





2

4

5 5

0

z



i z

 

i



Ta cã



5 12

i

VD1a/

VËy ta cã

2

4

2 3

3

2

4

2 3

1 2

2

i

z

i

z

i

  





 





 







 





1

2

1 2

3

z

i

z

i

 





 



VÝ dơ 8: Cho

z z

,

1i z  2 i z  i Không giải pt hÃy tính giá trị biểu thức sau:

2 2 2

1 2

2

)

z

a A z

z

b B

z z

c C

z









Bài giải

Theo Vi-et ta có:

1

3 2

3

1

1 2

3

1

i

z z i

i i

z z i

i

   

   



 



  

   

 



a) Ta cã





2

1 2

3 2 2 11 30

2

3 3 9

A z z  z z     i      i    i

   

   

b)





1 2

3 2 2 2 10

3 3 9

B z z z z     i      i    i

   

c) Ta cã

2

1

6 26 18

1 2

3

z z A i

C

z z

i

  

  

 



VÝ dơ 9: Gi¶i pt:

z



6

z



25 0

Bài giải

t

z



t

.

t



6

t



25 0



Ta cã:

 

'

16

t

 

3 4

i

t

3 4

i

Mặt khác + 4i có hai bậc hai là: + i -2 - i - 4i có hai bậc hai là: - i -2 + i nên pt (1) có nghiệm là:

1

2

;

2

;

2

;

2

z

 

i

z

 

i

z

 

i

z

 

i

Bài 1: Tìm bËc hai cđa c¸c sè phøc sau:

a) 8+6i b) 3+4i c)

1

i i

(10)

d)

1

1i 1 i e)

2

1

i i



 

 



  f)

2

1

3 i

i

  

 



 

Bµi 2: Gäi u u1; 2là hai bậc hai z1 4i v v1; 2 hai bậc hai của

2

z   i

Tính u1u2 v1 v2?

Bài 3: Giải phơng trình sau:











2

)

2

2 0

)

5 14

2 12 5

0

)

80

4099 100

0

)

3

6

3

13 0

)

cos

sin

cos sin

0.

a z

iz

i

b

z

i z

i

c

z

i

d

z

i

z

i

e z



i



z i

























 



 









Bài 4: Tìm bậc ba -8

Bài 5: Giải phơng trình trïng ph¬ng:









4

)

8 1

63 16

0

)

24 1

308 144

0

a z

i z

i

b z

i z

i

















Bµi 6: Cho

z z

,

2 1 2 2 3 0

z  i z i

Không giải pt hÃy tính giá trị biểu thức sau:

2 2 2

1 2

2

3 3

1 2 1 2

2 1

)

1

2

1

2

)

z

a A z

z

b B z z

z z

c C

z

d D z

z

e E z z

z z

f F

z













































Bài 7: Giải hệ pt

2

4

0

2

)

2

1

z

i

z

u

v

uv

a

b

u v

i

z i

z

 













 





 

(11)

Chủ đề : Dạng lợng giác số phức A Kiến thức cần nhớ I Số phức dới dạng lợng giác.

1 Acgumen cña sè phøc z 0 y

Cho sè phøc z Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn sè phøc z

Khi số đo (radian) góc lợng b

giác tia đầu Ox, tia cuối OM đợc M

gọi Acgumen z O a x Chú ý: + Nếu ϕ Acgumen z Acgumen z có dạng:

ϕ + k2 π , k Z

+ Acgumen z xác định sai khác k2 π , k Z

2 Dạng lợng giác số phøc

Cho sè phøc Z = a+bi, (a, b R), víi r =

√

a

+b2 lµ modun cđa sè phøc z vµ ϕ lµ Acgumen cđa sè phøc z

Dạng z = r (cos ϕ +isin ϕ ) đợc gọi dạng lợng giác số phức z 0, dạng z = a + bi đợc gọi dạng đại số s phc z

II Nhân chia số phức dới dạng lợng giác

Nếu z = r(cos ϕ +isin ϕ ), z' = r' (cos ϕ '+isin ') (r r' ) zz' = rr ( cos ( ϕ+ϕ'

(12)





z r

i

z r      (khi r' > 0).

III Công thức Moa-Vrơ ứng dụng 1 Công thøc Moa- Vr¬



r

i



n

rn

n

i

n

[cos+isin]n=cosn+isinn,nN 2 Căn bËc n cđa mét sè phøc

Víi z = r(cos ϕ +isin ϕ ), r > 0, có hai căm bậc hai z

(cos sin )

2

r i  ;

(cos sin ) (cos( ) sin( ))

2 2

r  i  r  i 

       

B dạng Bài tập

1 Viết số phức dới dạng lợng giác a) Phơng pháp

Với số phức z = a + bi: TÝnh r = a2+¿b2

√¿

TÝnh cos ϕ = ,sin

a b

r  r từ suy acgumen ca z

Sử dụng công thức lợng gi¸c cđa sè phøc cho ta z = r (cos ϕ+isinϕ¿ b) C¸c vÝ dơ

VÝ dơ 1: ViÕt c¸c sè phøc sau díi dạng lợng giác

1 )(1 3)(1 ) )

1 ) sin cos

i

a i i b

i c z  i 



 



 

Bài giải

a) Ta có

1 cos( ) sin( )

3

i   i  

      

 ; cßn 1 i cos isin

 

 

    

  Do đó

(1 3)(1 ) 2 cos( ) sin( )

12 12

i i   i  

       

 .

b) Từ phần ta có kết

1 7

2 cos sin

1 12 12

i

i i

      

     

      .

c) Ta cã

sin cos cos( ) sin( )

2

z i   i  

VËy

cos( ) sin( )

2

z  i   VÝ dô 2: Tuú theo gãc , hÃy viết số phức sau dới dạng lợng giác

(1 cos  isin )(1 cos  isin ). Bµi gi¶i

XÐt sè phøc z =(1 cos  isin )(1 cos  isin ) , ta cã





2

(2sin 2sin cos )(2 cos 2sin cos )

2 2 2

4sin cos (sin cos )(cos sin )

2 2 2

2sin (sin cos sin cos (cos sin ))

2 2 2

2sin sin cos

z i i

i i

     



  

  

   

 

(13)

+ NÕu sin 0, th× tõ (*) cã z = 2sin

cos( ) sin( )

2 i

   

 

  

 

dạng số phức cần

t×m

+ NÕu sinh < 0, th× tõ (*) ta cã

2sin ( sin cos ) 2sin cos( ) sin( )

2

z   i     i

dang lợng giác cần

tìm

+ Nu sinh = 0, z = 0, nên khơng có dạng lợng giác xác định 2 Các tập tính toán tổng hợp dạng lợng giác số phức a) Phơng pháp giải

Đa số phức dạng lợng giác sử dụng công thức Moivre để tính tốn đại l-ợng theo u cầu tập

b) C¸c vÝ dụ

Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau

10

5

(1 )

) ( )

b) cos sin (1 )

3

i a

i

i i i

 

 

 

 

 

 

2009 2009

1 )

c z z 

, nÕu

1 z

z  

Bài giải

a) Xét số phức

10 10

9

5

2(cos sin )

(1 ) 4

( )

2(cos sin

6

5

2 (cos sin )

2

3

2 (cos sin )

2

1

(cos sin )

2 16

i i

i

i i i i

 

 



 

  



   



 

 

 

 

 



    

VËy phÇn thùc b»ng 16

, phần ảo b) Xét sè phøc





5

7

cos sin (1 )

3

cos( ) sin( ) 2(cos sin )

3 3

7

2 cos( ) sin( ) (cos sin )

3 3

2 cos sin 2

i i i

 

 

 

 

 

   

   

       

   

   

 

      

 

    

(14)

2

1

cos sin

2 3

1

cos( ) sin( )

2 3

z z z

z

i

z i

i

z i

     

   

  

  

   

    

 

Víi

cos sin

3

z i 

, ta cã

2009 2009 2009

2009

2009 2009

1

(cos sin ) ( )

3 cos sin

3

(cos sin ) (cos( ) sin( ))

3 3

2009 2009 2009 2009

(cos sin )(cos sin )

3 3

2cos

z i

i i

 

   

 



   

     

    

  

 (669 ) 2cos2

3

 

   

VËy phần thực cảu số phức 1, phần ảo VÝ dơ 2: TÝnh tỉng sau S (1 )i 2008(1 ) i 2008

Bài giải Ta cã

2008 1004

1 2(cos sin ) (1 ) (cos502 sin 502 )

4

1 2(cos sin ) 2(cos( ) sin( ))

4 4

(1 ) (cos( 502 ) sin( 502 ))

i i i i

i i i

i i

 

        

   

      

       

Do S21005cos(502 ) 2  1005

Ví dụ 3: Cm điểm biểu diễn bậc ba lập thành tam giác Bài giải

Xét phơng trình z3 1 , có nghiệm dạng z r (cosisin ) Khi

3 1 3(cos3 sin ) 1

3 ,

z r i

r

k k

 



   

   

  

 

Do phơng trình có ba nghiệm ứng với ba giá trị k Với k = ta có z0 = cos0 + isin0 = 1;

Víi k = ta cã z1 =

2

cos sin ;

3 i i

 

  

Víi k = ta cã z2 =

4

cos sin

3 i i

 

  

Nên có ba bậc ba số phức đợc xác định nh Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lợt điểm biểu diễn số phức z0, z1, z2 Khi đó



1;

;

3 OA OB OC AOB

BOC

  

 

                                           

(15)

C Câu hỏi tập

Bài 1: Viết số phức sau dới dạng lợng giác:

a. - i

b

( - i

√

c

−i

√

1+i d 1 - itan π

5 e tan 5π

8 +i f 1-cos ϕ− isinϕ (

ϕ∈R ,ϕ≠ k2π , k∈Z )

Bài 2:Cho số phức: – 4i 1+ i

√

Bài 4: Tìm dạng lợng giác c¸c sè phøc sau: z ;

z , biÕt: a, z = r ( cos ϕ+isinϕ¿ , r >0

b, z = +

√

Bài 5: Tìm bậc 1? CMR tỉng cđa chóng b»ng 0? Bµi 6: Rót gọn hết dấu biểu thức sau

a,

√

−

√

−i

√

−

2 −

√

i

Bài 7: Cho số phức z = a + bi Một hình vng tâm gốc toạ độ 0, cạnh song song với trục toạ độ có độ dài Xác định a,b để tìm điểm biểu diễn số thực z a, Nằm hình vng

b, Nằm đờng chéo củahình vng Bài 8: Chứng minh

a

|

z

|

+ z1 z2 ❑2 = (1+

|

z

|

1+

|

z

|

z

|

1

2(

|

z

|

z

|

z

|

z

|

z

|

z

|