PHIM MINH HỌA CHO BÀI AI ĐÃ ĐẶT TÊN CHO DÒNG SÔNG (TT)

Ph¬ng ph¸p nµy vËn dông mét c¸ch thÝch hîp tÝnh chÊt giao ho¸n, tÝnh chÊt kÕt hîp cña phÐp céng, ®Ó lµm xuÊt hiÖn tõng nhãm c¸c h¹ng tö cã nh©n tö chung, råi sau ®ã vËn dông tÝnh chÊt [r]

PHòNG GIáO DụC EAHLEO cộng hoà xà hội chủ nghĩa việt nam Trờng thcs lê lợi Độc lập - Tự - Hạnh phúc

-**** -Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

T ê n đ ề t i

Bồi dỡng phơng pháp phân tích đa thức thành

nh©n tư cho häc sinh líp trêng thcs

Phần I: mở đầu

Lớ chn ti

1.1 Cơ sở pháp chÕ

Đào tạo bồi dỡng học sinh trung bình yếu công tác thờng xuyên ngành giáo dục & đào tạo Trong xu phát triển nay, tình trạng học sinh vùng có điều kiện cịn khó khăn bị gốc nh học yếu mơn tốn tơng đối phổ biến Chính vậy, năm gần đây, việc chống học sinh ngồi sai lớp diễn tích cực cơng tác cập nhật bổ trợ kiến thức cho học sinh đợc ngành giáo dục trọng

1.2 C¬ së lý ln

Tốn học mơn học giữ vai trò quan trọng suốt bậc học phổ thơng Là mơn học khó, địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, việc tìm hiểu cấu trúc chơng trình, nội dung SGK, nắm vững phơng pháp dạy học, để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu cơng việc mà thân giáo viên trực tiếp giảng dạy môn tốn thờng xun phải làm

Trong cơng tác giảng dạy mơn Tốn, việc kịp thời bổ trợ kiến thức cho học sinh trung bình, yếu tạo điều kiện cho em có hội học tiếp lên lớp Hàng năm nhà trờng tổ chức bồi dỡng học sinh vào thời điểm năm đặc biệt vào cuối năm chứng tỏ tầm quan trọng

Chơng trình Tốn bậc THCS có nhiều phần kiến thức bản, chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” chuyên đề giữ vai trò quan trọng, giúp cho học sinh hình thành kỹ biến đổi đồng biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực rút gọn biểu thức đại số khơng thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải phơng trình gặp nhiều khó khăn học sinh khơng thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, chí nhiều đề thi học kì, thi vào lớp 10, nhiều năm có tốn chun đề phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vậy, việc bồi dỡng cho học sinh chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề mà thân tơi quan tâm

1.3 C¬ së thùc tiƠn

Năm học này, thân tơi đợc Nhà trờng Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dỡng học sinh mơn tốn Đây hội để đa đề tài áp dụng vào công tác bồi dỡng học sinh

Với tất lý nêu trên, định chọn đề tài

2 Nhiệm vụ đề tài

- Nghiên cứu lí luận phân tích đa thức thành nhân tử

- Xõy dng h thng tập phân tích đa thức thành nhân tử với phơng pháp giải tập thích hợp cho với mức độ từ thấp đén cao

- Thực nghiệm việc sử dụng phơng pháp giải tập phân tích đa thức thành nhân tử giảng dạy

- Đề xuất số học kinh nghiệm trình nghiên cứu

Đề tài đem áp dụng trờng: Trờng THCS Lê Lợi, huyện EaH’leo, tỉnh Đăk Lăk dành cho đối tợng học sinh môn Toỏn lp

4 Đối tợng nghiên cứu

Học sinh giỏi lớp Trờng THCS Lê Lợi, huyện EaHleo, tỉnh Đăk Lăk

5 Phơng pháp nghiên cøu

Để thực đề tài này, sử dụng phơng pháp sau đây: a) Phơng pháp nghiên cu lý lun

b) Phơng pháp khảo sát thực tiễn c) Phơng pháp quan sát

d) Phơng pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa e) Phơng pháp tỉng kÕt kinh nghiƯm

P h Ç n I I : N é i d u n g n g h i ª n c ø u

1 Néi dung thùc hiƯn

1.1 C¬ së lÝ ln

1.1.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa 1

+ Nu mt a thức đợc viết dới dạng tích hai hay nhiều đa thức ta nói đa thức cho đợc phân tích thành nhân tử

+ Víi bÊt kì đa thức ( khác ) ta biểu diễn thành tích nhân tử khác với đa thức khác Thật vậy:

anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( an

c x

n + an −1

c x

n – 1 + … + a0

c ) ( víi c 0, c ) b) Định nghĩa 2

Gi s P(x) P [x] đa thức có bậc lớn Ta nói P(x) bất khả quy trờng P khơng thể phân tích đợc thành tích hai đa thức bậc khác nhỏ bậc P(x) Trờng hợp trái lại P(x) đợc gọi khả quy phân tích đợc P

1.1.2 Các định lý phân tích đa thức thành nhân tử a)Định lý 1

Mỗi đa thức f(x) trờng P phân tích đợc thành tích đa thức bất khả quy, phân tích sai khác thứ tự nhân t v cỏc nhõn t bc 0.

b) Định lý 2

Trên trờng số thực R, đa thức bất khả quy bậc bậc hai với biệt thức Δ < Vậy đa thức R có bậc lớn phân tích đợc thành tích đa thức bậc bậc hai với Δ <

c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )

Gi¶ sư f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an 0, đa thức hệ số nguyên Nếu tồn số nguyên tố p cho p ớc an nhng p ớc hệ số lại p2 ớc số hạng tự a0 Thế đa thức f(x) là bất khả quy Q

Qua định lý trên, ta chứng tỏ đa thức phân tích đ ợc thành tích đa thức trờng số thực R Song mặt lí thuyết , cịn thực hành khó khăn nhiều , địi hỏi “kĩ thuật” , thói quen kĩ “ sơ cấp” Dới qua ví dụ ta xem xét số phơng pháp thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử

1.2.1 Phơng pháp đặt nhân tử chung

Phơng pháp vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiều ngợc).Sau số ví dụ :

Chú ý a > 0, √a¿2

a=¿

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (Các đơn giản nên giải tóm tắt ghi kết quả)

1) 5x – 5y = 5(x – y) ; 2) 2x2y + xy2 = xy(2x + y) ;

3) 12x2y2 – 18xy2 + 30y = 6y(2x2y – 3xy + 5) ;

4) x(y – 1) + 2(1 – y) = (x-2)(y-1)

5) + √3 = √3 ( √3 + 1) ; 6) x - √x = √x ( √x - 3) ; 7)

√14−√7 = 7( 1) ; 8) √15−√6 = 3( 5 2) ; 9) √ab−√a = ( 1)

a b ;

10) √33+√22 ; 11) 10 – √5 ; 12) √a+b −

√

a2− b2 ;

13) √ax−√by+√bx−√ay với a,b,x,y dương

14) 3x - √3x + - √3 ; 15) a + √a −√ab ; 16) √x + 4x ; 17) x√y − y√x ;

18) xm+2 - xm = xm(x2 – 1)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (các khó nên giải chi tiết) Bài 19:A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)

Gi¶i: Ta cã : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax by) =2x2(2ax + by)

Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

Gi¶i: Ta cã: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))

= (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x 4a)a Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử B = 3x2(y 2z ) – 15x(y – 2z)2

Giải: Ta thấy hạng tử có nhân tử chung y – 2z Do : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2

=3x(y – 2z)(x 5y + 10z) Bài 22 : phân tích đa thức sau thành nhân tử

C = (2a2 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)

Gi¶i: Ta cã: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax – 4a2)

= a(5c + 2d)(x 4a) Bài 23: phân tích đa thức sau thành nh©n tư

Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

Gi¶i: Ta cã: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)

= 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)

= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)

Bµi 24 : Phân tích đa thức thành nhân tử: A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)

Gi¶i: Ta cã : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y – 2z)(16x2 – 10y)

Bài 25 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x3 + 3x2 + 2x + 6

Gi¶i: Ta cã : B = x3 + 3x2 + 2x + 6 = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3)

Bài 26 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

Gi¶i: Ta cã : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

= 3z2(2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z2 + 1)

1.2.2 Phơng pháp nhóm hạng tử

Phng phỏp ny dng cách thích hợp tính chất giao hốn, tính chất kết hợp phép cộng, để làm xuất nhóm hạng tử có nhân tử chung, sau vận dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng Sau số ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

1) x (x – y) + x – y = (x – y)(x + 1) ; 2) 2x + 2y –x (x + y) = (x + y)(2 – x) ; 3) 5x2 – 5xy – 10x + 10y = 5(x – y)(x – 2)

4) 4x2 + 8xy – 3x – 6y ;

6) ab + b √a+√a+1

7)

√

x3−

√

y3+

√

x2y −

√

xy2 ;

8) a+b¿ ¿

√

a3b+

√

ab3+√¿ ;

9) bc(b + c) + ca( c – a) – ab(a + b)

10) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc.

Bµi 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

Gi¶i: Ta cã : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y)

= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2))

= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y))

= (y – z)(x – y)(z – x) Bµi 12 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

Gi¶i: Ta cã : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3)

Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x6 + x4 + x2 + 1

Gi¶: Ta cã : B = x6 + x4 + x2 + 1 = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1)

Bµi 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x2 + 2x + – y2

Gi¶i: Ta cã: B = x2 + 2x + – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2

= (x + 1)2 – y2

=(x +1 – y)(x + + y )

Bµi 15 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

Gi¶i: Ta cã : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y)

Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 2xy + z + 2x + yz

Gi¶i: Ta cã : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)

1.2.3 Phơng pháp dùng đẳng thức đáng nhớ

Phơng pháp dùng đẳng thức để đa đa thức dạng tích, luỹ thừa bậc hai, bậc ba đa thức khác

Các đẳng thức thờng dùng : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B)

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau số tập cụ thể: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư

1) x2 + 2x + = (x + 1)2 ; 2) – 2y + y2 = (1 – y)2 ;

3) x3 – 3x2 + 3x – = (x – 1)3 ; 4) 27 + 27x + 9x2 + x3 ;

5) – 125x3 = (2 – 5x)(4 + 10x + 25x2 ; 6) 64x3 +

8 ; 7) – x2y4 ;

8) (x – y)2 – = (x – y – 2)(x – y + 2) ; 9) 16x2 – 9(x + y)2 ; 10) x + 2

√x +

11) x – √xy + y = ( x y)2 ; 12) - x √x ; 13) a √a - ;

14) x √x - ; 15) x √x + y √y

16) (x + y)3 – x3 – y3 = 3xy(x + y); 17) (x – y + 4)2 – (2x + 3y – 1)2

Bµi 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2y2 + y4

Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2y2 + y4

= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2

= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 xy) Bài 218: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2

Gi¶i: Ta cã : M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2

= (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2

= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)

Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư A = (x + y)3 +(x - y)3

Giải: Dựa vào đặc điểm vế trái áp dụng đẳng thức ta có cách khác giải nh sau :

C¸ch 1: A = (x + y)3 +(x - y)3

= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2)

= 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2)

C¸ch 2: A = (x + y)3 +(x - y)3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))

= 2x(x2 + 3y2)

Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tư A = 16x2 + 40x + 25

Gi¶i: Ta cã: A = 16x2 + 40x + 25

= (4x)2 + 2.4.5.x + 52

= (4x + 5)2

Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3

Gi¶i: DÔ thÊy : x – y =(x – z) + (z – y)

Từ ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y)) = - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)

= 3(z – x)(y – z)(x – y)

Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tö A = (a + b+ c)3 – (a3 + b3+ c3)

Gi¶i: Ta cã: A = (a + b+ c)3 –(a3 + b3+ c3)

= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)

= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)

Gi¶i: Ta cã : P = x8 – 28

= (x4 + 24) (x4 - 24)

= (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư

Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)

Gi¶i: Ta cã: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)

= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1) = (x – 1)( x2 + x + + 5x + + 3)

= (x – 1)( x2 + 6x + 9)

= (x – 1)(x + 3)2

1.2.5 Phơng pháp đặt ẩn phụ

Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến) ta đa đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp đa thức có biến mới, mà đa thức dễ dàng phân tích đợc thành nhân tử Sau số toán dùng phơng pháp đặt ẩn phụ

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12

Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức cho trở thành : A = y2 + 4y – 12

= y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta đợc : A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)

Bµi 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12

Gi¶i: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12

Đặt y = (x2 + x + 1) Đa thức cho trở thành : A = y(y + 1) – 12

= y2 + y – 12

= y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*)

Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta đợc : A = (x2 + x + - 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư B = x12 – 3x6 + 1

Giải: B = x12 3x6 + 1 Đặt y = x6 (y 0 )

Đa thức cho trở thành : B = y2 – 3y + 1

= y2 – 2y + – y = (y – 1)2 – y

= (y – - √y )(y + + √y ) (*) Thay : y = x6 vào (*) đợc :

B = (x6 – -

√

x6

¿(y+1+

√

x6)

= (x6 – – x3)(x6 + + x3)

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12

Gi¶i: Ta cã: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 - Đặt X = x + y, đa thức trë thµnh :

A = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + 4

= (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + - 1) = (X - 4)(X + 3) (1)

- Thay X = x + y vào (1) ta đợc : A = (x + y – 4)( x + y + 3)

1.2.6 Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng)

Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ phơng pháp thêm, bớt hạng tử đa thức để làm xuất đa thức đa đẳng thc ỏng nh

Sau số ví dụ :

Phân tích đa thức sau thành nhân tö 1) x3 – 7x –

Cách giải 1: Tách -7x = - x – 6x (x + 1)(x2 – x – 6) tách tiếp - = - –

4

Đáp số: (x + 1)(x + 2)(x – 3)

Cách giải 2:Tách –7x = - 4x –3x (x + 2)(x2 – 2x – 3) tách tiếp – = -1 –

2

2) x3 – x –

Cách giải 1: Tách - = -4 -2 (x2 – 4) – (x + 2) =

Đáp số: (x + 2)(x – 3)

Cách giải 2: Tách - = - + x2 – – (x – 3) = …

Cách giải 3: Tách - x = 2x – 3x (x2 + 2x) – ( 3x + 6) = …

3) x4 + 4x2 – = (x4 + 4x2 + 4) – = (x2 + 2)2 – 32 = .

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư A = x2 – 6x + 5

Giải: Ta giải toán mét sè c¸ch nh sau: C¸ch 1: A = x2 – 6x + 5

= x2 – x – 5x + 5 = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5)

C¸ch : A = x2 – 6x + 5 = (x2 - 2x + 1) – 4x + 4 = (x – 1)2 – 4(x – 1)

= (x – 1)(x – - 4) = (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + 5

= (x2 – 6x + 9) – 4 = (x – 3)2 – 4

= (x – – 2) (x – + 2) = (x – 1)(x – 5)

C¸ch : A = x2 – 6x + 5

= (x2 – 1) – 6x + 6

= (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + – 6)

= (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + 5

= (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2 = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1)

= 3(x – 1)(3(x – 1) – ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5)

C¸ch : A = x2 – 6x + 5

= (x – 1)(x – 5) C¸ch : A = x2 – 6x + 5

= (6x2 – 6x) – 5x2 + 5

= 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5)

C¸ch : A = x2 6x + 5 Đặt f(x) = x2 6x + 5

Dễ thấy tổng hệ số f(x) hay f(x) = nên f(x) chia hết cho (x- 1) Thực phép chia f(x) cho (x –1) đợc thơng (x – 5) Vậy A = (x – 1)(x – 5)

Chó ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c 0) phơng pháp tách số hạng ta làm nh sau :

Bíc : lÊy tÝch a.c = t

Bớc : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất trờng hợp) t = pi.qi Bơc : tìm cặp nhân tử pi, qi cặp pa, qa cho : pa + qa = b Bíc : viÕt ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c

Bớc : từ nhóm số hạng đa nhân tủ chung dấu ngoặc Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư

B = x4 + 2x2 - 3

Giải:

Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3

= x4 – x2+ 3x2 – 3 = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch 2: B = x4 + 2x2 - 3

= x4 + 3x2 – x2– 3 = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) C¸ch : B = x4 + 2x2 - 3

= (x4 ) + 2x2 – – 2 = (x4 – 1) + 2x2– 2

= (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3)

= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch : B = x4 + 2x2 - 3

= (x2 + 1)2 – 22

= (x2 + – 2)(x2 + + 2) = (x2 – 1) (x2 + 3)

= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C¸ch : B = x4 + 2x2 - 3

= (x4 – 9) + 2x2 + 6

= (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - + 2)

= (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) C¸ch : B = x4 + 2x2 - 3

= (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2)

= (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư A = x4 + x2 + 1

Giải:

Cách : A = x4 + x2 + 1

= (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2

= (x2 + - x)(x2 + + x) C¸ch : A = x4 + x2 + 1

= (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + - x)(x2 + + x)

C¸ch : A = x4 + x2 + 1

= (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)

1.2.7 Phơng pháp hệ số bất định

Phơng pháp dựa vào định nghĩa hai đa thức nhau, ta tính đợc hệ số biểu diễn địi hỏi cách giải hệ phơng trình sơ cp

Sau số ví dụ :

Bài : Phân tích đa thức sau thành nh©n tư M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

Giải: Biểu diễn đa thức dới d¹ng :

x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

Đồng hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện :

¿

a+c=−16

ac+b+d=12

ad+bc=−14

bd=3

¿{ { {

¿

XÐt bd = víi b, d Z , b {1;3} víi b = 3; d =

HƯ ®iỊu kiƯn trë thµnh :

¿

a+c=−6 ac=8

a+3c=−14

¿{ {

¿

Suy 2c = - 14 + = - 8, Do c = - , a = -2 Vậy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

= (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)

2 KÕt qu¶

Tơi ứng dụng nội dung nêu vào việc bồi dỡng học sinh mơn tốn Tr-ờng THCS Lê Kết mà tơi thu đợc điểm thi học kì 20% giỏi, 30% khá, 35% trung bình; sau sơ kết học kì 10% giỏi, 20% khá, 40% trung bình, 28%, yếu

3 Bµi häc kinh nghiệm giải pháp thực hiện

Trong quỏ trỡnh thực đề tài thân ngời trực tiếp thực việc bồi dỡng học sinh Tôi rút số học kinh nghiệm giải pháp thực nh sau:

- Để thực tốt công tác bồi dỡng học sinh, trớc hết giáo viên cần phải có tâm huyết với nghề, có nhiệt tình tính kiên nhẫn, nắm vững thuật tốn Cần phải có phơng pháp giảng dạy phù hợp kích thích đợc tị mị, động, sáng tạo, tích cực học sinh

- Tốn học mơn khó, vấn đề tốn rộng Chính vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành giáo trình ôn tập bao gồm tất kiến thức cần đạt cho đối tợng học sinh

- Trong trình bồi dỡng học sinh cần thờng xuyên bám sát đối tợng học sinh, theo dõi động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời, kích thích em phát huy tối đa khả trình ôn luyện, học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời sai sót mà học sinh mắc phải, giúp em có niềm tin, nghị lực tâm vợt qua khó khăn

- Trong q trình bồi dỡng học sinh cần tránh cho học sinh biểu tự ty, cho khơng làm đợc u cầu thầy Chính vậy, giáo viên cần tỏ tin tởng vào học sinh, kịp thời động viên khen ngợi ý kiến tốt

P h Ç n I i I : k Õ t l u Ë n c h u n g

phải bồi dỡng cho em từ năm học lớp Với năm liên tục, với nỗ lực thầy lẫn trị, chắn có học sinh yếu mơn Tốn Trên đây, đề tài đề cập đến vấn đề nhỏ trình bồi d-ỡng học sinh – Tuy nhiên, theo mạch kiến thức trọng tâm chơng trình tốn

* Kiến nghị đề xuất

- CÇn cã quan tâm từ phía ban giám hiệu, cha mẹ học sinh giáo viên chủ nhiệm viƯc gi¸o dơc ý thøc häc tËp cho häc sinh

- Cần phân loại học sinh từ đầu năm học để có kế hoạch bồi dỡng kịp thời th-ờng xun suốt q trình học tốn cp THCS

- Tăng thêm thời gian bồi dỡng cho học sinh môn Toán lợng kiến thức toán trình năm nhiều

N h ậ n x é t đ n h g i ¸ c đ a h é i ® å n g g i ¸ m k h ¶ o

Chủ tịch hội đồng

(Ký tên, đóng dấu)

Ngêi viÕt

Ngun Thị Nh Thùy

Mục lục

Phần I: Mở đầu

Trang

Phần II

: Nội dung nghiên cứu

Trang

C¬ së lÝ luËn

Trang

Các biện pháp thực hiện

Trang

Kết quả

Trang

16

Bµi häc kinh nghiƯm

Trang

16

Tài liệu tham khảo

thc đề tài này, sử dụng số tài liệu sau: - Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán

- Chuyên đề bồi dỡng Đại số (Nguyễn Đức Tấn)

“23 chuyên đề giải 1001 tốn sơ cấp” Nhóm tác giả: