Bài giảng 23123

Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương Phần I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học lớp 12, bài toán về tính thể tích của khối đa diện (đặc biệt là khối chóp) giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp trong những năm gần đây. Mặc dù vậy đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Đối với học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phần này. Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian. Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các bài toán về tính thể tích của khối chóp. Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn. Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “Phân loại giải bài tập về tính thể tích của khối chóp” nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính thể tích của khối chóp, một hệ thống bài tập đã được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán. Mặc dù vậy, vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân loại có thể chưa được triệt để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 1 Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương Phần II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I. Cơ sở lí thuyết. Để tính thể tích của khối chóp ta có thể sử dụng một trong hai cách sau: 1. Tính trực tiếp dựa vào các định lí sau: Định lí 1. Cho khối chóp có đỉnh S và đáy là B. Kí hiệu V, S, h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của khối chóp. Khi đó 1 . 3 V S h= (1) Định lí 2. Thể tích V của khối tứ diện ABCD được cho bởi công thức sau: 1 , . 6 V AB AC AD   =   uuur uuur uuur (2) 2. Tính gián tiếp. a) Phương pháp trượt đỉnh, dãn đáy Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách thay đỉnh và mở rộng đáy, ta quy việc tính thể tích của khối chóp đã cho về việc tính thể tích của những khối chóp đặc biệt. Ta thường sử dụng những kết quả sau: Kết quả 1. Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) và M, N ∈ ∆ thì ( ;( )) ( ;( ))M P N P d d= Kết quả 2. Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N không trùng với I) thì ( ;( )) ( ;( )) M P N P d MI d NI = Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì ( ;( )) ( ;( )) 1 2 M P N P d d= nếu I là trung điểm của MN thì ( ;( )) ( ;( ))M P N P d d= Kết quả 3. Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = kMC (k > 0). Khi đó ABM ACM S kS= hay 1 ABM ABC k S S k = + Đặc biệt, nếu M là trung điểm của BC thì 2 ABM ABC S S= b) Phương pháp phân chia và lắp ghép khối đa diện. Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H 1 ) và (H 2 ) thì 1 2 H H H V V V= + hay 1 2 H H H V V V= − c) Phương pháp dùng công thức về tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác. Bài toán. Cho hình chóp tam giác S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy A’, B’, C’ không trùng với điểm S. Khi đó ta có công thức sau . ' ' ' . ' ' ' . . S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC = 2 Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương II. Bài tập áp dụng 1. Phương pháp tính trực tiếp Cơ sở của phương pháp này là công thức 1 . 3 V S h= Phương pháp này thích hợp khi ta có thể dễ dàng tính được diện tích đáy S và chiều cao h của khối chóp. Một trong những dấu hiệu của nó là ta có thể xác định được chân đường vuông góc hạ từ đỉnh. Sau đây là một số ví dụ minh họa. Bài 1. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 3a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’. Phân tích. Khối chóp A’.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và chiều cao là A’H (H là trung điểm của BC) nên bài này chúng ta áp dụng trực tiếp công thức. Lời giải. Gọi H là trung điểm của BC. Giả thiết suy ra A’H ⊥ (ABC) Ta có '. 1 ' . 3 A ABC ABC V A H S= 2 1 3 . 2 2 ABC a S AB AC= = Tam giác ABC vuông tại A suy ra 2 2 1 1 2 2 AH BC AB AC a= = + = Tam giác AHA’ vuông tại H suy ra 2 2 ' AA' 3A H AH a= − = . Vậy 2 3 '. 1 1 3 . ' . . 3 3 3 2 2 A ABC ABC a a V S A H a= = = Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; 2 ,AB AD a CD a= = = ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. Phân tích. Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, theo giả thiết SI ⊥ (ABCD) nên SI là chiều cao của hình chóp. Lời giải. Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và cắt nhau theo giao tuyến SI suy ra SI ⊥ (ABCD). Bởi vậy . 1 . 3 S ABCD ABCD V S SI= 3 I D C B S A K Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 2 ( ) 3 2 ABCD AB DC AD S a + = = . Để tính SI ta sử dụng giả thiết góc giữa (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Cách 1. Gọi K là hình chiếu của I trên BC, suy ra CB IK⊥ . Kết hợp với CB SI⊥ ta được CB SK⊥ . Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc · · 0 60SKI SKI⇒ = Ta có 2 3 , 5 2 IBC ABCD ABI DCI a S S S S BC a= − − = = . Mặt khác 1 2 3 5 . 2 5 IBC IBC S a S BC IK IK BC = ⇒ = = . Tam giác SIK vuông tại I suy ra 0 3 15 tan60 5 SI IK a= = . Vậy 2 3 . 1 3 15 3 15 3 . 3 5 5 S ABCD V a a a= = Cách 2. Phương pháp tọa độ. Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O ≡ I, D(a ; 0 ; 0), C(a ; a ; 0), S(0 ; 0 ; h) suy ra B(-a ; 2a ; 0), A(-a ; 0 ; 0). Từ giả thiết góc giữa (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 ta tính được h. Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = 2a . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. a) Chứng minh SC ⊥ (AHK). b) Tính thể tích khối chóp OAHK. Phân tích. SC ⊥ (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác định được theo phương SC, hơn nữa, tam giác AHK cân nên ta tính được diện tích của nó. Lời giải. a) AH ⊥ SB, AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) ⇒ AH ⊥ SC Tương tự AK ⊥ SC. Vậy SC ⊥ (AHK) b) Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC ⇒ OJ ⊥ (AHK). Do đó 1 . 3 OAHK AHK V S OJ= SA = AC = 2a ⇒ ∆SAC cân tại A ⇒ I là trung điểm của SC. 4 O C A D B S H K Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương Vậy 1 1 1 .2 2 4 4 2 a OJ IC SC a= = = = . ,SAD SAB AK AH SK SH∆ = ∆ ⇒ = = Suy ra / / SK SH HK BD SD SB = ⇒ . AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên 2 2 2 2 3 3 3 HK SG a HK BD BD SO = = ⇒ = = . Tam giác AHK cân tai A, G là trung điểm của HK nên AG ⊥ HK và 2 2 1 1 2 . .2 3 3 2 3 3 a AG AI SC a= = = = 2 1 1 2 2 2 2 2 . . . 2 2 3 3 9 AHK a a a S AG HK= = = 2 3 1 1 2 2 2 . . . 3 3 9 2 27 OAHK AHK a a a V S OJ= = = Cách 2. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (OHK) bằng khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBD). Tứ diện ASBD vuông tại A nên 2 2 2 2 2 1 1 1 1 5 10 2 5 a h h AS AB AD a = + + = ⇒ = Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng 2 3 1 1 10 2 2 5 1 2 . . . 2 2 6 3 9 3 27 a a a a S OG HK V Sh= = = ⇒ = = Cách 3. Giải bằng phương pháp tọa độ như sau: Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O ≡ A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; 2a ). Tính SH, SK suy ra tọa độ của H 2 2 0; ; 3 3 a a    ÷   , K 2 2 ;0; 3 3 a a    ÷   , O ; ;0 2 2 a a    ÷   Áp dụng công thức 1 , . 6 V AH AK AO   =   uuur uuur uuur Bài 4 Cho Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0 . Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF. Phân tích. Dễ thấy BD ⊥ (SAC), EF // BD ⇒ EF ⊥ (SAC). Mặt khác tam giác SAC cân và có một góc bằng 60 0 nên SAC đều, do đó tính được diện tích ∆SAM. Lời giải. Cách 1. Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là giao điểm của AM và SO. Dễ thấy EF đi qua I và EF // BD và ( )SO ABCD⊥ . BD ⊥ AC, BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ (SAC). Ta có OA là hình chiếu của SA trên (ABCD) nên góc giữa SA và 5 Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương (ABCD) là góc · SAO . Tam giác SAC cân tại S và có · 0 60SAO = nên tam giác SAC đều cạnh 2a suy ra 2. 3 1 2 , 2 2 2 a a AM SM SC= = = và AM ⊥ SC. Do tính đối xứng nên 3 . 1 2 1 6 2 2. . . . . . . 3 3 2 18 S AEMF EAMS AMS a V V S EI AM SM EI= = = = Cách 2. EF ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ AM. Lại có SC ⊥ BD ⇒ SC ⊥ EF, do đó SC ⊥ (AEMF). EF // BD ⇒ 2 2 2 2 3 3 3 EF SI a EF BD BD SO = = ⇒ = = (I là trọng tâm tam giác SAC) Tứ giác AEMF có AM ⊥ EF nên 2 1 3 . 2 3 AEMF a S AM EF= = . Vậy thể tích V của hình chóp S.AEMF là 2 3 1 1 3 2 6 . . . 3 3 3 2 18 AEMF a a a V S SM= = = Cách 3. Phương pháp tọa độ. Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O là tâm của hình vuông ABCD, B 2 ;0;0 2 a    ÷   , C 2 0; ;0 2 a    ÷   , S 6 0;0; 2 a    ÷   Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có độ dài cạnh SA bằng x, tất cả các cạnh còn lại đều có độ dài bằng 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo x và tìm x để thể tích đó lớn nhất. Phân tích. Chân đường vuông góc hạ từ S xuống (ABCD) thuộc AC nên ta xác định được đường cao. OA OC OS= = nên tam giác SAC vuông tại S, do vậy tính được SH, AC và diện tích của ABCD. Lời giải. Gọi H là hình chiếu của S trên mp(ABCD). Do SB = SC = SD nên HB = HC = HD suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tam giác BCD cân tại C nên H thuộc CO, O là giao của AC và BD. CBD ABD SBD∆ = ∆ = ∆ OC OA OS SAC⇒ = = ⇒ ∆ vuông tại S 2 1AC x⇒ = + . 2 2 2 1 1 1 1 x SH SH SA SC x 2 = + ⇒ = + ABCD là hình thoi 2 2 2 1 3 2 AC BD OB AB AO x⇒ ⊥ ⇒ = − = − 6 F E I M D C A B S O Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 2 2 2 1 1 1 . 1. 3 3 2 2 6 ABCD S AC BD x x V x x= = + − ⇒ = − áp dụng BĐT Côsi ta có 2 2 2 1 1 3 1 3 . 6 6 2 4 x x V x x + − = − ≤ = Đẳng thức xảy ra 6 2 x⇔ = . Vậy V lớn nhất khi 6 2 x = Bài 6 Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Lấy một điểm S thuộc mặt cầu, xét ba điểm A, B, C thuộc mặt cầu sao cho SA = SB = SC và · · · ASB BSC CSA α = = = ( 0 0 0 90 α < < ). Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo R và α Phân tích. Từ giả thiết suy ra S.ABC là hình chóp đều, bởi vậy tính được .S ABC V theo α và SA = a. Giả sử SO cắt (S) tại S’, khi đó tâm I của tam giác ABC thuộc SS’ và tam giác SAS’ vuông tại A nên tính được a Theo R và α. Lời giải. Theo giả thiết S.ABC là hình chóp đều Gọi I là trọng tâm ABC∆ thì I cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ và ( )SI ABC⊥ Do OA OB OC= = nên O SI∈ . Giả sử SI cắt lại mặt cầu tại S ’ thì SS ’ = 2R Đặt SA = SB = SC = a. ' SAS∆ vuông tại A nên SA 2 = SI.SS ’ 2 2 ' 2 SA a SI SS R ⇒ = = Trong tam giác SAB ta có 2 2 2 2 . .cosAB SA SB SA SB α = + − 2 2 2 2 (1 cos ) 4 sin 2 .sin 2 2 a a AB a α α α = − = ⇒ = 2 4 0 2 2 2 2 2 1 1 3 . .sin 60 3sin 3sin . sin 2 2 3 2 2 6 2 ABC a a S AB AC a V a R R α α α ∆ = = ⇒ = = Để tính a theo R và α , ta chú ý rằng 2 3 AI AJ= , J là trung điểm BC 3 2 3sin 3sin 2 2 3 2 AB AJ a AI a α α = = ⇒ = . Tam giác SAI vuông tại I nên 2 2 2 SA SI AI= + 4 2 2 2 2 2 4 4 sin 2 1 sin 4 3 2 3 2 a a a a R R α α ⇒ = + ⇒ = − Vậy 3 2 2 2 3 2 8 3 4 8 3 3 sin (1 sin ) sin 3 2 3 2 27 2 V R R α α α = − = 7 S A C O B J S’ I O A B C D S H Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương Bài 7. Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA đều tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC. Phân tích. Từ giả thiết tính được diện tích ∆ABC. Các mặt bên hợp với đáy góc 60 0 nên chân đường vuông góc hạ từ S xuống mp(ABC) trùng với tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC, bởi vậy tính được đường cao. Lời giải. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC); E, F, I lần lượt là hình chiếu của H trên AB, BC, CA. Khi đó SH ⊥ (ABC) AB ⊥ SH, AB ⊥ HE ⇒ AB ⊥ SE ⇒ · 0 60SEH = . Tương tự · · 0 60SFH SIH= = . Các tam giác vuông SHE, SHF, SHI bằng nhau suy ra HE = HF = HI = r (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC). Kí hiệu p, S lần lượt là nửa chu vi và diện tích của tam giác ABC, khi đó p = 9a, S = 2 6 6a (theo công thức hêrông). Mặt khác 2 6 3 S a S pr r P = ⇒ = = . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHE ta có 0 tan60 2 2SH r a= = . Vậy 2 3 1 1 . .6 6 .2 2 8 3 3 3 SABC V S SH a a a= = = Bài 8. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 , tam giác ABC vuông tại C và · 0 60BAC = . Hình chiếu của điểm B’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Phân tích. Gọi G là trọng tâm ∆ABC thì B’G ⊥ (ABC), A’B’ // (ABC) nên ( ';( )) ( ';( )) ' A ABC B ABC d d B G= = . Từ đó tính được B’G và diện tích ∆ABC. Lời giải. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó B’G ⊥ (ABC), góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC) là góc · 'B BG · 0 ' 60B BG⇒ = . Ta có A’B’ // (ABC) ( ';( )) ( ';( )) ' A ABC B ABC d d B G= = . 8 A C B H S E F I a A' C' G M B A C B' Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương Vậy ' 1 . ' 3 A ABC ABC V S B G= . Tam giác BB’G có 0 '.cos60 2 a BG BB= = , 0 3 ' '.sin 60 2 a B G BB= = . Ta có 3 3 2 4 a BM BG= = . Tam giác ABC vuông tại C và có góc · 0 60BAC = nên nếu đặt AB = 2x thì AC = x ⇒ MC = 2 x , BC = 3x . Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông BCM ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 9 3 1 3 9 3 3 . 16 4 4 2 2 32 ABC a x a x a BM BC MC x x S CB CA= + ⇔ = + ⇔ = ⇒ = = = Vậy 2 3 ' 1 9 3 3 9 . . 3 32 2 64 A ABC a a a V = = *Nhận xét. Ở bài toán trên ta đã thay đỉnh A’ bằng đỉnh B’ mà thể tích không thay đổi, trong khi với đỉnh B’ ta dễ dàng xác định được chân đường vuông góc. Việc làm này nhiều khi rất thuận lợi và đó chính là nội dung của phương pháp 2 sau đây 2. Phương pháp trượt đỉnh, dãn đáy Cơ sở của phương pháp này là bằng cách thay đỉnh và mở rộng đáy, ta quy việc tính thể tích của khối chóp đã cho về việc tính thể tích của những khối chóp đặc biệt. Bài 9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = 2a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP. Phân tích. Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC là dễ dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính thể tích của khối tứ diện AMNP về việc tính thể tích của các khối chóp nói trên. Trong các mặt của khối tứ diện AMNP ta thấy tam giác AMN có thể mở rộng thành tam giác SAB, khoảng cách từ P đến (AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C đến (SAB). Lời giải. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO ⊥ (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên 1 1 2 4 AMN ANS ABS S S S= = ( ;( )) ( ;( )) / /( ) P AMN C AMN PC AMN d d⇒ = . Vậy 9 P N M O B D C A S Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương . ( ;( )) ( ;( )) 1 1 1 . . . 3 3 4 P AMN AMN P AMN ABS C AMN V S d S d= = . . 1 1 1 1 . . 4 4 4 3 C ABS S ABC ABC V V S SO= = = ; 2 2 2 1 6 , 2 2 ABC a S a SO SA AO= = − = . Vậy 3 2 1 1 6 6 . . 12 2 2 48 AMNP a a V a= = Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = a, AD = 2a, góc · 0 30ABC = ; SA = 3a và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và SD, O là giao điểm của AC và BD. Tính thể tích khối tứ diện OAMN. Phân tích. Khối tứ diện OAMN có mặt AOM có thể mở rộng thành tam giác SAC, khoảng cách từ N đến (AOM) có thể thay bằng một nửa khoảng cách từ D đến (SAC). Lời giải. Ta có ( ;( )) 1 . . 3 OAMN OAM N OAM V S d= . O, M lần lượt là trung điểm của AC và SC nên 1 1 2 4 OAM CAM SAC S S S= = , đường thẳng DN cắt (OAM) tại S và N là trung điểm của SD nên ( ;( )) ( ;( )) ( ;( )) 1 1 2 2 N OAM D OAM D SAC d d d= = . Vậy 3 0 ( ;( )) . 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . . .sin30 . 3 4 4 4 3 12 2 8 OAMN SAC D SAC S ACD ACD a V S d V S SA DA DC SA= = = = = Bài 11 Cho tứ diện ABCD có , ;AB a CD b= = góc ( , )AB CD α = , khoảng cách giữa AB và CD bằng d . Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo , ,a b d và α . Phân tích. Nếu dựng hbh BCDE thì tam giác ABE hoàn toàn xác định và BCD BDE S S= nên .ABCD ABDE D ABE V V V= = Lời giải. 10 b b a C E D B A O N M C A D B S [...]... sợ bài toán về hình học không gian Qua thực tế giảng dạy chuyên đề này tôi thấy các em học sinh không những nắm vững được phương pháp, biết cách vận dụng vào những bài toán cụ thể mà còn rất hứng thú khi học tập chuyên đề này Khi học trên lớp và qua các lần thi thử đại học, số học sinh làm được bài về tính thể tích cao hơn hẳn các năm trước và các em không được học chuyên đề này Một số đề xuất Mỗi bài. .. tài sáng kiến kinh nghiệm này học sinh đã tự tin làm bài và tỉ lệ làm đúng là rất cao, hơn hẳn lần thi thứ nhất IV Bài tập tham khảo Bài 1 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Bài 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách... biệt cần chú ý tới những cách giải bài bản, có phương pháp và có thể áp dụng phương pháp đó cho nhiều bài toán khác Với tinh thần như vậy và theo hướng này các thầy cô giáo cùng các em học sinh có thể tìm ra được nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác nhau Chẳng hạn, các bài toán về ứng dụng thể tích để tính khoảng cách hay chứng minh đẳng thức hình học; các bài toán về tính khoảng cách, xác định... ;( ABE )) = d 1 1 Vậy VABCD = ab sin α d = abd sin α 3 3 Bài 12 Cho hai nửa đường thẳng Ax và By chéo nhau nhận AB làm đoạn vuông góc chung Các điểm M, N lần lượt chuyển động trên Ax và By (M khác A và N khác B) sao cho AM + BN = MN Chứng minh rằng thể tích tứ diện ABMN không phụ thuộc vào M và N x Phân tích Bài này có lời giải tương tự như bài trên Lời giải Trong mặt phẳng (ABN), dựng hình bình ·... chóp Cơ sở của phương pháp này là bài toán cơ bản sau: 14 J D Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương Bài toán Cho hình chóp tam giác S.ABC Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy A’, B’, C’ không trùng với điểm S Khi đó ta có công thức sau VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC Việc chứng minh nó khá đơn giản và đã có trong sách giáo khoa Cái hay của bài toán này là ở chỗ: khi đã biết... hứng thú khi học bài, các em không còn cảm giác sợ khi học hình học không gian Nhiều em còn sôi nổi phát biểu, thảo luận và tìm ra nhiều điều mới mẻ từ đề tài này Các em có cái nhìn tổng quát và có hệ thống nên vận dụng một cách khá linh hoạt trong từng bài toán cụ thể Điều quan trọng là các em được định hướng cách giải ngay từ đầu và đều phát hiện ra lời giải ngắn gọn và tối ưu cho mỗi bài toán Thứ ba,... đến mp(SBC) bằng 2a Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của nó nhỏ nhất Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó Bài 4 Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a Kẻ đường cao SH của khối chóp Một điểm... tại I, J, P, Q a) Tính thể tích V của khối chóp H.IJPQ theo a và x b) Xác định vị trí của M để V đạt giá trị lớn nhất Bài 5 Cho khối tứ diện ABCD có một cạnh có độ dài lớn hơn 1, các cạnh còn lại có độ dài không vượt quá 1 Gọi V là thể tích của khối tứ diện ABCD, chứng minh 1 rằng V ≤ 8 Bài 6 Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các · · · điểm A, B, C Cho biết xOy = α ,... b) Giả sử A, B, C di động sao cho a + b + c = 3k (k là hằng số dương) Tìm giá trị nhỏ nhất của V Bài 7 Cho khối lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của B ' C ' và C ' D ' Mặt phẳng (AMN) chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích của hai khối đa diện đó Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong... tứ diện CMNP Bài 9 Cho lăng trụ đứng ABC.A 1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AC1 = 2a 6 và · BAC = 1200 Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 1 Chứng minh rằng MB ⊥ MA1 2 Tính thể tích khối tứ diện AA1BM, từ đó suy ra khoảng cách từ A đến mp(A1BM) Phần III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã giải quyết được những vấn đề sau: 1 Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính . còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian. Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá. khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các bài toán về tính thể tích của khối chóp.