Ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán theo câu - Câu II

Sự đồng biến & nghịch biến “Dù chỉ nắm vững một kiến thức nào đó, cũng đều có ích cho trí óc, nó sẽ ném đi những thứ vô dụng nhưng giữ lại những thứ có ích” DA VINCI Page 1 Lop12.net... [r]

ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 Nội dung chính phải học và làm bài tập: A PHẦN ÔN TẬP LŨY THỪA – PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGA RÍT Giải các dạng toán lũy thừa, lôgarít và giải các dạng phương trình mũ và phương trình lôgarít: Yêu cầu: Nhớ các công thức lũy thừa, lôgarít Phương trình Phương trình mũ Bất phương trình mũ Các phương pháp giải chủ PP đưa cùng số yếu Phương pháp đặt ẩn số phụ Phương pháp lôgarít hóa PP khác PP nhẩm nghiệm và sử dụng biến thiên hàm số Các công thức cần nhớ: Về lũy thừa  Về số: xét lũy thừa a  : +    : a  xác định  a   +     : a  xác định a ≠ +    \  : a  xác định a >  Qui tắc lũy thừa: Với a, b > 0; m,n   :  a ma n  a mn ;    am n * am  a mn n a   a.b   a m b m m  a m.n ; m am a    m b b * a0 = với a  m n * a  n a m (a  0; m, n  ; n  0)  Đạo hàm : x  u   /  .x 1 (x  0,  ) ;  /  .u 1.u / (u  0,  )   Đạo hàm: a x /  a x ln a (a > 0, a ≠ 1) Phương trình lôgarít Bất phương trình lôgarít PP đưa cùng số Phương pháp đặt ẩn số phụ Phương pháp mũ hóa PP nhẩm nghiệm và sử dụng biến thiên hàm số Về lôgarít Định nghĩa : Cho < a  , x > 0: logax = y  a y = x Các công thức : * Với < a  ta có: a loga n  n ( n > ); * log a a m  m (m   ); loga1 = 0; log a a  * loga(x1.x2) = logax1 + logax2; x * log a = logax1  logax2 ( x1; x2 > ) x2  * log a  x   log a x (x > 0, α ≠ 0)   Đổi số: log b x * log a x  hay logax = logab.logbx log b a * logab = và log a b.log b a  log b a  Đạo hàm : / *  log a x   , x.ln a u' / *  log a u   u.ln a Sự đồng biến & nghịch biến “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 Về lũy thừa ▪ Khi a > hàm số y = ax đồng biến trên  ▪ Khi < a < hàm số y = ax ng biến trên  Về lôgarít Sự đồng biến & nghịch biến Khi a > hàm số y = logax đồng biến trên TXĐ ( ; + ∞ ) Khi 0<a<1 hàm số y = logax nghịch biến trên TXĐ ( ; + ∞ ) Chú ý: thường dùng các công thức sau: Phương trình & bất phương trình mũ  ax = m  x = logam  x  log a m;(a  1)  ax > m    x  log a m;(0  a  1) Phương trình & bất phương trình lôgarít  f (x)    logaf(x) = logag(x)   g(x)  f (x)  g(x)  ax  với x  R  Với < a  thì:  af(x) = ag(x)  f(x) = g(x);  Nếu a > thì:  a > 1: af(x) > ag(x)  f(x) > g(x)  < a <1: af(x) > ag(x)  f(x) < g(x)  Với số thực m và < a  thì:  logax = m  x = am  f (x)    logaf(x) > logag(x)   g(x)  f (x)  g(x)   Nếu 0<a<1 thì: xa ; a 1  logax > m  m 0  x  a ;  a  m  f (x)   logaf(x)>logag(x)   g(x)  f (x)  g(x)  Các bài giải hướng dẫn minh họa: Ví dụ 1: ( các ví dụ minh họa) Giải các phương trình và bất phương trình sau: Phương pháp giải PP giải: Đưa cùng số af(x) = ag(x)  f(x) = g(x)  với số a = 10 Nội dung bài giải 1) 2x+1 5x = 2.102x+5  10x = 102x+5  x = 2x +5  x = - Vậy nghiệm pt là x = - 2) x - 53 x = 20 Giải: đặt t = x Các bước giải: Bước 1: chọn và ẩn số phụ đặt t = af(x) ĐK: x  0 “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 Phương pháp giải Nội dung bài giải p t đã cho trở thành: 125 t-20 =  t2 – 20t -125 = t  t = - (loại), t = 25 (nhận)  t = 25  x  25  52  x   x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình là: x = 2x 3) 3.49x + 2.14x – 4x x 7 7 =  3       2 2 x 7 Chia hai vế PT cho đặt t =   (t > 0), phương 2 trình trở thành: 3t2 + 2t – =  t = -1 (loại), t = 4x Với t =  x 1 7     x  log 3 2 Bước 2: thay vào phương trình để các dạng: at + b = (bậc theo t) at2 + bt + c = 0(bậc hai theo t) at3 + bt2 + ct + d = Giải tìm t tìm x và kết luận PP giải: phương trình có chứa “cơ số chính” là 7, và 7.2 = 14 Ta có cách đưa cùng có số  chia vế cho 4x  chia vế cho 49x  chia vế cho 14x Cách giải bên trái là cách trên Vậy nghiệm phương trình là x  log x 4) 3x8 x   (*) Đk x  -2 Lôgarit số hai vế ta có  x x x  3x (*)  log    log  x  log   log x2    2log   (x  1) 1  0 x2    x = x = -(1+log32) Vậy nghiệm pt là: x = x = -(1+log32) PP giải: Ta có thể lấy loga vế với số tùy chọn là loga số 3, có số 8, số e PP sử dụng là lấy loga số Sử dụng các công thức:  loga(M.N) = logaN + logaM   log a b   log a b  Đặc biệt lưu ý đặt điều kiện để lôgarít phải có nghĩa 5) ln(4x + 2) – ln(x – 1) = lnx (*) 4x    Điều kiện:  x    x  x   (*)  ln(4x + 2) = ln[x(x – 1)]  4x + = x(x – 1)  x2 – 5x – = Áp dụng: logaf(x) = logag(x)  f(x)=g(x)  sau tìm các giá trị x cần so sánh điều kiện để kết luận “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 Phương pháp giải Nội dung bài giải  x  33  33 (loại) hay x  (nhận) 2 Vậy nghiệm phương trình là: x  (  2) 6)   52  x 1 x 1 x 1 x 1  33  (  2) x 1 (ĐK: x  1)  (  2)1 x x 1 x 1  1 x   x   0(*)    x 1 x 1  x  hay -2  x < -1 Vậy nghiệm bpt là: x  hay -2  x < -1  7) log5(4x +144) – 4log52 < 1+ log5(2x-2 +1)  log5(4x +144) < log580(2x-2+1)  4x -20.2x +64 < (**)  < 2x < 16  2< x < Vậy nghiệm bpt là: 2< x < 8) 4x – 2.52x < 10x HD: Chia hai vế cho 10x , ta x x  với số a =  hay a= 52  giải bpt (*) cách chuyển vế và xét dấu vế trái và dựa vào bảng xét dấu để kết luận (cần nhận xét để thấy giải bất phương trình khác với giải phương trình “xét dấu biểu thức” để tìm nghiệm Cơ số có sẳn “gom” các lôga nào? Dùng công thức gì?  giải bpt (**) cách đưa cùng số mấy? Hãy giải bpt này x 2 5 2       , Đặt t =   , t  5 2 5 Bất phương trình trở thành: t t2  t  2 0 1   t t  t2 – t – <  0<t<2 x 2       x  log 2 , 5 Vậy nghiệm bất phương trình là: x  log 2 Các bài tập luyện tập: Bài 1: Giải các phương trình: ( Có phải PP đưa cùng số ? ) a) x 5x 6 1 1 b)   3 3x 1 3 c) x 3x   16 “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 1 a)   7 x 2x 3 7 d)  0,  23x x 1  2  1 b)   2 x e) x 2 2 x  x 8 43x c)  0,75    f)    25  13x 4 4   3 2x 3 5 x x 1  125 2x Bài 2: Giải các phương trình: ( Có phải PP đưa cùng số ? ) a) 3x 1  3x 2  3x 3  3x 4  750 b) 32x 1  32x  108 d) x 1 2 x 1 x e) 2.3   28 x 1  6.3 x 1 c) 52x 1  3.52x 1  550 2x 7 1 x 1 6x x  f)   2 3  Bài 3: Giải các phương trình sau đây: 2x x  5.5  250 d) x  2.3x  15  g) x  24.3x 1  15  a) b) 22x   9.2 x   c) 22x 6  x 7  17  e) 64 x  8x  56  h) 34x 8  4.32x 5  27  f) 25x  6.5x   i) x  36.2 x 1  32  2 j) e6x  3.e3x  2 k) x 5 x  x 5 x   4 l) 3x 1  18.3 x  29 Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 3x 1  31x  10  d)  15     15  x x b) x  51 x    62 e)  2   x 2   x c) e 2x  4.e 2x  4 f)   35   x   35  x 4 Bài 5: Đơn giản – tính giá trị các biểu thức 1) a2 (a 2  b2  b )2 1 2) (a a4 Bài 6) Tìm x biết: a) log f) log  x    g)  1)(a 3 a a  a3 ) x  b) log x  3 c) log 81 x  log (2 x )  4 d) log x 25  e) log3 ( x  1)   3x     1 k) log (4 x  5)  l) log x    h) log  Bài 7) Tính: a) log 25 100  log 25 b) log 20  log  log 15 c) log  log 10  log 25 d) log3  log3  log3 14 e) log 10  log  log   log 14 f)  814   log  log  25 125  49   “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 1log4 g) 16 log 33log  log 4  h) 72  49 log7 9log7  5   42 2     B PHẦN ÔN TẬP CỰC TRỊ : Phương pháp: Phương pháp 1: Hàm số y = f(x)  Tìm đạo hàm y’ = f’(x)  Thay x0 vào f’(x) để có f’(x0) và lập phương trình: f’(x0) = Giải phương trình này tìm giá trị tham số ( thường là m, k)  Thay giá trị m vừa tìm vào hàm số và hực bài toán tìm cực trị ( hay cực đại, cực tiểu) Nếu x0 đúng yêu cầu đề bài, ta giá trị tham số cần tìm Phương pháp 2: Hàm số y = f(x) Sử dụng  f   x0   1) Nếu   f   x0    f   x0   2) Nếu   f   x0    f   x0   3) Nếu   f   x0   thì hàm số đạt cực trị x0 thì hàm số đạt cực trị x0 thì hàm số đạt cực trị x0 Bài tập minh họa: Nội dung bài giải Bài tập:Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 + mx – Tìm m để hàm số : a) Đạt cực trị x = b) Đạt cực đại x = a) Cách : Đạo hàm y’ = f’(x) = 3x2 – 4x + m Hàm số đạt cực trị x = f’(1) =  – + m =  m 1 Khi m = ta có y’ = 3x2 – 4x + x - 1/3 + y' + 0 + y CĐ - - CT PP giải – các chú ý Cách 1: Bước 1: tìm f’(x) Bước 2: Hs đạt cực trị x0 f’(x0) = ( giải phương trình này tìm m) Bước 3:Thử lại xem với giá trị nào m thì hàm số đạt cực trị x = Vậy: m = thì hàm số đạt cực trị x = “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 Nội dung bài giải Cách : Ta có f’(x) = 3x2 – 4x + m và f’’(x) = 6x – Hàm số đạt cực trị x = khi:  f '(1)  1  m    m 1   f ''(1)  2  Vậy m = thỏa đề bài b) Cách : Đạo hàm y’ = f’(x) = 3x2 – 4x + m Hàm số đạt cực đại x = f’(0) =  m = Khi m = 0: y = f(x) = x3 – 2x2 – x - 4/3 + y' + 0 + y CĐ - - CT Vậy: m = hàm số đạt cực đại x = PP giải – các chú ý Cách 2: Bước 1: tìm f’(x) và f’’(x) Bước 2: H số đạt cực trị  f '(1)  x =   f ''(1)  Bước 3: giải hệ này tìm m và kết luận Cách 1: Bước 1: tìm f’(x) Bước 2: Hs đạt cực đại x = f’(0) = ( giải phương trình này tìm m) Bước 3:Thử lại xem với giá trị nào m thì hàm số đạt cực đại x = Cách 2: Cách 2: Ta có f’(x) = 3x2 – 4x + m và f’’(x) = 6x –  f '(0)  m   m0 Hàm số đạt cực đại x = khi:   f ''(0)  4  Vậy m = là kết cần tìm Bài tập tương tự : Cho hàm số y  f  x   x – 2mx  mx – Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x  Tìm m để hàm số y  x  3mx  (m  1)x  đạt cực đại x 2 Chứng minh hàm số y = x3 + mx2 – (1 + n2)x – 5(n + m) luôn luôn có cực trị với giá trị m,n Xác định m để hàm số y = x3 – mx2 + (m – 3)x + có cực trị x = Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay cực đại? Tính giá trị cực trị tương ứng Bước 1: tìm f’(x) và f’’(x) Bước 2: Hsố đạt cực đại  f '(0)  x =   f ''(0)  Bước 3: giải hệ này tìm m và kết luận HD: câu Và Tương tự trên y’ = x2 – 6mx + m2 – HS đạt cực trị  phương trình: x2 – 6mx + m2 – 1=0 Có nghiệm phân biệt  ?? Đây là bài toán tìm cực trị hàm số không có “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 Nội dung bài giải PP giải – các chú ý tham số: Bước 1: tìm y’ Bước 2: xét dấu y’ Bước 3: kết luận Tìm cực trị các hàm số: a) y = (x + 2)2(x – 3)3 b) y  (7  x) x  x3 x c) y  d) y  x2  10  x Bài tập rèn luyện:   1) Tìm m để hàm số y  x3 – 3mx  m – x  đạt cực đại điểm x = 2) Xác định giá trị tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + đạt cực tiểu x = 3) Cho  Cm  : y  x3  3x  3m  m   x  Tìm m để  Cm  có giá trị cực trị cùng dấu 4) Cho y  x3   2m 1 x    m  x  Tìm m cho hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị có hoành độ dương 5) Cho  C  : y  x3  1  2m  x    m  x  m  Tìm m để (C) có điểm cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ 6) Cho  C  : y  x  2m x  Tìm m để (C) có điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân x  mx 7) Cho  Cm  : y  Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, 1 x 8) Cho  C  : y  x  mx  Tìm m cho hsố đạt cực đại x = xm C PHẦN ÔN TẬP GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT : Phương pháp 1: Tìm GTLN – GTNN hàm số y = f(x) trên [a;b]  Tìm y’ Cho y’ = tìm nghiệm x0, x1…  a; b  (nghiệm nào không thuộc [a;b] thì ghi [a;b])  Tính f(a), f(b), f(x0), f(x1),……  max y là giá trị lớn các giá trị trên  a; b   y là giá trị nhỏ các giá trị trên  a; b  Phương pháp 2: Tìm GTLN – GTNN hàm số y = f(x) trên (a;b)  Tìm y’ Cho y’ = tìm nghiệm x0, x1,  Xét dấu y’ trên (a;b)  dựa vao bảng xét dấu để kết luận “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 Phần minh họa – bài mẫu Nội dung bài giải PP giải – các chú ý PP giải: Ta có: f '( x)  3x  x  Do đó: f’(x) =  3x2 + 6x – =  x =  [-2;2], x = -3  [-2;2] Tính f’(x), giải pt f’(x) = Ta có: f (2)  25; f (2)  5; f (1)  2 Chỉ tính f(1), f(-2), f(2) (vì sao? Vậy: max f (x)  f (2)  25 x[ 2;2] f (x)  f (1)  2 x[ 2;2] Bài tập tương tự :Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm Hàm số cho dạng lượng giác, cần chú ý: số 𝑦 = cos 2𝑥 - 𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥 + x Giải: ta có -1 ≤ sinx, sin2x, sin ≤ 1 2 2 𝑦 = cos 2𝑥 - 𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥 + = ‒ sin 2𝑥 - 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + = ‒ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥1 - 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2 x Đặt 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 đó 𝑡 ∈ [ - 1;1] -1 ≤ cosx, cos(6x),sin ≤ 2 hàm số trở thành 𝑦 = ‒ 𝑡 - 2𝑡 + 1 ' ' 𝑦 = ‒ 2𝑡 - ; 𝑦 = 0 𝑡 = ‒ Khi đưa dạng đại 𝑦( - 1) = ; 𝑦(1) = ; 𝑦 - = số , thực bài tâp 2 ( ) Vậy GTLN 81 , 16 GTNN Các bài tập rèn luyện Bài 1: Giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số a) f(x) = x3 + 3x2 – 9x – trên đoạn [-4;3] b) f(x) = 25 ‒ 𝑥2 trên đoạn [-4;4] c) f(x) = |𝑥 - 3𝑥 + 2| trên [0;3] 𝜋 5𝜋 d) f(x) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 trên đoạn [3; ] 3𝜋 e) f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn [0; ] Bài 2: Giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số a) f(x) = x4 – 8x2 + 16 trên [-1;3] x trên (-2;4] x2 c) f(x) = x + + trên (1;+∞) x 1 b) f(x) = “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 d) f(x) = 𝑥 ‒ 𝑥2 e) f(x) = cos3x – 6cos2x + 9cosx + f) f(x) = sin3x – cos2x + sinx + Bài 3: Giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số a) y  x   x b) y   x   x c) d) D KQ: GTLN y = x = 1; GTNN y =  x =  KQ: GTLN y = x = 1; GTNN y = x = -2;x=4 y   x2  x KQ: GTLN y = ; GTNN y = -2 KQ: GTLN y = x = 0; GTNN y = y  1 x  1 x PHẦN ÔN TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN : Các công thức và tính chất nguyên hàm:  dx  x  C  kdx  kx  C x 1  x dx     C   1   ax  b    ax  b  dx  a  1  1   dx  x C x   dx  ln x  C x  ax  b  a ln ax  b  C dx  (ax  b) x  e dx  e x x  a dx  x dx C e ax C ln a  C   1 dx  ax  b  C ax  b a dx   C x x = ±1 ax  b dx  mx  n  a dx   1 C a (ax  b) ax b e C a a mx  n C m ln a  sin xdx   cos x  C  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C  cos xdx  sin x  C  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C dx  cos x 1 dx  cos  ax  b   a tan  ax  b   C  tan x  C “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page 10 Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 dx  sin x dx  sin  ax  b    a cot  ax  b   C   cot x  C 2 Các công thức – tính chất - ứng dụng tích phân: Định nghĩa tích phân: b  f  x dx  F  x  a b a Ứng dụng tích phân tính diện tích:  Diện tích (H) giới hạn các đường y=f(x) và Ox,x=a,x=b (a<b)  F  b  F  a b S= Các tính chất tích phân: Tính chất 1: b a a b  Diện tích (H) giới hạn các đường y=f(x) và y=g(x),x=a,x=b (a<b) b S= b a a Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx  k   Tính chất 3: b b b   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx a Tính chất 4: f ( x) dx a  f  x  dx    f  x  dx b  a a b c b a a c  f ( x)  g ( x) dx a Ứng dụng tích phân tính thể tích:  Thể tích (H) giới hạn các đường y=f(x) và Ox,x=a,x=b (a<b) quay quanh Ox tạo b a  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx b V =  y dx    f ( x) dx 2 a Thể tích (H) giới hạn các đường x=f(y) và Oy,y=a,y=b (a<b) quay quanh Oy tạo b b V =  x dy   [f ( y )]2 dy a a Một số bài tập minh họa: Nội dung bài giải PP giải – các chú ý Bài tập 1: kiểm tra các cặp hàm số sau, hàm số Phương pháp: nào là nguyên hàm hàm số còn lại Sử dụng định nghĩa nguyên hàm: a) f(x) = esinx.cosx và g(x) = esinx 1 Nếu [F(x)]’ = f(x) thì F(x) là nguyên b) f(x) = sin2 và g(x) =  sin x x x hàm hàm số f(x) Giải: a) ta có g’(x) = (esinx)’ = esinx.(sinx)’ = esinx Vậy g(x) là nguyên hàm hàm số f(x) b) Ta có: x x x f’(x) = (sin2 )’ = 2sin (sin ) ' = “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page 11 Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 Nội dung bài giải PP giải – các chú ý 1 1 2sin cos ( ) ' =  sin x x x x x Vậy f(x) là nguyên hàm hàm số g(x) Phương pháp: Một cách biến đổi là “chia tử cho mẫu để xuất các dạng có công thức tìm nguyên hàm” Bài tập 2: Tính các tích phân sau: x2  2x dx x3 a)  2 2 1        dx   ln x    (ln  1)  (ln1  1) x x  x 1  1 2 x  2x Vậy:  dx = ln2 – x3 = ln2 -  /4  b) =  cos xdx    /4   /4 Vậy Áp dụng công thức hạ bậc để biến đổi:  /4 1  (1  cos2 x)dx   x  sin x  2 0   cos xdx   cos a  (1  cos2a ) sin a  (1  cos2a ) Chú ý: c) 8 8 32 43 1/2 1/3 ( x  x ) dx  x dx  x dx  x  x 0 0 0 = x2 8 Vậy:  ( x  x )dx =  /2 d)   /2 sin x sin xdx    /2  /2   (  /2 =  /2 cos5x  cos9x )dx = 2   18 45  ( Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng: cos9 x  cos5x )dx   /2  /2   x 1  C   1  1 100     sin x  sin x  10  18   /2 Vậy: m  n am  a n Và   x dx  100  x3 = 8 sin x sin xdx   /2 45 1é cos (a - b) + cos (a + b)ùú ê ë û sin a.sin b = - éê cos (a + b) - cos (a - b)ùú û 2ë sin a.cos b = éê sin (a + b) + sin (a - b)ùú û 2ë cos a.cos b = Phương pháp đổi biến số:  Bước 1: chọn biến số “phù hợp”  Bước 2: Tính dt và đổi cận Bài tập 3: Tính các tích phân sau: “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page 12 Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 Nội dung bài giải  /4   a) PP giải – các chú ý  Bước 3: Thay trở lại vào tích phân và tính tích phân theo t  Bước 4: Kết luận  /4 tan xdx   /4  s inx dx cos x /4   Đặt t = cosx  dt = – sinx dx  sinxdx = – dt  Đổi cận: x   t  x  Vì đặt t = cosx ??   t  1  /4 1 dt đó:  tan xdx       ln t   t 1  /4 1  /4  Vậy: tan xdx   /4 b) 2x 1  1 x2  x  Đặt t = x2 + x + t = x  x  Kết là 2(  1)  dx Đặt t = x2 + x +  dt = (2x + 1)dx Đổi cận: x = -  t = x=1t=3 x2  x  1 Vậy: 2x 1  Từ đó: 2x 1  x2  x  1 dx   dt  t  2(  1) t dx = 2(  1) Phương pháp tích phân phần  /2  c) x cos xdx b  /2 Từ đó:  x cos xdx  ( x sin x)      /2  (cos x)   1  s inxdx   /2 Vậy a Chú ý: chọn và đặt u = dv = (cho phù hợp)  /2 b a u = x du = dx dv = cosxdx  v = sinx Đặt: b  udv  uv a   vdu  x cos xdx =  1 Bài tập 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (P): y = – x2 và đường thẳng (d): y = – x Nhận xét: áp dụng công thức b S=  f ( x)  g ( x) dx a Giải: Lập phương rình hoành độ giao điểm (P) và (d): – x2 = – x  x2 – x – =  x = -1; x= Với f(x) và g(x) đã cho còn các cận thì cần phải tìm thêm  Bước 1: Lập phương trình hoành độ “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page 13 Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 Nội dung bài giải Diện tích cần tính PP giải – các chú ý giao điểm để tìm các cận và cận 2 trên S =  (2  x )  (x)dx   x  x  2dx Bước 2: Áp dụng công thức tính diện 1 1 tích hình phẳng Bước 3: tìm cách khử giá trị tuyệt đối ( (vì –x2 + x + ≥ trên [-1;2] )   (x  x  2)dx cách xét dâu biểu thức giá trị 1 tuyệt đối vẽ đồ thị để quan sát để   khử ) =   x  x  2x   Bước 4: tính và kết luận diện tích ( Đặc   1 biệt lưu ý kết là số dương) Vậy S = ( đơn vị diện tích) Bài tập 5: Tính thể tich vật thể tròn xuay hình phẳng (H) giới hạn trục hoành và (P): y = x(4–x) Giải: Lập phương trình hoành độ giao điểm Ox và (P): x(4 – x) =  x = 0; x = 4 0 Thể tích cần tính V   y dx   (x  4x)2 dx Nhận xét: Áp dụng công thức: b V   y dx với a, b là các nghiệm nhỏ a và lớn phương trình hoành độ giao điểm: x(4 – x) = 1 16    x  8x  16x dx    x  2x  x3  = 0 5   512 15 Vậy thể tích V = 512 ( đơn vị thể tích) 15 Bài tập rèn luyện: Bài : Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x), thoả mãn điều kiện ? x3 1 f(x) = – x2 và F(2) = 7/3 ĐS F(x) = x  f(x) = x  x và F(4) = x x x 40 ĐS F(x) =   3 f (x) = 4x3 – 3x2 + và F(-1) = ĐS F(x) = x4 – x3 + 2x + Bài 2: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:  (2 x  1) xdx ;  (x  5) x dx ;  x  1.xdx ; x x dx ; 5 “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page 14 Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 Bài 3: Tính các tích phân sau: 1  16 x  5x  3  dx ; x  x x ( x  1)dx ; x ( x  1)dx ;  (1  x) x x dx Bài 3: Tính các tích phân sau: 2 dx ; 5x  1  5  dx x  3x  2x  1  x dx ; 2x  x  4 x  dx ;   2 x 2x  dx ;  3x  2   cos 3x cos xdx  cos xdx ;   dx sin x cos x Bài : Tính các tích phân sau đây :   x 1 x dx ;  e  x 2 e xdx ;   e2 sin x  dx ;  dx  cos x x ln x e  e ln x dx x  tgx e tgx dx cos x e dx ; cos x ;   cos x dx ; x x6  sin Bài : Tính các tích phân sau :   e x  dx  x ln(1  x )dx ;  ln xdx ; 0  sin x   x sin xdx ;  x ln(1  x)dx Bài : Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau đây: a) 𝑦 = 𝑥 ‒ 3𝑥 + 5, trục Ox và các đường thẳng x = 1; x = b) KQ: S = 18 (đvdt) 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑥 + 1, 𝑦 =‒ 𝑥 + 𝑣à ℎ𝑎𝑖 đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑥 = , 𝑥 = KQ: S = c) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x =  43 (đvdt) KQ: S = 2(đvdt) d) 𝑦 = 𝑥 ‒ 3𝑥 + và 𝑦 = ‒ 𝑥 + KQ: S = 32 (đvdt) Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau đây: a) b) c) d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x 2 x ; y x x Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x 2 x và y  3x y x và x y Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y  x và x  y Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y  Bài : Cho hình phẳng (H) giới hạn (C) : y = tanx, y = 0, x = 0, x =  “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page 15 Lop12.net ÔN TẬP CÂU II: RÈN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 2012 a) Tính diện tích hình phẳng D b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh D quay quanh trục Ox “Dù nắm vững kiến thức nào đó, có ích cho trí óc, nó ném thứ vô dụng giữ lại thứ có ích” DA VINCI Page 16 Lop12.net