Tìm điều kiện để hệ sau đây là hệ Cramer. Tìm nghiệm của hệ trong trường hợp này... ĐỊNH LÝ VỀ SỐ NGHIỆM CỦA HPT TỔNG QUÁT.. Cho hệ phương trình A.X=B với m phương trình và n ẩn..[r]
(1)HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(2)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng tổng qt
aij gọi hệ số bj: hệ số tự
11 12 1
21 22 2
1 2
n n
n n
m m mn n m
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
ìï
+
+
+
=
ïï
ï
+
+
+
=
ïï
íï
ïï
ï
+
+
+
=
(3)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng ma trận
11 12 1
21 22 2
1
n n
m m mn n m
a
a
a
x
b
a
a
a
x
b
a
a
a
x
b
ỉ
ư ổ ổ ử
ữ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ ỗ ữ ỗ ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ố
ứ ố ø è ø
(4)HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng ma trận
Ma trận A gọi ma trận hệ số X: ma trận cột ẩn số
B: ma trận hệ số tự hay cột tự
Nghiệm phương trình số:
Sao cho thay vào phương trình thỏa mãn
A X
´
=
B
(5)MỘT SỐ KHÁI NIỆM
Nếu số phương trình số ẩn detA≠0 Hệ
Crammer
Nếu hệ số tự triệt tiêu Hệ
Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương chúng có tập nghiệm
Ma trận hệ số bổ sung hay ma trận mở rộng
11 12 1
21 22 2
1 n n
m m mn m
a a a b
a a a b
A A B
(6)ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM
Ví dụ Các hệ phương trình sau có nghiệm hay khơng?
2 3
1 3
1 3
1
1
1
1
2
) )
2 2 11
2
2
)
3
2
x x x x x x
a x x b x x x x
x x x x x x x
x x x
x x x
c
x x x
x x x
(7)(8)PP GIẢI HỆ CRAMER
Phương pháp ma trận nghịch đảo
Phương pháp định thức
1
.
.
A X
=
B
Û
X
=
A B
-Định lý Hệ Cramer với ma trận hệ số A có nghiệm nghiệm xác định bởi: xi=Di/D Trong D=detA Di định thức ma trận thu từ A cách thay cột thứ i cột hệ số tự
det
det
i i i
A
D
x
A
D
(9)PP ĐỊNH THỨC
11 12 1 12
21 22 2 22
1 2 ; n n n n
n n nn n n n nn
b b b
a a a b a a
a a a b a a
A B A
a a a b a a
æ ửữ ổ ửữ ổ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ = ỗỗ ữữ = ỗỗ ữữị = ỗỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ố ø è ø è ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ç ø 12 22 1 det n n
(10)PP ĐỊNH THỨC
Vì detA khác nên tồn ma trận nghịch đảo A-1 Do đó:
Ta có:
1
.
.
(11)-VÍ DỤ 3
Giải hệ phương trình sau:
Giải
Cách 1. Ta có:
Vậy hệ có nghiệm
(12)VÍ DỤ 3
Cách Ta có:
Ta tính được:
Vậy nghiệm hệ là:
1
3 18
1
12 18 12 18
18 18
12 6 36
X A B
(13)VÍ DỤ 4
(14)(15)ĐỊNH LÝ VỀ SỐ NGHIỆM CỦA HPT TỔNG QUÁT
Cho hệ phương trình A.X=B với m phương trình n ẩn
Trong trường hợp ii) hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n-r(A) tham số
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
i) Hệ pt có nghiệm ii) Hệ pt có vô số nghiệm
iii) Hệ pt vô nghiệm iv) Hệ pt có nghieäm
r A r A n
r A r A n
r A r A
r A r A
Û = =
Û = <
Û ¹
(16)PP KHỬ GAUSS - JORDAN
- Dùng phép biến đổi sơ cấp hàng để đưa ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang
- Ở dạng ta dễ dàng nhận biết hệ có nghiệm hay khơng việc giải tìm nghiệm đơn giản Các phép biến đổi sơ cấp hàng?
(17)PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN
(
)
bdsc hang(
)
r r
(18)(19)VÍ DỤ 6
Giải biện luận hệ phương trình:
Giải.
(20)VÍ DỤ 6
(21)BIỆN LUẬN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CRAMER
Cho hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số A ma trận vng
( )
( )
( )
Đặt:
Nếu hệ có nghiệm nhất:
Nếu tồn hệ vơ nghiệm Nếu hệ vơ nghiệm vơ số nghiệm
Ta giải tiếp
1
1
det ; det ; ; det
)
) 0
)
n n
i i
i n
D A D A D A
i D
D x
D
ii D D
ii D D D
= = =
¹
=
= ¹
= = = =
(22)VÍ DỤ 6
Ta có:
Sinh viên tự làm tiếp
1
2 3
1 1 1
det 1 detA 1
1 1
1 1
detA 1 det 1
1 1 1
m
D A m D m
m m
m m
D D A m
m
= = = =
(23)VÍ DỤ 7
Giải biện luận hệ phương trình sau
1
1
2
1
1
4
)
)
8
2
4
mx
x
x
ax y z
a x
mx
x
m
b x by z
x
by z
x
x
mx
m
ì
ì
ï
+
+
=
ï
+ + =
ï
ï
ï
ï
ï
+
+
=
ï
+
+ =
í
í
ï
ï
ï
+
+
=
ï +
+ =
ï
ï
ï
ïỵ
(24)HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT
Hệ có dạng:
Hoặc dạng ma trận: Ma trận mở rộng:
Để thuận tiện ta xét biến đổi ma trận A
11 12 21 22 2
1 2
0 n n n n
m m mn n
a x a x a x a x a x a x
a x a x a x
A X
| 0
(25)TÍNH CHẤT
1 Hệ phương trình ln ln có nghiệm
2 (0,0,…,0) ln nghiệm hệ, gọi nghiệm tầm thường
3 Mọi tổ hợp tuyến tính nghiệm hệ nghiệm Do đó, hệ có
nghiệm tầm thường có vơ số nghiệm
(26)VÍ DỤ 8
Giải hệ phương trình
Giải
(27)VÍ DỤ 8
Hệ cho tương đương với hệ:
(28)BÀI 1
Cho hai ma trận:
Tìm ma trận nghịch đảo A Tìm X biết: X.A=3B
1
3
2 1
A B
(29)BÀI 2
Giải phương trình sau
1
1
1
1
1
1
1
0 2
3
) )
5
7
7 10
x x x x x x x
x x x x
a x x x b
x x x x x x m
x x x x
(30)BÀI 3
Giải hệ phương trình sau
1
1
1
1
2
) ) 21
4 7
2
4
)
8 12 3 11
x y z x y z
a x y z b x y z
x y z x y z
x x x x x x x x c
x x x x x x x x
(31)BÀI 4
Tìm m để ma trận sau khả nghịch
1
1
1
1
1
1
1
m
A
m
m
m
(32)BÀI 5
Cho hệ phương trình tuyến tính
A) Tìm a, b để hệ có nghiệm
B) Tìm a, b để hệ có nghiệm với m
1
(
1)
(
1)
x y mz
x my z a
x
m
y
m
z b
ìï + +
=
ïï
ï + + =
íï
(33)BÀI 6
Giải biện luận theo m
1
1
2
1
) 2
3 3
) ( 1) ( 1)
1
x x mx m
a m x x m x
x x x m m
mx y z m
b x m y m z m
x y mz
(34)ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ
Cơng ty Honda có hai đại lý bán xe X Y Hai đại lý chuyên bán xe Dream II xe môtô Doanh số bán hàng tháng & đại lý ghi lại sau:
a/ Tính tốn doanh số tháng cho đại lý loại xe
b/ Tính gia tăng doanh số từ tháng đến tháng
c/ Nếu tiền huê hồng Công ty Honda trả cho đại lý 5% doanh thu Tính tiền huê hồng đại lý cho loại xe nhận
được tháng
Tháng
Dream II Môtô
Đại lý X $ 18,000 $ 36,000
Đại lý Y $ 36,000 $
Tháng 9
Dream II Môtô
Đại lý X $ 72,000 $ 144,000
Đại lý Y $ 90,000 $
(35)GIẢI
Ta có: 90000 180000 ) 126000 108000 54000 108000 ) 54000 108000 3600 7200 )5% 4500 5400 X a A BY X b B A
(36)ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ
Số công lao động cho sản phẩm cho sau:
Tiền lương tính theo giờ:
0.6 0.6 0.2
1.0 0.9 0.3
1.5 1.2 0.4
cut assemble package
product A
M product B
(37)VÍ DỤ
a/ Kích thước M, N M*N b/ Tính M*N giải thích kết Giải.
A)
B) Ta có:
a11: chi phí lao động cho sản phẩm A nhà máy I.
Bảng kết M*N cho thấy chi phí lao động cho
mỗi sản phẩm nhà máy
9 11
14.1 17.2 19.8 24.1
product A
M N product B
product C
110.6 0.6 0.2 9$
(38)BÀI 1
A) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm
B) Tìm ma trận nghịch đảo:
1
1
1
1
3
2 3
x x x
x ax x
x x ax
1
2
1
A
(39)BÀI 2
A) Giải phương trình:
B) Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất:
2
3 2
1
0
3 2
9 18
x x x
1
2
1 10
m
B m