2 Xác định m để hàm số 1 có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.. Trong không gian cho lăng trụ đứng AB[r]
(1)ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12 (2008-2009) ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx + m − (1) , với m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình 2sin x + sin x cos x + = cos x + sin x ( 2) Giải phương trình log x + log x = log 2x ) Câu III (1 điểm) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y = ( x + 1) − x Câu IV (1 điểm) n = 120D Trong không gian cho lăng trụ đứng ABC A1 B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a và BAC Gọi M là trung điểm cạnh CC1 Hãy chứng minh MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( A1 BM ) Câu V (1 điểm) 4 Xác định m để phương trình sau có đúng nghiệm thực: x − 13x + m + x − = ( m ∈ \ ) II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung cho A và B đối xứng với qua đường thẳng d :2 x − y + = Câu VII.a (1 điểm) ⎛ Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn ⎜ x + ⎝ Câu VIII.a (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 18 ⎞ ⎟ x⎠ ( x > 0) 2x +1 giao điểm đồ thị với trục hoành x −1 Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông A Biết A ( −1; ) , B (1; −4 ) và ⎛ 1⎞ đường thẳng BC qua điểm M ⎜ 2; ⎟ Hãy tìm toạ độ đỉnh C ⎝ 2⎠ Câu VII.b (1 điểm) n Tìm hệ số x8 khai triển nhị thức Niutơn ( x + ) , biết An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49 ( Ank là số chỉnh hợp chập k n phần tử, Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử) Câu VIII.b (1 điểm) Cho hàm số y = − x2 + 4x + Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm trên x−2 đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận nó luôn là số Hết -Lop12.net (2) ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI 12 (20082009) ÔN THI ĐH 2009 (Đáp án- Thang điểm gồm 04 trang) Câu Nội dung 1.(1 điểm) Khi m = hàm số trở thành: y = x − x I • TXĐ: D= \ (2điểm) ⎡x = • Sự biến thiên: y ' = x3 − x = ⇔ x ( x − 1) = ⇔ ⎢ ⎣ x = ±1 yCD = y ( ) = 0, yCT = y ( ±1) = −1 • Bảng biến thiên x -∞ y’ y − -1 0 + 0.25 0.25 0.25 − +∞ Điểm +∞ + +∞ -1 -1 • Đồ thị -5 10 -2 -4 -6 0.25 -8 ⎡x = (1 điểm) y ' = x3 − 4mx = x ( x − m ) = ⇔ ⎢ ⎣x = m Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇔ pt y ' = có ba nghiệm phân biệt và y ' đổi dấu x qua các nghiệm đó ⇔ m > • Khi đó ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: ( ) ( A ( 0; m − 1) , B − m ; − m + m − , C • • II (2điểm) ) m ; −m + m − 1 S+ ABC = yB − y A xC − xB = m m ; AB = AC = m + m , BC = m ⎡m = m4 + m ) m ( AB AC.BC =1⇔ = ⇔ m − 2m + = ⇔ ⎢ R= ⎢m = − 4S+ ABC 4m m ⎢⎣ 0.25 0.25 0.25 0.25 1) ⎛ ⎞ ⎛1 ⎞ + sin x − cos x = cos x + sin x ⇔ + ⎜⎜ sin x − cos x ⎟⎟ = ⎜⎜ cos x + sin x ⎟⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠ 2π ⎞ π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 2⎛ ⇔ + cos ⎜ x − ⎟ = 3cos ⎜ x − ⎟ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = 3cos ⎜ x − ⎟ ⎠ 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ( ) Lop12.net 0.50 0.25 (3) π⎞ π π 5π ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ 3⎠ ⎝ (1 điểm) Điều kiện x > 0, x ≠ 1, x ≠ (k ∈ ]) 0.25 0.25 • Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với 6 + = ⇔ + = ⇔ = log x log 2 x log 2 x log x + log x + log x log x + log x ⇔ log x = ⇔ x = III (1 điểm) IV (1 điểm) ⎡ x = −1 ∈ D • Tập xác định: D = [ −1;1] ; y = =0⇔⎢ ⎢x = ∈ D 1− x ⎣ 3 ⎛1⎞ 3 y ( −1) = 0, y ⎜ ⎟ = , y (1) = Vậy max y = ; y = 4 [ −1;1] [ −1;1] ⎝2⎠ ' ( MA12 = A1C12 + C1M = ( 2a ) + a ( BM = BC + CM = a + a ) ) 0.50 0.25 −2 x − x + 0.50 0.50 = 9a ; BC = AB + AC − AB AC.cos120D = 7a ; ( = 12a ; A1 B = AA12 + AB = 2a ) + a = 21a Suy A1 B = MA12 + MB ⇒ MB ⊥ MA1 A C B M A1 C1 0.50 B1 • Hình chóp MBAA1 và CABA1 có chung đáy là tam giác BAA1 và đường cao nên thể tích 1 1 3 a 15 3V 6V =a ⇒ d ( A, ( A1 BM )) = = = S+ MBA1 MB.MA1 a 12.3a Suy V = VMBAA = VCBAA = AA1.S+ ABC = 2a a.2a.sin120D = V (1 điểm) a 15 ⎧⎪1 − x ≥ x − 13 x + m + x − = ⇔ x − 13 x + m = − x ⇔ ⎨ 4 ⎪⎩ x − 13 x + m = (1 − x ) ⎧x ≤ ⇔⎨ ⎩4 x − x − x − = −m Lop12.net 0.50 0.25 (4) Yêu cầu bài toán ⇔ đường thẳng y = −m cắt phần đồ thị hàm số f ( x ) = x − x − x − với x ≤ đúng điểm Xét hàm số f ( x ) = x3 − x − x − với x ≤ Với x ≤ thì f ' ( x ) = 12 x − 12 x − = ⇔ x = − Bảng biến thiên: x − −∞ y’ + 0.25 2 0.25 − y −∞ −12 Từ bảng biến thiên ta có: ⎡ 3 ⎡ m=− ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ − m < − 12 m > 12 ⎣ ⎣ JJJG A ∈ Ox, B ∈ Oy ⇒ A ( a;0 ) , B ( 0; b ) , AB = ( − a; b ) Yêu cầu bài toán ⇔ ⎢ VI.a (1 điểm) −m = 0.25 0.25 G Vectơ phương d là u = (1; ) a b Toạ độ trung điểm I AB là ⎛⎜ ; ⎞⎟ 0.25 ⎝ 2⎠ A và B đối xứng với qua d và JJJG G ⎧−a + 2b = ⎧⎪ AB.u = ⎧a = −4 ⎪ ⇔⎨ b ⇔⎨ ⎨ ⎩b = −2 Vậy A ( −4;0 ) , B ( 0; −2 ) ⎩⎪ I ∈ d ⎪⎩a − + = 0.50 VII.a (1 điểm) 18 ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ Số hạng tổng quát khai triển nhị thức Niutơn ⎜ x + ⎟ là x Tk +1 = C18k ( x ) 18− k k 6k 18 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = C18k 218− k x ⎝ x⎠ Số hạng không chứa x ứng với k thoả mãn 18 − 0.50 6k = ⇔ k = 15 Vậy số hạng cần tìm là T16 = C1815 23 = 6528 VIII.a (1 điểm) 0.50 • Giao điểm đồ thị với trục hoành là A ⎛⎜ − ;0 ⎞⎟ ⎝ ⎠ y' = −3 ⎛ 1⎞ ; y' ⎜ − ⎟ = − ⎝ 2⎠ ( x − 1) 0.50 4 • Pt tiếp tuyến đồ thị A ⎛⎜ − ;0 ⎞⎟ là y = − ⎜⎛ x + ⎟⎞ ⇔ y = − x − ⎝ Lop12.net ⎠ 3⎝ 2⎠ 3 0.50 (5) VI.b (1 điểm) VII.b (1 điểm) x −1 y+4 Đt BC qua B (1; −4 ) và M ⎛⎜ 2; ⎞⎟ nên có pt: = ⎝ 2⎠ ⇔ x − y − 17 = ⎛ 9t − 17 ⎞ C ∈ BC ⇒ C ⎜ t ; ⎟ , t∈\ ⎠ ⎝ JJJG JJJG ⎛ 9t − 25 ⎞ AB = ( 2; −8 ) ; AC = ⎜ t + 1; ⎟ Vì tam giác ABC vuông A nên ⎠ ⎝ JJJG JJJG AB AC = 9t − 25 Suy t + − = ⇔ t = Vậy C ( 3;5 ) Điều kiện n ≥ 4, n ∈ ` k =0 A − 8C + C = 49 ⇔ ( n − )( n − 1) n − ( n − 1) n + n = 49 ⇔ n − n + n − 49 = n n n (1 điểm) 0.50 ⇔ ( n − ) ( n2 + ) = ⇔ n = Vậy hệ số x8 là C74 23 = 280 VIII.b 0.50 n Ta có: ( x + ) = ∑ Cnk x k 2n −k Hệ số x8 là Cn4 2n −4 n 0.50 −x + 4x + Gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho = −x + + x−2 x−2 M ( x; y ) ∈ (C) ⇔ y = − x + + x−2 Tiệm cận xiên: y = − x + ⇔ x + y − = ; Tiệm cận đứng: x = x+ y−2 = Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là: d1 = 2 x − y= 0.50 0.50 Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: d = x − Ta có: d1.d = 7 x−2 = Suy điều phải chứng minh x − 2 0.50 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì đủ điểm phần đáp án quy định Hết Lop12.net (6)