Phần thứ nhất là Định lý Hasse về chặn cho số các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên trường hữu hạn.. Phần thứ hai trình bày một Định lý của Gauss, cho ta công thức tính chính xác [r]
(1)1
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan viết luận văn tìm hiểu, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Duy Tân Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa cơng bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan
Hà Nội, tháng 10 năm 2020
Học viên
(2)Lời cảm ơn
Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Duy Tân người tận tâm hướng dẫn, động viên suốt thời gian làm luận văn
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cơ, bạn bè ngồi Viện Tốn học giúp đỡ tơi hồn thành luận văn
Tôi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi môi trường học tập nơi đào tạo Viện Toán học sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam suốt trình thực luận văn
(3)3
Danh mục ký hiệu chữ viết tắt
K trường hồn thiện, có đặc số khác K bao đóng đại số cố định K GK/K nhóm Galois củaK/K
Fq trường hữu hạn với q phần tử Fq bao đóng đại số Fq
E[m] nhóm m-xoắn đường cong ellipticE degφ bậc ánh xạ φ
degsφ bậc tách ánh xạ φ
degiφ bậc không tách ánh xạ φ eφ(P) số rẽ nhánh φ
(4)Danh mục hình vẽ
Hình 1.1: Kiểm tra luật hợp thành
(5)Mục lục
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Đa tạp đại số
1.1.1 Đa tạp affine
1.1.2 Đa tạp xạ ảnh 10
1.1.3 Ánh xạ đa tạp 15
1.2 Đường cong đại số 16
1.3 Luật nhóm đường cong elliptic 20
1.4 Điểm có cấp hữu hạn 25
2 Đường cong elliptic trường hữu hạn 30 2.1 Định lý Hasse 30
2.2 Một định lý Gauss 37
3 Đường cong elliptic trường số hữu tỉ 46 3.1 Hàm độ cao 46
3.2 Định lý Mordell yếu 55
3.3 Định lý Mordell trênQ 74
Kết luận 85
Tài liệu tham khảo 86
(6)MỞ ĐẦU
Đường cong elliptic định nghĩa phương trình y2 = x3 + ax + b Đây đối tượng quan trọng lý thuyết số Chẳng hạn, sử trọng chứng minh Định lý cuối Fermat Ngồi cịn có ứng dụng lý thuyết mật mã (mật mã đường cong elliptic) Mục đích luận văn nghiên cứu tập điểm hữu tỉ đường cong elliptic trường hữu hạn trường số hữu tỉ Tìm hiểu chứng minh hai định lý chính: Định lý Hasse chặn cho số điểm hữu tỉ đường cong elliptic trường hữu hạn, Định lý Mordell–Weil cấu trúc nhóm điểm hữu tỉ đường cong elliptic Q
Chương I luận văn gồm bốn phần Phần thứ khái niệm, định nghĩa, tính chất tập đại số Phần thứ hai khái niệm, định nghĩa, tính chât đường cong đại sô Phần thứ ba mơ tả cách xây dựng cấu trúc nhóm đường cong elliptic Phần thứ tư cho ta mô tả điểm có cấp hữu hạn
Chương II luận văn gồm hai phần Phần thứ Định lý Hasse chặn cho số điểm hữu tỉ đường cong elliptic trường hữu hạn Phần thứ hai trình bày Định lý Gauss, cho ta cơng thức tính xác số điểm hữu tỉ trường hợp riêng Định lý Hasse
(7)CHƯƠNG 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Đa tạp đại số
Trong phần này, ta nêu định nghĩa tính chất đa tạp đại số không gian affine không gian xạ ảnh nhằm phục vụ cho phần sau luận văn
1.1.1. Đa tạp affine
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Affine nchiều trường K tập hợp
An = An K= P = (x1, , xn) : xi ∈ K ,
trong đóK bao đóng đại số củaK Một cách tương tự, tập hợp điểmK-hữu tỷ An
An(K) = {P = (x1, , xn) ∈ An : xi ∈ K}
Chú ý 1.1.2. Nhóm Galois GK/K tác động lên An theo quy luật sau Với σ ∈ GK/K, ta có
Pσ = (xσ1, , xσn), vớixσi = σ(xi)
Vì vậy,An(K)có thể xác định
An(K) =
n
P ∈ An : Pσ = P ∀σ ∈ GK/K
o
(8)
Gọi K[X] = K[X1, , Xn]là vành đa thức nbiến vàI ⊂ K[X]
ideal vành Với mỗiI ta có tập củaAn,
VI = {P ∈ An : f (P) = 0, ∀f ∈ I}
Định nghĩa 1.1.3. (a) Một tập affine đại số tập có dạng VI
(b) NếuV tập đại số, ideal củaV
I(V) = f ∈ K[X] : f (P) = 0, ∀P ∈ V
(c) Một tập đại số gọi tập đại số xác định trênK idealI (V) sinh đa thức vành K [X] Ta kí hiệu tập đại số làV /K Nếu V tập đại số xác định K tập điểm K-hữu tỷ V tập
V (K) =V ∩An(K)
Chú ý 1.1.4. Định lý sở Hilbert K[X] K[X] vành Noether
Chú ý 1.1.5. (a) Cho V tập đại số, idealI(V /K)được định nghĩa I (V /K) ={f ∈ K[X] : f (P) = 0, ∀P ∈ V} = I (V)∩K[X] Khi đó,V xác định trênK
I(V) =I (V /K)K[X]
(b) Giả sửV xác định K Khi đó, theo Chú ý 1.1.4, tồn f1, , fm ∈
K[X] các phần tử sinh I(V /K) Ta có V (K) tập hợp (x1, , xn)thỏa mãn
(9)9 (c) Nếuf (X) ∈ K[X]vàP ∈ An thì
f (Pσ) = f (P)σ
Vì thế, V xác định K tác động GK/K lên An cảm sinh tác động lênV Nói rõ hơn,
V (K) = nP ∈ V : Pσ = P, ∀σ ∈ GK/Ko
Định nghĩa 1.1.6. (a) Một tập đại số affine V gọi đa tạp affine nếuI (V)là ideal nguyên tố vành K[X]
(b) ChoV /K đa tạp affine Vành tọa độ affine củaV /K, kí hiệu làK[V], định nghĩa sau
K[V] = K[X] I(V /K)
(c) VìI (V /K)là ideal nguyên tố trongK[X]nênK[V]là miền ngun Vì thế, ta định nghĩa trường thương nó, kí hiệu K(V) Ta gọiK(V)là trường hàm củaV /K
(d) Tương tự, ta định nghĩaK[V]vàK(V)bằng cách thay vai trò K K
Tiếp theo, ta định nghĩa chiều đa tạp
Định nghĩa 1.1.7. Cho V đa tạp affine Chiều V, kí hiệu dim(V) bậc siêu việt củaK(V) trênK
Định nghĩa 1.1.8. ChoV đa tạp affine, P ∈ V f1, , fm ∈ K[X]
là phần tử sinh I (V) Khi đó, V gọi khơng kì dị (trơn) P ma trận
∂fi
∂Xj
(P)
1≤i≤m,1≤j≤n
(10)Chú ý 1.1.9. Cho P ∈ V, ta định nghĩa ideal K [V], kí hiêu MP
như sau
MP =
f ∈ K[V] :f (P) = Vì
K[V]/MP −→ K
f 7−→ f (P) đẳng cấu nênMP ideal cực đại
Định nghĩa 1.1.10. (a) Vành địa phương củaV tạiP, kí hiệu bởiK[V]P địa phương hóa củaK[V]tạiMP Ta có
K[V]P =
F ∈ K[V] : F = f
g, vớif, g ∈ K[V] vàg(P) 6=
(b) Nếu F = f
g ∈ K[V]P F (P) =
f (P)
g(P) định nghĩa tốt Những hàm nằm trongK[V]P gọi quy (xác định) tạiP
1.1.2. Đa tạp xạ ảnh
Định nghĩa 1.1.11. Không gian xạ ảnhnchiều trênK, kí hiệu làPnhoặc
Pn Klà tập lớp tương đương tập
(x0, , xn) ∈ An+1, tồn tạixi 6=
Quan hệ tương đương∼được định nghĩa sau
(x0, , xn) ∼(y0, , yn)
khi tồn tạiλ ∈ K∗ cho
(x0, , xn) = λ(y0, , yn)
Ta kí hiệu phần tử củaPnlà[x0, , xn]và gọixi tọa độ Tập
hợp điểmK-hữu tỷ Pn tập
(11)11
Chú ý 1.1.12. Nếu P = [x0, , xn] ∈ Pn(K) khơng thiết xi ∈ K
với mọii Tuy nhiên, ta chọninào để xi 6= 0thì
xj
xi
∈ K với mọij
Định nghĩa 1.1.13. Cho P = [x0, , xn] ∈ Pn K Trường định nghĩa tối
tiểu củaP trênK trường
K(P) =K
x0
xi
, ,xn xi
, xi 6=
Nhóm GaloisGK/K tác động Pn cách tác động lên tọa độ
[x0, , xn] σ
= [xσ0, , xσn]
Tác động định nghĩa tốt, không phụ thuộc vào cách chọn tọa độ
[λx0, , λxn] σ
= [λσxσ0, , λσxnσ] = [xσ0, , xσn] Hơn nữa, ta có
Pn(K) =
n
P ∈ Pn : Pσ = P, ∀σ ∈ GK/Ko
K(P) = trường bất động
n
σ ∈ GK/K :Pσ = Po
Định nghĩa 1.1.14. (a) Đa thức f ∈ K[X] = K[X0, , Xn] gọi
đa thức bậcd
f (λX0, , λXn) =λdf (X0, , Xn), ∀λ ∈ K
(b) Một ideal I ∈ K[X]được gọi sinh đa thức
(c) Cho f đa thức điểm P ∈ Pn Vì f (P) = 0 khơng
phụ thuộc việc chọn tọa độ choP nên ta định nghĩa
(12)Định nghĩa 1.1.15. (a) Một tập đại số xạ ảnh tập có dạng VI với I
một ideal
(b) NếuV tập đại số xạ ảnh ideal củaV kí hiệu I(V) ideal củaK[X]được sinh
f ∈ K[X] : f vàf (P) = 0, ∀P ∈ V
(c) Một tập đại số V gọi xác định K, kí hiệu V /K ideal I(V) sinh đa thức K[X] Nếu V xác định trênK tập điểmK-hữu tỷ V tập
V (K) = V ∩Pn(K) TậpV (K) mơ tả sau
V (K) = nP ∈ V : Pσ = P, σ ∈ GK/Ko
Định nghĩa 1.1.16. Một tập đại số xạ ảnh gọi đa tạp xạ ảnh ideal nhấtI(V) nguyên tố trongK[X]
Chú ý 1.1.17. (a) Ta coi Pn chứa mảnh affine An Với ≤
i ≤ n, ta có phép nhúng φi : An −→ Pn
(y1, , yn) 7−→ [y1, , yi−1,1, yi+1, , yn]
(b) Ta gọi siêu gọi siêu phẳng định nghĩa bởiXi = 0là Hi, ta có
Hi = {P = [x0, , xn] ∈ Pn : xi = 0}
vàUi phần bù củaHi,
Ui = {P = [x0, , xn] : xi 6= 0} = Pn \Hi
Ta có song ánh tự nhiên
φ−i : Ui −→ An
[x0, , xn] 7−→
x0
xi
, ,xi−1 xi
,xi+1 xi
, ,xn xi
(13)
13
(c) Giả sửV tập đại số xạ ảnh trongPn Khi đó, ta xemφ−i 1(V ∩ Ui)
là V ∩ An Vì U
0, , Un phủ toàn Pn nên đa tạp xạ ảnh V
bất kì phủ V ∩ U0, , V ∩ Un Mỗi tập đa tạp
affine qua ánh xạ φ−i Quá trình thay đa thức f (X0, , Xn)
f (Y1, , Yi−1,1, Yi+1, , Yn) gọi q trình phi hóa
theo biếnXi
(d) Ta làm ngược lại q trình Với mỗif (Y) ∈ K[Y], ta đặt
f∗(X0, , Xn) = Xidf
X0
Xi
, ,Xi−1 Xi
,Xi+1 Xi
, ,Xn Xi
,
trong đód = deg (f) Ta nóif∗ hóa củaf theo biến Xi
gọi trình trình hóa theo biếnXi
Định nghĩa 1.1.18. ChoV ⊂ An là một tập đại số affine định nghĩa
bởiI(V), ta xemV tập củaPn qua ánh xạ
φi : V ⊂An −→ Pn
Bao đóng xạ ảnh V tập đại số xạ ảnh định nghĩa ideal nhấtI Vsinh
{f∗ : f ∈ I(V)}, kí hiệu làV
Mệnh đề sau cho ta mô tả vềI (V ∩An).
Mệnh đề 1.1.19. Giả sử V là tập đại số xạ ảnh với ideal nhất I(V) ⊂K[X] Khi đó,
I (V ∩An) ={f (Y1, , Yi−1,1, Yi+1, , Yn) : f (X0, , Xn) ∈ I (V)}
Chứng minh. Ta đặt
(14)Nếu g ∈ I tồn tạif ∈ I (V) cho
g(Y1, , Yi−1, Yi+1, , Yn) = f (Y1, , Yi−1,1, Yi+1, , Yn)
Khi đó,
g(x0, , xi−1, xi+1, xn) =f (x0, , xi−1,1, xi+1, , xn) =
với mọiP (x0, , xi−1, xi+1, , xn) ∈ V∩An.Vì thế, ta cóf ∈ I(V ∩An)
Ngược lại, giả sửf ∈ I (V ∩An) Khi đó,
Xif∗(P) = 0, với mọiP ∈ V
Vì thế, ta cóXif∗ ∈ I (V) Mặt khác,
(Xif∗) (Y0, , Yi−1,1, Yi+1, , Yn) = f (Y0, , Yi−1, Yi+1, , Yn)
Vì thế, ta cóf ∈ I
Mệnh đề 1.1.20. (a) Cho V là đa tạp affine Khi đó,V là đa tạp xạ ảnh và
V = V ∩An
(b) Cho V là đa tạp xạ ảnh Khi đó, V ∩ An là đa tạp affine và V =
V ∩ An hoặcV ∩
An = ∅.
(c) Nếu đa tạp affine (xạ ảnh) V xác định trên K thì V (V ∩ An) cũng
xác định trênK.
Chứng minh. (a) Ta cóI Vsinh bởi{f∗ : f ∈ I(V)}.Vì
I (V) = f (Y0, , Yi−1,1, Yi+1, , Yn) : f (X0, , Xn) ∈ I V
Theo Mệnh đề 1.1.19, ta cóI V ∩ An
= I (V) Vì V = V ∩ An. Giả sử
f g ∈ I V, ta có
(15)15
VìI(V) ideal nguyên tố nên không tổng quát, ta giả sử
f (Y0, , Yi−1,1, Yi+1, , Yn) ∈ I (V)
Vì thế, ta cóf ∈ I V
(b) Giả sử V ∩ An 6= ∅ Khi đó, I (V ∩
An) 6= K[Y] Nếuf g ∈ I (V ∩An)
thì f∗g∗ ∈ I(V) Vì I(V) ideal nguyên tố nên khơng tổng qt, ta giả sửf∗ ∈ I (V) Vì thế, ta cóf ∈ I (V ∩An) suy raI(V ∩
An) ideal
nguyên tố Vì vậyV ∩ An là đa tạp affine.
(c) Chứng minh suy trực tiếp từ định nghĩa
Định nghĩa 1.1.21. (a) ChoV /K đa tạp xạ ảnh Ta chọnAn ⊂ Pn sao
choV ∩An 6= ∅.Khi đó, chiều củaV là chiều củaV ∩ An
(b) Trường hàm V, kí hiệu K(V) trường hàm V ∩ An
và tương tự choK(V) Chú ý rằng, với cách chọnAn khác nhau, trường hàm tương ứng đẳng cấu với Vì ta có định nghĩa tốt
Định nghĩa 1.1.22. (a) ChoC đường cong xạ ảnh điểm P ∈ C Ta chọn An ⊂ Pn sao choP ∈
An Khi đó,P gọi điểm kì dị (khơng
kì dị) củaV điểm kì dị (khơng kì dị) củaV ∩An.
(b) Vành địa phương củaV tạiP, kí hiệu bởiK[V]P vành địa phương củaV ∩An tạiP HàmF ∈ K(V) được gọi quy (xác định) tại
P thuộc K[V]P
1.1.3. Ánh xạ đa tạp
Trong tiểu mục ta định nghĩa cấu xạ đa tạp xạ ảnh
Định nghĩa 1.1.23. (a) Cho V1, V2 ⊂ Pn đa tạp xạ ảnh Một ánh xạ
hữu tỉ từV1 vàoV2 ánh xạ có dạng
(16)trong hàm f0, , fn ∈ K(V1) có tính chất sau Với P ∈ V
mà đóf0, , fn xác định, ta có
φ(P) = [f0(P), ,[fn(P)] ∈ V2
(b) Nếu tồn tạiλ ∈ K∗ cho λf0, , λfn ∈ K(V1) thìφ gọi xác
định trênK
Chú ý 1.1.24. Một ánh xạ hữu tỉφ : V1 −→ V2 không thiết định nghĩa tốt
tại điểm thuộcV1 Tuy nhiên, ta xác địnhφ(P)tại điểmP ∈ V1 mà
tại tồn tạifi khơng quy cách thayfi bởigfi, g ∈ K(V1)
Định nghĩa 1.1.25. Một ánh xạ hữu tỉ
φ = [f0, , fn] : V1 −→ V2
được gọi quy (xác định) tạiP ∈ V1 tồn g ∈ K(V1)sao cho
(i) gfi quy tạiP với mọii,
(ii) tồn inào để (gfi) (P) 6=
Nếu tồn tạig ta đặt
φ(P) = [(gf0) (P), ,(gfn) (P)]
Một ánh xạ hữu tỉ quy điểm gọi cấu xạ
1.2 Đường cong đại số
(17)17
Mệnh đề 1.2.1. [1, Mệnh đề 9.2] ChoC là đường cong và P ∈ C là một điểm trơn Khi đó,K[C]P là vành định giá rời rạc.
Định nghĩa 1.2.2. (a) ChoC đường cong vàP ∈ C điểm trơn Khi đó, hàm định giá trênK[C]P cho
ordP : K[C]P −→ {0,1,2, } ∪ {∞}
f 7−→supd ∈ Z :f ∈ MPd (b) Ta mở rộng ordP lênK(C)như sau Ta có
ordP : K(C) −→ Z∩ {∞}
F = f
g 7−→ ordP (f)−ordP (g)
(c) Một phần tử đơn trị hóa choC tạiP hàmt∈ K (C)với ordP (t) =
1tương đương với tlà phần tử sinh MP
Ta nêu mà không chứng minh mệnh đề sau Chứng minh mệnh đề tham khảo [2], p 18-19
Mệnh đề 1.2.3. [2, Mệnh đề II.1.4]ChoC/K là đường cong vàt∈ K(C) là phần tử đơn trị hóa điểm trơnP ∈ C(K) Khi đóK(C)là một mở rộng hữu hạn, tách củaK(t).
Ta nêu mà không chứng minh mệnh đề sau Chứng minh mệnh đề tham khảo [3], II.6.8
Mệnh đề 1.2.4. [3, Mệnh đề II.6.8]Choφ : C1 −→ C2 là cấu xạ hai
đường cong Khi đó,φ(C1) = {P}, P ∈ C2 hoặcφ là tồn ánh.
Định nghĩa 1.2.5. ChoC1/K vàC2/K đường cong toàn cấu
(18)xác định trênK.Khi đó, hợp thành vớiφcảm sinh đơn cấu trường hàm, cố địnhK
φ∗ : K(C2) −→ K(C1)
f 7−→ f ◦φ Ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.2.6. [3, Mệnh đề II.6.8] ChoC1/K vàC2/K là đường cong và
φ : C1 −→ C2
là toàn cấu xác định trênK Khi đó,K(C1) là mở rộng hữu hạn của
φ∗(K(C2))
Định nghĩa 1.2.7. (a) Cho φ : C1 −→ C2 cấu xạ xác định K
Nếu φ ánh xạ ta định nghĩa bậc φ Nếu φ toàn ánh ta định nghĩa bậc củaφlà bậc mở rộng
degφ = [K(C1) : φ∗K(C2)]
(b) Ta nóiφ tách được, không tách được, túy không tách mở rộng trường K(C1)/φ∗K(C2) có tính chất tương ứng Theo thứ tự, ta kí
hiệu bậc tách bậc không tách degsφ degiφ
Định nghĩa 1.2.8. Cho φ : C1 −→ C2 toàn cấu hai đường cong
trơn vàP ∈ C1 Chỉ số rẽ nhánh củaφtạiP, kí hiệu làeφ(P)là đại lượng
eφ(P) = ordP φ∗tφ(P)
,
trong tφ(P) ∈ K(C2) phần tử đơn trị hóa φ(P) Lưu ý
eφ(P) ≥1.Ta nói rằngφ khơng rẽ nhánh tạiP eφ(P) = φ gọi
khơng rẽ nhánh khơng rẽ nhánh điểm thuộcC1
Mệnh đề 1.2.9. Choφ : C1 −→ C2 là toàn cấu hai đường cong trơn.
(19)19 (a) Với mọiQ ∈ C2, ta có
X
P∈φ−1(Q)
eφ(P) =degφ
(b) Với mọiQ ∈ C2 ngoại trừ số hữu hạn điểm, ta có
#φ−1(Q) =degs (φ)
(c) Choψ : C2 −→ C3 là toàn cấu khác hai đường cong trơn Khi
đó, với mọiP ∈ C1
eψ◦φ(P) = eφ(P)eψ(φP)
Chứng minh. (a) Áp dụng [3, Mệnh đề II.6.9] vớiY = P1 vàD = (0) (b) Tham khảo [3, Mệnh đề II.6.8]
(c) Giả sử tφP tψφP phần tử đơn trị hóa điểm tương ứng Theo
định nghĩa, hàm
teψ(φP)
φP ψ
∗t
ψφP
có cấp tạiφ(P) Áp dụngφ∗ lấy cấp P, ta thu
ordP
φ∗teψ(φP)
φP
= ordP ((ψφ)
∗
tψφP)
Hệ 1.2.10. Ánh xạφ :C1 −→C2 là không rẽ nhánh khi
#φ−1(Q) =deg (φ), với mọiQ ∈ C2
Chứng minh. Từ 2.6a, ta có#φ−1(Q) =deg (φ)
X
P∈φ−1(Q)
eφ(P) = #φ−1(Q)
(20)1.3 Luật nhóm đường cong elliptic
Giả sửE đường cong xạ ảnh bậc ba Đường congE giao vớiZ = điểm[0,1,0] không nhận điểm điểm kì dị Khi đó, đường congE định nghĩa phương trình
Y2Z+a1XY Z+a2Y Z2 = λX3+a3X2Z+a4XZ2+a5Z3, ai, λ ∈ K, λ 6=
Bằng cách đổi biến, thay Y bởiλ2Y X λX, ta giả sử λ = Vì thếE định nghĩa
Y2Z+a1XY Z+a2Y Z2 = X3+a3X2Z+a4XZ2+a5Z3, ∈ K (1.3.1)
Định nghĩa 1.3.1. Ta gọi Phương trình (1.3.1) phương trình Weierstrass Ta có dạng affine củaE
y2 + a1xy +a2y = x3 + a3x2 +a4x+a5
Bằng cách đổi biến, thay y+ a1x+ a2
2 bởiy, giữ nguyênx, ta có
y2 = x3 + ax2 +bx+c, a = a3 +
a21
4 , b = a4 +a1a2, c= a5 + a22
4 Định nghĩa 1.3.2. (a) Đường cong elliptic cặp (E, O), E
đường cong trơn bậc ba định nghĩa phương trình Weierstrass O điểm thuộcE
(b) Ta nói đường cong elliptic E xác định K kí hiệu E/K E xác định trênK tập đại số vàO ∈ E(K)
Tiếp theo, ta xây dựng luật nhóm đường cong ellipticE