Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sinx và cosx thành hàm của t.. Cách này giúp tính đạo hàm của biểu thức dễ dạng.[r]
(1)CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Định nghĩa Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị: Đẳng thức sau đôi hữu ích: với Đẳng thức Pytago Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago Đẳng thức thứ và có thể suy từ đẳng thức đầu chia nó cho cos²(x) và sin²(x) Tổng và hiệu góc định lí Ptolemaios Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler Lop12.net (2) với và Công thức góc bội Bội hai Các công thức sau có thể suy từ các công thức trên Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = Công thức gíc kép có thể dùng để tìm ba Pytago Nếu (a, b, c) là ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) Tổng quát Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì công thức de Moivre : Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) xuất các công thức sau: Hay theo công thức hồi quy: sin(nx) = 2sin((n − 1)x)cos(x) − sin((n − 2)x) cos(nx) = 2cos((n − 1)x)cos(x) − cos((n − 2)x) Bội ba Lop12.net (3) Ví dụ trường hợp n = 3: sin(3x) = 3sin(x) − 4sin3(x) cos(3x) = 4cos3(x) − 3cos(x) Công thức hạ bậc Giải các phương trình công thức bội cho cos2(x) và sin2(x), thu được: Công thức góc chia đôi Thay x/2 cho x công thức trên, giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được: Dẫn đến: Nhân với mẫu số và tử số + cos x, dùng định lý Pytago để đơn giản hóa: Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số phương trình (1) − cos x, đơn giản hóa: Suy ra: Nếu Lop12.net (4) thì: and and Phương pháp dùng t thay trên hữu ích giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x) thành hàm t Cách này giúp tính đạo hàm biểu thức dễ dạng Biến tích thành tổng Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy Biển tổng thành tích Thay x (x + y) / và y (x – y) / công thức trên, suy ra: Hàm lượng giác nghịch đảo Lop12.net (5) Dạng số phức với Tích vô hạn Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt , các tích vô hạn sau có ích: Đẳng thức số Cơ Richard Feynman từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau: Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của: Đẳng thức số sau chưa tổng quát hóa với biến số: Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm số 21: Một cách tính pi có thể sựa vào đẳng thức số sau, John Machin tìm thấy: Lop12.net (6) hay dùng công thức Euler : Một số đẳng thức khác: Dùng tỷ lệ vàng φ: Nâng cao Lop12.net (7) Giải tích Các công thức giải tích sau dùng góc đo radian Các đẳng thức sau có thể suy từ trên và các quy tắc đạo hàm Lop12.net (8)