Bài giảng Nhập môn lí thuyết xác suất và thống kê toán - ĐH Phạm Văn Đồng

Các kết quả có thể khi phép thử được thực hiện gọi là các biến cố sơ cấp (hoặc các biến cố cơ bản). - Biến cố B được gọi là đối lập với biến cố A nếu và chỉ nếu A và B là hai biến cố x[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN

BÀI GIẢNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN

BÀI GIẢNG

NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

Giảng viên : Võ Tuấn Thanh

Bộ môn : Giáo dục tiểu học

LỜI NÓI ĐẦU

Lí thuyết xác suất thống kê tốn môn học bản, ngày ứng dụng rộng rãi khoa học kĩ thuật, giáo dục … Vì tài liệu, giáo trình để tham khảo học tập môn phong phú Mặc dù học phần “Nhập mơn lí thuyết xác suất thống kê tốn” chương trình cao đẳng sư phạm đào tạo giáo viên tiểu học chưa có giáo trình thống

So với u cầu chi tiết nội dung mà học phần mô tả, hầu hết tài liệu giáo trình có chưa đáp ứng vấn đề tự học, tự nghiên cứu sinh viên bậc học Để giúp sinh viên học tập học phần theo phương thức đào tạo theo hệ thống tín nay, chúng tơi biên soạn giảng “Nhập mơn lí thuyết xác suất thống kê toán” sở đề cương chi tiết, tham khảo nhiều tài liệu, nhằm tích cực hố hoạt động, kích thích sáng tạo khả giải vấn đề cho người học

Bài giảng tương ứng với thời lượng 30 tiết Nội dung gồm ba chương: Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất

Chương 2: Biến ngẫu nhiên Chương 3: Thống kê tốn

Vì thời lượng gồm hai tín chỉ, yêu cầu người học tiếp cận mức độ nhập môn, nội dung biên soạn cho sinh viên bậc cao đẳng ngành giáo dục tiểu học nên cố gắng diễn đạt khái niệm kết luận dạng ngơn ngữ giản dị, thích hợp với đối tượng Để khai thác sâu kiến thức mơn học này, người học tham khảo thêm tài liệu [1], [2], [3] [4]

Đây lần biên soạn giảng với phương thức đào tạo theo hệ thống đào tạo tín chỉ, chắn khơng tránh khỏi sai sót, chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo sinh viên nhà trường

Xin chân thành cảm ơn

Chương 1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

A MỤC TIÊU KIẾN THỨC:

Cung cấp cho người học kiến thức về: - Những khái niệm xác suất

- Một số phương pháp định nghĩa xác suất thường sử dụng - Một số tính chất xác suất

- Các cơng thức tính xác suất độc lập, xác suất điều kiện, dãy phép thử Bécnuli

KĨ NĂNG:

Hình thành rèn luyện cho người học kĩ năng:

- Giải toán xác suất cổ điển, xác suất hình học, xác suất điều kiện… - Vận dụng để xử lí tốn xác suất thực tế nghiên cứu khoa

học THÁI ĐỘ:

Chủ động tìm tịi, phát khám phá ứng dụng xác suất thực tế B NỘI DUNG

1.1 Khái niệm biến cố 1.1.1 Phép thử

Định nghĩa: Phép thử thực nhóm điều kiện xác định (có thể lặp lại vơ số lần)

1.1.2 Biến cố

Trong đời sống hàng ngày ta thường gặp hai loại kiện: kiện ngẫu nhiên kiện tất yếu

Sự kiện tất yếu kiện mà ta hồn tồn biết xảy hay khơng xảy

Sự kiện ngẫu nhiên kiện mà ta xác định cách chắn xảy hay khơng xảy ra, ta cịn gọi biến cố ngẫu nhiên Người ta thường kí hiệu biến cố ngẫu nhiên A, B ,

Sự kiện tất yếu mà ta biết chắn xảy ta cịn gọi biến cố chắn, kí hiệu Ω Sự kiện tất yếu mà ta biết khơng thể xảy gọi biến cố hay biến cố rỗng, kí hiệu 

1.1.3 Ví dụ

- Gieo lần xúc xắc xem tiến hành phép thử Kết phép thử mặt xúc xắc chấm ( ta kí hiệu B1), hai chấm

(B2), ba chấm (B3), bốn chấm (B4), năm chấm (B5), sáu chấm

(B6)

Ta gọi A kiện số chấm mặt chẳn lẻ A biến cố chắn

Gọi C kiện mà mặt xúc xắc có số chấm C biến cố

- Gieo đồng xu cân đối đồng chất, ta gọi A kiện mặt ngửa (mặt số) xuất hiện, B kiện mặt sấp (mặt quốc huy) xuất hiện, A, B hai biến cố ngẫu nhiên

Biến cố chắn, biến cố không thể, biến cố ngẫu nhiên gọi chung biến cố 1.1.4 Phép toán quan hệ biến cố

- Ta thực phép thử Các kết phép thử thực gọi biến cố sơ cấp (hoặc biến cố bản)

- Tổng hai biến cố A B biến cố, kí hiệu AB cho biến cố tổng AB xảy A xảy B xảy

- Tích hai biến cố A B biến cố, kí hiệu AB AB cho biến cố tích AB xảy chỉ A xảy B xảy

- Hai biến cố A B gọi xung khắc xảy biến cố khơng thể xảy biến cố (A B xung khắc với AB = )

- Hiệu biến cố A trừ biến cố B biến cố, kí hiệu A\B cho biến cố A\B xảy A xảy B không xảy

- Biến cố B gọi đối lập với biến cố A A B hai biến cố xung khắc phép thử xuất trong hai biến cố Biến cố đối lập biến cố A ta kí hiệu A, ta có A = Ω\A

- Biến cố A gọi kéo theo biến cố B, kí hiệu A B biến cố A xảy biến cố B phải xảy

Ví dụ: Khi gieo xúc xắc, gọi

D = {số chấm mặt xúc xắc số lẻ}, ta có B1  D B3  D

- Hai biến cố A B gọi tương đương với A B B  A Viết A = B

Nhận xét:

a Ta mở rộng quan hệ biến cố cho 3, biến nhiều b Khi xét quan hệ biến cố ta khơng nên dùng minh hoạ hình học để thay cho định nghĩa mà phải bám chặt định nghĩa để xét, biểu diễn hình học khơng thể phản ánh xác trường hợp

Ví dụ: Hai người bắn vào mục tiêu

Gọi A = “anh thứ bắn trúng bia” B = “Anh thứ hai bắn trúng bia”

Hai biến cố không xung khắc với nhau, khó mơ tả hình học cho biến cố tích AB (trường hợp hai anh bắn trúng bia)

- Hệ n biến cố A1, A2 , , An gọi nhóm đầy đủ biến cố :

Tổng n biến cố tương đương với biến cố chắn A1A2 An = Ω

Như lần thí nghiệm phải xảy biến cố thuộc nhóm đầy đủ biến cố

Ví dụ: A , A nhóm đầy đủ biến cố Khi gieo xúc xắc B1, B2, …, B6

là hệ đầy đủ biến cố

- Quy tắc đối ngẫu De Morgan: A  B C A B C ; ABC  A B C Quy tắc mở rộng cho n biến cố sau:

1 n n n n

A A   A A A A ; A A A A A   A - Phép lấy tổng tích có tính chất giao hốn, kết hợp phân phối :

AB = BA ; AB = BA

A( BC ) = AB  AC ; A  (B C) = (A B)(AC Ví dụ: Hai người bắn, người bắn viên vào bia

Gọi Ai = {người thứ i bắn trúng bia}, i = 1,

Ta xây dựng biến cố từ hai biến cố A1, A2 sau :

a Chỉ có người thứ bắn trúng đích : A A1

b Có người bắn trúng : A A1 2A A1

c Có người bắn trúng : A1A2 d Cả hai bắn trúng : A A1 2

e Không bắn trúng : A A1 2 A1A2

f Nhóm đầy đủ biến cố : A A1, 1 A A1 2, A A1 2 , A A1 2 , A A1 2 1.2 Định nghĩa xác suất

1.2.1.Định nghĩa xác suất cổ điển

Xác suất biến cố ngẫu nhiên A tỷ số số trường hợp biến cố A thực tế xảy với tổng số n trường hợp có đồng khả xuất hay khơng xuất Ta ký hiệu xác suất kiện (biến cố) A P(A)

P(A) =

Như P(Ω) = ; P() =

Ví dụ 1: Một tổ học sinh có 12 người phân vé xem bóng đá quốc tế (mỗi người nhiều vé), có vé loại I, vé loại II, vé loại III Việc phân phối tiến hành theo kiểu rút thăm

- Xác suất để học sinh vé p = 0, 58 12 

- Xác suất để học sinh vé loại I p =

12 6

- Xác suất để học sinh vé loại I vé loại II Số trường hợp thuận lợi A

p = 2

1212 3

- Xác suất để học sinh không vé p = -

12 12

Ví dụ 2: Rút ngẫu nhiên từ cổ gồm 52 từ Tìm xác suất cho có :

a At, 10, 2, K, J b cơ, Rô, Pic, chuồn c màu đỏ, màu đen

Giải:

Phép thử ta rút ngẫu nhiên bài, số trường hợp

52

C = 52! 45.46.47.48.49.50.51.52

8!(52 8)!  1.2.3.4.5.6.7.8

Gọi A = “trong rút có At, 10, 2, K, J” Tương tự B, C, D biến cố tương ứng với câu b/ ; c/ ; d/

a Số trường hợp thuận lợi cho A theo luật tích là:

3 1 4 4

C C C C C = 4.6.4.4.4 Do P(A) =

4 52

4

C

b Số trường hợp thuận lợi c ho B 2 13 13 13 13

C C C C

Do P(B) =

2 13 13 13 13

8 52

C C C C C c Số trường hợp thuận lợi cho C

26 26

C C

Do P(C) =

5 26 26

8 52

C C C

1.2.2 Định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê

Khi ta thực phép thử n lần mà biến cố A xuất m lần tỉ số m

n gọi tần suất biến cố A

Khi n thay đổi, tần suất m/n thay đổi ln dao động quanh số cố định đó, n lớn tỉ số m/n gần số cố định Số cố định gọi xác suất biến cố A theo nghĩa thống kê Trên thực tế n đủ lớn ta xấp xỉ P(A) m/n

P(A)  m n Ví dụ:

m

n = 0,5080

- Pearson gieo 12000 lần thấy 6019 lần sấp m

n = 0,5016

- Pearson gieo 24000 lần thấy 12012 lần sấp m

n = 0,5005

Số cố định cần tìm trường hợp 0,5 Tức xác suất xuất mặt sấp gieo đồng tiền cân đối đồng chất 0,5

Nhận xét: Định nghĩa xác suất dạng thống kê hay định nghĩa định nghĩa xác suất theo tần suất cho ta giá trị xấp xỉ mức độ xác việc xấp xỉ tùy thuộc vào số lần thực phép thử

1.2.3 Xác suất hình học

Giả sử X hình nằm hình Ω, lấy ngẫu nhiên điểm M hình Ω có hai khả sau xảy ra: M nằm hình X, M khơng nằm hình X Ta gọi tỉ số:

P(M) = xác suất để điểm M rơi vào hình X

Chú ý: Khái niệm “độ đo” hình X hiểu sau:

- Là độ dài hình X tạo đoạn thẳng, đường cong - Là diện tích theo nghĩa thơng thường, X hình phẳng mặt phẳng

Trong trường hợp ta qui ước: diện tích đường cong mặt phẳng

- Là thể tích theo nghĩa thông thường, X khối đa diện khối trịn xoay khơng gian Trong trường hợp ta qui ước: thể tích mặt cong khơng gian

Ví dụ:

1) Cho khu đất hình trịn vườn hoa hình tam giác nội tiếp hình trịn Trẻ em đá bổng bóng rơi vào khu đất Tìm xác suất để rơi vào vườn hoa

Giải: Theo định nghĩa ta có xác suất để bóng rơi vào vườn hoa là: A giac tron P(M) 3 3 2 0, 41 tam hinh BC AH S S R R R R        

“độ đo” hình X

“độ đo” hình Ω

2) Hai người hẹn gặp địa điểm khoảng từ đến giời chiều Họ thỏa thuận với sau: Một người đến điểm hẹn mà người chưa đến chờ không 15 phút Nếu người không đến người trước chiều Tìm xác suất để hai người gặp

Giải: 15 phút = 0,25 Gọi x y theo thứ tự thời điểm người thứ người thứ hai đến điểm hẹn Vậy điều kiện để hai người gặp

1 , ,

0, 25 0, 25 0, 25

x y x y

x y x y x

 

   

 

       

 



Tập hợp điểm M(x,y) với ≤ x, y ≤ nằm hình vuông ABCD Tập hợp điểm M(x,y) với x – 0,25 ≤ y ≤ x + 0,25 nằm phần gạch chéo hình vẽ

Áp dụng cơng thức xác hình học, ta có xác suất để hai người gặp điểm hẹn

P(M) =

2

1 0, 75



  0,44 3) Tham số m phương trình

x2 – (m-1)x + m2 – =

lấy ngẫu nhiên đoạn [-2; 2] Tìm xác suất để phương có nghiệm thực Giải: Điều kiện để phương trình cho có nghiệm thực là:

∆ = (m – 1)2 – 4(m2 – 1) = -3m2 – 2m + ≥

Suy

3 m

  

Bài tốn phát biểu dạng hình học sau: Lấy ngẫu nhiên điểm M đoạn [-2; 2] Tìm xác suất để điểm rơi vào đoạn [ 5;

3

 ] Vậy xác suất để phương trình có nghiệm thực

P(M) = 2  

 0,67

1.2.4.Các quy tắc tính xác suất

Quy tắc I: Xác suất tổng hai kiện (biến cố) xung khắc tổng xác suất kiện

Nếu A, B hai biến cố xung khắc : P(AB) = P(A) + P(B)

Tổng quát: Nếu A1, A2, , An n biến cố xung khắc với đơi

P( n i i A  ) = ( ) n i i P A  

Hệ 1: Nếu kiện xung khắc A1, A2, ., An lập thành nhóm kiện

đầy đủ tổng xác suất chúng

1 ( ) n i i P A 

 =

Hệ 2: Tổng xác suất kiện đối lập P(A) + P(A) =

Ví dụ: Trong xổ số tiết kiệm, tổng số phiếu 10.000 ; có giải nhất, 10 giải nhì, 100 giải ba Một người có phiếu tiết kiệm Tính :

- Xác suất để người trúng giải nhì - Xác suất để người trúng thưởng

- Xác suất để người khơng trúng thưởng Giải:

Goi A1 biến cố người trúng giải nhất, A2 biến cố người trúng giải nhì,

A3 biến cố trúng giải ba, A biến cố người trúng giải :

P(A2) =

10



“độ đo” hình X

A = A1  A2 A3

Vì A1 , A2 , A3 biến cố xung khắc nên xác suất để người trúng thưởng

P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) = 10.000 +

10 10.000 +

100 111 10.00010.000

Xác suất để người khơng trúng giải thưởng : P(A) = - P(A) = - 111

10.000 = 9889 10.000

Quy tắc II: Xác suất tổng hai biến cố ngẫu nhiên A, B tổng xác suất biến cố A B trừ xác suất tích kiện

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) Trường hợp tổng kiện A, B, C ta có

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) Chú ý: P(ABC) = - P(A B C ) =1 - P(A B C )

Ví dụ: Hàng năm nhà trường tổ chức tuyển sinh vào Đại học thể dục thể thao Học sinh khơng đạt văn hoá với xác suất 50%, khiếu với xác suất 40% Xác suất để học sinh không đạt văn hoá khiếu :

P = 0,5 + 0,4 - 0,5.0,4 = 0,7 = 70% 1.3 Biến cố ngẫu nhiên độc lập

Hai biến cố độc lập: Biến cố B gọi độc lập với biến cố A xác suất xảy A không thay đổi dù B có xảy hay khơng xảy

Nếu B độc lập với A B độc lập với A A độc lập với B B Quy tắc III: Xác suất tích hai kiện độc lập tích xác suất kiện

P(AB) = P(A).P(B)

Trường hợp tổng quát : Nếu A1, A2, , An biến cố độc lập với

P(A1 A2 An) = P(A1).P(A2) P(An)

Ví dụ 1: Có 12 vé xem bóng đá quốc tế, vé loại I, vé loại II, vé loại III Ta ghi vào phiếu "rút thăm" hai lần, lần phiếu Sau "rút thăm" lần thứ nhất, ta bỏ phiếu vào lại số phiếu 12 Tính xác suất để rút phiếu vé loại I

Gọi C biến cố “Trúng phiếu loại I liên tiếp” A biến cố “Trúng phiếu loại I lần thứ nhất” B biến cố “Trúng phiếu loại I lần thứ hai” Rõ ràng A, B hai biến cố độc lập với

C = AB ; P(C) = P(A).P(B) Mà P(A) = P(B) =

12 nên P(C) =

1 1

4 416

Ví dụ 2: Hai người bắn vào mục tiêu cách độc lập vơi S

xác suất bắn trúng đích chiến sỹ A 0,8 cịn chiến sỹ B 0,7 Tìm xác suất a Chiến sỹ A bắn trúng đích phát đầu

d Ít có người bắn trúng đích người bắn phát Giải. Gọi Ai biến cố " chiến sỹ A bắn trúng đích phát thứ i" ; i = 1, 2,

Gọi Bi biến cố " chiến sỹ B bắn trúng đích phát thứ i" ; i = 1, 2,

D1, D2, D3, D4 biến cố tương ứng cần tìm xác suất câu a, b, c, d

trên Ta có : D1 = A1 A2 A3 ; D2 = B B B1

D3 = A1B1 ; D4 = A1  B1

Ai, Bi độc lập với nhau; A1, A2, A3 độc lập; B1, B2, B3 độc lập Nhưng Ai , Bi

không xung khắc Vậy :

P(D1) = P(A1) + P(A2) +P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3) + P(A1A2A3)

P(D1) = 0,8.3 - 3.0,8.0,8 + 0,8.0,8.0,8 = 0,992

P(D2) = P(B1).P(B2).P(B3) = (1 - 0,7).(1 - 0,7).0,7 = 0,063

P(D3) = P(A1).P(B1) = 0,8.0,7 = 0,56

P(D4) = P(A1) + P(B1) - P(A1B1) = 0,8 + 0,7 - 0,56 = 0,94

1.4.Xác suất có điều kiện

1.4.1.Định nghĩa. Ta ký hiệu P(A/B) xác suất biến cố A với điều kiện biến cố B xảy Ta gọi xác suất có điều kiện

Từ định nghĩa ta thấy A B kiện độc lập P(A/B) = P(A)

Ta xét ví dụ quy tắc II Nếu gọi A biến cố "đạt yêu cầu khiếu", gọi B biến cố " trúng tuyển ", rõ ràng A B không độc lập với P(B/A) xác suất để học sinh thi trúng tuyển với điều kiện đạt yêu cầu thi khiếu Quy tắc IV: Xác suất tích kiện A B tích xác suất kiện A với xác suất kiện B với điều kiện A xảy tích xác suất kiện B với xác suất kiện A với điều kiện B xảy

P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

Ví dụ 1: Xét ví dụ quy tắc III với trường hợp "rút thăm" khơng hồn lại, P(A) =

4 ; P(B/A) =

11 ; P(AB) = P(A).P(B/A)

Ví dụ 2: Có thư bì thư có ghi địa sẵn Cho ngẫu nhiên thư vào bì thư Tìm xác suất để có thư gửi địa

Giải Gọi A kiện "trong thư có thư gửi địa chỉ" Ai biến cố "bức thư thứ i gửi địa chỉ", với i = 1, 2, Ta có

A = A1 A2 A3

P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3) + P(A1A2A3)

Mà P(A1) = P(A2) = P(A3) =

P(A1A2) = P(A1A3) = P(A2A3) = P(A1).P(A2/A1) =

1 =

P(A1A2A3) = P(A1A2).P(A3/A1A2) = =

1

Vậy: P(A) =

3 + +

1 -

1 -

1 -

1 +

1 =

2

Ví dụ 3: Bắn liên tiếp vào mục tiêu có viên trúng mục tiêu ngừng bắn Tìm xác xuất cho phải bắn đến viên thứ 4, biết xác suất trúng mục tiêu lần bắn 0,3

Gọi Ai kiện "viên thứ i trúng mục tiêu", i = 1, 2,

A kiện "bắn đến viên thứ ngừng" A = A A A A1 2 3 4

Các biến cố A1, A2, A3, A4 không độc lập việc xảy biến cố Ai ảnh

hưởng xảy biến cố Ai+1:

P(Ai+1/Ai)= (vì Ai+1/Ai = ) ; P(Ai1/Ai) = 0,3

Do đó:

P(A) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A A1 2).P(A4/A A A1 2 3)

= [1 - P(A1 )].[1 - P(A2/A1)].[1 - P(A3/A A1 2)].P(A4/A A A1 2 3) Hơn A2  A A1, 3 A2  A1

Nên P(A) = (1 -0,3)(1 - 0,3)(1 - 0,3).0,3 = 0,1029

1.4.2.Cơng thức xác suất đầy đủ (tồn phần), công thức Bayes (Bây-ét)

Giả sử B1, B2, , Bn hệ đầy đủ biến cố phép thử A

biến cố phép thử đó, đó:

    1 / 1   2 / 2   n / n

P A  P B P A B  P B P A B   P B P A B (1)   ( ) k k k A

P B P

B B

P

A P A

        

 

  (2)

Công thức (1) gọi công thức xác suất đầy đủ, công thức (2) gọi công thức Bayes

Ví dụ 1: Một thùng rượu có 20 chai, có chai rượu giả Trong q trình vận chuyển bị chai khơng rõ chất lượng Lấy ngẫu nhiên chai 19 chai cịn lại Tìm xác suất để chai lấy chai thật

Giải Gọi B1 = " Chai rượu bị chai giả"

B2 = " Chai rượu bị chai thật"

A = " Chai rượu lấy sau chai thật"

Ta có B1, B2 hệ đầy đủ biến cố, theo công thức xác suất đầy đủ ta có

P(A) = P(B1).P(A/B1) + P(B2).P(A/B2)

= 17 + 17 16 = 323 = 0,85 20 19 20 19 380

Ví dụ 2: Tỷ lệ xe tơ tải ô tô qua đường phố có trạm bơm dầu

Xác suất để xe ô tô tải qua đường nhận dầu 0,3 Xác suất để ô tô qua đường nhận dầu 0,2 Một xe ô tô đến trạm để nhận dầu Tìm xác suất để xe ô tô tải

Giải Gọi B1 = " Ơ tơ chạy ngang qua trạm dầu tơ tải "

B2 = " Ơ tơ chạy ngang qua trạm dầu ô tô "

B1, B2 hệ đầy đủ biến cố

A = " Ơ tơ ngang qua đường ghé vào trạm nhận dầu " P(B1) =

3

5 ; P(B2) =

Theo cơng thức xác suất đầy đủ ta có P(A) = P(B1).P(A/B1) + P(B2).P(A/B2) =

3 5.0,3 +

2

5 0,2 = 0,26

Ơ tơ đến nhận dầu, tính xác suất để tơ tơ tải, theo cơng thức Bayes ta có : P(B1/A) = P(B )P(A/B )1

P(A) =

.0,

0,26 = 0,6923

Ví dụ 3: Có hai hộp, hộp I có bi đen, bi đỏ, hộp II có bi đen, bị đỏ Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp I bỏ vào hộp II, từ hộp II lấy ngẫu nhiên bị

a Tính xác suất để bi lấy từ hộp hai bi đỏ

b Giả sử bi lấy từ hộp II hai bi đỏ, tính xác suất để bi lấy từ hộp I bỏ vào hộp II bi đỏ

Giải

a B1 = “ Lấy trúng bi đen từ hộp I bỏ vào hộp II”

B2 = “ Lấy trúng bi đỏ từ hộp I bỏ vào hộp II”

A = “ Lấy bi đỏ từ hộp II” Ta có B1, B2 hệ đầy đủ biến cố

P(B1) =

13 , P(B2) = 13

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có

p(A) = p(B1) p(A/B1) + p(B2).p(A/B2)

=

13 13 C C +

5 13 13 C C =

155 1014

b Theo cơng thức Bayes ta có

P(B2/A) =   2 2

5 15

75 15 13 78

155

(A) 155 31 1014

/

p B p A p

B

  

1.5 Công thức Bernoulli

Tiến hành n phép thử độc lập (tức kết phép thử không ảnh đến hưởng kết phép thử kia) gọi dãy phép thử Bernoulli (hoặc lược đồ Bernoulli) thoả mản hai điều kiện sau :

1 Mỗi phép thử có hai kết : A A P(A) = p ; P(A) phép thử Ví dụ:

+ Gieo đồng tiền 10 lần, 10 phép thử Bernoulli

+ Một người bắn viên đạn, bắn viên vào mục tiêu Đó phép thử Bernoulli.(Nhưng người bắn, người bắn viên nói chung lại khơng phải phép thử Bernoulli)

+ Gieo xúc sắc 100 lần, A = {xuất mặt lục} Đó 100 phép thử Bernoulli

1.5.2.Công thức Bernoulli

Xác suất để biến cố A xuất m lần n phép thử Bernoulli ký hiệu Pn(m,p) xác định theo công thức sau :

Pn(m,p) = C pnm m.(1 p)n m



 Trong m = 0, 1, , n

1.5.3.Số có khả

Ta gieo đồng tiền cân đối đồng chất lần ; A = {xuất mặt sấp} P(A) =

2 Số mặt sấp xuất từ đến tương ứng với xác suất

P5(m, ) =

5

1

2 m m m C          

    , m = 0, 1, 2, ,

Trong số P5(0,

2 ); P5(1,

2 ); P5(2,

2 ); ; P5(5,

2 ) tồn số lớn nhất,

trong trường hợp m = m= 3, tức lần gieo đồng tiền, mặt sấp xuất lần, lần, , lần, xuất lần, lần có khả

Số m0 mà ứng với Pn(m0 ,p) lớn nhất, gọi số có khả

Pn(m0,p) =

0

max

m n

 

Pn(m,p)

* Quy tắc tìm số có khả :

- Nếu np + p - số ngun m0 np + p - np + p

- Nếu np + p - số thập phân m0 số ngun bé lớn

np + p -1

m0 =[np + p - 1] + ; ([x] phần nguyên x)

Ví dụ 1: Một cầu thủ bóng đá sút luân lưu 11 m Xác suất đá thành công

4

5 Nếu cầu thủ đá quả, khả đá thành cơng cầu thủ

m0 =[np + p - 1] + = [5 +

4

Ví dụ 2: Khi gieo đồng tiền cân đối đồng chất 10 lần Gọi A ={mặt sấp xuất hiện}, ta có

P(A) =

2 ; np + p - = 10 +

1

2 - = 4,5

Vậy số lần mặt sấp xuất có khả : [4,5] + = + =

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1 Gieo đồng thời hai đồng tiền cân đối đồng chất Tìm xác suất để : a Cả hai đồng tiền xuất mặt sấp;

b Chỉ có đồng tiền xuất mặt sấp; c Ít đồng tiền xuất mặt sấp

2 Trong phép thử gieo hai xúc xắc cân đối đồng chất, tìm xác suất biến cố sau :

a Ak = “ Tổng số chấm xuất mặt hai k “, với k =2,

3, …, 12;

b Bi = “ Hiệu số chấm xuất mặt hai i “, với i = 0, 1, 2,

…, 5;

c Cn = “ Tích số chấm xuất mặt hai n” với n = 2,

4, 6, 8, 12

3 Trên bàn có hai túi đựng thi: túi thứ đựng 10 thi mơn Tốn, túi thứ hai đựng 10 thi môn Tiếng Việt Kết (chấm điểm 20) thi sau :

Mơn Tốn: 8; 9; 12; 15; 15; 17; 18; 19; 19; 19 Môn Tiếng Việt: 7; 10; 15; 16; 18; 18; 18; 19; 19; 20 Rút túi thi Tìm xác suất để :

a Cả hai đạt 19 điểm; b Ít đạt 19 điểm;

c Tổng số điểm hai 35

4 Một khối gỗ có hình hộp chữ nhật có kích thước 5cm×10cm×15cm Hai mặt đáy sơn màu xanh mặt xung quanh sơn màu vàng Người ta cưa khối thành 750 khối lập phương nhỏ Lấy ngẫu nhiên hai khối nhỏ Tìm xác suất để:

b Cả hai khối có mặt sơn màu vàng cịn năm mặt khơng sơn

5 Gieo ba đồng tiền cân đối đồng chất Tìm xác suất để: a Cả ba đồng tiền xuất mặt ngửa;

b Ít ba đồng xuất mặt ngửa

6 Một hộp có viên bi màu xanh viên bi màu trắng kích thước Lấy ngẫu nhiên hai viên từ hộp Tìm xác suất để:

a Hai viên khác màu; b Hai viên màu trắng; c Ít viên màu xanh

7 Nhóm “Chim sơn ca” trường tiểu học có 15 em, em khối Ba, em khối Bốn va em khối Năm Gặp ngẫu nhiên em nhóm Tim xác suất để:

a Ba em học sinh ba khối khác nhau; b Trong có em khối Năm; c Có em khối Ba

8 Một có 52 Rút ngẫu nhiên từ Tìm xác suất để rút có:

a Hai “Át” “K”; b Một màu đỏ ba màu đen;

c Một Cơ, Rơ, Pích Nhép (Chuồn)

9 Trong tập hồ sơ đăng kí giáo viên dạy giỏi tỉnh X có 25 giáo viên dạy khối Ba, 25 giáo viên dạy khối Bốn 22 giáo viên dạy khối Năm Rút ngẫu nhiên hồ sơ tập hồ sơ Tìm xác suất để:

a Hai hồ sơ hai giáo viên dạy khối;

b Trong hai hồ sơ có hồ sơ giáo viên dạy khối Năm 10.Trong kì thi, thí sinh đánh số báo danh từ đến 500 Gặp ngẫu

nhiên ba thứ sinh dự thi Tìm xác suất để: a Số báo danh ba thí sinh số chẳn;

b Số báo danh ba thí sinh số có ba chữ số chia hết cho

11.Trong đại hội thi đấu thể thao, vận động viên tỉnh A đánh số báo danh từ đến 350, tỉnh B từ 351 đến 750 va tỉnh C từ 751 đến 1000 Gặp ngẫu nhiên ba thí sinh dự thi Tìm xác suất để:

a Ba vận động viên người ba tỉnh khác

b Số báo danh ba vận động viên số có ba chữ số khác nhau;

c Số báo danh ba vận động viên số có ba chữ số chia cho dư

13.Trong hộp đồ chơi có 10 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Một cháu mẫu giáo lấy ngẫu nhiên số từ hộp xếp thành hàng Tìm xác suất để số xếp là:

a Số có chữ số;

b Số có chữ số chia hết cho 5; c Số chẳn có chũ số

14.Cuốn sách giáo khoa Toán dày 220 trang Ba bạn Hùng, Lan Vinh mở ngẫu nhiên, người trang (rồi gấp lại đưa cho người sau mở tiếp) Tìm xác suất để:

a số thứ tự ba trang số có hai chữ số khác nhau; b Số thứ tự ba trang số chia cho dư 3;

c Số thứ tự ba trang số chẳn chục

15.Số điện thoại tỉnh gồm chữ số, hai chữ số đầu 38 Chọn ngẫu nhiên số điện thoại tỉnh Tìm xác suất để:

a Số điện thoại số có chữ số khác với hai chữ số tận 01;

b Số chia hết cho 25

16.Tổng kết năm học lớp 4A trường tiểu học có 15 em loại giỏi, 20 em loại khá, em loại trung bình em yếu Nhà trường chọn ngẫu nhiên ba em lớp 4A dự kì thi kiểm tra chất lượng tồn khối Tim xác suất để :

a Cả em học sinh giỏi; b Ba em xếp học lực khác

17.Trong hộp kín có cầu màu xanh cầu màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp lần cầu (khơng hồn lại) màu xanh dừng lại Tìm xác suất để người dừng lại sau lần lấy thứ tư

18.Một xạ thủ bắn liên tiếp vào mục tiêu trúng đích dừng lại Tìm xác suất để bắn đến viên thứ ba trúng đích, biết xác suất bắn trúng đích lần bắn 0,85

19.Trong phân xưởng có máy làm việc độc lập với Trong ca sản xuất xác suất để máy I phải sửa 0,12, máy II phải sửa 0,18 máy III phải sửa 0,1 Giả sử máy không đồng thời phải sửa Tìm xác suất để ca phân xưởng phải sửa máy

20 Ba xạ thủ bắn vào mục tiêu độc lập với Xác suất bắn trúng đích xạ thủ thứ 0,9; xạ thủ thứ hai 0,85; xạ thủ thứ ba 0,75 Tìm xác suất để:

a Một người bắn trúng đích;

b Ít người bắn trúng đích; c Ít hai người bắn trúng đích

21.Trong trạm cấp cứu bỏng có 68% bệnh nhân bị bỏng nóng 32% bỏng hóa chất Loại bị bỏng nóng có 25% bị biến chứng, bỏng hóa chất có 40% bị biến chứng Lấy ngẫu nhiên bệnh án của bệnh nhân trạm

b Giả sử bệnh án lấy bệnh án bệnh nhân bị biến chứng Hỏi bệnh án bệnh nhân bị bỏng nguyên nhân nhiều ?

22.Một xí nghiệp sản xuất bóng đèn có phân xưởng Khi xuất xưởng, tỷ lệ phẩm phân xưởng sau : Phân xưởng I đạt 99,7%, phân xưởng II đạt 99,85%, phân xưởng III đạt 97,65% phân xưởng IV đạt 99,9% Cán OTK lấy ngẫu nhiên phân xưởng sản phẩm Tìm xác suất để số sản phẩm lấy :

a Cả sản phẩm phế phẩm; b Có phẩm

23.Tỉ lệ thí sinh trúng tuyển kì thi tuyển sinh vào trường đại học 20% Rút ngẫu nhiên hồ sơ số hô sơ thí sinh vê dự thi tuyển vào trường hồ sơ trúng tuyển dừng lại Tim xác suất để phải rút đến lần thứ tư

24.Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu độc lập với Xác suất bắn trúng đích xạ thủ thứ 0,85, xạ thủ thứ hai 0,75 Tìm xác suất để:

a Người thứ bắn phát đầu có phát trúng đích; b Người thứ hai bắn phát đầu có phát trúng đích; c Cả hai người bắn trúng từ phát

25.Kết kiểm tra học kì I khối Bốn trường Tiểu học đó, tỷ lệ giỏi đạt sau: Lớp 4A đạt dược 92%, lớp 4B đạt 80%, 4C đạt 85%, 4D đạt 78% 4E đạt 65% Cô hiệu trưởng rút ngẫu nhiên lớp kiểm tra Tìm xác suất để đó:

a Đều đạt điểm trở lên; b Có ba đạt điểm trở lên; c Khơng có điểm giỏi

26.Tổng kết năm học, tỉ lệ học sinh giỏi khối Năm trường tiểu học Nguyễn Nghiêm sau: lớp 5A đạt 35%, 5B đạt 18%, 5C đạt 25%, 5D đạt 12% Chọn ngẫu nhiên lớp học sinh Tìm xác suất để:

a Cả em đạt học sinh giỏi; b Chỉ có em đạt học sinh giỏi

27.Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 5A đạt 80% Tìm xác suất để gặp ngẫu nhiên em có em học sinh giỏi

28.Gieo lần xúc xắc Tìm xác suất để: a Mặt chấm xuất lần;

b Mặt có số chấm số nguyên tố xuất lần;

c Mặt có số chấm bội xuất với xác suất lớn bao nhiêu? 29.Tỷ lệ nảy mầm thóc giống đạt 90% Tìm xác suất để gieo 10 hạt nảy

mầm 10 hạt

30.Sinh viên năm thứ trường đại học có 800 em người kinh va 200 em người dân tộc Trong số sinh viên người dân tộc có 25% nữ Tìm xác suất để gặp ngẫu nhiên 10 sinh viên trường đó: