Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận.. vuông cấp k.[r]
(1)ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ
(2)ĐỊNH THỨC
Cho ma trận A vuông, cấp n
Định thức ma trận A, ký hiệu:
Đây số thực, xác định sau:
( )
det A hay A
( ) ( )
( )
11 1 1 11
11 12
11 22 21 12
21 22 2
det
det . .
A a thì A a
a a
A thì A a a a a
(3)ĐỊNH THỨC CẤP n≥3
Dùng phần bù đại số
Gọi Mij ma trận nhận từ ma trận A cách bỏ
hàng thứ i cột thứ j
Phần bù đại số phần tử aij ký hiệu xác định sau:
11 12
21 22
1 n n
n n nn n n
a a a
a a a
A
a a a
ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ = ỗỗ ữữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ( ) ( ) ( )
ij 1 det ij 1 ij
i j i j
(4)4
3 21
1
2 14
6 42 13
A ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ - - ữ ỗ ữ ỗ ữ = ỗỗ ữữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ - ữ ỗ ố ứ
V D 1
Cho ma trận:
( )
23 23
3 21
2 14
6 42 13
M M ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ị = ỗ ữữ ç ÷ ç ÷÷ ç è ø
bỏ hàng cột
M23=???
(5)KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC
Định thức ma trận vng cấp n:
Đây khai triển theo dịng
Ta khai triển dịng hoặt cột
( ) 11 11 12 12 1
det A = a A. +a A. + +a An n
1 2 ij ij
1
det i i i i in in n
j
A a A a A a A a A
=
= + +L = å
n
1j 1j 2j 2j nj nj ij ij
i=1
(6)TỔNG QUÁT
( ) ( )
( ) ( )
11 1 1 11 11 12
11 22 21 12 11 11 12 12 21 22 2
11 12 13
21 22 23 11 11 12 12 13 13 31 32 33
) 1: det
) 2: det
) 3: det
a k A a thì A a
a a
b k A thì A a a a a a A a A
a a
a a a
c k A a a a thì A a A a A a A
a a a
(7)VÍ DỤ 2
Tính định thức sau:
Khai triển theo dòng 1:
Khai triển theo dòng 2:
Khai triển theo cột 1, cột cho kết tương tự
5 7
2 8
A = ổỗỗỗ ửữữữữ
ỗ ữ
ỗ
ố ứ
( )1+1 ( )1+2
detA=5 -1 +7 -1 =5.8-7.2=26
( )2+1 ( )2+2
detA=2 -1 +8 -1 =-2.7+8.5=26
A= a b detA= ad bc
(8)VÍ DỤ 3
Tính định thức sau:
Khai triển theo dòng 1:
Khai triển theo cột
Nên chọn cột có nhiều số để khai triển
1 2 3
0 5 7
0 2 8
A ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ố ứ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1+1 57 1+207 051+3
detA=1 -1 +2 -1 +3 -1
28 08 02
detA=1 5.8-2.7 -2 0.8-0.7 +3 0.2-5.0 =26
( )1+1 ( )
21 31
57
detA=1 -1 +0.A +0.A 5.8-2.7 =26
(9)ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC
Định thức ma trận tam giác tích số đường chéo
Định thức ma trận chéo?
1 0
0 0
0
0 0
A B
ổ ửữ ổ ửữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
= ỗỗ ữữ = ỗỗ ữữ
ữ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ỗ
(10)(11)(12)(13)NGUYÊN TẮC TÍNH BẰNG BĐSC
1 Chọn hàng (cột) tùy ý
2 Chọn phần tử khác hàng (cột) Khử tất phần tử khác biến đổi sơ cấp
(14)(15)(16)VÍ DỤ 6
Tính định thức ma trận sau:
1 2 3 4 1 2 3
0 5 7 6 0 5 7
1 2 8 5 1 2 8
0 0 0 2
(17)QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3
Ta có quy tắc Sarrus
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
æ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗ ữữ ỗ ữ ỗ ữữ ỗ ố ứ ( ) ( )
( 3111 2222 1333 3212 2323 1131 3313 2121 1232)
det . . .
. . .
A a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
= + +
(18)VÍ DỤ 7
Tính định thức sau quy tắc Sarrus
( )
( )
1 2 3 1 2 1
0 5 7 0 1 0
1 2 8 2 2 2
5 7 6 0 1 1
1 2 5 1 2 2
0 3 9 3 3
(19)TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC
1 det(A)=det(AT)
2 det(AB)=det(A) det(B) det(kA)=kndet(A)
4 Ma trận có hàng hay cột khơng detA=0 Ma trận có hai hàng (hai cột) tỷ lệ detA=0 Chú ý: det(A+B) ≠ detA + detB
7 Ma trận A khả nghịch detA ≠
(20)TÍNH CHẤT TÁCH ĐỊNH THỨC
Tách định thức: dòng (cột) tổng hai số hạng tách tổng định thức
1 3 1 3 1 3
0 7 0 7 0 7
1 8 1 8 1 8
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 4 6 5 7
10 12
2 2
5 5
2
5 10 12 5 1
6 6
1
2
2 4 5
4 14
16 16
3 6 7 0 12 5 +
+ = +
- + -
(21)ĐỊNH THỨC VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN
Định thức ma trận:
Cho A ma trận cấp mxn Chọn phần tử nằm giao k dòng k cột A ta ma trận
vuông cấp k Định thức ma trận vuông cấp k ta gọi định thức cấp k A.
Hỏi. Có định thức cấp k ma trận A cấp mxn
(22)VÍ DỤ 8
Cho ma trận A
Hãy lập định thức cấp 1; cấp 2; cấp 3? Định thức cấp lớn nhất?
1
0
1 3
(23)HẠNG CỦA MA TRẬN
Định nghĩa: Cho A ma trận cấp m.n khác O Hạng ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) cấp cao định thức khác ma trận A.
Vậy hạng A, rank(A)=r thỏa
a) Tồn định thức cấp r khác A .
(24)ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT
Cho ma trận A vng cấp n Ta có:
Nếu ma trận A khả nghịch thì:
( ) ( ) ( ) det 0 det 0 n
A A I
A r A n
A A A A Û Û = Û ¹ Û = :
i) khả nghịch ii) khả nghịch iii) khả nghịch
iv) không khả nghòch
( )
1 1
) det ) det det
det
n A
a A b P A
A
(25)
PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH THỨC TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Cho A ma trận khả nghịch Ta có:
Với PA ma trận chứa phần bù đại số A
Ma trận PA gọi ma trận phụ hợp ma trận A
( )1 det ij
i j ij
A = - + M
11 12
21 22
1 det n n A A
n n nn
T
A A A
A A A
A P P
A
A A A
-é ù ê ú ê ú ê ú = = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û L L
M M M
(26)VÍ DỤ 9
Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau có
3 4 6
0 1 1
2 3 4
A
ổ- ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ
= ỗ ữữ
ỗ ữ
ỗ - - ữữ
ỗ
ố ứ
( )
(27)VÍ DỤ 9
Bước Tính detA Ta có:
detA≠0 nên ma trận A khả nghịch
Ta tìm phần bù đại số lập ma trận phụ hợp PA
3
3
det 1 1
2
2
A
-
-= = = =
(28)
-VÍ DỤ 9
Ta có:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1
1 2
3 4
4 6
2
3 4
4 6
2 3
1 1
A A A
A A A
A A A
= + = - = - = = + = - - -= - = - = + = = - = - - -= + = - = - = = + =
-11 12 13 21 22 23 31 32 33
1 2 2
2
2 3 3
T A
A A A
A A A P
A A A
(29)VÍ DỤ 13
Ta có:
1 2 2
2
2 3
1 2 2
1
2 3
det
2 3
(30)BÀI 1
(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES
1 Nhập ma trận.
Nhấn Mode (Matrix) Chọn 1( matA) Chọn matrix
có số dịng cột tương ứng cần tính tốn Nhập kết vào phím =,
Sau nhập xong ma trận A, nhập thêm ma trận B cách: Nhấn Shift (Matrix) (Dim) (MatB)
Lập lại tương tự cho MatC
(39)GIẢI TỐN MA TRẬN BẰNG FX570 ES
2 Tính định thức
Thao tác sau để tính định thức cho MatA: Shift
(Matrix) (Det) Shift (Matrix) (MatA) =
3 Tìm ma trận nghịch đảo
Thao tác sau để tìm ma trận nghịch đảo MatA: Shift (Matrix) (MatA) x-1
(x-1: phím nghịch đảo máy tính, Mode)
4 Giải phương trình: AX = B
Thao tác theo bước bên để tính: MatA x-1 x